Олимпиады

Школьный этап всероссийской олимпиады школьников

по математике 2013 -2014 учебный год

10 класс

Задание 1

 Докажите, что число А – 34*35*А  делится на 41,           А - целое чиcло.

Задание 2

 В арифметической прогрессии известно,                        а2 + а5 + а11 = 24, а5 + а7 - целое число. Найти остаток от деления  а5 +а7 на 5.

Задание 3

Через точку D лежащую внутри треугольника ABC, проведены три прямые, параллельные его сторонам. При этом образовалось три треугольника, площади которых равны 4, 9, 16. Найти площадь треугольника ABC.

Задание 4

Решить систему уравнений
          (1)

Задание 5
Лист бумаги разрезали на 5 частей, некоторые из этих частей разрезали на 5 частей, и т. д. Может ли за некоторое число разрезаний получиться 2006 листка бумаги?

Школьный этап всероссийской олимпиады школьников

по математике 2013 -2014 учебный год

10 класс

Задание 1

 Докажите, что число А – 34*35*А  делится на 41,        А - целое чиcло.

Задание 2

 В арифметической прогрессии известно,                      а2 + а5 + а11 = 24, а5 + а7 - целое число. Найти остаток от деления  а5 +а7 на 5.

Задание 3

Через точку D лежащую внутри треугольника ABC, проведены три прямые, параллельные его сторонам. При этом образовалось три треугольника, площади которых равны 4, 9, 16. Найти площадь треугольника ABC.

Задание 4

Решить систему уравнений
          (1)

Задание 5
Лист бумаги разрезали на 5 частей, некоторые из этих частей разрезали на 5 частей, и т. д. Может ли за некоторое число разрезаний получиться 2006 листка бумаги?

Олимпиада по математике  для 10 класса (школьный этап)

1. Найти какое–нибудь целое положительное  число, которое само делится на 2009, и сумма его цифр делится на 2009.

2.  а – положительное число, b и с – отрицательные числа. Какое из чисел больше  или ?
3. Построить график функции    у = sin +  cos

4. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит противоположный катет на отрезки  4,5 см   и  7,5 см. Найти периметр треугольника.

5. У торговца есть весы с двумя чашами, гиря весом 1кг, а также достаточный запас сахара, соли и невесомых пакетов. За какое наименьшее число взвешиваний он сможет отвесить покупателю 50 кг сахара и 13 кг соли?

Олимпиада по математике  для 10 класса (школьный этап)

1. Найти какое–нибудь целое положительное  число, которое само делится на 2009, и сумма его цифр делится на 2009.

2.  а – положительное число, b и с – отрицательные числа. Какое из чисел больше  или ?
3. Построить график функции    у = sin +  cos

4. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит противоположный катет на отрезки  4,5 см   и  7,5 см. Найти периметр треугольника.

5. У торговца есть весы с двумя чашами, гиря весом 1кг, а также достаточный запас сахара, соли и невесомых пакетов. За какое наименьшее число взвешиваний он сможет отвесить покупателю 50 кг сахара и 13 кг соли?

Ответы и пояснения к решению заданий для 10 класса.

1. Это число, например, 20092009…2009 ( 2009 раз)
2. Второе число больше. ( Для доказательства рассмотреть разность первой и второй дроби и показать, что эта разность отрицательна).
3. Графиком этой функции будет график  у =1 для всех х, кроме х =2 и х = -2.
4. Периметр 36 см. ( Один из путей решения : Введя две переменные: х см –катет, у см – гипотенуза, составить и решить систему уравнений, опираясь на свойство биссектрисы угла треугольника и теорему Пифагора).
5. За шесть взвешиваний.