Задачи с решения для мат.боя 5-6 класс

СУВОРОВСКОЕ ВОЕННОЕ УЧИЛИЩЕ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ

5-6 классы

1.    В двух ящиках лежат перчатки трех цветов: в левом ящике — 17 белых, 4 синих и 4 красных (все на левую руку), в правом ящике — 13 белых, 8 синих и 8 красных (все на правую руку). Какое наименьшее количество перчаток надо вытащить (одновременно и не глядя), чтобы среди них обязательно нашлась пара перчаток одного цвета?

Решение: Если достанем 5 левых перчаток, то возможны следующие варианты цветов вынутых перчаток: Б, БСК, БС, БК, СК. Если достанем 17 правых перчаток, то возможны следующие варианты цветов: БС, БК, БСК. Во всех комбинациях левых перчаток присутствует белый цвет, что позволяет всегда собрать пару белых перчаток в случае выпадения первых четырех комбинаций левых перчаток. Если же выпадает комбинация цветов СК на левую руку, то среди комбинаций на правую руку всегда найдется либо синяя, либо красная  правых перчатка.

Уменьшив количество выбираемых перчаток в любом ящике хотя бы на одну получим, что пары в некоторых случаях пары не составляются. Например, возьмем из 4 левых перчатки, тогда С, К, Б, БСК, БС, БК, СК (С не составляется в случае БК и Б, К — с БС и Б). Или 16 правых перчаток, то: СК, БК, БС, БСК (СК не составляет пары с Б). Следовательно минимальный набор вытаскиваемых перчаток 5 левых и 17 правых.

2.    Расставьте в квадрате 3´3 в концах одной из диагоналей которого стоят числа 4 и 6 (см. рис.), числа 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, так чтобы суммы трех чисел по всем горизонталям, вертикалям и диагоналям были равны.

Решение: Найдем сумму трех чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали. Пусть в первой строке стоят числа а₁, а₂, а₃, во второй строке — b₁, b₂, b₃, а в третьей — с₁, с₂, с₃. Числа а₁, а₂, а₃, b₁, b₂, b₃, и с₁, с₂, с₃ — 7 натуральные числа от 1 до 9 и их сумма равна 45. Так как s = а₁ + а₂ + а₃ = b₁ + b₂ + b₃ = с₁ + с₂ + с₃, получим что s = 15.

Получим, что в среднюю клетку диагонали нужно вставить число 5. Тогда в горизонтали и вертикали, содержащей 6, получим а₁ + b₁ = с₂ + с₃ = 9, а в горизонтали и вертикали, содержащей

4, получим b₃ + c₃ = a₁ + a₂ = 11. Из оставшихся данных чисел можно составить следующие подходящие суммы: 9 = 8 + 1 = 7 + 2, 11 = 8 + 3 = 9 + 2, как видим  а₁ и c₃  равны 8 и 2. Остальные числа вставляются однозначно по сумме s = 15.

3.    Одновременно были зажжены две свечи одинаковой длины: одна потолще (сгорающая за 4 часа), другая потоньше (сгорающая за 2 часа). Через некоторое время обе свечи были потушены. Оказалось, что огарок толстой свечи в три раза длиннее огарка тонкой свечи. Сколько времени горели свечи?

Решение: Обозначим длину тонкого огарка за 1 единицу, тогда длина толстого огарка равна  3 единицам. Скорость горения толстой свечи в два раза меньше скорости горения тонкой свечи, поэтому одна единица тонкой свечи сгорает за то же время как половина единицы толстой свечи. Пусть тонкая свеча догорит, тогда длина толстой будет 2,5 единицы, что составляет половину исходной длины свечей. Тогда 2,5 единиц толстой свечи горят за 1 час, отсюда получим, что сгорело 2 единицы толстой свечи за 1 час 36 минут (1,6 ч).

4.    — У Вовы больше тысячи книг, — сказал Ваня.

— Нет, у него меньше тысячи, — возразила Аня,

— Одна-то книга у него наверняка есть, — сказала Маня. [Спивак]

Если истинно только одно из этих утверждений, сколько книг у Вовы?

Решение: Если истинно первое утверждение (т. е. у Вовы может быть 1001, 1002, … книга), то ложным оказывается второе в случае 1000, 1001, … книг, а третье только в случае 0 книг. Получили противоречие.

Если истинно второе утверждение (т.е. у Вовы может быть 0, 1, 2, …, 999 книг), то ложным является первое в случае 0, 1, 2, …, 999 книг, и ложным второе в случае отсутствия книг у Вовы. Следовательно, если у Вовы нет книг, то условие задачи выполняется.

Если истинно третье утверждение (т.е. у Вовы может быть 1, 2, 3,…, 1000, 1001,… книг), то ложным будет утверждение в случае 1, 2, 3, …, 1000 книг, и ложным будет второе утверждение если у Вовы 1000, 1001, 1002,…. Таким образом, если у Вовы 1000 книг, то условие задачи верно.

Ответ: 0 или 1000.

5.    Среди первых 99 натуральных чисел выбрано 50 чисел. Известно, что никакие два из них не дают в сумме 99 или 100. Чему равна сумма выбранных чисел.

Решение: Составим следующую таблицу, в которой нет в первых парах 50-ти, во втором наборе пар 99-ти. Из таблицы видно, что нельзя брать элементы находящиеся в одной паре, иначе получим сумму равную 100 или 99. В тоже время пар 49 и числа 99 или 50, а выбираемых чисел 50, поэтому мы обязаны взять из каждой пары хотя бы одно число, и все эти числа должны принадлежать одной строке. Если возьмем строку 1, 2, …, 49 и 50 или 99, то получим противоречие условию задачи. Тогда 99 + 98 + … + 52 + 51 + 50 = 3725.

6.    На пяти островах завтракали 30 аистов. На каждом острове аисты поделили лягушек поровну, причем каждый аист с первого острова съел больше, чем каждый аист со второго, со второго — больше, чем с третьего, с третьего — чем с четвертого, с четвертого – больше, чем с пятого острова. Сколько лягушек могло быть съедено на каждом островов, если всего было съедено 42 лягушки, и каждый аист съел хотя бы одну лягушку? (Аисты ели лягушек целиком.)

Решение: По условию задачи на всех островах живут аисты, тогда на каждом острове живет хотя бы один аист (в сумме 5 аистов), причем каждый из них съел минимально возможное число лягушек, т. е. на 1-ом острове — 5 лягушек, на 2-ом — 4, на 3-ем — 3, на 4-ом — 2, на 5-ом острове — одну лягушку (в сумме 15 лягушек). Тогда остальным 25 аистам осталось съесть 27 лягушек, что позволяет сделать вывод о том, что ни один из оставшихся аистов не смог съесть 5 или 4 лягушки, иначе какой-то аист не съест ни одной лягушки. Отсюда складываются 1 и 2 варианты распределения аистов по островам и лягушек по аистам (см. табл.).