Копилка материалов для проведения занятий
Можно найти полезные разработки для проведения занятий по дисциплине "Математика" в системе СПО
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 geometricheskie_prilozheniya_opredelennogo_integrala.pdf | 657.69 КБ |
 geometricheskie_prilozheniya_opredelyonnogo_integrala.ppt | 445 КБ |
| irratsionalnye_uravneniya.pdf | 628.51 КБ |
| mnogogranniki_tela_vrashcheniya.pdf | 423.02 КБ |
| monotonnost_funktsii.pdf | 727.13 КБ |
| aksiomy_stereometrii.ppt | 804 КБ |
| vzaimnoe_raspolozhenie_pryamyh.ppt | 595 КБ |
| parallelnost_pryamoy_i_ploskosti_v_pr-ve.pptx | 179.09 КБ |
 prakticheskie_raboty_2_kurs.zip | 2.36 МБ |
| secheniya.ppt | 2.58 МБ |
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Задание 1 . Вычислить определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница. 1) 4) 2) 5) 3) 6)
1) 2) 3) Задание 2 . Вычислить определенный интеграл методом замены переменной интегрирования.
Задание 3 . Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям. 1)
2)
3)
Вычисление площади криволинейной трапеции Если - непрерывная функция, на [ a , b ], то
Вычисление площади криволинейной трапеции Если - непрерывная функция, на [ a , b ], то
Вычисление площади криволинейной трапеции Если непрерывная на [a; c], непрерывная на [c; b] где , то
Пример №1: Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=x 2 , прямыми x =1, x =3 и осью Ох
Вычисление площадей плоских фигур Если - непрерывные функции на [a; b], на [a; b], то
Вычисление площадей плоских фигур Если y = f ( x ), y = g ( x ) непрерывные функции на [а; в], f ( x )≥ g ( x ) на [с; в], где с є [а; в], f ( x )≤ g ( x ) на [а; с], то
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=х+3, у=х 2 +1
Вычисление объемов тел вращения
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры, ограниченной линиями у 2 =х, х=1
=
S= + +
I вариант 1) 2) 3) 4)
II вариант 1) 2) 3) 4)
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Стереометрия. Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основные фигуры в пространстве: А Точка. а Прямая. Плоскость.
A, B, C, … a, b, c, … или A В , B С , CD, …
Геометрические тела: Куб. Параллелепипед. Тетраэдр.
Геометрические понятия. Плоскость – грань Прямая – ребро Точка – вершина вершина грань ребро
Аксиома (от греч. ax íõ ma – принятие положения) исходное положение научной теории, принимаемое без доказательства
АКСИОМЫ планиметрия стереометрия 1. Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки 2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой 3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. Характеризуют взаимное расположение точек и прямых Основное понятие геометрии «лежать между» 4. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими. А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей .
А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Аксиомы стереометрии описывают: А1. А2. А3. А В С Способ задания плоскости . А В Взаимное расположение прямой и плоскости Взаимное расположение плоскостей
Способы задания плоскости 1. Плоскость можно провести через три точки. 2. Можно провести через прямую и не лежащую на ней точку. Аксиома 1 Теорема 1 Теорема 2 3. Можно провести через две пересекающиеся прямые. А 1
Взаимное расположение прямой и плоскости. Прямая лежит в плоскости. Прямая пересекает плоскость. Прямая не пересекает плоскость. Множество общих точек. Единственная общая точка. Нет общих точек. а а М а а а М а А 2
Следствия из аксиом стереометрии. Следствие Чертеж формулировка № 1 ( Т ) № 2 ( Т ) Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Пользуясь данным рисунком, назовите: а) четыре точки, лежащие в плоскости SAB , в плоскости АВС; б) плоскость, в которой лежит прямая MN , прямая КМ; в) прямую, по которой пересекаются плоскости ASC и SBC , плоскости SAC и CAB . К А В М S N C
Пользуясь данным рисунком, назовите: а) две плоскости, содержащие прямую DE , прямую EF б) прямую, по которой пересекаются плоскости DEF и SBC ; плоскости FDE и SAC ; в) две плоскости, которые пересекает прямая SB ; прямая AC . А С В S D F E
Пользуясь данным рисунком, назовите: а) три плоскости, содержащие прямую В 1 С; прямую АВ 1; C 1 C A 1 B 1 D 1 A B D
Пользуясь данным рисунком, назовите: а) три плоскости, содержащие прямую В 1 С; прямую АВ 1; б) прямую, по которой пересекаются плоскости B 1 CD и AA 1 D 1 ; плоскости ADC 1 и A 1 B 1 B ; C 1 C A 1 B 1 D 1 A B D
Пользуясь данным рисунком, назовите: а) три плоскости, содержащие прямую В 1 С; прямую АВ 1; б) прямую, по которой пересекаются плоскости B 1 CD и AA 1 D 1 ; плоскости ADC 1 и A 1 B 1 B ; в) плоскость, не пересекающуюся с прямой CD 1 ; с прямой BC 1 C C 1 A 1 B 1 D 1 A B D
Пользуясь данным рисунком, назовите: а) три плоскости, содержащие прямую В 1 С; прямую АВ 1; б) прямую, по которой пересекаются плоскости B 1 CD и AA 1 D 1 ; плоскости ADC 1 и A 1 B 1 B ; в) плоскость, не пересекающуюся с прямой CD 1 ; с прямой BC 1 C C 1 A 1 B 1 D 1 A B D
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
b a b Три случая взаимного расположения прямых в пространстве n m l p n m l p II a
Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Определение М a b a b
Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. Признак скрещивающихся прямых D В АВ С D А C ?
Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна. Теорема о скрещивающихся прямых D С B E A
Задача Построить плоскость α , проходящую через точку К и параллельную скрещивающимся прямым а и b . Построение: Через точку К провести прямую а 1 || а. 2. Через точку К провести прямую b 1 || b . а b К а 1 b 1 3 . Через пересекающиеся прямые проведем плоскость α . α – искомая плоскость.
Задача Через вершину А ромба АВС D проведена прямая а, параллельная диагонали В D , а через вершину С – прямая b , не лежащая в плоскости ромба. Докажите, что: а) а и С D пересекаются; б) а и b скрещивающиеся прямые. В А C a b D
А D С В B 1 С 1 D 1 А 1 Задача Докажите, что прямые 1) AD и C 1 D 1 ; 2) A 1 D и D 1 C ; 3) AB 1 и D 1 C скрещивающиеся. N M
Задача. α a b М N Дано: a || b MN ∩ a = M Определить взаимное расположение прямых MN u b .
Планиметрия Стереометрия Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются . a IIb a IIb
А D С В B 1 С 1 D 1 А 1 Каково взаимное положение прямых 1) AD 1 и М N; 2) AD 1 и ВС 1 ; 3) М N и DC ? N M
Домашнее задание А В С D M N P К Дано: D (АВС), АМ = М D ; В N = ND; CP = PD К В N . Определить взаимное расположение прямых: а) ND и AB б) РК и ВС в) М N и AB г) МР и A С д) К N и A С е) М D и B С
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
А Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Повторим. ПЛАНИМЕТРИЯ. Аксиома параллельности. а b Аксиома параллельности поможет доказать теорему о параллельных прямых
Теорема Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна. М a b Прямая и не лежащая на ней точка определяют плоскость
Повторим. Следствие из аксиомы параллельности. а c b Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. a II b , c b c a Это следствие из аксиомы параллельности поможет доказать лемму о параллельных прямых
Лемма Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает данную плоскость. М a b ?
а b с Повторим. Следствие из аксиомы параллельности. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. a II с , b II с a II b Аналогичное утверждение имеет место и для трех прямых в пространстве.
a b с Теорема Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. a II с , b II с Докажем, что a II b К 1) Точка К и прямая а определяют плоскость. Докажем, что а и b Лежат в одной плоскости не пересекаются Докажем, что прямая b лежит в этой плоскости. Допустим, что прямая b пересекает плоскость . Тогда по лемме с также пересекает . По лемме и а также пересекает . Это невозможно, т.к. а лежит в плоскости 2) Используя метод от противного объясните почему прямые а и b не пересекаются.
Задача Дано: АА 1 II СС 1 , АА 1 II ВВ 1 , ВВ 1 = СС 1 Доказать, что В 1 С 1 = ВС А В 1 С А 1 В С 1
9 А В С Е F K M Задача Треугольник АВС и квадрат А EFC не лежат в одной плоскости. Точки К и М – середины отрезков АВ и ВС соответственно. Докажите, что КМ II EF . Найдите КМ, если АЕ=8см. 8см
10 А В С С D K M Домашнее задание Квадрат АВС D и трапеция KMNL не лежат в одной плоскости. Точки A и D – середины отрезков KM и NL соответственно. Докажите, что К L II BC . Найдите BC , если KL = 10 см , MN = 6 см. N L 10 см 6 см
Взаимное расположение прямой и плоскости
a с Три случая взаимного расположения прямой и плоскости II b К Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
А В С D D 1 С 1 В 1 А 1 Назовите прямые, параллельные данной плоскости
А D С В B 1 С 1 D 1 А 1 Каково взаимное положение прямых AB 1 и DC 1 , М N и DC, AB 1 и М N , MN и ВС? R N M
Дано: a ││ b , b Доказать: a ││ a b Теорема Если прямая не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости. Применим способ от противного Предположим , что прямая а пересекает плоскость . Тогда по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая b также пересекает . Это противоречит условию теоремы: Значит , наше предположение не верно, II
Следствие 1 0 Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. b a a II b II a a II
Следствие 2 0 Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости. а b a II b a II b II b
А Точки А, С, M и P лежат в плоскости , а точка В . Постройте точку пересечения прямой МР с плоскостью АВС. Поясните. В С М Р Х
А Точки А, С, E и F лежат в плоскости , а точка В . Постройте точку пересечения прямой EF с плоскостью АВС. Поясните. В С E F Х
А В С m Точки А и В лежат в плоскости , а С в плоскости . Постройте линии пересечения плоскости АВС с плоскостями и . Поясните. Х
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
α Секущей плоскостью многогранника называется любая плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. А В С D M N K Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника .
Для решения многих геометрических задач необходимо строить их сечения различными плоскостями.
1. Соединять можно только две точки, лежащие в плоскости одной грани. Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами и соединить их отрезками. 2. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. 3. Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку. Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях.
A B C m AB ∩ m = C Рис. 1 A B C D M N K MN ∩ BA = K Рис. 2
Рис. 3 Рис. 4
Сечения тетраэдра и параллелепипеда
А В С S Задача 1. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки D, Е, K . D E K M F Построение: 2. ЕК 3. ЕК ∩ АС = F 4 . FD 5. FD ∩ B С = M 6 . KM 1 . DE D Е K М – искомое сечение
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 2. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Р, К, М, М∈ВС. К Р М Построение: 1. К P 2. EM ║ К P (К 1 Р 1 ) 3. EK K Р N М E – искомое сечение К 1 Р 1 E N 4. М N ║ EK 5. Р N
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М, М∈АВ. Н Т М Построение: 1 . НМ 1. МТ 1. Н T Выберите верный вариант:
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М, М∈АВ. Н Т М Построение: 1. НМ Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Т, Н, М, М∈АВ. Н Т М Построение: 1. М T Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = Е 2. НТ ∩ B С = Е Выберите верный вариант:
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ ВС = Е Назад Комментарии: Данные прямые - скрещивающиеся! Пересекаться не могут!
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = Е Е 3 . ME ∩ AA 1 = F 3 . ME ∩ B С = F 3 . ME ∩ CC 1 =F Выберите верный вариант:
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 3 . ME ∩ AA 1 = F 2. НТ ∩ D С = E E Назад Комментарии: Данные прямые - скрещивающиеся! Пересекаться не могут!
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 3 . ME ∩ CC 1 = F 2. НТ ∩ D С = E E Назад Комментарии: Данные прямые - скрещивающиеся! Пересекаться не могут!
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Н F 4. Т F 4. МТ Выберите верный вариант:
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Н F Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. MT Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ А 1 A=K 5 . Т F ∩ В 1 B=K Выберите верный вариант:
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ А 1 А = K Комментарии: Данные прямые - скрещивающиеся! Пересекаться не могут! Назад
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. М K ∩ АА 1 =L 6 . Н K ∩ А D = L 6. Т K ∩ А D = L Выберите верный вариант:
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. Н K ∩ А D = L Комментарии: Данные прямые - скрещивающиеся! Пересекаться не могут! Назад
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. T K ∩ А D = L Комментарии: Данные прямые - скрещивающиеся! Пересекаться не могут! Назад
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. М K ∩ АА 1 = L L 7. LT 7. LF 7. LH Выберите верный вариант:
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. М K ∩ АА 1 = L L 7. L Т Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. М K ∩ АА 1 = L L 7. LF Комментарии: Данные точки принадлежат разным граням! Назад
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 3. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки Н, М, Т. Н Т М Построение: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. М K ∩ АА 1 = L L 7. L Н НТ F М L – искомое сечение
Пояснения к построению: 1. Соединяем точки K и F , принадлежащие одной плоскости А 1 В 1 С 1 D 1 . А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 4. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки Е, F, K . К L М Построение: 1. KF 2. FE 3. FE ∩ А B = L EFKNM – искомое сечение F E N 4 . LN ║ FK 6 . EM 5 . LN ∩ AD = M 7 . KN Пояснения к построению: 2. Соединяем точки F и E , принадлежащие одной плоскости АА 1 В 1 В. Пояснения к построению: 3. Прямые FE и АВ, лежащие в одной плоскости АА 1 В 1 В, пересекаются в точке L . Пояснения к построению: 4 . Проводим прямую LN параллельно FK (если секущая плоскость пересекает противоположные грани, то она пересекает их по параллельным отрезкам). Пояснения к построению: 5 . Прямая LN пересекает ребро AD в точке M . Пояснения к построению: 6 . Соединяем точки Е и М, принадлежащие одной плоскости АА 1 D 1 D . Пояснения к построению: 7 . Соединяем точки К и N , принадлежащие одной плоскости ВСС 1 В 1 .
А В С S Задача 5. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки К, М, Р, Р∈АВС К М Р Е N F Построение: 1. КМ 2. КМ ∩ СА = Е 3. E Р 4 . ЕР ∩ АВ = F ЕР ∩ В C = N 5 . М F 6 . N К КМ FN – искомое сечение
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 6. Построить сечение плоскостью, проходящей через точки К, L, М. К L М Построение: 1. ML 2. ML ∩ D 1 А 1 = E 3. EK М LFKPG – искомое сечение F E N P G T 4 . EK ∩ А 1 B 1 = F 6 . LM ∩ D 1 D = N 5 . LF 7 . Е K ∩ D 1 C 1 = T 8 . NT 9 . NT ∩ DC = G NT ∩ CC 1 = P 10 . MG 11 . PK
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 7. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки F, K, L . К L F
А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Задача 7. Построить сечение плоскостью, проходящей через данные точки F, K, L . Проверка: К L М F М KLN – искомое сечение F N