Учебно - методическая разработка "Стереометрия в зачётах"

Федеральное агентство морского и речного транспорта

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Государственный университет морского и речного флота

имени адмирала С.О. Макарова»

Печорское речное училище –

филиал ФГБОУ ВО «ГУМРФ имени адмирала С.О. Макарова»

Учебно-методический комплекс дисциплины

ОУД.03 Математика

МАТЕМАТИКА

«Стереометрия в зачётах»

КОМПЛЕКТ КОНТРОЛЬНО – ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ

ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ В ФОРМЕ ЗАЧЁТОВ ПО РАЗДЕЛАМ XI - XIII

ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ 1 КУРСА ДНЕВНОГО ОТДЕЛЕНИЯ

СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ: 26.02.03 «СУДОВОЖДЕНИЕ»

 углублённой подготовки, 26.02.05 «ЭКСПЛУАТАЦИЯ СУДОВЫХ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УСТАНОВОК» базовой подготовки, 26.02.06 «ЭКСПЛУАТАЦИЯ СУДОВОГО ЭЛЕКТРООБОРУДОВАНИЯ И СРЕДСТВ АВТОМАТИКИ» базовой подготовки

Печора, 2017 г.

Стахиряк Е. И.

Математика: Комплект контрольно-оценочных средств для проведения промежуточной аттестации в форме зачётов по стереометрии – Печора, 2017 г. – 29 с. – В учебном пособии представлены контрольно-оценочные средства для проведения зачетов по разделам: XI «Прямые и плоскости в пространстве», XII «Геометрические тела и поверхности», XIII «Объёмы и площади поверхностей геометрических тел» по дисциплине «Математика».

Данные методические указания рекомендованы для учащихся 1 курса очной формы обучения специальностей: 26.02.03 «Судовождение» углублённой подготовки, 26.02.05 «Эксплуатация судовых энергетических установок» базовой подготовки, 26.02.06 «Эксплуатация судового электрооборудования и средств автоматики» с целью наилучшего усвоения учебного материала по стереометрии.

Рассмотрена на заседании ПЦК общетехнических дисциплин, протокол № ____ от « ___» ________2017 г.

Составитель: Стахиряк Елена Игоревна, преподаватель высшей категории ФГБОУ ВО «ГУМРФ имени адмирала С.О. Макарова»

Аннотация

1.1. Нормативная база

Комплект контрольно-оценочных средств для проведения промежуточной аттестации в форме зачетов по стереометрии по дисциплине ОУД.03 «Математика» разработан на основании следующих нормативных документов:

- программы подготовки специалистов среднего звена (далее ППССЗ), федерального государственного образовательного стандарта (далее – ФГОС) по специальностям среднего профессионального образования (далее – СПО): 26.02.03 «Судовождение» углублённой подготовки, 26.02.05 «Эксплуатация судовых энергетических установок» базовой подготовки, 26.02.06 «Эксплуатация судового электрооборудования и средств автоматики».

– рабочей программы учебной дисциплины ОУД.03 « Математика».

1.2 Общие положения

Зачёты по разделам XI – XIII (Стереометрия) по учебной дисциплине «Математика» проводятся за счет учебного времени, выделяемого ППСЗ ФГОС СПО.

Содержание контрольных материалов отвечает требованиям к уровню подготовки обучающихся, предусмотренных ППСЗ ФГОС СПО.

Зачеты по стереометрии по учебной дисциплине «Математика» проводится с использованием материалов в виде теоретических вопросов и задач.

Каждый зачет оценивается в баллах. Результаты зачета по стереометрии по учебной дисциплине «Математика» признаются удовлетворительными в том случае, если обучающийся получил за выполненные задания отметку не ниже «3» по пятибалльной шкале.

Содержание

Пояснительная записка                                                                        5 стр.

1. Введение                                                                                        7 стр.

2 .Критерии оценок                                                                         8 стр.        

3. Преимущества выбранной  системы зачётов                                        9 стр.        

Зачёт № 1                                                                                        10 стр.

Зачёт № 2                                                                                        12 стр.

Зачёт № 3                                                                                        14 стр.

Зачёт № 4                                                                                        16 стр.

Зачёт № 5                                                                                        18 стр.

Зачёт № 6                                                                                        21 стр.

Зачёт № 7                                                                                         24 стр.

Зачёт № 8                                                                                        27 стр.

Использованная литература                                                                29 стр.

                                        Пояснительная записка 

                                                «Геометрия есть поэзия всего сущего»

        Платон.

        Основная задача обучения математике в среднем специальном учебном заведении – обеспечить прочное и сознательное овладение студентами системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

Стереометрия является частью геометрии, которая в свою очередь является разделом дисциплины «Математика». Стереометрия существенно расширяет кругозор студентов, знакомит их со свойствами фигур в пространстве, развивает пространственное и логическое мышление.

В результате изучения стереометрии студент должен:

иметь представление:

• о роли стереометрии при изучении математики, общности её понятий и представлений;
• о логической структуре геометрии;

знать:

• свойства фигур в пространстве;
• основные математические формулы для вычисления поверхностей и объёмов геометрических тел;
• основные понятия стереометрии.

уметь:

• использовать математические методы при решении геометрических задач.

При изучении дисциплины обращается внимание студентов на её прикладной характер, на то, где и когда теоретические положения и практические навыки могут быть использованы в будущей практической деятельности. Изучение материала ведётся в форме, доступной пониманию студентов. Соблюдается преемственность в обучении, единство терминологии и обозначений в соответствии с действующими государственными стандартами.

При проведении занятий:

• используются учебные пособия, технические и наглядные средства обучения;
• проводится несложные дедуктивные и индуктивные методы обучения;
• обосновываются шаги решения задач;
• формируются определения геометрических понятий;
• проводится обучение пользоваться математической символикой и терминологией; письменно оформлять решение задач;
• формулировать на математическом языке несложные прикладные геометрические задачи;
•  пользоваться калькулятором; самостоятельно изучать учебный материал.

1. Введение

Проведение зачётов по математике – определённый этап работы в условиях применения лекционно-семинарской методики преподавания.

Однако зачёты по отдельным темам можно проводить и без применения этой системы в целом.

Материалы к зачётам содержат основные теоретические вопросы программы, задачи на уровне обязательных результатов обучения, некоторые типичные задачи, имеющие большую образовательную ценность.

Цикл таких уроков предусматривает:

1. Самостоятельное изучение теоретического материала по учебнику и конспектирование его. Разрешается обращаться за помощью к  своим товарищам, консультантам, а также к преподавателю.
2. Решение задач самостоятельно, коллективно, с консультантом. Трудные задачи решаются с преподавателем.
3. В случае необходимости работа с отдельными учащимися может быть продолжена во внеурочное время на консультациях.
4.  Некоторые медленно работающие учащиеся продолжают работу дома.

2. Критерии оценок

        На зачёте заслушиваются ответы всех учащихся. При этом работа каждого учащегося оценивается по следующим критериям оценок:

1. Оценка «3» выставляется в том случае, если законспектированы все вопросы, решены все задачи и по записям учащийся может разъяснить любой вопрос.
2. Оценка «4» выставляется в том случае, если выполнены условия пункта 1) и учащийся может разъяснить любой вопрос, выпавший по жребию, без конспекта.
3. Оценка «5» ставится в том случае, если выполнены условия пункта 2) и учащийся может решить любую задачу третьего уровня сложности, выпавшую по жребию, из газеты «Математика» Приложение к газете «Первое сентября» по теме зачёта.

Замечания.

1. Повышенную оценку, на которую претендует, учащийся выбирает сам. В случае неподтвеждения выбора оценки, ставится оценка на один балл меньше.
2. Оценка «2» ставится в том случае, если учащийся не уложился в отведённое на тему зачёта время.
3. Оценку «2» можно исправить во внеурочное время на консультациях.
4. Учащийся, сдавший зачёт по теме, освобождается от занятий, отведённых на данную тему, либо готовится к зачётам по следующим темам.
5. Учащийся, сдавший зачёты по всем темам, освобождается от занятий до контрольной работы.

 3. Преимущества выбранной системы зачётов

1. Учащиеся работают индивидуально.
2. Учащиеся учатся самостоятельно добывать знания.
3. Учащийся сам выбирает методы и формы решения задач.
4. Каждый учащийся выбирает свои темы работы.
5. Отсутствие домашнего задания. Учащийся волен: продолжать дома подготовку к следующим зачётам или нет.

Зачёт № 1

 «Аксиомы стереометрии и их следствия. Параллельность прямой и плоскости»

1. Сформулировать аксиомы стереометрии. Разъяснить их смысл.

2. Через концы отрезка АВ и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках А, В, М. Найти длину отрезка АА, если ММ = 6,3 см, ВВ= 10,5 см

3. Доказать, что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, причем только одну.

4. Отрезок АВ пересекает плоскость Z . Через конца отрезка и его середину М проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках А, В, М.Найти длину отрезка ММ, если  АА = 5,7 см, ВВ= 8,5 см.

5. Доказать, что если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая  принадлежит этой плоскости.

6. Через конец А отрезка проведена плоскость. Через конец В и точку С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках В и С,. Найти длину отрезка СС, если ВС: СА = 2: 5., ВВ= 4,9 см.

7. Доказать, что через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, притом только одну.

8. Дан пространственный четырёхугольник АВСД, АС=10см, МАВ, АМ:ВМ = 1:4, К ВС, СК:КВ=1:4, Р и Е – середины сторон АД и ДС. Доказать, что четырехугольник МКЕР – трапеция и вычислить длину её основания МК.

9. Рассказать о взаимном расположении прямой и плоскости.

10. Даны: параллелограмм АВСД и непересекающая его плоскость. Через вершины параллелограмма проведены параллельные прямые, пересекающие данную плоскость в точках А, В, С, Д. Найти длину отрезка СС, если АА= 3 см, ВВ= 6 см, ДД=8 см.

11. Доказать признак параллельности прямой и плоскости.

12. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой ВС, пересекает сторону АВ в точке В, а сторону АС – в точке С. Найти длину отрезка ВС, если ВС = 6,3 см, ВВ: ВА= 3 : 4.

Зачёт № 2

«Параллельность плоскостей .Изображение пространственных фигур на плоскости»

1) Рассказать о взаимном расположении двух плоскостей. Доказать признак параллельности двух плоскостей.

2) Через точку М, лежащую между параллельными плоскостями g и q, проведены прямые е и к. Прямая е  пересекает плоскости g и q в точках С и Д соответственно, прямая к - точках С1 и Д1. Найти длину отрезка СС1, если СД : СМ = 7 : 2, ДД1 = 10 см.

3) Доказать теорему о единственности плоскости, проходящей через данную точку параллельно данной плоскости.

4) Через точку К, не лежащую между параллельными плоскостями g и q, проведены прямые l и m. Прямая l пересекает плоскости g и q в точках А1 и А2 соответственно, прямая m – точках В1 и В2. Найти длину отрезка А2В2, если КА1 : А1А2 = 2 : 3, А1В1= 8 см.

5)Доказать свойства линий пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью.

6) Дан куб АВСДА1В1С1Д1. Доказать, что плоскость проведённая через середину рёбер АВ, ВС и ВВ1 параллельна плоскости АСВ1. Вычислить периметр треугольника АСВ1, если ребро куба 2 см.

7) Доказать свойство отрезков параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями.

8) Через точку Е, не лежащую между параллельными плоскостями n  и х, проведены три прямые, которые пересекают плоскость n в точках А, В, С, а плоскость х- в точках А1В1С1. Известно, что ЕА = АА1 и площадь треугольника АВС равна 6 кв.см. Найти площадь треугольника А1В1С1.

9) Рассказать об изображении пространственных фигур на плоскости; сформулировать свойства изображения фигуры на плоскости.

10) Плоскости r и u параллельны. Через точки А и В плоскости r проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость u в точках А1 и В1. Найти длину отрезка АВ, если А1В1 = 10 см.

Зачёт № 3

«Перпендикулярность прямой и плоскости»

1) Сформулировать определение перпендикулярности прямой и плоскости. Доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости.

2) Точка М одинаково удалена  от всех сторон треугольника АВС. Расстояние от точки М до его плоскости равно12 см, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 5 см. Найти расстояние от точки М до сторон треугольника.

3) Доказать теорему о плоскости, перпендикулярную одной из двух параллельных прямых.

4) Точка М одинаково удалена от сторон правильного шестиугольника, сторона которого равна 6 см. расстояние от точки М до плоскости шестиугольника равно 36 см. Найти расстояние от точки М до каждой стороны шестиугольника.

5)Доказать теорему о двух прямых, перпендикулярных одной и той же плоскости.

6) Точка, равноудаленная от всех вершин прямоугольника, находится на расстоянии 8 см от его плоскости. Найти расстояние от этой точки до вершин прямоугольника, если его меньшая сторона равна 8 см, а диагональ образует с большей стороной угол 300.

7) Доказать теорему о трех перпендикулярах.

8) Из точка А проведены к плоскости наклонные АВ и АС, длиной 12 см и 12 см. Найти длины проекций наклонных, если одна из них на 10 см больше другой.

9) Доказать теорему, обратную теореме о трёх перпендикулярах.

10) Из точки к плоскости проведены две наклонные длиной 12 и 24 см, проекции которых относятся как 1:7. Найти расстояние от точки до плоскости.

Зачёт № 4

«Перпендикулярность плоскостей»

1. Сформулировать определение перпендикулярности двух плоскостей. Доказать признак перпендикулярности двух плоскостей.

2. Стороны прямоугольника АВСД равны 6 см и 63 см. К плоскости прямоугольника через точку пересечения его диагоналей проведен перпендикуляр ОК длиной 6 см. Найти углы между плоскостью прямоугольника и прямыми КА, КВ, КС и КД.

3. Доказать, что перпендикуляр из любой точки одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей к линии их пересечения есть перпендикуляр к другой плоскости.

4. Прямоугольники АВСД и АВМК лежат в разных плоскостях. Сумма их периметров равна 46 см. АК=6 см, ВС=5 см. Найти расстояние между прямыми АК и ВС.

5. Сформулировать определение угла между прямой и плоскостью, определение угла между плоскостями. Доказать, что угол между плоскостями не зависит от выбора секущей плоскости.

6. Концы отрезка АВ, равного 25 см, расположены в перпендикулярных плоскостях Q и Z и удалены от линий их пересечения соответственно на 15 см и 7 см. Найти длины проекций отрезка АВ на данные плоскости.

7. Доказать теорему о площади ортогональной проекции многоугольника.

8. Через вершину острого угла прямоугольного треугольника АВС проведен перпендикуляр АД к его плоскости. АД= 6 см, угол АСВ=900 , угол АВС=300. Угол между плоскостями ВСД и АВС равен 600. Вычислить:

1) Угол между плоскостями ВАД и САД; 2) длины наклонных ДС и ДВ.

9. Расстояние между скрещивающимися прямыми.

10. Диагонали ромба АВСД 20 и 14 см. Через сторону ромба проведена плоскость Y под углом 600 к плоскости ромба. Найти площадь проекции ромба на плоскость Y.

Зачёт № 5

«Многогранники, их общие свойства. Поверхность призмы и пирамиды»

1. Определение двугранного угла, его элементы. Линейный угол.

2. По данной стороне основания 3 см и высоте 5 см найти боковое ребро и апофему правильной треугольной пирамиды.

3. Понятие трехгранного и многогранного углов. Их элементы.

4. Через точку, которая делит высоту пирамиды в отношении 2 : 3, проведено сечение, параллельное основанию. Площадь сечения на 10 кв. см меньше основания. Найти площадь сечения.

5. Определения многогранника и его элементы.

6. По данной стороне основания 3 см и высоте 5 см найти боковое ребро и апофему правильной четырехугольной пирамиды.

7. Определения  призмы и её элементов. Диагональное сечение. Виды призм.

8. Скат крыши образует с плоскостью чердака двугранный угол 400, ширина чердака 15 м. На какой высоте от плоскости чердака лежит гребень крыши?

9. Определения параллелепипеда. Виды параллелепипеда. Свойство диагонали прямоугольного параллелепипеда.

10. По данной стороне основания 3 см и высоте 5 см найти боковое ребро и апофему правильной шестиугольной пирамиды.

11. Свойства граней и диагоналей произвольного параллелепипеда.

12. Можно ли составить трехгранный угол с такими плоскими углами: а) 1250, 800,310; б) 720, 560, 380; в) 1500, 1400, 800?

13. Определение пирамиды и её элементов. Правильная пирамида.

14. По данной стороне основания 3 см и боковому ребру 5 см определить высоту и апофему правильной треугольной пирамиды.

15. Доказать теорему о сечении пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

16. Найти диагональ правильной четырехугольной призмы, у которой площадь основания равна 450 кв. см, а боковое ребро 40 см.

17. По данной стороне основания 3 см и боковому ребру 5 см определить высоту и апофему правильной четырехугольной пирамиды.

18. Определения правильного многогранника. Виды правильных многогранников, их чертежи.

19. Площадь основания пирамиды 224 кв. см, а площадь параллельного ему сечения – 14 кв.см. Расстояние между ними 27 см. Найти высоту пирамиды.

20. Доказать теорему о площади боковой поверхности прямой призмы.

21. По данной стороне основания 3 см и боковому ребру 5 см определить высоту и апофему правильной шестиугольной пирамиды.

22. Доказать теорему о площади боковой поверхности наклонной призмы.

23. В правильной усеченной треугольной пирамиде стороны основания равны 5 дм и 11 дм, а боковое ребро 4 дм. Найти высоту и апофему пирамиды.

24. Доказать теорему о площади боковой поверхности правильной пирамиды.

25. Боковая поверхность правильной шестиугольной призмы равна 48 кв. дм. Найти площади диагональных сечений.

26. Доказать формулу площади боковой поверхности правильной  усечённой пирамиды.

27. Задача о проекции вершины пирамиды в центр окружности, вписанной в её основание.

28.Стороны основания правильной четырехугольной усеченной пирамиды 10 см и 6 см, а апофема 15 см. Вычислить полную поверхность.

29. Задача о проекции вершины пирамиды в центр окружности, описанной около её основания.

Зачёт № 6

«Тела вращения, их общие свойства»

1. Сформулировать определение цилиндра. Доказать теорему о пересечении цилиндра плоскостью, перпендикулярной его оси.

2. Высота конуса 10 см. Угол между высотой и образующей конуса 450. Найти площадь сечения конуса плоскостью, проведённой через две образующие, угол между которыми 300 

3. Радиус шара равен R. Найти площадь диагонального сечения, вписанного куба.

4. Сформулировать определение конуса. Доказать теорему о пересечении конуса плоскостью, перпендикулярной его оси.

5. Радиус шара 12 см. Через конец радиуса проведена плоскость под углом 450 к нему. Найти площадь сечения.

6. Ребро куба равно «А». Найти площадь осевого сечения описанного цилиндра.

7. Сформулировать определение шара. Доказать теорему о сечении шара плоскостью.

8. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, отсекает от окружности дугу в 1200. Найти площадь сечения, если высота цилиндра равна 7 см, а расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью равно 2 см.

9. Образующая конуса 13 см. В конце вписана пирамида, основанием которой служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Найти высоту пирамиды.

10. Доказать свойство диаметральной плоскости шара.

11. Диагональ осевого сечения равностороннего цилиндра равна 8 см. Найти площадь его основания.

12. Образующая конуса 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 600. Найти боковую поверхность вписанной правильной треугольной пирамиды.

13. Сформулировать определение касательной плоскости к сфере. Доказать свойство касательной плоскости.

14. Радиусы оснований усечённого конуса 6 и 2 см, образующая наклонена к основанию под углом 600. Найти высоту и образующую конуса.

15. Площадь осевого сечения равностороннего цилиндра равна 16 см2. Найти боковую поверхность вписанной правильной шестиугольной призмы.

16. Доказать свойство касательных прямых, проведенных к сфере в произвольной её точке.

17. Каждое ребро правильной треугольной призмы равно «а». Найти площадь осевого сечения вписанного цилиндра.

18. Через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 600, проведено сечение, составляющее с плоскостью основания угол в 450. Найти площадь сечения, если радиус основания равен 4 см.

Зачёт № 7

«Объёмы многогранников»

1. Рассказать о понятии объёма в курсе геометрии. Записать формулу объёма прямоугольного параллелепипеда. Доказать.

2. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды 4 см и наклонено к её основанию под углом 600. Найти:

а) объёмы пирамиды;

б) радиус описанного шара;

        в) двугранный угол при стороне основания пирамиды.

3. Доказать формулу объёма наклонного параллелепипеда.

4. Диагональ осевого сечения равностороннего цилиндра равна «4».

Найти:

а) высоту цилиндра;

б) объём вписанной правильной шестиугольной призмы;

в) площадь меньшего диагонального сечения призмы.

5.Доказать, что объём любой призмы равен произведению площади её основания на высоту.

6. В равносторонний конус, радиус основания которого равен «R», вписана правильная четырёхугольная пирамида.

Найти:

а) высоту конуса;

б) объём пирамиды;

в) двугранный угол при стороне основания пирамиды.

7. Доказать, что объём наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на боковое ребро.

8. Диагональ правильной четырехугольной призмы 10 см и образует с плоскостью боковой грани угол 300.

Найти:

а) объём призмы;

б) радиус основания вписанного в призму цилиндра;

в) площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания.

9. Записать формулу вычисления объёмов тел при помощи интеграла, разъяснить её смысл.

10. Высота цилиндра 10 см. В него вписана треугольная призма, стороны основания которой 12, 16, 20 см.

Найти:

а) радиус основания цилиндра;

б) объём призмы;

в) площадь сечения призмы плоскостью, проведенной через меньшую сторону основания и противоположную вершину верхнего основания.

11. Вывести формулу объёма пирамиды.

12. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды «2а». Двугранный угол при основании 600.

Найти:

а) объём пирамиды;

б) образующую вписанного конуса;

в) площадь сечения пирамиды плоскостью, проведенной через её вершину и меньшую диагональ основания.

13. Вывести формулу объёма усечённой пирамиды.

14. Ребро правильного тетраэдра - 6см.

Найти:

а) объём тетраэдра;

б) радиус основания описанного конуса;

в) двугранный угол при боковом ребре тетраэдра.

Зачёт № 8

« Объёмы и поверхности тел вращения»

1. Доказать теорему об объёме цилиндра.

2. Каждое ребро правильного тетраэдра «а». Найти объём и поверхность вписанного конуса.

3. Доказать теорему об объёме конуса.

4. Диагональ правильной четырёхугольной призмы а и образует с плоскостью боковой грани угол «». Найти объём и боковую поверхность описанного цилиндра.

5. Вывести формулу объема усеченного конуса.

6.Образующая равностороннего конуса «а». Найти поверхность и объём описанного шара.

7. Вывести формулу объема шара.

8. Сторона основания правильной треугольной пирамиды «а». Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом «». Найти объём и боковую поверхность описанного конуса.

9. Вывести формулу поверхности цилиндра.

10. В треугольнике АВС АВ = 2а, ВС = а, угол АВС = 1200. Этот треугольник вращается около стороны АВ. Найти объём и поверхность полученного тела.

11. Вывести формулу поверхности конуса.

12. Угол между диагоналями развёртки боковой поверхности цилиндра равен «2», длина диагонали равна «а». Найти объём и боковую поверхность цилиндра.

13. Вывести формулу площади сферы.

14. Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна «а», а двугранный угол при стороне основания «». Найти объём и поверхность вписанного конуса.

15. Вывести формулу объема шарового сегмента.

16. Радиусы оснований усечённого конуса «R» и «r», образующая наклонена к основанию под углом 450. Найти объём.

17. Вывести формулу объема шарового сектора.

18 Площадь основания конуса «S», а образующие наклонены к основанию под углом «». Найти боковую поверхность конуса.

Использованная литература

1. А. В. Погорелов. Геометрия: Учеб. для 10 - 11 кл. общеобразоват. учреждений /  М.: Просвещение, 2013 г.

2. Геометрия, 10 – 11: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. – М. : Просвещение, 2014 г.

3. Математика, приложения к газете «Первое сентября» за 2010-2015 годы.