итит

Опубликовано 30.10.2017 - 9:34 - Кузнецова Юлия Сергеевна

План урока по

Скачать:

Вложение	Размер
kontrolnaya_rabota_1.doc	91 КБ

Предварительный просмотр:

Контрольная работа 1. Решение двумерных задач линейного программирования графическим методом.

Образец решения.

Задание 1

Решить графическим методом следующую двумерную задачу линейного программирования:

Решение

Построение области допустимых решений целевой функции F.

Строим прямоугольную систему координат. Так как x1 и х2 неотрицательны, то ограничимся рассмотрением первого квадранта.

Рассмотрим первое ограничение:

2x1+5х2 <= 10

2x1+5х2=10 (1)

x1=0, х2=2; (0;2)

х2=0, x1=5; (5;0)

Рассмотрим второе ограничение:

-x1+х2 <= 1

-x1+х2=1 (2)

x1=0, х2=1; (0;1)

х2=1, x1=2; (1;2)

Рассмотрим третье ограничение:

x1 <= 4

x1=4 (3)

x1=4 - прямая, проходящая через точку (0;4) параллельно оси Х2.

Отложим полученные точки на числовых осях и найдём полуплоскости, которые соответствуют первым трём ограничениям. Заштрихованная область ОАВСD - это область допустимых решений функции F.

Построение прямой уровня.

возьмем произвольную точку, принадлежащую области допустимых решений - ОАВСD, например, точку М (1;1).

F(1;1)=2*1+6*1=8

Уравнение прямой уровня: 2x1+6х2=8

найдём две точки этой прямой: (1;1) и (4;0) (если х2=0, то x1=4)

Вектор а {2;6} указывает направление возрастания функции F.

Максимизация целевой функции F.

Построенный вектор а - является вектором, указывающим направление возрастания функции. Перемещая прямую уровня в направлении вектора а, находим точку максимума - это точка В. Найдем координаты точки В. Она лежит на пересечении прямых (1) и (2), следовательно, необходимо решить систему уравнений:

7х2=12

х2=12/7

Координаты точки В (5/7;12/7).

Fmax=2*5/7+6*12/7=82/7

Ответ: x1=5/7, х2=12/7, Fmax=82/7

Задание 2

Решить графическим методом следующую двумерную задачу линейного программирования:

Решение

Построение области допустимых решений целевой функции F.

Рассмотрим первое ограничение:

2x1+4х2 >= 8

2x1+4х2=8 (1)

x1=0, х2=2; (0;2)

х2=0, x1=4; (4;0)

Рассмотрим второе ограничение:

3x1+2х2 >= 9

3x1+2х2=9 (2)

x1=0, х2=4,5; (0;4,5)

х2=0, x1=3; (3;0)

Рассмотрим третье ограничение:

-x1+х2 <= 3

-x1+х2=3 (3)

x1=0, х2= 3; (0;3)

х2=1, x1=4; (4;1)

Построение прямой уровня.

Возьмем произвольную точку, принадлежащую области допустимых решений - АВС, например, точку М (3;3).

F(3;3)=3*3+2*3=15

Уравнение прямой уровня: 3x1+2х2=15

Найдём две точки этой прямой: (1;1) и (5;0) (если х2=0, то x1=5)

Вектор а {3;5} указывает направление возрастания функции F.

Минимизация целевой функции F.

Построенный вектор а - является вектором, указывающим направление возрастания функции. Перемещая прямую уровня в направлении, обратном вектору а, находим точку минимума. Но, так как прямая уровня параллельна прямой (2), любая точка на отрезке ВС является оптимальным решением. Найдем координаты точки В. Она лежит на пересечении прямых (1) и (2), следовательно, необходимо решить систему уравнений:

4x1=10

x1=5/2

3*5/2+2*х2=9

х2=3/4

Координаты точки В (5/2;3/4).

Fmax=3*5/2+2*3/4=9

Ответ: x1=5/2, х2=3/4, Fmax=9

Задание 3

Решить графическим методом следующую двумерную задачу линейного программирования:

Решение

Построение области допустимых решений целевой функции F.

Рассмотрим первое ограничение:

x1+2х2 >= 2

x1+2х2=2 (1)

x1=0, х2=1; (0;1)

х2=0, x1=2; (2;0)

Рассмотрим второе ограничение:

x1-2х2 <= 3

x1-2х2=3 (2)

x1=5, х2=1; (5;1)

х2=0, x1=3; (3;0)

Рассмотрим третье ограничение:

-x1+х2 <= 2

-x1+х2=2 (3)

x1=0, х2=2; (0;2)

х2=1, x1=3; (3;1)

Отложим полученные точки на числовых осях и найдём полуплоскости, которые соответствуют первым трём ограничениям. Заштрихованная область АВСDd - это область допустимых решений функции F.

Построение прямой уровня.

Возьмем произвольную точку, принадлежащую области допустимых решений - АВСDd, например, точку М (1;1).

F(1;1)=2*1+1=1

Уравнение прямой уровня: 2x1+х2=3

Найдём две точки этой прямой: (1;1) и (0;3) (если х2=3, то x1=0)

Вектор а {2;1} указывает направление возрастания функции F.

Минимизация целевой функции F.

Так как область допустимых решений неограниченна в направлении возрастания функции F возрастает, то не существует конечной точки, в конечной точки, в которой функция F достигала бы максимума. Таким образом, данная задача не имеет решений.

Ответ: задача не имеет решений.