Методическая разработка элективного курса для старших классов "MathCad в решении математических задач"

Урок 1. Входное тестирование.

С целью проверки заинтересованности школьников в применении компьютерных технологий при изучении математики проводится анкетирование.

Анкета для учащихся

_________________________

(класс)

Уважаемый ученик! Просим ответить на следующие вопросы

1. Какие уроки Вам больше нравятся:

а) с использованием схем, таблиц;

б) с использованием технических средств (интерактивной доски, компьютерной презентации и др.);

в) главное, чтоб на уроке было интересно;

г) люблю все уроки.

2. При проверке (контроле) результатов выполнения домашних заданий Вы используйте прикладные компьютерные программы (Excel,Mathcad)

1. Очень часто;

б) часто;

в) редко;

г) никогда.

3. Как часто на уроках математики используются информационные технологии?

а)чень часто;

б) часто;

в) редко;

г) никогда.

4. Используйте ли Вы Internet при выполнении домашних заданий по математике?

1. очень часто;

б) часто;

в) редко;

 г) никогда.

5. Какое место занимают информационные технологии в процессе изучения математики?

а)главное;

б) не самое главное;

в) второстепенное;

г) никакого места не занимает;

д) не задумывался над этим;

е) не знаю.

6. Знакомы ли Вы с системами компьютерной математики?

a) да, я использую их для проверки выполнения заданий;

б) знаю о их существовании, но сам(а) не работал(а);

в) не знаком(а).

7. Что делают ученики во время показа презентаций?

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

8. Какие уроки кажутся Вам более интересными – уроки с использованием презентаций или без них? Почему?

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

____________________________________________________________

9. Как Вы думаете, какая польза от использования на уроках математики информационных технологий?

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_________________________________________________________

10. Как Вы считаете, на каких уроках нужно использовать компьютер, презентации? Почему?

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

СПАСИБО!

Конспект вводного урока

Тема урока. Первоначальное знакомство с Mathcad.

Цель урока. Познакомить учащихся с назначением, с основными возможностями и понятиями пакета.

Тип урока. Изучение нового материала.

Ход урока.

I. Организационный момент. (5 минут)

II. Объяснение нового материала. (35 минут)

1) Назначение пакета и основные его возможности.

2) Запуск Mathcad.

3) Рабочее окно Mathcad

III. Итог урока. (5 минут)

Ход урока.

I. Организационный момент.

Учащиеся записывают тему урока в тетрадь, учитель проверяет присутствующих на занятии.

II. Объяснение нового материала.

То, что под знаком ! , учащиеся записывают в тетрадях.

1) Назначение пакета.

! Mathcad является интегрированной системой программирования, ориентированной на проведение математических и инженерно-технических расчетов. Он является новой уникальной системой для работы с формулами, числами, текстами и графиками.

Пакет чрезвычайно прост в использовании. Его интерфейс настолько удобно сделан, что пользователь работает с рабочим листом программы, как с листом бумаги, где он пишет формулы и математические выражения в их привычной нотации.

! Система Mathcad содержит текстовый редактор, мощный вычислитель и графический процессор.

Текстовый редактор служит для ввода и редактирования текстов. Тексты являются комментариями, и входящие в них математические выражения не исполняются. Текст может состоять из слов, математических выражений и формул, спецзнаков. Отличительная черта Mathcad – использование общепринятой в математике символики. Например, знак деления обозначается горизонтальной чертой, а не наклонной.

Вычислитель обладает уникальными возможностями. Он обеспечивает вычисления по сложным математическим формулам, имеет большой набор встроенных математических функций, позволяет вычислять ряды, суммы и произведения, определенные интегралы и производные, работать с комплексными числами, а также решать линейные и нелинейные уравнения, выполнять векторные и матричные операции.

Графический процессор служит для создания графиков. Графический процессор сочетает чрезвычайную простоту общения с пользователем с самыми изысканными возможностями графических средств. Простые графики нескольких функций пользователь может начать строить буквально впервые секунды знакомства с системой. Помимо традиционных типов графиков, можно строить полярные графики, графики поверхностей, графики векторных полей и линии уровня. Графика ориентирована на решение типичных математических задач. Возможно быстрое изменение графиков, наложение их на текстовые надписи и перемещение в любое место документа.

Объединяя в одном рабочем месте текст, графику и математические вычисления, Mathcad облегчает понимание самых сложных вычислений.

2) Запуск пакета.

Познакомимся с одним из основных способов запуска пакета Mathcad.

1. Переместить указатель мыши (сейчас он имеет вид стрелки) на кнопку Пуск, расположенную в левом углу экрана, и щелкните основной кнопкой мыши.

2. Перемещать указатель вверх до тех пор, пока пункт меню Программы не окажется подсвеченным. На экране при этом возникнет список программ.

3. Перемещать указатель до тех пор, пока выбранным не окажется пункт меню Mathcad PLUS.

4. Щелкнуть на нем, чтобы открыть Mathcad.

! Запуск Mathcad: Пуск→Программы→MathcadPlus.

3) Рабочий экран Mathcad.

Теперь рассмотрим элементы окна пакета. Подобно другим программам под Windows, Mathcad содержит полосу меню (верхняя строка в окне). Чтобы вызвать меню, достаточно щелкнуть по нему мышью или нажать клавишу [Alt] вместе с подчеркнутым символом.

Каждая кнопка в полосе кнопок, находящейся ниже меню, открывает палитру символов. Эти палитры служат для вставки операторов, греческих букв, графиков и т.п.

Ниже этой полосы кнопок – панель инструментов. Многие команды меню можно быстро вызвать, нажать кнопку на панели инструментов. Для того, чтобы узнать, что делает кнопка, достаточно нажать на нее, и появится строка сообщений

Прямо под панелью инструментов располагается панель шрифтов. Она содержит шаблоны выбора и кнопки, используемые для задания характеристик шрифтов в уравнениях и тексте.

Учащиеся просматривают рабочий экран пакета.

В правой стороне окна вы видите вертикальную полосу прокрутки. Она позволяет просмотреть те части рабочего места, которые в данный момент не отображаются на экране. Для того, чтобы увидеть то, что находится на рабочем листе выше или ниже отображаемой в текущий момент части, достаточно щелкнуть на соответствующей стрелке полосы прокрутки

В нижней части окна вы видите горизонтальную полосу прокрутки. Она действует аналогично вертикальной. Различие лишь в том, что прокрутка осуществляется вправо и влево, а не вверх и вниз.

Далее учащиеся просматривают действия полос прокрутки.

4) Основные понятия.

Mathcad прост. Он был создан в соответствии с главными задачами: быть мощным, гибким и легким в использовании. В Mathcad:

- Везде используется привычный способ математической записи. Если существует общепринятый способ изображения уравнения, математической операции или график, то Mathcad использует его.

- То, что вы видите, это то, что вы получаете. Не существует никакой скрытой информации; все показывается на экране. Результат вывода на печать выглядит в точности так же, как на экране дисплея.

- Для создания простых выражений достаточно их просто напечатать.Мathcad использует клавиши для печати стандартных математических операций.

- Mathcad позволяет создать график, вычислить интеграл или другое математическое выражение, просто заполняя пустые поля в предлагаемых бланках

- Числовые алгоритмы, используемые пакетом, являются общепринятыми и отличаются устойчивостью и хорошей изученностью. Вычисление интегралов, обращение матриц и решение уравнений осуществляются надежными стандартными методами.

III. Итог урока.

Итак, сегодня мы с вами познакомились с одним из самых мощных интегрированных математических пакетов – Mathcad. Научились запускать пакет, изучили рабочий экран, познакомились с основными понятиями и возможностями пакета Mathcad. А теперь ответьте на вопросы.

1) Каково назначение пакета?

2) Как производится запуск пакета?

3) Назовите все элементы окна пакета.

4) Каковы основные возможности пакета?

Учащиеся отвечают на вопросы.

Заключение

В процессе написания курсовой работы была проанализирована теоретическая и научно-методическая литература по данной теме. Обобщая полученные сведения, была сформулирована теоретическая и научно-методическая литература по данной теме. Обобщая полученные сведения, была сформулирована гипотеза работы и поставлены задачи для ее подтверждения.

В ходе работы над курсовым проектом было сделано следующее:

- определено значение дифференциации обучения информатике;

- определены цель и основные задачи данного курса;

- разработано содержание фрагмента факультативного курса – «Математический пакет для научных расчетов «Mathcad»»;

- составлено тематическое планирование данного фрагмента курса;

- рассмотрены методы и организационные формы обучения информатике.

Разработанное тематическое планирование по курсу «Математический пакет для научных расчетов «Mathcad»» могут быть использованы в практике работы учителей. Это будет служить не только расширению и углублению теоретических знаний, умений и навыков школьников по математике, но предполагает и практическую подготовку, усиливающую профориентационную направленность обучения математике с использованием математических пакетов (в частности, пакета Mathcad).

Урок 22. Элементы комбинаторики.

Работа  со  встроенными  функциями  комбинаторики  и  теории  чисел.

Использование  простейших  средств  программирования  для  рассмотрения

кусочно-заданных функций.

С        целью        актуализации        знаний        вначале        решаются        задачи        без

использования MathCad:

Задача 1. В футбольной команде 11 человек, нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Каждый из 11 человек команды может стать капитаном, поэтому . Каждый из оставшихся 10 членов команды может стать заместителем капитана, значит =10. Поэтому всего способов будет 110.

(формула =).

Задача 2. Здание школы имеет 5 запасных выходов. Сколькими способами можно войти и выйти из здания школы?

Решение.  по  правилу  умножения  получаем  5×5=25  способов.  Ответ:  25

способов.

Задача 3. Олеся, Оксана и Юля купили билеты на концерт симфонического оркестра на 1, 2 и 3-е места первого ряда. Сколько существует способов размещения девочек на эти места?

Решение. Количество различных способов равно числу перестановок из 3

элементов: Р3 = 3! = 1×2×3 = 6 способов.

Далее        школьникам        предлагается        выполнить        задания        в        программе

MathCad. Приведем примеры подобных задач.

Задача        1.        Учащиеся        11-го        класса        изучают        9        учебных        предметов.        В

расписании учебных занятий на один день можно поставить 4 различных предмета. Сколько существует различных способов составления расписания на один день?

Решение. Имеем 9-элементное множество, элементы которого учебные предметы. При составлении расписания мы будем выбирать 4-элементное подмножество и устанавливать в нем порядок. Число таких способов равно числу размещений из девяти по четыре, то есть :

Задача 2. Сколько существует способов выбора трѐх карт из колоды в 36

карт?

Решение. Изъятые из колоды 3 карты без учета порядка их расположения в наборе являются сочетаниями из 36 по 3.

Задача 3. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4 при условии, что все цифры не должны повторяться? Постройте дерево вариантов.

Ответ: 4 числа.

Урок 23. Элементы комбинаторики.

Приведем        примеры        задач        для        актуализации        знаний        (решение

выполняется без использования MathCad).

Задача 1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6. Ответ округлите до сотых.

Решение. Исход в этом опыте – упорядоченная пара чисел. Первое число выпадет на первом кубике, второе – на втором. Множество исходов удобно представить таблицей.

Строки соответствуют количеству очков на первом кубике, столбцы – на втором кубике. Всего элементарных событий n=36.

Напишем в каждой клетке сумму выпавших очков и закрасим клетки, где сумма равна 6.

Таких  ячеек  5.  Значит,  событию  A  =  {сумма  выпавших  очков  равна  6}

благоприятствует 5 исходов. Следовательно, m=5. Поэтому, P( A)= = 0,14.

Задача 2. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 3 очка. Результат округлите до сотых.

Решение. Исход в этом опыте – упорядоченная пара чисел. Всего событий n=36.

Событию А={сумма равна 3} благоприятствуют 2 исходов. Следовательно,

m=2. Поэтому, P( A)= .

Задача 3. Люба дважды бросает игральный кубик. В сумме у неѐ выпало 9

очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 5 очков.

Решение. Исход в этом опыте – упорядоченная пара чисел. Первое число выпадет при первом броске, второе – при втором. Множество исходов удобно представить таблицей.

Строки соответствуют результату первого броска, столбцы – результату второго броска.

Всего событий, при которых сумма очков 9 будет n=4. Событию А={при одном из бросков выпало 5 очков} благоприятствует 2 исхода.

Следовательно, m=2.

Поэтому, P( A)= .

Приведем примеры заданий, рассчитанных на выполнение в MathCad.

Задача 1. Света дважды бросает игральный кубик. В сумме у неѐ выпало 6

очков. Найдите вероятность того, что при одном из бросков выпало 1 очко.

Решение.

Равновозможных исходов – 5.

Благоприятствующих исходов – 2.

Вероятность события p=.

Задача 2. Маша трижды бросает игральный кубик. Какова вероятность того,

что все три раза выпадут чѐтные числа.

Решение. У Маши равновозможных исходов: 6 · 6 · 6 = 216.

Благоприятствующих проигрышу исходов: 3 · 3 · 3 = 27.

Вероятность события

Задача 3. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 16 очков. Результат округлите до сотых.

Решение.

Равновозможных исходов: 6 · 6 · 6 = 216.

Благоприятствующих исходов: 6.

Вероятность события Следовательно, m=3.

Поэтому,  P( A)= .

Урок 24. Задачи из единого государственного экзамена (ЕГЭ).

Решение задач практического содержания (на дроби, проценты, смеси и сплавы).

Приведем примеры задач для актуализации знаний (решение выполняется без использования MathCad).

Задача 1. В сосуд, содержащий 7 литров 14-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение. Пусть в сосуде изначально было x л некоторого вещества. Составляем пропорцию  Откуда x = 0,98л . После того, как в сосуд долили 7 литров воды, воды стало 14 л, а некоторого вещества по-прежнему  x = 0,98л .

Составим очередную пропорцию Откуда процент некоторого вещества в сосуде

Ответ: 7.

Задача 2. Смешали некоторое количество 13-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 17-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение. Пусть x – вес первого раствора. В нем 0,13x некоторого вещества.

Составляем

Второго вещества по весу взяли столько же. В нем 0,17x того же некоторого

вещества, что и в первом:

Тогда в смешанном растворе будет 0.13x + 0.17x = 0.3x по весу некоторого

вещества.
Составляем пропорцию:

Концентрация раствора

Ответ: 15.

Задача 3. Дима, Андрей, Гриша и Коля учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Дима внес 26% уставного капитала, Андрей - 55000 рублей, Гриша – 0,16 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Коля. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Коле? Ответ дайте в рублях.

Решение. Найдем процент уставного капитала Андрея:

А        так        как        проценты        уставного        капитала        Димы        и        Гриши        26%        и        16%

соответственно, то уставной процент Коли:

100 – 26 – 27,5 – 16 = 30,5%

А значит, от прибыли в 1 000 000 000 рублей он получит:

Ответ: 305000.

Приведем примеры заданий для решения с использованием MathCad.

Задание 1. Виноград содержит 90% влаги, а изюм – 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 40 килограммов изюма?

Решение.  Очень  важно  понимать,  что:  «твердая  часть  винограда»  равна

«твердой части изюма».

Обозначим за        x кг твердую часть винограда (изюма). Она составляет 95%  веса изюма.

Итак, в изюме массой 40 кг, также как и в винограде, из которого он получен твердая часть – 38 кг.

Твердая часть в винограде занимает 10% веса. Обозначим за mкг массу винограда.

Итак, необходимо взять 380 кг винограда (чтобы получить 40 кг изюма)

Ответ: 380.

Задание 2.  В 2008 г.  в городском квартале проживало 40 000 человек. В

2009 г., в результате строительства новых домов, число жителей выросло на

1%, а в 2010 г. – на 9% по сравнению с 2009 г. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 г.?

Решение. 1) 1% (то есть сотая часть) от 40 000 жителей – это 400 человек.

Значит, в 2009 году число жителей составило 40 000 + 400 = 40 400 (человек) .

1. Найдем 9% от 40 400 жителей:

Итак, в 2010 г. в квартале стало проживать 40 400 + 3636 = 44036(человек) .

Ответ: 44036.

Задание 3. Имеются два сосуда. Первый содержит 100 кг, а второй — 60 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 19% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 22% кислоты.

Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Решение. Ситуация 1. Пусть x % – концентрация кислоты в первом растворе, y % – концентрация кислоты во втором растворе.

160 19 = 100 (x + 0.6y)

152 = 5x + 3y

Ситуация 2. Пусть вес каждого смешиваемого раствора - mкг.

Тогда

44=x+y

Далее составляем систему уравнений:

Складывая уравнения системы, получаем:

2x = 20

x =10

Тогда в первом растворе содержится 10 кг кислоты.

Ответ: 10.

Задание (к уроку 28). Исследовать функцию y = x 2   с использованием MathCad.

Решение.        Для        начала        зададим        исследуемую        нами функцию:

Далее исследуем область определения этой функции, для этого приравняем подкоренное выражение к нулю: 1 + x = 0 и решим относительно переменной x. Воспользуемся специальным символом  во вкладке Boolean,

далее ставим курсор рядом с переменной x, после чего нажимаем на символьные операции – переменная – решить (Symbolics – Variable - Solve).

Система MathCad нашла решение этого неравенства -1  x . Это означает, что при x 1, подкоренное выражение также будет меньше единицы, и функция не будет иметь решения.

Чтобы  найти  корни  функции,  необходимо  выражение  приравнять  к

нулю – имеем произведение, равное нулю:  . Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а

второй при этом существует, т. е. соблюдена ОДЗ. Имеем x=0, x=-1, оба корня удовлетворяют ОДЗ. Имеем интервал [-1; +∞).

Заданная функция всегда положительна, так как оба сомножителя при-

нимают только неотрицательные значения.

Определим поведение функции в районе точки x = 1. Для этого найдем сначала предел функции при x 1. Поскольку в точке x=0 знак функции не меняется, функция всегда положительна, то кривая находится сначала над осью, потом касается оси и далее расположена снова над осью x. Итак мы

Найдем min и max функции, для этого нам нужно взять производную

функции, приравнять ее к нулю и разрешить относительно x.

Для того чтобы найти производную, во вкладке Calculus есть специальный значок дифференцирования , вводим переменную x и

название функции (или саму функцию), после чего воспользуемся символьным значком равно («стрелочка вправо») и получим значение производной.

Теперь мы можем скопировать результат, после чего нужно вставить его ниже и приравнять с помощью символьного значка равно к нулю, и

решить относительно переменной x (Symbolics – Variable - Solve).

Система нашла два корня:x1  x2. Когда  производная

положительная, функция возрастает. Когда  производная

отрицательна, функция убывает. Когда x>0  производная положительна,

72

функция возрастает. Точка  - - критическая точка, точка максимума, так

как производная меняет знак с плюса на минус. Точка x=0 – критическая

точка, точка минимума, так как производная меняет знак с минуса на плюс.

Имеем: max , min.

Строим  график,  для  этого  нажимаем  на    –  декартовый  график,

вводим название функции f(x) слева, и внизу имя аргумента, x.

Проиллюстрируем решение полностью в системе MathCad:

График функции:

Отметим, что в точке x=-1 производная функции не существует, значит,

касательная к графику – вертикальная прямая.

Пример тестовых заданий для итоговой контрольной работы

1.  Установите соответствие между символом MathCad и его значением:

2. Число 12345.679 представлено в формате:

1. научном;

2. десятичном;

3. проектировочном;

4. общем.

3. По сравнению с выражениями, значения переменных, использующихся в них, необходимо задавать:

5. ниже или правее выражения;

6. правее выражения;

7. выше или левее выражения;

8. по центру.

4. Символ «=» обозначает:

1. логическое равенство;

73

2. определение глобальных переменных;

3. присваивание значение переменных;

4. целочисленное деление.

5. Для ввода тригонометрических функций sin, cos, tg, ctg можно:

1. использовать только соответствующие пункты меню MathCad;

2. использовать лишь ввод с клавиатуры;

3. либо использовать меню MathCad, либо ввод с клавиатуры.

5. Определению понятия «переменная» в MathCad соответствует:

1. неизменное числовое или текстовое значение;

2. некоторая зависимость одной переменной от другой или ряда переменных, или констант;

3. имя вводимой пользователем функции;

4. именованная область памяти для хранения данных.

6. Установите соответствие между функцией и ключевым словом:

8. Оператором, вычисляющим полиномиальные коэффициенты, является

____ .

9. Результатом выполнения операции будет:

1. x2 
2. x4
3. (x2+4)(x-2)(x+2)
4. 4

10. При преобразовании алгебраических выражений в MathCad используются команды панели _____ .

1. символьные операции;

2. константы;

3. операторы;

4. блок решения.

11. В MathCad нельзя построить:

1. график функции в декартовой системе координат;

2. 3D-график;

3. 5D-график;

4. контурный график;

5) полярный график.

12. Установите        соответствие        между        названием        и        видом        графика        в

MathCad:

1. полярный;

2. график XY;

3. 3D-график;

4. контурный.

А)        Б)        В)        Г)

13. Для решения уравнения с учетом ограничения области определения переменной (например, для вещественных чисел) наряду с модификатором solve используется ключевое слово _____ .

1. miner;

2. solve;

3. assume;

4. fully;

5. polyroots.

14. Точность вычислений в MathCad по умолчанию равна 0,001 и задается встроенной переменной _____ .

15. Установите соответствие между названием функции и еѐ характеристикой:

А) identity(n)        Б) diag (n)        В) rank (n)

1. возвращает диагональную матрицу, у которой на диагонали расположены элементы вектора n;

2. возвращает ранг матрицы n;

3. возвращает единичную матрицу размера nxn.

16. Выделение        подматрицы        осуществляется        с        помощью        функции

submatrix(M, imin, imax, jmin, jmax), где imin, imax:

1. исходная матрица;

2. номера первой и последней строк исходной матрицы, входящих в выделяемый блок;

3. номера первого и последнего столбцов исходной матрицы, входящих в выделяемый блок.

17. Обращение к столбцу матрицы происходит по нажатию на кнопку с изображением:

1. МТ;

2. M< >;

3. М;

4. St.

18. Для преобразования матриц в символьном виде используется:

1. ключевое слово assume;

2. модификатор fully;

3. оператор символьного вычисления →.

19. Для нахождения корней полинома в MathCad используется:

1. solve(a);

2. polyroots(a);

3. root(a);

4. fully(a).

20. Если уравнение имеет несколько решений, MathCad возвращает решения в виде:

1. суммы;

2. выводит наименьшее решение;

3. выводит наибольшее решение;

4. вектора.

21. Верное расположение блоков в области блока решения по направлению сверху вниз:

4. решатель;

5. начальные приближения;

6. ограничения.