Презентация по теме: "Классическое и статистическое определения вероятности"
Цель работы:
1. Показать, что окружающий нас мир можно описать математическими понятиями, числовыми показателями
2. Изучить базовые понятия раздела «Элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики»
3. Познакомить учащихся с историей возникновения и развития теории вероятностей
4. Учить решать простейшие задачи
5. Учить мыслить категориями, имеющими вероятностный характер
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 klassicheskoe_i_statisticheskoe_opredeleniya_veroyatnosti.ppt | 1.84 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цели урока: 1. Показать, что окружающий нас мир можно описать математическими понятиями, числовыми показателями 2. Изучить базовые понятия раздела «Элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики» 3. Познакомить учащихся с историей возникновения и развития теории вероятностей 4. Учить решать простейшие задачи 5. Учить мыслить категориями, имеющими вероятностный характер
План урока: 1. Организационный момент 2. Проверка ранее усвоенных знаний (письменная работа по карточкам) 3.Усвоение нового материала (работа с презентацией и объяснение материала) 4. Закрепление новых знаний 5. Подведение итогов урока 6. Домашнее задание
«Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы, но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий» Козьма Прутков
Математическая статистика – это раздел математики, который изучает методы обработки и классификации статистических данных для получения научно – обоснованных выводов и принятия решений.
Теория вероятностей есть математический анализ понятия случайного эксперимента. Событие и вероятность являются основными понятиями этой теории.
Как и почему возникла теория вероятностей?
Теория вероятностей Развитие теории вероятностей с момента зарождения этой науки и до настоящего времени было несколько своеобразным. На первом этапе истории этой науки она рассматривалась как занимательный “пустячок”, как собрание курьезных задач, связанных в первую очередь с азартными играми в кости и карты.
Этапы развития Предыстория теории вероятностей В этот период, начало которого теряется в веках, ставились и решались элементарные задачи, которые позже будут отнесены к теории вероятностей. Никаких специальных методов в этот период не возникает. Этот период кончается работами Кардано, Пачоли, Тарталья и др. С вероятностными представлениями мы встречаемся еще в античности. У Демокрита, Лукреция, Кара и других античных ученых и мыслителей мы находим глубокие предвидения о строении материи с беспорядочным движением мелких частиц (молекул), мы встречаем рассуждения о равновозможных исходах (равновероятных) и т. п. Н. Тарталья Д. Кардано
Этапы развития Возникновение теории вероятностей как науки К середине XVII в. вероятностные вопросы и проблемы, возникающие в статистической практике, в практике страховых обществ, при обработке результатов наблюдений и в других областях, привлекли внимание ученых, так как они стали актуальными вопросами. В первую очередь это относится к Б. Паскалю, П. Ферма и X. Гюйгенсу. В этот период вырабатываются первые специфические понятия, такие, как математическое ожидание и вероятность (в форме отношения шансов), устанавливаются и используются первые свойства вероятности: теоремы сложения и умножения вероятностей. В это время теория вероятностей находит свои первые применения в демографии, страховом деле, в оценке ошибок наблюдения, широко используя при этом понятие вероятности.
Основатели теории вероятностей Основателями теории вероятностей были французские математики Б. Паскаль и П. Ферма, и голландский ученый Х. Гюйгенс Б . Паскаль П . Ферма Х . Гюйгенс
Этапы развития Классическое определение вероятности Следующий период начинается с появления работы Я. Бернулли "Искусство предположений" (1713), в которой впервые была строго доказана первая предельная теорема — простейший случай закона больших чисел. К этому периоду, который продолжался до середины XIX в., относятся работы Муавра, Лапласа, Гаусса и др. В центре внимания в это время стоят предельные теоремы. Теория вероятностей начинает широко применяться в различных областях естествознания. И хотя в этот период начинают применяться различные понятия вероятности (геометрическая вероятность, статистическая вероятность), господствующее положение занимает, в особенности после работ Лапласа, так называемое классическое определение вероятности. Якоб Бернулли
Этапы развития Следующий период развития теории вероятностей связан прежде всего с Петербургской математической школой. За два столетия развития теории вероятностей главными ее достижениями были предельные теоремы. Но не были выяснены границы их применимости и возможности дальнейшего обобщения. Наряду с огромными успехами, достигнутыми теорией вероятностей в предыдущий период, были выявлены и существенные недостатки в ее обосновании, это в большой мере относится к недостаточно четким представлениям о вероятности.
Этапы развития Современный период развития теории вероятностей начался с установления аксиоматики. Этого прежде всего требовала практика, так как для успешного применения теории вероятностей в физике, биологии и других областях науки, а также в технике и военном деле необходимо было уточнить и привести в стройную систему ее основные понятия. Благодаря аксиоматике теория вероятностей стала абстрактно-дедуктивной математической дисциплиной, тесно связанной с другими математическими дисциплинами .
Строгое логическое обоснование теории вероятностей произошло в XX в. и связано с именами советских математиков С. Н. Бернштейна и А. Н. Колмогорова. Основатели теории вероятностей С . Н . Бернштейн А . Н . Колмогоров
В разделе комбинаторика решаются задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. Основные понятия комбинаторики
Основные элементы комбинаторики. Размещения Это любое упорядоченное подмножество m из элементов множества n . (Порядок важен). 2. Перестановки Если m = n , то эти размещения называются перестановками. Сочетания Это любое подмножество из m – элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из n – различных элементов. (Порядок не важен).
Решение задач Задача 1. На факультете изучается 16 предметов. На понедельник нужно в расписание поставить 3 предмета. Сколькими способами можно это сделать? Решение: Способов постановки в расписание 3 предметов из 16 столько, сколько можно составить размещений из 16 элементов по 3. Основные элементы комбинаторики Ответ: 3360 способов.
Решение задач Задача 2. Из 15 объектов нужно отобрать 10 объектов. Сколькими способами это можно сделать? Решение: Основные элементы комбинаторики Ответ: 3003 способа.
Решение задач Задача 3. В соревнованиях участвовало четыре команды. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно? Решение: P 4 = 1 *2*3*4 = 24 Основные элементы комбинаторики Ответ: 24 варианта.
Решение задач. Задача 4. Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера, если имеется 80 солдат и 3 офицера? Решение: Солдат в дозор можно выбрать способами, а офицеров способами. Так как с каждой командой из солдат может пойти любой офицер, то всего имеется способов. Основные элементы комбинаторики. Ответ: 24 6480 способов.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
РЕБУС «СОБЫТИЕ»
СОБЫТИЕ Под СОБЫТИЕМ понимается явление, которое происходит в результате осуществления какого-либо определенного комплекса условий. ПРИМЕР. Бросаем шестигранный игральный кубик. Определим события: А { выпало четное число очков } ; В { выпало число очков, кратное 3 } ; С { выпало более 4 очков } .
Эксперимент (опыт) ЭКСПЕРИМЕНТ (или опыт) заключается в наблюдении за объектами или явлениями в строго определенных условиях и измерении значений заранее определенных признаков этих объектов (явлений).
ПРИМЕРЫ сдача экзамена, наблюдение за дорожно-транспортными происшествиями, выстрел из винтовки, бросание игрального кубика, химический эксперимент, и т.п.
СТАТИСТИЧЕСКИЙ Эксперимент называют СТАТИСТИЧЕСКИМ, если он может быть повторен в практически неизменных условиях неограниченное число раз.
СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ СЛУЧАЙНЫМ называют событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания (опыта). Обозначают заглавными буквами А, В, С, Д,… (латинского алфавита).
Рассмотрим несколько наиболее «излюбленных» в теории вероятностей примеров случайных экспериментов.
Опыт 1: Подбрасывание монеты. Испытание – подбрасывание монеты; события – монета упала «орлом» или «решкой». «решка» - лицевая сторона монеты (аверс) «орел» - обратная сторона монеты (реверс)
Опыт 2: Подбрасывание кубика. Это следующий по популярности после монеты случайный эксперимент. Испытание – подбрасывание кубика; события – выпало 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков (и другие).
Типы событий ДОСТОВЕРНОЕ НЕВОЗМОЖНОЕ СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ
Типы событий Событие называется невозможным , если оно не может произойти в результате данного испытания. Случайным называют событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания. Событие называется достоверным , если оно обязательно произойдет в результате данного испытания. ДОСТОВЕРНОЕ СЛУЧАЙНОЕ НЕВОЗМОЖНОЕ
Примеры событий досто- верные слу- чайные невоз- можные 1. ПОСЛЕ ЗИМЫ НАСТУПАЕТ ВЕСНА. 2. ПОСЛЕ НОЧИ ПРИХОДИТ УТРО. 3. КАМЕНЬ ПАДАЕТ ВНИЗ. 4. ВОДА СТАНОВИТСЯ ТЕПЛЕЕ ПРИ НАГРЕВАНИИ. 1. НАЙТИ КЛАД. 2. БУТЕРБРОД ПАДАЕТ МАСЛОМ ВНИЗ. 3. В ШКОЛЕ ОТМЕНИЛИ ЗАНЯТИЯ. 4. ПОЭТ ПОЛЬЗУЕТСЯ ВЕЛОСИПЕДОМ . 5. В ДОМЕ ЖИВЕТ КОШКА. З0 ФЕВРАЛЯ ДЕНЬ РОЖДЕНИЯ. 2. ПРИ ПОДБРАСЫВАНИИ КУБИКА ВЫПАДАЕТ 7 ОЧКОВ. 3. ЧЕЛОВЕК РОЖДАЕТСЯ СТАРЫМ И СТАНОВИТСЯ С КАЖДЫМ ДНЕМ МОЛОЖЕ.
Типы событий Противоположное событие (по отношению к рассматриваемому событию А) – это событие , которое не происходит, если А происходит, и наоборот . Например, событие А – «выпало четное число очков» и B – «выпало нечетное число очков» при бросании игрального кубика – противоположные. Придумайте два противоположных события.
Примеры противоположных событий: если сейчас день, то сейчас не ночь; если человек спит, то в данный момент он не читает; если число иррациональное, то оно не является четным.
Типы событий Два события А и В называют совместными , если они могут произойти одновременно, при одном исходе эксперимента, и несовместными , если они не могут произойти одновременно ни при одном исходе эксперимента. Пример. А – «идет дождь», В – «на небе нет ни облачка» – несовместные. Пример. Коля и Саша играют в шашки. А – «Коля проиграл», В – «Саша выиграл», С – «Витя наблюдал за игрой» – совместные.
Примеры совместных и несовместных событий: совместные события : идет дождь и идет снег, человек ест и человек читает, число целое и четное; несовместные события : день и ночь, человек читает и человек спит, число иррациональное и четное.
Действия над событиями 1. Суммой нескольких событий называется событие, состоящие в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания.( , ) Если события А и В совместны, то сумма А+В означает, что наступает событие А, или событие В, или оба события вместе. Если события несовместны, то событие А+В заключается в том, что должны наступить А или В, тогда + заменяется словом «или».
Действия над событиями Пример. В урне находятся красные, белые и черные шары. Вынимается один шар. Возможные события: А – «вынут красный шар», В – «вынут белый шар», С – « вынут черный шар». Тогда А+В означает, что произошло событие «вынут не черный шар», В+С – «вынут не красный шар».
Действия над событиями 2. Произведением нескольких событий называется событие, состоящие в совместном наступлении всех этих событий в результате испытания. ( ). Означает союз «и» (АВС, это означает, что наступило событие А и В и С). Пример. Пусть имеются следующие события: А – «из колоды карт вынута дама», В – «из колоды карт вынута карта пиковой масти». Значит, А*В означает «вынута дама пик». Пример. Бросается игральный кубик. Рассмотрим следующие события: А – « число выпавших очков < 5», В – «число выпавших очков > 2», С – «число выпавших очков четное». Тогда А*В*С – «выпало 4 очка».
Примеры произведения событий: пусть А - из урны вытянули белый шар, В - из урны вытянули белый шар, то АВ - из урны вытянули два белых шара; А - идет дождь, В - идет снег, то АВ - дождь со снегом; А - число четное, В - число кратное 3, то АВ - число кратное 6.
РЕБУС «исход»
ИСХОД ИСХОДОМ (или элементарным исходом, элементарным событием) называется один из взаимоисключающих друг друга вариантов, которым может завершиться случайный эксперимент.
Число возможных исходов в каждом из рассмотренных выше опытах. Опыт 1. – 2 исхода: «орел», «решка». Опыт 2. – 6 исходов: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
ВЕРОЯТНОСТЬ – ЭТО ЧИСЛЕННАЯ МЕРА ОБЪЕКТИВНОЙ ВОЗМОЖНОСТИ ПОЯВЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДАЕТ СПОСОБ НАХОЖДЕНИЯ ЧИСЛЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ: А – некоторое событие, m – количество исходов, при которых событие А появляется, n – конечное число равновозможных исходов. P – обозначение; происходит от первой буквы французского слова probabilite – вероятность.
Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение , где n – число всех возможных исходов эксперимента, а m – число всех благоприятных исходов: КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.
Пьер-Симо́н Лапла́с Классическое определение вероятности было впервые дано в работах французского математика Лапласа.
ЭКСПЕРИМЕНТ ЧИСЛО ВОЗМОЖНЫХ ИСХОДОВ ЭКСПЕРИМЕНТА ( n) СОБЫТИЕ А ЧИСЛО ИСХОДОВ, БЛАГОПРИЯТ- НЫХ ДЛЯ ЭТОГО СОБЫТИЯ ( m) ВЕРОЯТНОСТЬ НАСТУПЛЕНИЯ СОБЫТИЯ А Р(А)= m / n Бросаем монетку 2 Выпал «орел» 1 Вытягиваем экзаменаци- онный билет Вытянули билет №5 24 1 Бросаем кубик На кубике выпало четное число 6 3 Играем в лотерею Выиграли, купив один билет 250 10
Пример Из карточек составили слово. « Какую карточку с буквой вероятнее всего вытащить ? Какие события равновероятные ? с т а т и с т и к а
Всего 10 букв. Буква «с» встречается 2 раза – P (с) = 2 / 10 = 1 / 5; буква «т» встречается 3 раза – P( т) = 3 / 10; буква «а» встречается 2 раза – P( а) = 2 / 10 = 1 / 5; буква «и» встречается 2 раза – P( и) = 2 / 10 = 1 / 5; буква «к» встречается 1 раз – P( к) = 1 / 10. Решение
Вероятность достоверного события равна 1 Вероятность невозможного события равна 0 Вероятность события А не меньше 0 , но не больше 1 ? 1 ? ? ? 0 1 0
P(u) = 1 (u – достоверное событие); P(v) = 0 (v – невозможное событие); 0 P(A) 1.
Задача по теме: «Классическое определение вероятности»
Задача В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный? Решение: Общее число различных исходов есть n =1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m =200. Согласно формуле, получим
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Статистической вероятностью события A называется относительная частота появления этого события в n приведенных испытаниях: W ( A )= m : n Величина W ( A ) является опытной, экспериментальной.
Пример Французский естествоиспытатель Бюффон в XVIII в. и английский статистик Пирсон в XX в. пришли к следующим результатам: Видно, что при n→∞ относительная частота m/n≈0,5. Этот результат был получен и по классическому определению вероятности.
Выводы: Возникновение и развитие теории вероятностей продиктовано необходимостью ее применениям, начиная от хозяйственно-прикладных вопросов и заканчивая самыми тонкими теоретическими вопросами теории информации и теории случайных процессов.
Закрепление новых знаний. Решение задач Задача 1. В доме 100 квартир. Наугад выбирается одна из них. Какова вероятность того, что на двери выбранной квартиры вы увидите цифру 5? Решение: Пусть А – "номер наугад выбранной квартиры содержит цифру 5. Тогда Р(А)=19/100 Ответ: Р(А)=19/100
Задача 2. Бросаются одновременно 2 монеты. Какова вероятность, что обе монеты упадут гербом кверху? Решение: Пусть событие А – «при бросании 2 монет выпадут 2 герба». В результате испытания возможны 4 события: «ГГ», «ГЦ», «ЦГ» и «ЦЦ» Все они несовместные, равновозможные и элементарные. Событию А благоприятствует 1 событие: «ГГ». Поэтому Р(А)=1/4
Задание на дом: 1. Повторить конспект по теме «Классическое и статистическое определения вероятности» 2. Выполнить самостоятельную работу.
Рефлексия В математике есть своя красота, притягивающая и завораживающая – красота логики. Прав был Ломоносов, утверждая: «Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит».