Творческие работы учащихся

«Повседневная жизнь и  график квадратичной функции»

Исследовательская работа

Номинация «Проект 9-11 классы»

Работу выполнила ученица 11 класса

МОУ «Чапаевская СОШ»

Краснобаева Виктория

Руководитель  работы учитель математики

МОУ «Чапаевская СОШ»

Джум Светлана Павловна

с. Грязное, 2015

Содержание

Введение

Актуальность:

Тема «Квадратичная функция и её график» является одной из самых актуальных. Она находит широкое применение в разных разделах математики, и других областях науки.  имеет теоретическую и практическую значимость. Ведь почти все, что окружает человека так или иначе связано с параболой. 

Объект исследования:  Квадратичная функция. 

Предмет исследования: График квадратичной функции – парабола.

Цели:

     1. Собрать в разных энциклопедических, научных, исторических источниках материал о параболах.           

     2. Изучить свойства парабол, её зависимость от задающей её функции.

     3. Обнаружить параболы в окружающем нас мире.

     4. Провести личное исследование.

Задачи:

1. Изучить теорию.
2. Составить историческую справку о параболах.
3. Описать параболы в окружающем нас мире и различных отраслях.
4. Провести собственное исследование.

Методы:

1. Наблюдение.
2. Теоретический.
3. Материальное моделирование.
4. Аналитический.

Гипотеза:

Параболу можно встретить везде и не только в объектах, созданных человеком, как, например, в фонтанах, бокалах и даже сёдлах для лошади, но и в самой природе, где не касалась рука человека: в виде горных хребтов, морских заливов и в другом большом количестве знакомых нам объектов.

1. Теоретическая часть

В 8 классе мы начали изучать квадратичную функцию , графиком которой является парабола. Мне стало интересно, для чего мы её изучаем, и где её можно увидеть.  Я обратилась к источникам дополнительной информации и открыла для себя много интересного. Оказалось, что парабола окружает нас повсюду. Анализируя полученную информацию я решила поделится ею и написать исследовательскую работу. И начала я с классического определения парабола.

1.1 Изучение и определение графика параболы

Пара́бола (греч. παραβολή — приложение) — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Парабола, заданная квадратичной функцией

Квадратичная функция   при  также является уравнением параболы и графически изображается той же параболой, что и  , но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам:

,   ,  где D= b2 - 4ac — дискриминант квадратного трёхчлена.

Ось симметрии параболы, заданной квадратичной функцией, проходит через вершину параллельно оси ординат. При a > 0 (a < 0) фокус лежит на этой оси над (под) вершиной на расстоянии 1/4a, а директриса — под (над) вершиной на таком же расстоянии и параллельна оси абсцисс. (Приложение 1 рис.1)

1.2.  Парабола в природе

• Когда мы прикладываем руку к уху, чтобы лучше слышать, мы неосознанно формируем параболу в трех измерениях (Приложение 2, рис.1).
• Цветы (Приложение 2,  рис. 2,3)
• Горные хребты (приложение 2,  рис. 6,7,8)
• Морские заливы (приложение 2, рис. 4,5)

1.3.  Парабола в архитектуре

Параболические формы можно встретить в архитектурных сооружениях.

· Использование математического знания о геометрии конических сечений наблюдается с древнейших времен. Вполне вероятно, что строители в прошлом пользовались в этой области знания интуитивно.

·Золотые ворота — один из немногих памятников оборонного зодчества Киевской Руси периода правления Ярослава Мудрого (Приложение 2, рис.9).

· Мост Золотые Ворота — висячий мост через пролив Золотые Ворота. Он соединяет город Сан-Франциско на севере полуострова Сан-Франциско и южную часть округа Марин, рядом с пригородом Саусалито. Мост Золотые Ворота был самым большим висячим мостом в мире с момента открытия в 1937 году и до 1964 года (Приложение 2,рис. 10,11,12).

· Благодаря своей отражающей способности параболы используют в постройке куполов дворцов и соборов, а также амфитеатров, чтобы зрители четко слышали актеров. (Приложение 2, рис.13,14,15,16).

·Архитектурные свойства арки в форме параболы делают ее идеальной математически. Перевернутая цепная линия – это арка, которая держит сама себя и не требует никаких дополнительных опор. Ворота Сент-Луиса в Миссури – прекрасный пример такой арки (Приложение 2, рис. 17).

· Знаменитый испанский архитектор Гауди обожал эту кривую и использовал во многих своих творениях, например, в Каса Мила в Барселоне (Приложение 2, рис. 18).

·Над Марсовым полем в Париже возвышается всемирная знаменитость - Эйфелева башня, символ торжества металла в конце XIX века. Башня с удивительной легкостью вздымает на 300 с лишним метров 7 тысяч тонн металлических конструкций, словно сплетенных в удивительное кружево. Эйфелева башня - не только украшение Парижа, но и телевизионная вышка.   (Приложение 2,рис. 19, 20).

·«Киевская» - станция Кольцевой линии Московского метрополитена. Открыта 14 марта 1954 года (Приложение 2, рис. 21).

· Стадион Фишт. На нем было открытие и закрытие XXII зимних олимпийских игр. А так же пройдут игры Чемпионата мира по футболу 2018г. (Приложение 2, рис.22).

1.4.  Парабола в повседневной жизни человека

• Телевизионная тарелка программ передач  (Приложение 2, рис. 23)
• Банан  (Приложение 2, рис. 24)
• Фонтаны (Приложение 2, рис. 28)
• Челюсть человека (Приложение 2, рис. 25)
• Бокалы (Приложение 2, рис. 27)
• Седло для лошади (Приложение 2, рис. 26)

Самое интересное для  меня показалось, где в седле заключается парабола.  Чтобы это выяснить я решила изучить строение и изготовление седла.

1.5.  История изобретения седла

Седло — часть снаряжения для езды и перевозки грузов на спине животного.

Главная задача седла для верховой езды заключается не только в создании максимального удобства для всадника, но и в защите спины животного. При езде без седла основной вес всадника приходится на седалищные кости, а седло перераспределяет нагрузку по лавкам седла, общая площадь которых больше площади соприкасающихся со спиной лошади седалищных костей всадника. Таким образом, несмотря на увеличение общей массы на спине лошади, давление на единицу поверхности её спины уменьшается.
Седло изобретено в Тюркском Каганате наряду с металлическими стременами, и металлической пряжкой.

Самые ранние упоминания о сёдлах относятся ко 2-й половине 1-го тысячелетия до н. э..

Римляне не знали сёдел, следовательно, могли использовать конницу в сражении лишь ограниченно, например, для обхода и фланговых атак, преследования отступающего противника. Это было одним из факторов неспособности Римской империи противостоять нападениям варваров, которые широко применяли седла.

В создании седла ключевую роль сыграли целые народы. Первые всадники покрывали спину лошади попоной. Историю седла помогли восстановить древние изображения. Они поведали, например, что в 9 веке до нашей эры ассирийские воины пользовались большим седлом-попоной, закреплявшимся на лошади нагрудными и подхвостными ремнями.

В 8 веке до нашей эры размеры седла-попоны уменьшились. Крепилось оно на лошади уже при помощи передней подпруги и нагрудного ремня.

А уже в 7 веке до нашей эры появилось мягкое седло треугольной формы, которое фиксировалось уже двумя подпругами и под которое подкладывалась большая попона. Примерно в то же время появились стремена.

В 1 веке д. н. э. появилось скифское седло. Сёдла скифского времени представляли собой две набитые шерстью и волосом подушки, соединявшиеся над хребтом лошади кожаной перемычкой. По краям, обращённым к шее и крупу лошади, они утолщались и украшались тонкими дужками и парными резными пластинами из дерева или рога. На спине животного такое седло крепилось с помощью подпруги, нагрудного и подхвостного ремней. Подобное устройство лишь незначительно снижало давление массы всадника и его амуниции на спину лошади. Кроме того, мягкое седло не давало ездоку опоры при встречном ударе.

Скифское седло является прообразом современного снаряжения.

В средние века их стали делать металлическими (4-5 век). У разных народов в те или иные эпохи исторического развития постепенно складывался свой особый тип седел. Но все они должны были облегчить езду всаднику, сделать его посадку наиболее устойчивой и предохранить спину животного от повреждений.

1.6.  Классификация сёдел

Существует несколько классификаций сёдел, одна из которых выглядит следующим образом:
1. Сёдла английского типа - это сёдла для большинства видов классического конного спорта, к которым относятся:
- выездковое;
- конкурное;
- троеборное;
- универсальное спортивное седло, а также
- седло для шоу;
- седло для конного поло;
- охотничье;
- скаковое седло;
- седло для рысистых бегов;
2. Сёдла типа вестерн, или пастушьи сёдла - такие сёдла используются в вестерне, иногда в туристических походах, поскольку их конструкция такова, что при правильном подборе такого седла лошадь может проводить под ним до 5 часов в день без ущерба для мышц спины (в то время как под седлом английского типа лошадь может проводить не более 2 часов в день);

к пастушьим сёдлам относятся:
- собственно седло вестерн;
- австралийское пастушье седло;
3. Сёдла азиатского типа - современные азиатские сёдла принято делить на две группы:
- сёдла Центральной Азии;
- сёдла Восточной Азии (эта группа делится на несколько типов).
А так же другое типы седел: 
дамское седло
седло для дистанционных пробегов
седло для ТРЕКа
кавалерийское седло
Черкесское седло
казачье седло
строевое седло
полицейское седло
седло МакКлеллана
седло без ленчика
вьючное седло
вольтижировочное седло
камаргское седло
испанское седло
португальское седло

1.7.  Алгоритм изготовления седла

Изготовление седла – работа очень кропотливая и требующая максимум самоотдачи и внимательности.  Каждый этап изготовления седла очень важен.

Для начала нам необходимо изготовить ленчик, ведь он является основой любого седла. Для этого нам потребуется сначала сделать макет ленчика по размеру вашей лошади.

Ленчик можно приготовить из различных материалов – из дерева, клееной фанеры или стекловолокна. Наиболее доступным материалом для изготовления ленчика в домашних условиях явлениях является цельнокусковое дерево.

Для изготовления макета понадобится:

• Картон
• Ножницы
• Проволока примерно 130 см длиной

Берут  кусок проволоки и аккуратно прижимают его к лошади за лопатками, в месте расположения передней луки ленчика, чтобы проволока приобрела контуры спины.

Затем накладывают получившуюся форму на кусок картона, обводят контур.

Затем вырезают макет и примеряют к спине лошади. Очень важно, чтобы он полностью подходил под параметры лошади.

        Вместе с моим руководителем мы  попробовала сделать самый простой макет седла в домашних условиях используя технику «Папье маше», опираясь на форму скакового седла.

II.  Практическая часть

 2.1.  Изготовление макета седла скакового типа

Для изготовления макета седла мне понадобилось:

• Мука
• Кипяток
• Пищевая плёнка
• Бумага
• Детская игрушка лошадка-качалка
• Гуашь

Для начала я обмотала пищевой плёнкой лошадь. Затем приготовила клейстер из двух стаканов муки и литра кипятка. Далее на пищевую пленку нанесла толстый слой бумаги. (Приложение 3, рис.1,2). Дождавшись полного высыхания макета, я вывела форму седла, обрезав лишнее. После этого я придала своему макету эстетичный вид, раскрасив его красками. (Приложение 3, рис 3,4)

         На изготовление макета у нас ушло 3 дня. И я потратила 30 рублей (300 гр муки, 1 м пищевой плёнки, 1 л кипятка, гуашь (коричневый, красный, зеленый, черный, белый)).

        Заинтересовавшись темой исследования, дома я решила сделать бокал с помощью той же техники.

III.  Заключение

3.1.  Описание аналитической части

Изучив график квадратичной функции – параболу, можно сделать вывод, что она окружает нас практически везде; начиная с создания самой природой и заканчивая использованием её человеком. Мы сформулировали строгое математическое определение параболы. Рассмотрели способ построения параболы.

Выявили связь между понятиями «парабола» и «конические сечения». Определили сферы применения параболы (физика, техника, баллистика, астрономия, архитектура, мостостроение)  и подтвердили значимость математики в окружающем мире. В ходе практического исследования применили полученные знания.

3.2.  Вывод:

Мы убедились, что выдвинутая нами гипотеза подтвердилась и парабола действительно является одной из ярких представительниц в окружающем нас мире, а не только линией в тетради. Она не простая фигура второго порядка, а замечательная кривая, которая практически всегда рядом с нами. Хочется, чтобы данное исследование оказалось не только интересным, но и полезным. Будет служить наглядностью на уроках математики при изучение параболы. Имеет метапредметную связь с другими областями науки.

3.3.  Выводы и предложения:

Вместе с моим научным руководителем в ходе нашего исследования мы поняли, что парабола является неотъемлемой частью нашей жизни. При изучении научной литературы, мы неоднократно сталкивались и с другими графиками математических функций, и мы предлагаем их изучить.

Источники:

1. https://ru.wikipedia.org/wiki (Определение параболы)
2. https://ru.wikipedia.org/wiki (История седла)

Приложение 1

Рис.1

Приложение 2

             Рис.1                                              Рис. 2                                                    Рис.3

                Рис.4                                                              Рис.5

                                           Рис.6                                                               Рис.7

                          Рис.8                                                               Рис.9

                       Рис.10                                                                Рис.11

                    Рис.12                                                                                             Рис.13

                   Рис.14                                                                                        Рис.15

                    Рис.16

                        Рис. 17                                                                       Рис.18

        Рис.19                                                              Рис.20

                                   Рис. 21                                                                 Рис. 22

                       Рис. 23                                                                      Рис.24

                        Рис. 25                                                                 Рис. 26

Рис. 27                                                                                   Рис. 28

Приложение 3

                   Рис. 1                                                                                            Рис. 2

                   Рис. 3                                                                                                    Рис. 4

«Геометрические миниатюры. Центр окружности»

Исследовательская работа

Работу выполнила ученица 7 класса

МОУ «Чапаевская СОШ» Афанасова Дарья Александровна

Руководитель  работы: учитель математики

МОУ «Чапаевская СОШ» МО – Михайловский муниципальный район Рязанской области

с. Грязное -2017

Аннотация.

Проектно-исследовательская работа «Геометрические миниатюры. Окружность», посвящена определению центра окружности. Тема «Окружность, круг. Радиус, диаметр, хорда, касательная» является одной из самых актуальных. Она находит широкое применение в разных разделах математики, и других областях науки.  Имеет теоретическую и практическую значимость. Определение центра окружности не требуется, когда мы строим окружность с помощью циркуля. А как найти центр окружности, если она уже построена? Во время решения этой задачи используются основные понятия геометрии: вписанный угол, касательная, диаметр, хорда, биссектриса и их свойства. Приведены различные способы решения этой задачи. Изготовлена модель устройства для поиска центра окружности. Работа может быть использована во время итогового повторения, подготовке к ОГЭ.

Содержание

Введение

Актуальность:

Тема «Окружность, круг. Радиус, диаметр, хорда, касательная» является одной из самых актуальных. Она находит широкое применение в разных разделах математики, и других областях науки.  имеет теоретическую и практическую значимость. Определение центра окружности не требуется, когда мы строим окружность с помощью циркуля. А как найти центр окружности, если она уже построена? Мне стало интересно и я решила изучить этот вопрос и предложить свое решение.

Объект исследования:  Центр окружности.

Предмет исследования: Окружность, диаметр, хорда, касательные.

Цели:

       1.  Изучить свойства окружности, её свойства.

       2. Изучить отрезки, которые можно провести в окружности и вне её.

       3. Провести личное исследование.

Задачи:

1. Изучить теорию.
2. Найти способы для определения центра окружности.
3. Выбрать наиболее подходящий для практического применения.
4. Создать модель устройства, позволяющего определять центр окружности.

Методы:

1. Наблюдение.
2. Теоретический.
3. Материальное моделирование.
4. Аналитический.

Гипотеза:

Центр окружности можно определить, если окружность представлена в виде бумажного макета и позволяет себя сгибать. А вот если сгиб невозможен? Существует ли способ определения центра окружности?

Гипотеза: Существует способ определения центра окружности, если она представлена как основание металлического цилиндра и тому подобное.

Теоретическая часть

В 5 классе мы начали изучать тему «Окружность». Окружность мы строили с помощью циркуля. И на месте центра окружности оставалась точка. Мне стало интересно, а как найти центр окружности, если она просто вырезана из бумаги?  И в 5 классе я придумала способ сгибания окружности. Но что делать. Если окружность нельзя согнуть. Например, центр дна стакана. И только в 7 классе, наконец, используя определения диаметра, хорды, касательной, вписанного угла, я смогла приблизиться к тому, чтобы определить центр окружности. Изготовить инструмент, позволяющий определять центр окружности. Анализируя полученную информацию, я решила поделится ею и написать исследовательскую работу. И начала я с классического определения окружности и её центра.

1.1 Изучение и определение окружности.

Окружность — геометрическое место точек, равноудалённых от заданной точки. Эта точка называется центром окружности. То, что нас и интересует.

Отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности – радиус. Отрезок соединяющий две точки окружности – хорда.

Хорда, проходящая через центр окружности – диаметр. Итак, у нас есть отрезок,  середина которого – центр окружности. Найти диаметр, найти, его середины и дело сделано.

А как найти диаметр?

Понадобились еще теоретические знания:

1. Диаметр окружности. Перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.
2. Диаметр окружности, делящий хорду, отличную от диаметра, пополам, перпендикулярен хорде.
3. Касательная к окружности – прямая. Имеющая с окружностью только одну общую точку.
4. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу (а значит и диаметру), проведенному в точку касания.
5. Вписанный в окружность угол равен половине центрального угла, который опирается на ту же дугу окружности (значит величина центрального угла 180 градусов, а значит прямой вписанный угол опирается на диаметр.

1.2   Поиск решения с использованием понятия «вписанный угол»

По теореме: Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.

Из этого следует, что углы опирающиеся на диаметр прямые.

Значит достаточно вписать прямой угол в окружность, построить диаметр и найти его середину.

Выполним:

Построим хорду ВС

Через точку С  проведем перпендикуляр к ВС

Найдем .А (точку пересечения перпендикуляра с окружностью)

Построим середину АВ-.О (центр окружности)

1.3 Поиск решения с помощью утверждения: Диаметр окружности лежит на биссектрисе угла, описанного около этой окружности.

Из точки А провести две касательные к окружности;

Построить биссектрису описанного угла ВАС;

Поделить отрезок ЕF пополам (где .Е и.F точки пересечения биссектрисы с окружностью )

1.4. Поиск решения с помощью утверждения: Диаметр, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной

Построим касательную ВС к окружности;

Из точки В восставим перпендикуляр к ВС;

Поделим отрезок АВ пополам, где А – точка пересечения перпендикуляра с окружностью.

1.5. Поиск решения с помощью утверждения: Хорда, перпендикулярная другой хорде и проходящая через её середину, есть диаметр.

Построим хорду АВ;

Поделим хорду АВ пополам;

Через середину АВ точку М проведем перпендикуляр к АВ;

Отрезок ЕС – диаметр окружности, где точки Е и С – точки пересечения перпендикуляра с окружностью;

Построим середину отрезка ЕС.

1.6  К чему же привели теоретические изыскания:

          В процессе выполнения данной практической работы получили шесть различных способов построения центра данной окружности и четыре принципиально различных устройства центроискателя, основанных на изученных свойствах геометрических фигур.

В конце работы выяснены четыре принципиальные устройства:

 1) центроискатель – прямой угол. Принцип работы: вписанный прямой угол опирается на диаметр;

2) центроискатель – угол с биссектрисой. Принцип работы: диаметр окружности лежит на биссектрисе угла, описанного около этой окружности;

3) центроискатель – пара взаимно перпендикулярных прямых. Принцип работы: диаметр, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной;

4) центроискатель- пара взаимноперпендикулярных прямых. Принцип работы: хорда, перпендикулярная другой хорде и проходящая через середину, есть диаметр.

II.  Практическая часть

Итак, более точно можно построить центр окружности, пользуясь циркулем и линейкой, если использовать угол с биссектрисой. Достаточно, построить вписанную окружность, построить биссектрису этого угла, поделить отрезок биссектрисы (хорду, она же - диаметр) пополам.

Для определения центра предложена модель центроискателя, состоящая из двух линеек, закрепленных перпендикулярно.

III.  Заключение

3.1.  Описание аналитической части

Изучив окружность, можно сделать вывод, что определение центра окружности имеет множество решений. Решения были рассмотрены. Выявлены связи между понятиями: «диаметр», «касательная». «вписанный угол», «хорда». «вписанная окружность». Рассмотрела способы определения центра окружности. В ходе практического исследования применили полученные знания.

3.2.  Вывод:

Мы убедились, что выдвинутая нами гипотеза подтвердилась и центр окружности действительно можно определить аналитически по чертежу и практически с помощью устройства. Хочется, чтобы данное исследование оказалось не только интересным, но и полезным. Моя презентация позволит повторить основные сведения об окружности.

3.3.  Предложения:

Вместе с моим научным руководителем в ходе нашего исследования мы поняли, каждая задача имеет множество решений. Необходимо научиться правильно отбирать наиболее рациональный способ для каждого случая. Презентацию использовать на уроке геометрии при подготовке к итоговой аттестации.

Источники:

Учебник «Геометрия 7-9» А.В. Погорелов.М-«Просвещение». 2014 г

Задачи Л.Н. Толстого

Талантливые люди талантливы во всём. Великий русский писатель и философ Лев Николаевич Толстой занимался педагогической деятельностью, работал по собственной методике и придерживался в преподавании определённых принципов.

В 1859 году в своём имении в Ясной поляне Л. Толстой открыл школу для крестьянских детей. Эта школа стала одной из первых народных школ. Лев Николаевич преподавал историю и математику. В 1960-е годы Л.Толстой  решил оставить литературу, жить в деревне и серьёзно занялся процессом образования. Он изучал изучал методы преподавания в России и за рубежом, а свои наблюдения публиковал в педагогическом журнале «Ясная Поляна».

После первого педагогического опыта Л. Толстой понял, что крестьянам не нужно полное школьное образование, достаточно лишь письма и счёта. А после поездок за границу Л. Толстой увлёкся идеями «свободного воспитания» французского просветителя Жана-Жака Руссо. Руссо считал, что ребёнок не нуждается в опеке, а лучшими средствами воспитания является свобода и жизнь на лоне природы, вдалеке от цивилизации, которая негативно влияет на развитие личности. Толстой считал, что ребёнок рождается идеальным, а воспитание пагубно сказывается на его характере. Необходимо предоставить ребёнку свободу для саморазвития. Л. Толстой понял, что следует учитывать индивидуальные особенности ребёнка, обращать внимание на его интересы и творческие способности.

Л. Толстой выпустил несколько выпусков «Азбуки», которые содержали и сведения по арифметике. А в 1874 году вышла «Арифметика». В книге содержались методические указания для учителя. Писатель критически относился к используемым методам преподавания арифметики в школе и настаивал на реформировании школы. Он был против размещения в учебниках усложненных задач и громоздких правил. Л. Толстой с удовольствием придумывал условия к задачам и нередко предлагал наиболее интересные своим гостям.

Задача.

Косцы должны выкосить два луга. Начав с утра косить большой луг, они после полудня разделились: одна половина осталась на первом лугу и к вечеру его докосила, а другая перешла косить на второй луг площадью вдвое меньше первого. Сколько было косцов, если известно, что в течение следующего дня оставшуюся часть работы выполнил один косец?

Решение.

На первом лугу косцы проработали  1/2 дня – вся бригада и 1/2  дня – половина бригады, что  составляет 3/4 рабочего дня. На втором лугу в первый день работала  1/2 бригады в течение  дня, т.е. затрачено 1/4 рабочего дня целой бригады. Так как  площадь второго луга в 2 раза меньше первого, то, для того чтобы выкосить его, вся бригада должна была бы работать 3/8 дня. Следовательно, на второй день на меньшем лугу останется 3/8 – 1/4 = 1/8 часть работы всей бригады за день. А так как эту работу выполнил один косец, значит вся бригада состояла из 8 косцов.

Ответ. 8 косцов.

Задача.

Продавец продаёт шапку, которая стоит 10 рублей. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только банкнота 25 рублей. Продавец отсылает мальчика с этими 25 рублями к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдаёт 10 + 10 + 5. Продавец отдаёт шапку и сдачу 15 рублей. Через какое-то время приходит соседка и говорит, что 25 рублей фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну что делать. Продавец лезет в кассу и возвращает ей деньги.

На сколько обманули продавца?

Решение.

Эта задача требует логических рассуждений. Получается, что 25 рублей у продавца не было, он их вернул. А отдал покупателю 15 рублей из своего кармана и шапку, которая стоит 10 рублей.

ГОЛОВОЛОМКА ...

Удаву 110 лет.

"Сколько тебе лет?" – спросил он у черепахи.

Черепаха ответила: "Мне в 10 раз больше, чем было тебе, когда мне было как тебе сейчас".

ТРИ УРОКА ДЛЯ ЛУЧШЕГО ПОНИМАНИЯ СОБЫТИЙ, ПРОИСХОДЯЩИХ В ЖИЗНИ! Урок 1 Однажды один мудрец собрал своих учеников и друзей-мудрецов с их учениками, и показал им лист чистой бумаги, в середине которого стояла маленькая черная точка. Мудрец всех спросил: - Что вы здесь видите? - Точку! — ответил ученик поднявший руку первым. - Черную точку, — решил уточнить другой. - А что вы "ещё" видите здесь? – решил конкретизировать свой вопрос мудрец. Но никто больше ничего сказать не смог. И тогда мудрец обречённо опустив голову заплакал. - Скажи нам, о чём ты так горько плачешь? — удивились ученики. - Я плачу о том, что все мои ученики увидели только черную точку и никто не заметил большого белого листа... — ответил мудрец. - Как часто мы также судим о людях только по их маленьким, пусть и заметным, недостаткам, игнорируя и забывая о их достоинствах! - Но здесь есть и обратная сторона этой истины. - задумчиво сказал мудрец. - Кто из вас знает обратную сторону и может о ней сказать? Все молчали и не нашлись что ответить. Мудрец опять прослезился и сказал своим ученикам: - Я столько лет прилежно вас учу, делюсь с вами всей своей мудростью, чтобы вырастить из вас достойную смену, а вы не можете увидеть то. что очевидно?! Но ученики ответили, как и в первый раз: - Мы опять видим чёрную точку на белом листе бумаги! Но скажи нам, что всё это значит? Что за мудрость скрыта с обратной стороны этой мудрости? Мудрец им ответил: - Вы все можете быть чистыми и белоснежными, как этот лист. Но появись в вас или в вашей жизни что-либо маленькое, но тёмное, и все увидят не то доброе в вас, кем вы есть, а именно эту черную точку. На белом даже маленькая черная точка очень хорошо видится. Поэтому, пусть на вашей совести никогда не будет даже маленькой чёрной точки! Тогда к вам мудрость будет приходить свыше сама. И будете для всех - светом. Урок 2 Жил-был в деревне старый человек. Он был очень беден, но даже короли завидовали ему, потому что у него был прекрасный белый конь. Ему предлагали за коня баснословные деньги, но старик говорил: "Этот конь для меня не конь, а личность. Как можно продать личность, друга?" Человек был беден, но никогда не соглашался продать коня. Однажды утром он не обнаружил коня в стойле. Собралась вся деревня и все осудили старика: "Ты – глупый старик, – говорили ему. – Мы знали, что когда-нибудь коня украдут. Уж лучше бы ты его продал. Что за невезение!" Старик сказал: "Я не знаю всей истории. Я не знаю, ушел ли он, или его увели. Есть факт, все остальное – суждение. Является это невезением или благословлением, я не знаю, потому что все это только часть. Кто знает, что последует за этим?" Люди засмеялись. Они всегда знали, что он немного ненормальный. Но спустя пятнадцать дней конь неожиданно вернулся, мало того, он привел с собой четырех жеребят. Люди снова собрались и сказали: "Ты был прав, старик, это не было невезением, это – благо". И опять старик сказал: "Я не знаю всей истории. Знаю только, что коня не было, потом он вернулся. Кто знает, благословение это или нет? Вы прочли единственное слово в предложении – как вы можете судить о целой книге?" Но люди все равно решили, что он не прав, ведь коней стало больше! У старика был единственный сын. Он начал объезжать жеребят и спустя неделю упал и сломал ногу. Люди сказали: "Вот ведь невезение! Твой единственный сын лишился возможности ходить, а ведь он был тебе единственной поддержкой! Уж лучше бы ты тогда продал коня, были бы хоть деньги". И в который раз старик ответил им: "Вы одержимы суждением, не заходите так далеко. Я только знаю, что сын упал и сломал ногу. Никто не знает, невезение это или благословение". Так случилось, что через несколько недель в стране разгорелась война, и всю молодежь забрали в армию. Только сын старика остался, потому что был покалечен. Все жители плакали, потому что сражения были проиграны и большинство молодежи погибло. Люди пришли к старику и сказали ему: "Ты был прав, это оказалось благом. Может быть, твой сын и покалечен, но он с тобой, наши сыновья ушли навсегда". И снова старик сказал: "Вы продолжаете судить. Я не знаю всей истории, и никто не знает. Суждение означает застывшее состояние ума. Не судите, иначе вы никогда не станете едины с целым." В действительности путешествие никогда не заканчивается. Одна часть заканчивается, зато другая начинается, одна дверь закрывается, другая – открывается. Вы достигаете вершины, но появляется другая, более высокая. Жизнь есть бесконечное путешествие! Урок 3 Профессор в университете задал своим студентам такой вопрос. — Всё, что существует, создано Богом? Один студент смело ответил: — Да, создано Богом. — Бог создал всё? — спросил профессор. — Да, сэр — ответил студент. Профессор спросил: — Если Бог создал всё, значит Бог создал зло, раз оно существует. И согласно тому принципу, что наши дела определяют нас самих, значит Бог есть зло. Студент притих, услышав такой ответ. Профессор был очень доволен собой. Он похвалился студентам, что он ещё раз доказал, что вера в Бога это миф. Ещё один студент поднял руку и сказал: — Могу я задать вам вопрос, профессор? — Конечно, — ответил профессор. Студент поднялся и спросил: — Профессор, холод существует? — Что за вопрос? Конечно, существует. Тебе никогда не было холодно? Студенты засмеялись над вопросом молодого человека. Молодой человек ответил: — На самом деле, сэр, холода не существует. В соответствии с законами физики, то, что мы считаем холодом, в действительности является отсутствием тепла. Человек или предмет можно изучить на предмет того, имеет ли он или передаёт энергию. Абсолютный ноль (–460 градусов по Фаренгейту) есть полное отсутствие тепла. Вся материя становится инертной и неспособной реагировать при этой температуре. Холода не существует. Мы создали это слово для описания того, что мы чувствуем при отсутствии тепла. Студент продолжил: — Профессор, темнота существует? — Конечно, существует. — Вы опять неправы, сэр. Темноты также не существует. Темнота в действительности есть отсутствие света. Мы можем изучить свет, но не темноту. Мы можем использовать призму Ньютона чтобы разложить белый свет на множество цветов и изучить различные длины волн каждого цвета. Вы не можете измерить темноту. Простой луч света может ворваться в мир темноты и осветить его. Как вы можете узнать, насколько тёмным является какое-либо пространство? Вы измеряете, какое количество света представлено. Не так ли? Темнота это понятие, которое человек использует, чтобы описать, что происходит при отсутствии света. В конце концов, молодой человек спросил профессора: — Сэр, зло существует? На этот раз неуверенно, профессор ответил: — Конечно, как я уже сказал. Мы видим его каждый день. Жестокость между людьми, множество преступлений и насилия по всему миру. Эти примеры являются не чем иным как проявлением зла. На это студент ответил: — Зла не существует, сэр, или, по крайней мере, его не существует для него самого. Зло это просто отсутствие Бога. Оно похоже на темноту и холод — слово, созданное человеком чтобы описать отсутствие Бога. Бог не создавал зла. Зло это не вера или любовь, которые существуют как свет и тепло. Зло это результат отсутствия в сердце человека Божественной любви. Это вроде холода, который наступает, когда нет тепла, или вроде темноты, которая наступает, когда нет света. P/S: Жизнь нужно воспринимать не как зебру, состоящую из чёрных и белых полос, в конце которой, как не крути, задница, а как игру шахматы, с чёрно-белой доской, в которой каждый ход зависит от Вас! ПОМНИТЕ ОБ ЭТОМ! Да и ещё... ПОМНИТЕ! Далеко не всегда на первый взгляд очевидные выводы являются истинными! Клюшка и шайба вместе стоят 1100 рублей. Клюшка стоит на 1000 рублей больше, чем шайба. Сколько стоит шайба? 100? Как бы не так! Если шайба стоит 100, то клюшка соответственно 1000 (100+1000=1100), а в условии сказано, что клюшка на 1000 рублей дороже, а не на 900!!! (1000-100=900). Съели!? Никогда не спешите с выводами!

Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, не стала будить постояльцев, а поставила миску с едою на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтобы не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомёк было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После чего проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело. Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен ещё съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.

Гений находит решение за 10 секунд. Билл Гейтс — за 20 секунд. Выпускник Гарварда (Harvard University) — за 40 секунд. Если вы нашли ответ за 2 минуты, то вы принадлежите к 15% наиболее одаренных людей. 75 % людей не способны решить эту задачу.

Сапожник сделал сапоги и сказал подмастерью продать их за 25 рублей. К подмастерью на рынке подошло двое инвалидов (у одного нет левой ноги, у другого – правой), и он продал им по сапогу за 12,50 соотвественно. Возвращается, отдает деньги сапожнику и рассказывает, как удачно продал… А сапожник отвечает: «ну что ж ты, инвалидам надо было сделать скидку. Держи 5 рублей, разыщи их и верни по 2,50″ А подмастерье решил отдать инвалидам только по рублю, а остальные три рубля пропил. Нашел инвалидов и отдал каждому по рублю. Вышло, что сапоги обошлись инвалидам по 11,50. 11,50+11,50 = 23 и еще 3 рубля пропиты. Итого: 26 рублей, а было 25. Откуда лишний рубль?

Старинная задача с дробями

Артели косцов надо скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам, первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще осталась часть луга, скошенного на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?

Решение старинной задачи с дробями

За единицу (1) примем дневной объем работы  артели. Если косцов, к примеру, 10, то на одного человека приходится в день 1/10 часть работы. Т.е. если мы узнаем, какая часть работ приходится на одного, то будем знать число косцов. А в условиях задачи есть такой участок, это луг, скошенный на второй рабочий день.

1. Первую половину дня все работали на первом поле, естественно, они сделали 1/2 всей работы. Во второй половине дня на этом поле работало пол артели и поэтому сделали в 2 раза меньше – 1/4. Всего первое поле составляет 1/2 + 1/4 = 3/4. Т.е. первое поле – это 3/4 от всей работы артели за день.

2. На втором поле в тот день сделано 1/4 – здесь пол артели работало пол дня. Заметим, мы учли весь дневной объем работ, проверим: 1/2 + 1/4 +1/4 = 1.

На второй день осталась дневная норма одного косца. Теперь известно, что первое поле в 2 раза больше второго, т.е. 3/4 = 2*(1/4 + доля одного работника). Отсюда доля одного работника равна = 3/4 * 1/2 – 1/4. Выполняем последние действия с дробями, находим 1/8.
Ответ: в артели 8 косцов.

Запись опубликована в рубрике Арифметика с метками задача с дробями, решение старинной задачи, старинная задача. Добавьте в закладки постоянную ссылку.

← Сказка По Щучьему Веленью

Старинная задача “Бочонок кваса” →

Предлагаю решение.
1– за единицу возьмём часть поля, скашиваемое одним косцом за день.
k – площадь, скашиваемая k косцами за день. Наша артель – это k косцов.
Теперь:
k/2 – скошено всеми косцами за первую половину дня.
k/4 – столько скошено на первом поле после полудня
k/4 – столько же скошено на втором поле
1 – скошено во второй день
Площадь первого поля равна = k/2 + k/4
Площадь второго поля равна = k/4 + 1
Известно: первое поле вдвое больше второго:
k/2 + k/4 = 2*( k/4 + 1)= k/2 + 2
Отсюда: k/4 = 2; k = 8
Ответ: 8 косцов.

Устное решение появляется, когда мы сообразим, что в артели четное число косцов (ибо написано: «артель разделилась пополам»).
Мы начнём перебирать: 2 косца, 4, 6, 8 – и на четвёртом шаге задачу решим!
Введём понятие нормы – это площадь, скашиваемая одним косцом за день.
Если косцов k, то они скосили на первом поле до обеда k/2 норм и после обеда половина артели скосила k/4 норм.
Площадь первого поля равна S1 = k/2 + k/4.
Величину k/2 + k/4 подсчитывать устно совершенно не сложно.
Площадь второго поля равна S2 = k/4 + 1. И эту величину просто подсчитать.
Проверяем: второе поле должно быть вдвое меньше первого.
Итак:

В итоге: Первое поле – это 6 норм. Один косец его скосит за 6 дней, а 6 косцов за день. Но фактически полдня его косили 8 человек, и полдня 4 чел.
Второе поле – 3 нормы. Поле косили: полдня 4чел и сделали 2 нормы, а затем 1чел косил полный день.

После устного решения появляется вопросы: все ли решения найдены? а если у задачи несколько решений…?
Полную ясность дадут графики работ
на первом лугу: у1(х) = ½ х + ¼ х = ¾ х
на втором лугу у2(х) = ¼ х +1
х – численность косцов.
На рисунке:
у1(х) – это график скошенных площадей на первом лугу при заданном порядке работы людей.
у2(х) – соответственно для второго луга.

Мы видим при х=2, графики пересекаются в точке (2;1.5) – площади лугов равны.
При х=8 площадь первого луга вдвое больше второго луга, точки (8;3) и точка (8;6).
А что дальше?
Если в артели 20 человек, площадь первого луга будет больше второго в 2,5 раза.
И хотя графики уходят в бесконечность, площадь первого луга никогда не станет больше второго в 3 раза.
Доказательство этому предел lim, решение которого дано на рисунке.

Эту задачу придумал примерно в 1900 году студент Московского университета Петров, который рано умер. Лев Толстой узнал о задаче от писателя И.И. Раевского и профессора В.Я. Цингера. Л.Толстой считал эту задачу весьма сложной, но она имеет простое решение. Вот то решение, которое знал Л.Толстой.
Нарисуем два луга, один больше другого вдвое.
Своей работой артель поделила первый луг на три равные части: там работала вся артель полдня, а вторую половину дня работало пол артели. Это значит, что половина артели за полдня скашивает 1/3 луга. Отметим это на чертеже.
Очевидно, что на втором поле половина артели за полдня тоже скосила площадь, равную 1/3 первого поля.
Это означает: оставшийся участок второго луга равен 1/6.
И это норма одного косца за день.
Узнаем, сколько таких норм скосила артель за первый день.
Очевидно, что артель за день скосила четыре раза по 1/3.
Сделаем преобразования:
4 * 1/3 = 4/3 = 8/6.
Поскольку норма равна 1/6. То за день скошено 8 норм.
Ответ: в артели 8 человек.

Старинная задача №38
За 1000руб куплено 44 коровы — по 18 р. и по 26 р. Сколько тех и других в отдельности?

я решил! глядя в таблицу умножения. Важны только последние цифры в числах, которые участвуют. Выходим на три пары коров: 8-36, 18-26, 28-16.
Остаётся проверить – какая пара даст 1000 рублей. Искомый ответ 18-26. Проверим: 18 * 18руб + 26*26руб = 324 + 676 = 1000руб.

Старинная задача №37
Сколько надо взять карамели по 16руб и по 9руб, чтобы составить 21 кг смеси по цене 11руб за кг.

Ответ: 6 кг и 15 кг. Это составит 21 килограмм конфет стоимостью
6 * 16 + 15 * 9 = 231 рублей. Цена за 1 кг составит 231 : 21 = 11 рублей

задачу легче решить, чем объяснить…
Возьми то, что дано: 21 * 11 – это стоимость смеси. разложи её на сумму сомножителей чисел 9 и 16. Ты понял, что я сказал?
причём сумма сомножителей должна быть 21.
делаем: 21 * 11 = (16 + 5)*(9 + 2) = 16 * 9 + 2 * 16 + 55.
Проблема с числом 55, его надо загнать или в сомножитель числа 9 или в сомножитель числа 16. Смотрим кратные числа 16: это 16, 32, 48, 64 стоп! Если к 55 добавить 9 получим 64! Ура! решаем дальше:
= 16*9 + 2*16 + 55 = 15*9 + 2*16 + 64 = 15*9 + 2*16 + 4*16 = 15*9 + 6*16
Получилось!

Старинная задача №8 В театре билеты первого ряда стоят по 5 рублей, второго ряда по 3–60, третьего по 3–00 и четвертого по 2–40.
Известно: за каждый ряд получены одинаковые суммы денег;
на первый, второй и третий ряды продано на 71 билет больше, чем на четвертый ряд.
Спрашивается: сколько выручено от продажи всех билетов?

Прекрасно! Спорим на 1000 руб – ключ к решению – это наименьшее общее кратное чисел 50, 36, 30, 24. Найдешь НОК – решишь задачу!

ну и что? Нашли наименьшее общее кратное чисел 50, 36, 30, 24
НОК = 1800.
Дальше что?

Правильно! НОК = 1800. Переведём в рубли – 180 рублей. Это сумма билетов по рядам.
Всего 4 ряда: 180 * 4 = 720 рублей – это выручка театра за спектакль.

Именно: “количество билетов не понадобилось“! В этом суть спора и была! Ответом на задачу могли быть: либо НОК, либо другие общие кратные. Так что я рисковал, мог и проиграть.

Вот ребята настоящая задача.
Есть два товара, можно в любой момент купить/продать по текущей стоимости. Их цена часто меняется. Причём, если цена первого растёт, то цена на второй падает. И наоборот.
Как вложить деньги в эти товары, чтобы с каждым изменением цен становиться богаче?

два положения берём в основу:
1) чтоб разбогатеть, покупать надо дёшево, продавать дорого.
2) у стоимости 2 свойства: потребительская стоимость и меновая стоимость.
так что богатеть можно двояко: денежно и количеством товара.
++
Деньги делим на 3 части: резервный фонд – это Sr
деньги вложенные в товар1 – S1
деньги вложенные в товар2 – S2
…цена меняется. Продаём часть подорожавшего товара: перелив денег в Sr
И покупаем сколько-то подешевевшего товара.
….
крайний случай – один товар всё время растёт, другой падает в цене.
Первый товар – дома, недвижимость.
Второй – земля.
И тогда скоро все деньги уйдут в землю….мноооого земли!
Ну и что! будем богаты землёй

Кто знает?
Можно ли циркулем и линейкой отмерить отрезок пи?
Если можно, то решается задача квадратура круга!

Вот задача №8. В мешке – белые и чёрные камни: на один чёрный приходится 8 белых. Если не глядя вытащить 100 камней, то чёрные обязательно будут. Сколько всего камней в мешке?

Решение. Обозначим буквой s площадь, которую скашивает один косец за день. Количество косцов артели обозначим буквой n. Тогда площадь первого луга равна

ns/2 + ns/4 = 3ns/4

(n косцов работали полдня, а потом n/2 косцов работали полдня, при этом весь луг был скошен). Площадь второго луга по условию вдвое меньше, значит, она равна 3ns/8, из которых ns/4 было скошено в первый день. Таким образом, один косец за день скосил

3ns/8 – ns/4 = ns/8.

Вспомнив определение величины s, получаем n = 8.