Ученикам 11-12 классов

формулы понижения степени:

формулы понижения степени:

ЧИСЛОВЫЕ  ФУНКЦИИ

Определение 1

Если даны числовое множество Х и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х из множества Х определенное число y, то говорят, что задана функция y = f(x) с областью определения X;

Y = f(x),  x X

Переменную х называют независимой переменной или аргументом,

переменную y – зависимой переменной.

Определение 2

Область определения функции y = f(x), x X – это множество значений х, для которых функция определена (т.е. ее возможно вычислить).

Обозначают D(f), т.е. имеем    D(f) = X.

Если область определения функции y = f(x) совпадает с областью определения выражения f(x), такую область определения называют естественной.

Определение 3

Множество всех значений функции y = f(x), x X, называют областью значений функции и обозначают E(f).

Определение 4

Графиком функции y = f(x), x X, называют множество F точек (x;y) координатной плоскости xOy:

Способы задания функции

1. Аналитический (например, y = x2).
2. Графический.
3. Табличный.
4. Словесный (например, функция задана правилом: квадраты от целой части числа х)

Определение 5

Функцию y = f(x) называют возрастающей на множестве , если для любых двух элементов множества  таких, что <, выполняется <

Определение 5’

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции (поднимаемся «в горку»).

Определение 6

Функцию y = f(x) называют убывающей на множестве , если для любых двух элементов множества  таких, что <, выполняется >

Определение 6’

Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (спускаемся «с горки»).

Определение 7

Функция, возрастающая или убывающая на всей области определения называется монотонной.

Определение 8

Функцию y = f(x) называют ограниченной снизу на множестве , если существует число m такое, что для любого  выполняется f(x)>m.

Определение 9

Функцию y = f(x) называют ограниченной сверху на множестве , если существует число m такое, что для любого  выполняется f(x).

Определение 10

Если функция ограничена и сверху, и снизу, то её называют ограниченной.

Определение 11

Число m называют наименьшим значением (минимумом) функции y = f(x) на множестве , если

1. существует число x0  такое, что f(x0 ) = m;
2. для любого значения  выполняется неравенство .

Определение 12

Число m называют наибольшим значением (максимумом) функции y = f(x) на множестве , если

1. существует число x0  такое, что f(x0 ) = m;
2. для любого значения  выполняется неравенство .

1. Если у функции существует ymin, то она ограничена снизу.
2. Если у функции существует ymax, то она ограничена сверху.
3. Если функция не ограничена снизу, то ymin  не существует.
4. Если функция не ограничена сверху, то ymax  не существует.

Прочитать график функции 

означает указать для неё:

1. Область определения.
2. Монотонность.
3. Ограниченность.
4.  ymin и ymax
5. Непрерывность.
6. Область значений.
7. Выпуклость (для некоторых функций).
8. Четность.

Определение 13

Функцию  y = f(x),  называют чётной, если для любого значения x из множества X выполняется равенство

Определение 14

Функцию  y = f(x),  называют нечётной, если для любого значения x из множества X выполняется равенство

Определение 15

Если числовое множество Х с каждым своим элементом х содержит и противоположный элемент –х, то Х называют симметричным множеством.

Если функция y = f(x) – чётная или нечётная, то её область определения – симметричное множество.

График чётной функции симметричен относительно оси y.

График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Если график функции симметричен относительно оси y, то это чётная функция.

Если график функции симметричен относительно начала координат, то это нечётная функция.

Определение 16

Функцию  y = f(x),  называют обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке множества Х (иными словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции)

Теорема 1

Если функция y = f(x),  монотонна на множестве Х, то она обратима.

Примечание

Существуют немонотонные, но обратимые функции.

Определение 17

Пусть  y = f(x),  обратимая функция и E(f)=Y. Поставим в соответствие каждому  то единственное значение х, при котором  f(x) = y (т.е. единственный корень уравнения f(x) = y относительно переменной х). Тогда получим функцию, которая определена на Y, а Х – ее область значений. Эту функцию обозначают  и называют обратной по отношению к функции y = f(x), .

Теорема 2

Если функция y = f(x) возрастает (убывает) на множестве Х, а Y – область значений функции, то обратная функция  возрастает (убывает) на Y.

Чтобы получить график функции, обратной данной, нужно график функции отразить относительно прямой y=x.

Определение 16

Функцию  y = f(x),  называют обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке множества Х (иными словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции)

Теорема 1

Если функция y = f(x),  монотонна на множестве Х, то она обратима.

Примечание

Существуют немонотонные, но обратимые функции.

Определение 17

Пусть  y = f(x),  обратимая функция и E(f)=Y. Поставим в соответствие каждому  то единственное значение х, при котором  f(x) = y (т.е. единственный корень уравнения f(x) = y относительно переменной х). Тогда получим функцию, которая определена на Y, а Х – ее область значений. Эту функцию обозначают  и называют обратной по отношению к функции y = f(x), .

Теорема 2

Если функция y = f(x) возрастает (убывает) на множестве Х, а Y – область значений функции, то обратная функция  возрастает (убывает) на Y.

Чтобы получить график функции, обратной данной, нужно график функции отразить относительно прямой y=x.

Определение 18

Функцию  y = f(x),  называют периодической, если существует такое отличное от нуля число Т, что для любого x множества X выполняется двойное равенство

Число Т, удовлетворяющее указанному условию, называют периодом функции y = f(x).

Наименьший положительный период – основной период функции.

Формулы приведения

1. Если под знаком тригонометрической функции содержатся выражения типа , , , , то наименование функции сохраняем.
2. Если под знаком тригонометрической функции содержатся выражения типа , , , , то наименование функции меняем (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот).
3. Перед полученной функцией ставим знак, который имела бы функция при условии, что .

Пример:   – наименование меняем

на tg t, знак сохраняем, т.к., если t из 1 четверти, то  принадлежит 3 четверти, а в ней котангенс положительный. Итого имеем:

Определение 18

Функцию  y = f(x),  называют периодической, если существует такое отличное от нуля число Т, что для любого x множества X выполняется двойное равенство

Число Т, удовлетворяющее указанному условию, называют периодом функции y = f(x).

Наименьший положительный период – основной период функции.

Определение 18

Функцию  y = f(x),  называют периодической, если существует такое отличное от нуля число Т, что для любого x множества X выполняется двойное равенство

Число Т, удовлетворяющее указанному условию, называют периодом функции y = f(x).

Наименьший положительный период – основной период функции.

Определение 18

Функцию  y = f(x),  называют периодической, если существует такое отличное от нуля число Т, что для любого x множества X выполняется двойное равенство

Число Т, удовлетворяющее указанному условию, называют периодом функции y = f(x).

Наименьший положительный период – основной период функции.

Определение 18

Функцию  y = f(x),  называют периодической, если существует такое отличное от нуля число Т, что для любого x множества X выполняется двойное равенство

Число Т, удовлетворяющее указанному условию, называют периодом функции y = f(x).

Наименьший положительный период – основной период функции.

Определение 18

Функцию  y = f(x),  называют периодической, если существует такое отличное от нуля число Т, что для любого x множества X выполняется двойное равенство

Число Т, удовлетворяющее указанному условию, называют периодом функции y = f(x).

Наименьший положительный период – основной период функции.

Определение 18

Функцию  y = f(x),  называют периодической, если существует такое отличное от нуля число Т, что для любого x множества X выполняется двойное равенство

Число Т, удовлетворяющее указанному условию, называют периодом функции y = f(x).

Наименьший положительный период – основной период функции.