Учащимся

«ПРИВЕДЕНИЕ  ПОДОБНЫХ  СЛАГАЕМЫХ  И  РАСКРЫТИЕ  СКОБОК»

Самостоятельная  работа  № 8

«РЕШЕНИЕ  ЗАДАЧ  С  ПОМОЩЬЮ  УРАВНЕНИЙ»

1. Дана арифметическая прогрессия:  Найдите сумму первых десяти её членов.

2. Дана арифметическая прогрессия   Найдите  .

3. Дана арифметическая прогрессия   Найдите сумму первых десяти её членов.

4. Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 3; 6; 9; 12;… Какое из следующих чисел есть среди членов этой прогрессии?

5. Арифметические прогрессии ,  и  заданы формулами n-го члена: , , 

Укажите те из них, у которых разность  равна 4.

6. В первом ряду кинозала 30 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

7. Дана арифметическая прогрессия: 33; 25; 17; … Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

8. Арифметическая прогрессия задана условиями:, . Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?

9. Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии: −8,6; −8,4; ...

10. Арифметическая прогрессия  задана формулой n-го члена  и известно, что . Найдите пятый член этой прогрессии.

11. В арифметической прогрессии    известно, что  . Найдите четвёртый член этой прогрессии.

12. Арифметическая прогрессия задана условиями:  . Найдите сумму первых 19 её членов.

13. Какое наибольшее число последовательных натуральных чисел, начиная с 1, можно сложить, чтобы получившаяся сумма была меньше 528?

14. Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 11,2; 10,8; …

15. Какое наименьшее число последовательных натуральных чисел, начиная с 1, нужно сложить, чтобы получившаяся сумма была больше 465?

16. Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии –7,2; –6,9; …

17. Арифметическая прогрессия (an) задана условиями: a1 = 3, an + 1 = an + 4. Найдите a10.

18. Записаны первые три члена арифметической прогрессии: 20; 17; 14. Какое число стоит в этой арифметической прогрессии на 91-м месте?

19. Дана арифметическая прогрессия (аn): −6; −2; 2; … . Найдите a16.

20. Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: −87 ; −76; −65; … Найдите первый положительный член этой прогрессии.

21. В первом ряду кинозала 24 места, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду?

22. Фигура составляется из квадратов так, как показано на рисунке: в каждой следующей строке на 8 квадратов больше, чем в предыдущей. Сколько квадратов в 16-й строке?

23. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: …; −9; x; −13; −15; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x .

24. Дана арифметическая прогрессия (an), разность которой равна 2,5, a1 = 8,7. Найдите a9.

25. Даны пятнадцать чисел, первое из которых равно 6, а каждое следующее больше предыдущего на 4. Найти пятнадцатое из данных чисел.

26. Дана арифметическая прогрессия (an), разность которой равна −8,5, a1 = −6,8. Найдите a11.

27. Арифметическая прогрессия  задана условиями:  Найдите  

28. Дана арифметическая прогрессия (an), для которой a10 = 19, a15 = 44. Найдите разность прогрессии.

29. Арифметическая прогрессия задана условием an = −0,6 + 8,6n. Найдите сумму первых 10 её членов.

30. Дана арифметическая прогрессия (an), разность которой равна −2,5, a1 = −9,1. Найдите сумму первых 15 её членов.

31. Арифметическая прогрессия задана условием an = −11,9 + 7,8n . Найдите a11.

32. Первый член арифметической прогрессии равен −11,9, а разность прогрессии равна 7,8. Найдите двенадцатый член этой прогрессии.

33. Дан числовой набор. Его первое число равно 6,2, а каждое следующее число на 0,6 больше предыдущего. Найдите пятое число этого набора.

34. Последовательность задана формулой . Сколько членов в этой последовательности больше 3?

35. Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: −26 ; −20; −14; … Найдите первый положительный член этой прогрессии.

36. Дана арифметическая прогрессия (an), разность которой равна 1,1, a1 = −7. Найдите сумму первых 8 её членов.

37. Арифметическая прогрессия задана условием an = 1,9 - 0,3n. Найдите сумму первых 15 её членов.

1. Дана арифметическая прогрессия:  Найдите сумму первых десяти её членов.

Решение.

Определим разность арифметической прогрессии:

Сумма первых k-ых членов может быть найдена по формуле

Необходимо найти , имеем:

Ответ: 50.

2. Дана арифметическая прогрессия   Найдите  .

Решение.

Определим разность арифметической прогрессии:

Член арифметической прогрессии с номером  может быть найден по формуле

Необходимо найти , имеем:

Ответ: 23.

3. Дана арифметическая прогрессия   Найдите сумму первых десяти её членов.

Решение.

Определим разность арифметической прогрессии:

Сумма первых k-ых членов может быть найден по формуле

Нам необходимо найти , поэтому в формулу для нахождения  ставим 10 вместо :

Ответ: 75.

4. Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 3; 6; 9; 12;… Какое из следующих чисел есть среди членов этой прогрессии?

Решение.

Найдем разность арифметической прогрессии:  Зная разность и член арифметической прогрессии, решим уравнение относительно n , подставив данные в формулу для нахождения n-го члена:

Членом прогрессии является число 102. Таким образом, правильный ответ указан под номером 4.

Ответ: 4.

Примечание.

Заданная арифметическая прогрессия состоит из чисел, кратных трём. Числа 83, 95 и 100 не кратны 3, они не являются членами прогрессии; а число 102 кратно 3, оно является её членом.

5. Арифметические прогрессии ,  и  заданы формулами n-го члена: , , 

Укажите те из них, у которых разность  равна 4.

Решение.

Найдем 

Для каждой из прогрессий ,  и  найдем разность:

Разность прогрессии равна 4 для прогрессии  и . Таким образом, верный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2.

6. В первом ряду кинозала 30 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

Решение.

Количество мест в рядах кинозала образуют арифметическую прогрессию. По формуле для нахождения n-го члена арифметической прогрессии имеем:

Таким образом, правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1.

7. Дана арифметическая прогрессия: 33; 25; 17; … Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

Решение.

Для члена  имеем:  По формуле нахождения n-го члена арифметической прогрессии имеем:

Первое число, которое удовлетворяет этому условию, число 6. Следовательно, первым отрицательным членом прогрессии является 

Таким образом, правильный ответ указан под номером 1.

Ответ: 1.

8. Арифметическая прогрессия задана условиями:, . Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?

Решение.

Найдем разность арифметической прогрессии: 

Зная разность и первый член арифметической прогрессии, решим уравнение относительно , подставив данные в формулу для нахождения n-го члена:

Таким образом, число 48 является членом прогрессии. Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3.

9. Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии: −8,6; −8,4; ...

Решение.

1. Найдём разность прогрессии:  .

2. Найдём число отрицательных членов прогрессии.

Составим формулу -го члена:  .

Решим неравенство  получим  < 44. Значит,  = 43.

3. 

Ответ: −189,2.

10. Арифметическая прогрессия  задана формулой n-го члена  и известно, что . Найдите пятый член этой прогрессии.

Решение.

Найдём разность прогрессии: 

Тогда для пятого члена прогрессии 

Ответ: 11.

11. В арифметической прогрессии    известно, что  . Найдите четвёртый член этой прогрессии.

Решение.

Имеем: 

Ответ: 7.

12. Арифметическая прогрессия задана условиями:  . Найдите сумму первых 19 её членов.

Решение.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии даётся формулой

По условию,   откуда получаем

Ответ: 95.

13. Какое наибольшее число последовательных натуральных чисел, начиная с 1, можно сложить, чтобы получившаяся сумма была меньше 528?

Решение.

Для ответа на вопрос задачи требуется найти такое наибольшее  что  Рассмотрим арифметическую прогрессию с первым членом  и разностью  Cумма  первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

в нашем случае

Найдем наибольшее натуральное решение неравенства . Для этого найдём корни уравнения

Вычислим дискриминант:

откуда получаем:

Таким образом, при  сумма 32 слагаемых равна 528. Следовательно, наибольшее натуральное число, для которого сумма будет меньше 528, равно 31.

Ответ: 31.

Примечание.

Можно заметить, что  откуда сразу же получаем:  или 

14. Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 11,2; 10,8; …

Решение.

Определим разность прогрессии:

Найдём выражение для n-го члена прогрессии:

.

Найдем номер последнего положительного члена прогрессии:

Следовательно, чтобы найти сумму всех положительных членов данной арифметической прогрессии необходимо сложить её первые 28 членов.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии даётся формулой

откуда имеем:

Ответ: 162,4.

15. Какое наименьшее число последовательных натуральных чисел, начиная с 1, нужно сложить, чтобы получившаяся сумма была больше 465?

Решение.

Для ответа на вопрос задачи требуется найти такое наименьшее  что  Рассмотрим арифметическую прогрессию с первым членом  и разностью  Cумма  первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

в нашем случае

Найдем наименьшее натуральное решение неравенства . Для этого найдём корни уравнения

Вычислим дискриминант:

откуда получаем:

Таким образом, при  сумма 30 слагаемых равна 465. Следовательно, наименьшее натуральное число, для которого сумма будет больше 465, равно 31.

Ответ: 31.

Примечание.

Можно заметить, что  откуда сразу же получаем:  или 

16. Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии –7,2; –6,9; …

Решение.

Определим разность прогрессии:

Найдём выражение для n-го члена прогрессии:

.

Найдем номер последнего отрицательного члена прогрессии:

Следовательно, чтобы найти сумму всех отрицательных членов данной арифметической прогрессии необходимо сложить её первые 24 члена.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии даётся формулой

откуда имеем:

Ответ: −90.

17. Арифметическая прогрессия (an) задана условиями: a1 = 3, an + 1 = an + 4. Найдите a10.

Решение.

Определим разность арифметической прогрессии:

Член арифметической прогрессии с номером  может быть найден по формуле

Необходимо найти , имеем:

Ответ: 39.

18. Записаны первые три члена арифметической прогрессии: 20; 17; 14. Какое число стоит в этой арифметической прогрессии на 91-м месте?

Решение.

Определим разность арифметической прогрессии:

Член арифметической прогрессии с номером  может быть найден по формуле

Необходимо найти , имеем:

Ответ: −250.

19. Дана арифметическая прогрессия (аn): −6; −2; 2; … . Найдите a16.

Решение.

Определим разность арифметической прогрессии:

Член арифметической прогрессии с номером  может быть найден по формуле

Необходимо найти , имеем:

Ответ: 54.

20. Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: −87 ; −76; −65; … Найдите первый положительный член этой прогрессии.

Решение.

Определим разность арифметической прогрессии:

Член арифметической прогрессии с номером  может быть найден по формуле

Нам же нужно найти первый положительный член этой прогрессии, т. е. нужно, чтобы выполнялось условие Решим неравенство :

Значит  — первый положительный член этой прогрессии.

Ответ: 1.

21. В первом ряду кинозала 24 места, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду?

Решение.

Число мест в ряду представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом  и разностью  Член арифметической прогрессии с номером  может быть найден по формуле

Необходимо найти , имеем:

Ответ: 38.

22. Фигура составляется из квадратов так, как показано на рисунке: в каждой следующей строке на 8 квадратов больше, чем в предыдущей. Сколько квадратов в 16-й строке?

Решение.

Число квадратов в строке представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом  и разностью  Член арифметической прогрессии с номером  может быть найден по формуле

Необходимо найти , имеем:

Ответ: 122.

23. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: …; −9; x; −13; −15; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x .

Решение.

Найдем разность арифметической прогрессии:  Поэтому 

Ответ: −11.

24. Дана арифметическая прогрессия (an), разность которой равна 2,5, a1 = 8,7. Найдите a9.

Решение.

Член арифметической прогрессии с номером  можно найти по формуле Требуется найти 

Ответ: 28,7.

25. Даны пятнадцать чисел, первое из которых равно 6, а каждое следующее больше предыдущего на 4. Найти пятнадцатое из данных чисел.

Решение.

Последовательность, описанная в условии, образует арифметическую прогрессию с первым членом, равным шести, и разностью 4. Пятнадцатый член данной прогрессии равен: 

Ответ: 62.

26. Дана арифметическая прогрессия (an), разность которой равна −8,5, a1 = −6,8. Найдите a11.

Решение.

Член арифметической прогрессии с номером  можно найти по формуле Требуется найти 

Ответ: −91,8.

27. Арифметическая прогрессия  задана условиями:  Найдите  

Решение.

Воспользовавшись формулой, получаем:

Ответ: −30,4.

28. Дана арифметическая прогрессия (an), для которой a10 = 19, a15 = 44. Найдите разность прогрессии.

Решение.

Член арифметической прогрессии с номером n вычисляется по формуле Зная, что a10 = 19, b15 = 44, получаем систему уравнений. Вычтем первое уравнение из второго и решим систему:

Ответ: 5.

29. Арифметическая прогрессия задана условием an = −0,6 + 8,6n. Найдите сумму первых 10 её членов.

Решение.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии даётся формулой

Найдем разность и первый член прогрессии :

Подставим найденные значения в формулу:

Ответ: 467.

30. Дана арифметическая прогрессия (an), разность которой равна −2,5, a1 = −9,1. Найдите сумму первых 15 её членов.

Решение.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии даётся формулой

По условию,   откуда получаем

Ответ: −399.

31. Арифметическая прогрессия задана условием an = −11,9 + 7,8n . Найдите a11.

Решение.

Подставим 11 вместо индекса n:

Ответ: 73,9.

32. Первый член арифметической прогрессии равен −11,9, а разность прогрессии равна 7,8. Найдите двенадцатый член этой прогрессии.

Решение.

Член арифметической прогрессии с номером  может быть найден по формуле

Необходимо найти , имеем:

Ответ: 73,9.

33. Дан числовой набор. Его первое число равно 6,2, а каждое следующее число на 0,6 больше предыдущего. Найдите пятое число этого набора.

Решение.

Заметим, что дана арифметическая прогрессия, первый член которой равен 6,2, а разность равна 0,6. Таким образом, пятый элемент данной прогрессии вычисляется по формуле:

Ответ: 8,6.

34. Последовательность задана формулой . Сколько членов в этой последовательности больше 3?

Решение.

 Таким образом, правильный ответ 4.

Ответ: 4.

35. Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: −26 ; −20; −14; … Найдите первый положительный член этой прогрессии.

Решение.

Определим разность арифметической прогрессии:

Член арифметической прогрессии с номером  может быть найден по формуле

Нам же нужно найти первый положительный член этой прогрессии, т. е. нужно, чтобы выполнялось условие Решим неравенство :

Значит  — первый положительный член этой прогрессии.

Ответ: 4.

36. Дана арифметическая прогрессия (an), разность которой равна 1,1, a1 = −7. Найдите сумму первых 8 её членов.

Решение.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии даётся формулой

По условию,   откуда получаем

Ответ: −25,2.

37. Арифметическая прогрессия задана условием an = 1,9 - 0,3n. Найдите сумму первых 15 её членов.

Решение.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии даётся формулой

Найдем разность и первый член прогрессии :

Подставим найденные значения в формулу:

Ответ: -7,5.