Методическая разработка открытого учебного занятия по дисциплине БД.04.«Математика». Тема: «Классическое и статистическое определения вероятности»

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

«Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова»

Университетский колледж

Методическая разработка

открытого учебного занятия по дисциплине БД.04.«Математика»

Тема: «Классическое и статистическое определения вероятности»

Преподаватель: Стахиряк Е.И.

г. Ярославль,

2023 г.

Стахиряк Е. И.

Статистика: методическая разработка к открытому уроку – Ярославль,
2023 г. – 45 с. Для учебных пособий – В учебном пособии изложены материалы открытого урока по теме «Классическое и статистическое определения вероятности» раздела 7 «Элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики» дисциплины БД.04 «Математика» специальности 38.02.01 «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям).

Предназначено для преподавателей и обучающихся.

Рассмотрена на заседании ПЦК технических дисциплин, протокол № ____ от

« ___» ________2023 г.

Составитель: Стахиряк Елена Игоревна, преподаватель высшей квалификационной категории ФГБОУ ВО «Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова» Университетский колледж.

СОДЕРЖАНИЕ

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА        4

ПЛАН ОТКРЫТОГО УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ        6

ХРОНОКАРТА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ        10

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ        12

ХОД ОТКРЫТОГО УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ        17

БД.04. МАТЕМАТИКА        17

1.Организационный момент        17

2. Постановка учебных целей и задач        17

3. Проверка ранее усвоенных знаний (письменная работа по карточкам)        17

4. Повторение и обобщение ранее усвоенных знаний: демонстрация и комментирование мини-презентации «Элементы математической статистики»        19

5. Лекция (информация и визуализация).        19

6. Закрепление новых знаний. Решение задач.        30

7. Рефлексия учебной деятельности        31

8. Задание на дом:        32

9. Итог учебного занятия        33

ПРИЛОЖЕНИЯ        35

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА        43

САМОАНАЛИЗ УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ        44

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Основная цель изучения математики в средних специальных учебных заведениях состоит в том, чтобы дать студентам набор математических знаний и навыков, необходимых для изучения других программных дисциплин, использующих в той или иной мере математику, для умения выполнять практические расчёты, для формирования и развития логического мышления.

В данной работе последовательно вводятся все базовые понятия раздела математики «Элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики», предусмотренные программой и Государственными образовательными стандартами среднего профессионального образования; формулируются основные теоремы; рассматриваются основные задачи и методы их решения, а также технологии применения этих методов к решению практических задач.

При изучении дисциплины обращается внимание студентов на её прикладной характер, на то, где и когда теоретические положения и практические навыки могут быть использованы в будущей практической деятельности. Изучение материала ведётся в форме, доступной пониманию студентов. Соблюдается преемственность в обучении, единство терминологии и обозначений в соответствии с действующими государственными стандартами.

При проведении учебного занятия:

• используются учебные пособия, технические и наглядные средства обучения;
• проводится несложные дедуктивные и индуктивные методы обучения;
• обосновываются шаги решения задач;
• проводится обучение пользоваться математической символикой и терминологией; письменно оформлять решение задач; формулировать на математическом языке несложные прикладные  задачи; пользоваться калькулятором; самостоятельно изучать учебный материал.

Проблемные вопросы позволяют обучающимся:

• использовать имеющиеся знания,
• усваивать новые понятия по теме,
• применять их, как инструмент для решения практических заданий.

Методикой подачи нового материала выбрано развивающее обучение.

Основой такой технологии выступают «личностно значимые» ситуации, представляющие фон, на котором идет развитие личности в процессе обучения с возможностью проявления самостоятельности и творчества в познавательной деятельности. Изучаемые знания расширяют кругозор обучающихся, способствуют более глубокому восприятию учебного материала специальных дисциплин.

Объяснительно – иллюстративный метод урока поддерживается подготовленной презентацией. Представленные изображения, таблицы, формулы, графики и расчёты позволяют глубже понять связь базовых дисциплин с дисциплинами общеобразовательного цикла, а также со  специальными дисциплинами (в частности дисциплины БД.04 «Математика» и ЕН.02 «Математика» с дисциплиной ОП.02 «Статистика»).

Практические задачи направлены на закрепление полученных понятий на уроке, с учётом дифференцированного подхода.

Формы используемого контроля знаний при оценке практических работ: самоконтроль, взаимоконтроль, контроль преподавателем.

Выполнение заданий: индивидуально и в парах.

Домашнее задание предусматривает решение пяти задач по пройденной теме, а также проработка конспекта.

ПЛАН ОТКРЫТОГО УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

«Классическое и статистическое определения вероятности»

Дата проведения: 10 марта 2023 года.

Группа: ЭБУ – 11КО.

Специальность 38.02.01. «Экономика и бухгалтерский учёт (по отраслям)».

Тема учебного занятия: Классическое и статистическое определения вероятности.

Методическая цель: Использование студентами полученных знаний для достижения целостного представления об изучаемых дисциплинах и их применение в бытовой жизни.

I. Тип учебного занятия: урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Форма учебного занятия: комбинированный урок (лекция с постановкой проблемных вопросов и практические задания).

Методика обучения: развивающее обучение.

II. Цели учебного занятия:

1. Образовательная (познавательная):

• показать, что окружающий нас мир можно описать математическими понятиями, числовыми показателями;
• дать студентам базовые понятия раздела 7 БД.04 «Математика» «Элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики», предусмотренные программой и Государственными образовательными стандартами среднего профессионального образования, необходимые для изучения других программных дисциплин (в частности дисциплины статистика);
• формировать навыки проведения сбора и обработки данных;
• познакомить учащихся с историей возникновения и развития теории вероятностей.

2. Развивающая (практическая):

• формировать современное мировоззрение и умение ориентироваться в изменчивом информационном мире;
• развитие познавательного интереса, мотивации через применение занимательных задач и примеров;
• вырабатывать умения сопоставлять, сравнивать, выявлять закономерности, обобщать, находить оптимальные решения, анализировать, применять полученные знания в новой ситуации;
• развитие зрительной памяти, математически грамотной речи, логического мышления, сознательного восприятия учебного материала;

• формирование умений решать задачи практической направленности;
• развитие логического мышления, интереса к дисциплинам математического и экономического блоков;
• воспитывать потребность в знаниях, способствовать профессиональному самоопределению;
• развитие информационной культуры обучающихся.

3. Воспитательная:

• учить мыслить категориями, имеющими вероятностный характер, общаться на деловой основе;
• применять вводимые понятия в практической жизни, видеть их роль в разных областях деятельности человека;
• активизация мыслительной деятельности (способом сопоставления);
• воспитание познавательной активности, культуры общения, культуры диалога;
• способствовать развитию самостоятельности и творчества, расширению кругозора, проявлению личностных качеств и способностей.

III. Методы обучения: перцептивные методы (словесные, наглядные, практические, проблемно-поисковые методы), логические и гностические методы.

IV. Междисциплинарные связи:

• ЕН.02 Математика
• ОП.02 Статистика,
• ПД.01 Информатика,
• БД. 05 История,
• БД.01 Русский язык,
• ОГЭС.01 Философия,
• ПД.03 Экономика

V. Материально-техническое обеспечение учебного занятия:

Оборудование: ПК, видеопроектор, экран; микрокалькуляторы; плакат с текстом эпиграфа к занятию (Приложение 6); проверочный лист для преподавателя (Приложение 2); оценочный лист (Приложение 5).

Наглядные пособия: 

• презентация к уроку;
• мини – презентация «Элементы математической статистики»;
• презентация кроссворда «Кто первый?»;
• раздаточный материал;
•  карточки – задания;
• методические указания к самостоятельным работам по математике;
• монеты; игральный кубик, прямоугольники из цветной бумаги.

VI. Применяемые педагогические технологии: активные методы обучения: активная учебная лекция, элементы ТРИИК, использование ситуационных технологий, здоровьесберегающая технология.

VII. Критерии диагностики эффективности занятия:

• оценки за работу на занятии (Приложение 6. Оценочный лист);
• проверочный лист для преподавателя (Приложение 2.)

VIII. В конце занятия обучающийся должен:

Знать: определение математической статистики, что изучает теория вероятностей, основные понятия комбинаторики, основные понятия теории вероятностей, виды событий, классическое определение вероятности, статистическое определение вероятности.

Уметь: решать комбинаторные задачи, задачи на классическое определение вероятности, задачи на статистическое определение вероятности.

Иметь представление: о науке статистика.

ХРОНОКАРТА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Ход открытого учебного занятия по дисциплине

БД.04. Математика

Эпиграф:

«Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы; но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий»

Козьма Прутков

1.Организационный момент

(приветствие студентов, объявление темы.
(слайд 1).

2. Постановка учебных целей и задач

(слайды 2,3).

Актуализация знаний.

«Статистика знает всё. Известно, сколько какой пищи съедает в год средний гражданин страны… Известно, сколько в стране охотников, балерин, станков, собак всех пород, велосипедов, памятников, маяков и швейных машинок… Как много жизни, полной пыла, страстей и мысли глядит на нас со статистических таблиц!» - утверждали Ильф и Петров в своём знаменитом романе «12 стульев».

Тема нашего занятия «Классическое и статистическое определения вероятности».

3. Проверка ранее усвоенных знаний (письменная работа по карточкам)

I вариант

1.Определения среднего арифметического, размаха.

2. Приведён рост (в см) пяти человек: 163, 183, 172, 180, 172. Найти среднее арифметическое, моду, медиану.

II вариант

1.Определения моды, медианы.

2. Приведён рост (в см) пяти человек: 187, 162, 171, 162, 183. Найти среднее арифметическое, моду, медиану.

Ответы:

I вариант

1. .Среднее арифметическое набора чисел – это сумма всех чисел, делённая на их количество.

Размах – разность между наибольшим и наименьшим значением данных в наборе.

2. . а) 174; б) 172; в) 172

II вариант

1. Мода – наиболее часто встречающееся в числовом ряду значение.

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине; а медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

2.  а) 173; б) 162; в) 171

Работы проверяют эксперты группы: Ордина Екатерина и Кушникова Алина.

4. Повторение и обобщение ранее усвоенных знаний: демонстрация и комментирование мини-презентации «Элементы математической статистики»

Презентация подготовлена студенткой группы Горбуновой Ариной в рамках самостоятельной внеаудиторной работы.

5. Лекция (информация и визуализация).

Представим, что мы с вами работаем в статистическом центре. Основными задачами центра являются сбор, хранение информации, выработка прогнозов, оценка их достоверности. Ни одна из этих задач недостижима без обработки данных. Поэтому сегодня мы узнаем:

I Что такое математическая статистика?

В нашу жизнь властно вошли выборы и референдумы, банковские кредиты и страховые полисы, таблица занятости и диаграммы социологических опросов и даже в интернете читаем: вероятность долговременного прогноза погоды на неделю – 80 %.

Каждый из нас не отделён от окружающего мира глухой стеной, да и в своей жизни мы ежедневно сталкиваемся с вероятностными ситуациями. Проблема выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценка степени риска и шансов на успех, представление о справедливости и несправедливости в играх и в реальных жизненных ситуациях – всё это, несомненно, находится в сфере реальных интересов личности.

Подготовку человека к таким проблемам во всём мире осуществляет математическая статистика. Что же она изучает?

Рассмотрим пример:

Лампочка считается стандартной, если она горит не менее 1400 часов. Как проверить партию лампочек на стандартность? Что можно предположить и какие сделать выводы? Данные о времени «горения» каждой лампочки – статистические данные.

Математическая статистика – это раздел математики, который изучает методы обработки и классификации статистических данных для получения научно-обоснованных выводов и принятия решений.

В связи с тем, что статистические данные зависят от случайных факторов, математическая статистика тесно связана с теорией вероятностей, которая является её теоретической основой.

II Что изучает теория вероятностей?

В наши дни результаты наблюдений используют для статистической оценки качества изготовляемой продукции и для управления качеством в процессе производства. И на производстве и в научных экспериментах очень важно бывает проверить, насколько неизменны условия наблюдения. Например, на технологической линии была изменена какая-то операция. Не сказалась ли эта замена на качестве продукции?

Статистические гипотезы могут быть самыми разнообразными: сорт пшеницы А урожайнее сорта В, лекарство А не оказывает положительного воздействия на больных болезнью В.

Статистика приводит к более общим зависимостям переменных, чем те, которые даются посредством функций. Современная физика, химия, биология, демография, социология, лингвистика, философия, весь комплекс социально - экономических наук развиваются на вероятностно-статистической основе.

Теория вероятностей есть математический анализ понятия случайного эксперимента. Событие и вероятность являются основными понятиями этой теории.

Еще первобытный вождь понимал, что у десятка охотников вероятность поразить копьем зубра гораздо больше, чем у одного. Поэтому и охотились тогда коллективно.

Необоснованно было бы думать, что такие древние полководцы, как Александр Македонский или Дмитрий Донской, готовясь к сражению, уповали только на доблесть и искусство воинов.

Несомненно, они на основании наблюдений и опыта военного руководства умели как-то оценить вероятность своего возвращения со щитом или на щите, знали, когда принимать бой, когда уклониться от него. Они не были рабами случая, но вместе с тем они были еще очень далеки от теории вероятностей.

Позднее, с опытом, человек все чаще стал взвешивать события, классифицировать их исходы как невозможные, возможные и достоверные. Он заметил, что случайностями не так уж редко управляют объективные закономерности.

III Историческая справка

        Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр (XVI-XVII вв.), связаны с именами Гюйгенса, Паскаля, Ферма и др. Само слово "азарт" французское и означает "случай".

Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Якоби, Бернулли (1654-1705). Доказанная им теорема “Закон больших чисел” была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов.

        Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону и др. Наиболее плодотворный период связан с именами П.Л.Чебышева (1821-1894) и его учениками: А.А.Марковым (1856-1922) и А.М.Ляпуновым (1857-1918). В этот период теория вероятностей становится стройной математической наукой.

        Последующее развитие теории вероятностей обязано русским математикам С.Н. Бернштейну, В.И. Романовскому и А.Н.Колмогорову.

        В настоящее время ведущая роль в создании новых ветвей теории вероятностей также принадлежит российским математикам.

IV Основные понятия комбинаторики.

        В русских сказках повествуется, как, доехав до распутья, богатырь читает на камне: «Прямо поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься». А дальше уже говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора. Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Эти пути и варианты складываются в разные комбинации. И раздел математики, именуемый комбинаторикой, занят поисками ответов на вопросы: сколько комбинаций существует в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать лучшую.

        Люди, владеющие техникой решения комбинаторных задач, а следовательно, умеющие рассуждать, перебирать различные варианты решений, часто находят выход, казалось бы, из самой безвыходной ситуации. Примером мог бы послужить сказочный герой, барон Мюнхгаузен, который находил выход при любом условии.

        Но и в жизни эти умения очень часто помогают человеку. Вот один случай умелого решения комбинаторной задачи.

Бесплатный обед. 10 молодых людей решили отпраздновать окончание университета товарищеским обедом в ресторане. Когда все собрались, и первое блюдо было подано, заспорили о том, как усесться вокруг стола. Спор затянулся, суп успел остыть, а за стол никто не садился. Примирил всех официант, обратившийся к ним с такой речью:

• Друзья мои, оставьте ваши пререкания. Сядьте за стол, как придется, и выслушайте меня.

Все сели. Официант продолжил:

• Пусть один из вас запишет, в каком порядке вы сейчас сидите. Завтра вы снова явитесь сюда пообедать, и разместитесь уже в ином порядке. Послезавтра сядете опять по-новому и т. д., пока не перепробуете все возможные размещения. Когда же придёт черёд, вновь сесть так, как сидите вы здесь сегодня, тогда я начну ежедневно угощать вас бесплатно самыми изысканными обедами.

Предложение понравилось. Решено было ежедневно собираться в этом ресторане и перепробовать все способы размещения за столом, чтобы скорее начать пользоваться бесплатными обедами. Однако дождаться этого дня им не пришлось. И не потому, что официант не исполнил обещания, а потому, что число всех возможных размещений за столом чересчур велико. Оно равняется – 3 628 800. Такое число дней составляет почти 10 тысяч лет!

Ну, а мы с вами сегодня рассмотрим некоторые задачи раздела математики, который называется комбинаторикой.

В разделе  комбинаторика решаются некоторые задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. Например, если взять 10 различных цифр 0, 1, 2, 3,… , 9 и составлять из них комбинации, то будем получать различные числа, например 143, 431, 5671, 1207, 43 и т.п.

Мы видим, что некоторые из таких комбинаций отличаются только порядком цифр (например, 143 и 431), другие - входящими в них цифрами (например, 5671 и 1207), третьи различаются и числом цифр (например, 143 и 43).

Таким образом, полученные комбинации удовлетворяют различным условиям.

В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.

Предварительно познакомимся с понятием факториала.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют

n- факториалом и пишут

n ! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ (n – 1)

Пример 1. Вычислить: а) ; б) ; в) .

Решение. а) .

б) Так как  и , то можно вынести за скобки

Тогда получим

.

в) .

1. Перестановки.

Комбинация из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.

Перестановки обозначаются символом Рn, где n- число элементов, входящих в каждую перестановку. (Р - первая буква французского слова permutation- перестановка).

Число перестановок можно вычислить по формуле

 или с помощью факториала:

Запомним, что 0!=1 и 1!=1.

Пример 2. Сколькими способами можно расставлять на одной полке шесть различных книг?

Решение. Искомое число способов равно числу перестановок из 6 элементов, т.е.

.

2. Размещения.

Размещениями из m элементов в n в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком из расположения.

Размещения обозначаются символом , где m- число всех имеющихся элементов, n- число элементов в каждой комбинации. (А - первая буква французского слова arrangement, что означает «размещение, приведение в порядок»).

При этом полагают, что nm.

Число всех возможных размещений из m элементов по n равно произведению n последовательных целых чисел, из которых большее есть m.

Запишем эту формулу в факториальной форме:

.

Пример 3. Сколько вариантов распределения трех путевок в санатории различного профиля можно составить для пяти претендентов?

Решение. Искомое число вариантов равно числу размещений из 5 элементов по 3 элемента, т.е.

.

3. Сочетания.

Сочетаниями называются все возможные комбинации из m элементов по n, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом (здесь m и n-натуральные числа, причем n  m).

Число сочетаний из m элементов по n обозначаются  (С-первая буква французского слова combination- сочетание).

В общем случае число из m элементов по n равно числу размещений из m элементов по n, деленному на число перестановок из n элементов:

Используя для чисел размещений и перестановок факториальные формулы, получим:

Пример 4. В бригаде из 25 человек нужно выделить четырех для работы на определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Так как порядок выбранных четырех человек не имеет значения, то это можно сделать  способами.

Находим по первой формуле

.

Кроме того, при решении задач используются следующие формулы, выражающие основные свойства сочетаний:

(по определению полагают  и );

.

4. Решение комбинаторных задач.

Задача 1. На факультете изучается 16 предметов. На понедельник нужно в расписание поставить 3 предмета. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. Способов постановки в расписание трех предметов из 16 столько, сколько можно составить размещений из 16 элементов по 3.

.

Задача 2. Из 15 объектов нужно отобрать 10 объектов. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.

Задача 3. В соревнованиях участвовало четыре команды. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно?

Решение.

.

Задача 4. Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и одного офицера, если имеется 80 солдат и 3 офицера?

Решение. Солдат в дозор можно выбрать

способами, а офицеров  способами. Так как с каждой командой из солдат может пойти любой офицер, то всего имеется  способов.

V. Основные понятия теории вероятностей. Понятие о случайном событии. Виды событий.

Всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое при данном комплексе условий, будем называть испытанием.

Результат этого действия или наблюдения называется событием.

Если событие при заданных условиях может произойти или не произойти, то оно называется случайным. В том случае, когда событие должно непременно произойти, его называют достоверным, а в том случае, когда оно заведомо не может произойти,- невозможным.

События называются несовместными, если каждый раз возможно появление только одного из них.

События называются совместными, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает появление другого при  том же испытании.

События называются противоположными, если в условиях испытания они, являясь единственными его исходами, несовместны.

События принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, Д, … .

Полной системой событий А1, А2, А3, … , Аn называется совокупность несовместных событий, наступление хотя бы одного из которых обязательно при данном испытании.

Если полная система состоит из двух несовместных событий, то такие события называются противоположными и обозначаются А и .

Пример. В коробке находится 30 пронумерованных шаров. Установить, какие из следующих событий являются невозможными, достоверными, противоположными:

достали пронумерованный шар (А);

достали шар с четным номером (В);

достали шар с нечетным номером (С);

достали шар без номера (Д).

Какие из них образуют полную группу?

Решение. А - достоверное событие; Д - невозможное событие;

В и С - противоположные события.

Полную группу событий составляют А и Д, В и С.

VI. Классическое определение вероятности.

Число, являющееся выражением меры объективной возможности наступления события, называется вероятностью этого события и обозначается символом  Р(А).

Определение. Вероятностью события А называется отношение числа исходов m, благоприятствующих наступлению данного события А, к числу n всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), т.е.

.

Следовательно, для нахождения вероятности события необходимо, рассмотрев различные исходы испытания, подсчитать все возможные несовместные исходы n, выбрать число интересующих нас исходов m и вычислить отношение m к n.

Из этого определения вытекают следующие свойства:

1. Вероятность любого испытания есть неотрицательное число, не превосходящее единицы.

Действительно, число m искомых событий заключено в пределах . Разделив обе части на n, получим

.

2. Вероятность достоверного события равна единице, т.к. .

3. Вероятность невозможного события равна нулю, поскольку .

Задача.  В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?

Решение. Общее число различных исходов есть n=1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m=200. Согласно формуле, получим

        .        

VII. Статистическое определение вероятности.

Определение. Статистической вероятностью события A называется относительная частота появления этого события в n приведенных испытаниях:

W(A)=m:n

Величина W(A) является опытной, экспериментальной.

Статистическое определение вероятности применяется к событиям, обладающим определёнными свойствами:

1. События должны быть исходами испытаний, которые можно повторить неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий.

2. Число испытаний, в результате которых появляется событие А, должно быть большим.

3. События должны обладать статистической устойчивостью.

Французский естествоиспытатель Бюффон в XVIII в. и английский статистик Пирсон в XX в. пришли к следующим результатам:

Видно, что при n→∞ относительная частота m/n≈0,5. Этот результат был получен и по классическому определению вероятности.

Такая устойчивость имеет место не только при бросании монеты, но и при выпадении определенного числа очков на игральных кубиках, рождения мальчиков или девочек.

6. Закрепление новых знаний. Решение задач.

Задача 1. В доме 100 квартир. Наугад выбирается одна из них. Какова вероятность того, что на двери выбранной квартиры вы увидите цифру 5? Решение: Пусть А – "номер наугад выбранной квартиры содержит цифру 5. Тогда Р(А)=19/100.

Задача 2. Бросаются одновременно 2 монеты. Какова вероятность, что обе монеты упадут гербом кверху?

Решение: Пусть событие А – «при бросании 2 монет выпадут 2 герба». В результате испытания возможны 4 события: «ГГ», «ГЦ», «ЦГ» и «ЦЦ» Все они несовместные, равновозможные и элементарные. Событию А благоприятствует 1 событие: «ГГ». Поэтому 

Резервные задачи

3. Среди 50 деталей 5 нестандартных. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется стандартной, т.е. без брака? Ответ: 0,9

4. Из слова "математика" выбирается наугад одна буква. Какова вероятность того, что это будет буква "а"? Ответ: 0,3

5. Из слова "математика" выбирается наугад одна буква. Какова         вероятность того, что это будет буква "т"? Ответ: 0,2

7. Рефлексия учебной деятельности

Презентация кроссворда, подготовленная студенткой Суминой Ариной в рамках самостоятельной внеаудиторной работы.    

 Вопросы:

1. Раздел математики, в котором решаются задачи на составление различных комбинаций из конечного числа элементов и подсчёт всех возможных таких комбинаций?
2. Случайная величина, принимающая значения из интервалов?
3. Число, которое выражает степень уверенности в наступлении того  или иного события?
4. Единственное событие из всех возможных событий, которым вы интересуетесь, это _________ событие
5. Полная система событий может состоять из двух событий, называемых __________ ?
6. Теория вероятностей есть раздел математики, в котором изучаются случайные явления (события) и выявляются _________ при массовом их повторении?

Ответы:

1. Комбинаторика
2. Непрерывная
3. Вероятность
4. Искомое
5. Противоположные
6. Закономерность

8. Задание на дом:

1. Повторить конспект по теме «Классическое и статистическое определения вероятности».
2. Решить предложенные задачи  из «Методических указаний к самостоятельным работам по математике».

Самостоятельная работа

Решить задачи:

Задача 1.

В корзине 10 шаров, 7 из которых белых. Какова вероятность того, что наудачу извлечённый из корзины шар окажется белым?

Ответ: Р (А) = 0,7.

Задача 2.

Из 25 вопросов программы студент знает ответ на 15 вопросов. Наугад выбирается 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент сможет ответить на все выбранные вопросы?

Ответ: Р (А) = 0,198.

Задача 3.

В коробке 3 кубика: черный (ч), красный (к), синий (с). Вытаскивая кубики наугад, мы ставим их последовательно один за другим. Какова вероятность того, что в результате появится последовательность кубиков «ч, к, с»?

Ответ: 1/6.

Задача 4.

Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадут 3 очка?
Ответ: 1/6

Задача 5.

В урне 20 шаров: 8 белых, 7 синих, 5 черных. Какова вероятность того, что взятый наугад шар окажется цветным?

Ответ: 0,6

9. Итог учебного занятия

Сегодня мы с вами рассмотрели вопросы:

Что такое математическая статистика?

Что изучает теория вероятностей?

Узнали об истории теории вероятностей.

Познакомились с элементами комбинаторики.

Узнали определение случайного события и виды событий.

Познакомились с классическим и статистическим определениями вероятности.

Научились решать простейшие задачи по теории вероятностей.

Подготовились к изучению на будущий учебный год новой дисциплины – статистики.

А на следующем учебном занятии мы изучим теоремы вероятностей и научимся решать задачи с применением этих теорем.

(Далее объявляются оценки за урок).

Рефлексия

Вероятность того, что выйдя из стен колледжа, вы будете заниматься научно-исследовательской деятельностью, небольшая. И это событие случайное, Но то, что вы будете встречаться с математикой в повседневной жизни и в профессиональной деятельности – событие достоверное и его вероятность равна 1.

И мне хочется надеяться, что та логика, которая связала сегодня рассмотренные вопросы и задачи, вас поразила или хотя бы удивила. Иначе и быть не может: восхождение на новую вершину никого не оставит равнодушным! Мы замечаем и ценим красивые картины, скульптуры т. д. Но и в математике есть своя красота, притягивающая и завораживающая – красота логики. Прав был Ломоносов, утверждая: “Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит”.

Выбор студентами цветных прямоугольников:

При выходе из аудитории каждый студент выбирает прямоугольник по цвету, соответствующему надписям: 1) красный – «всё понятно и усвоено»; 2) синий – «трудно и не всё понятно»; 3) чёрный – «не понятно и не усвоено».

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Проверка ранее усвоенных знаний (письменная работа по карточкам)

I вариант

1.Определения среднего арифметического, размаха.

2.Приведён рост (в см) пяти человек: 163, 183, 172, 180, 172. Найти среднее арифметическое, моду, медиану.

II вариант

1.Определения моды, медианы.

2. Приведён рост (в см) пяти человек: 187, 162, 171, 162, 183. Найти среднее арифметическое, моду, медиану.

Приложение 2

Проверочный лист

Ответы на письменную работу по карточкам:

I вариант

1. Среднее арифметическое набора чисел – это сумма всех чисел, делённая на их количество.

Размах – разность между наибольшим и наименьшим значением данных в наборе.

2.  а) 174; б) 172; в) 172

II вариант

1. Мода – наиболее часто встречающееся в числовом ряду значение.

Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине; а медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.

2. а) 173; б) 162; в) 171

Приложение 3

Конкурс «Кто первый»

Заполните кроссворд:

 Вопросы:

7. Раздел математики, в котором решаются задачи на составление различных комбинаций из конечного числа элементов и подсчёт всех возможных таких комбинаций?
8. Случайная величина, принимающая значения из интервалов?
9. Число, которое выражает степень уверенности в наступлении того  или иного события?
10. Единственное событие из всех возможных событий, которым вы интересуетесь, это _________ событие
11. Полная система событий может состоять из двух событий, называемых __________ ?
12. Теория вероятностей есть раздел математики, в котором изучаются случайные явления (события) и выявляются _________ при массовом их повторении?

Ответы:

7. Комбинаторика
8. Непрерывная
9. Вероятность
10. Искомое
11. Противоположные
12. Закономерность

Приложение 4

Самостоятельная работа

Решить задачи:

Задача 1.

В корзине 10 шаров, 7 из которых белых. Какова вероятность того, что наудачу извлечённый из корзины шар окажется белым?

Ответ: Р (А) = 0,7.

Задача 2.

Из 25 вопросов программы студент знает ответ на 15 вопросов. Наугад выбирается 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент сможет ответить на все выбранные вопросы?

Ответ: Р (А) = 0,198.

Задача 3.

В коробке 3 кубика: черный (ч), красный (к), синий (с). Вытаскивая кубики наугад, мы ставим их последовательно один за другим. Какова вероятность того, что в результате появится последовательность кубиков «ч, к, с»?

Ответ: 1/6.

Задача 4.

Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадут 3 очка?
Ответ: 1/6

Задача 5.

В урне 20 шаров: 8 белых, 7 синих, 5 черных. Какова вероятность того, что взятый наугад шар окажется цветным?

Ответ: 0,6

Приложение 5

Оценочный лист

Приложение 6

Плакат

«Сочетая строгость научных доказательств с неопределённостью случая и примеряя казалось бы противоположные вещи, и, извлекая её (новой науки имя) из того и другого, можно по праву присвоить ей ошеломляющее название геометрия случая»

Блез Паскаль

Приложение 7

Резервные задачи

3. Среди 50 деталей 5 нестандартных. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется стандартной, т.е. без брака? Ответ: 0,9

4. Из слова "математика" выбирается наугад одна буква. Какова вероятность того, что это будет буква "а"? Ответ: 0,3

5. Из слова "математика" выбирается наугад одна буква. Какова         вероятность того, что это будет буква "т"? Ответ: 0,2

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Основная:

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа, 2019. –  495 с.
2. Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике для техникумов / И.Л.Соловейчик, В.Т. Лисичкин. – М.: Оникс 21 век, 2018. – 464 с.
3. Валуцэ И.И. Математика для техникумов / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул. -  М.: Наука, 2017. – 575 с.
4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В двух частях. Часть II / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. –  М.: Высшая школа, 2012. – 415 с.
5. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1975. – 872 с.

Дополнительная:

6. Григулецкий В.Г. Математика для студентов экономических специальностей. Часть 2 / В.Г. Григулецкий, И.В. Лукьянова, И.А. Петунина. –  Краснодар, 2012. – 348 с.
7. Малыхин В.И.  Математика в экономике. – М.: Инфра-М, 2014. – 356 с.
8. Гусак А.А. Высшая математика. В 2-х т., Т.2. –  учебное пособие для студентов вузов. –  М.: ТетраСистемс, 1988. – 448 с.
9. Григулецкий В.Г. Высшая математика / В.Г. Григулецкий,  З.В. Ященко. – Краснодар, 1998.-186 с.
10.  Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2000. – 400 с.

Интернет-ресурсы:

• http://www.qooqle.com. ru
• .HTM http://www.exponenta.ru/educat/class/test/15/pravmngr.asp http://www.nips.riss-telecom.ru/poly/uniform/nonconvex/
• http://vschool.km.ru/education_lesson.asp?ur=1&dur=6&sur=10&ssur=3&sssur=7&lang=2

САМОАНАЛИЗ УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Дисциплина: БД.04. Математика.

Раздел 7.: Элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики.

Группа: ЭБУ – 11КО, очная форма.

Тема урока: Классическое и статистическое определения вероятности.

Данное учебное занятие является продолжением изученных тем 7.1. - 7.4.

Цели учебного занятия: использование студентами полученных знаний для достижения целостного представления об изучаемых дисциплинах и их применение в бытовой жизни. .Получение представлений об изучаемой теме, её основных понятиях.

Тип урока: лекция-беседа (информация и визуализация), урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Форма урока: комбинированный урок (лекция с постановкой проблемных вопросов и практические задания).

Методика обучения: развивающее обучение.

1. Обеспечение в ходе занятия усвоения следующих основных понятий: математическая статистика, теория вероятностей, элементы комбинаторики, события, их виды, вероятность события, теоремы сложения и умножения вероятностей.

2. Создание условий для формирования основных мировоззренческих идей: причинно-следственных связей, вероятностно - статистического мышления.

3. Развитие познавательного интереса, мотивации через применение занимательных задач и примеров.

Лекция строится на сочетании этапов учебного занятия:

организации;

постановки цели;

сообщении знаний преподавателем и усвоении их учащимися;

определении домашнего задания.

Методы, используемые на уроке: перцептивные (словесный, индуктивный, практический), логические и гностические..

Мною предусматривалась подача материала с элементами занимательности, историческими справками. Рационально распределено время на всех этапах учебного занятия. Темп занятия соответствовал уровню развития и подготовленности студентов.

 При подготовке к занятию задумывался диалог между преподавателем и студентами, т. е. применялись активные формы обучения для эффективного проведения урока и его результатов. Обучающиеся на уроке проявляли активность, самостоятельно приходили к выводу.

Учебное занятие способствовало формированию основных мировоззренческих идей, вероятностно-статистического мышления, умения выделять межпредметные связи.

Содержание учебного занятия способствовало развитию интереса к учению, о чем свидетельствует рефлексивный этап.

Методическая цель урока достигнута. Форма учебного занятия помогла использовать студентами полученные знания для достижения целостного представления об изучаемой дисциплине и её применение в бытовой жизни.

Цели, поставленные на учебном занятии, достигнуты.