Способы решения квадратных уравнений.

Оглавление

Введение                           3

1.Определение квадратного уравнения, его виды                                                                4                  

2. Способы решения квадратных уравнений                                                                        4

2.1 Решение неполных квадратных уравнений.                                                                    4

2.2 Разложение левой части уравнения на множители.                   1. СПОСОБ              5

2.3 Метод выделения полного квадрата.                                             2. СПОСОБ             5

2.4 Решение квадратных уравнений по формуле.                              3. СПОСОБ             5

3.5 Решение уравнений с использованием теоремы Виета.             4. СПОСОБ             6

 3.6  Решение  уравнений с использованием теоремы Виета            5. СПОСОБ            6

      (обратной)        

3.7  Решение уравнений способом «переброски».                              6. СПОСОБ               6                                                                                

3.8 Свойства коэффициентов квадратного уравнения.                    7. СПОСОБ              7

3.9 Графическое решение квадратного уравнения.                           8. СПОСОБ              8

3.10 Решение квадратных уравнений с помощью

         циркуля и  линейки.                                                                       9. СПОСОБ               8

3.11 Решение квадратных уравнений с помощью  номограммы.  10. СПОСОБ             9

3.12 Геометрический способ решения квадратных  уравнений.     11. СПОСОБ           10

3.13 Способ решения квадратных  уравнений по теореме Безу.    12. СПОСОБ            10

ЗАКЛЮЧЕНИЕ                                                                                                                            11

                 Выводы                                                                                                                          11

Список литературы                                                                                                                      12

Приложения                                                                                                                                  

Приложение1   УПРАЖНЕНИЯ

Приложение 2  ЗАДАЧИ

Приложение 3  Из истории  квадратных уравнений

ВВЕДЕНИЕ

Уравнения второй степени умели решать еще в древнем Вавилоне. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид - при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактах.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем, виде имеется у Виета. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Впервые квадратное уравнение сумели решить математики Древнего Египта.
Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений   умели решать вавилоняне (около 2 тыс. лет до н. э.). Об этом свидетельствует найденные клинописные тексты задач с решениями (в виде рецептов). Некоторые виды квадратных уравнений, сводя их решение к геометрическим построениям, могли решать древнегреческие математики. Приемы решения уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский (III в.). В дошедших до нас шести из 13 книг «Арифметика» содержатся задачи с решениями, в которых Диофант объясняет, как надо выбрать неизвестное, чтобы получит решение уравнения вида   . Способ решение полных квадратных уравнений Диофант изложил в книгах «Арифметика», которые не сохранились.

    Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые  изложены в 1202 г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи.  

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду  , было сформулировано немецким математиком М. Штифелем (1487 - 1567). Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Виет. После трудов нидерландского математика А. Жирара (1595 - 1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид.
  Формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов, были выделены Виетом в 1591 г.

Актуальность работы

И сейчас квадратные уравнения очень актуальны. Одна из основных тем ЕМЭ – это квадратные уравнения.

• Одной из основных тем, проверяемых на  экзамене по математике, является тема  «Квадратные уравнения». Данная тема изучается в 8 классе, а на повторение данной темы в 9 классе отводится один час. Я надеюсь , что эта работа поможет сдать экзамен по алгебре на более высокий бал.
• Также квадратные уравнения используются в физике и в химии для решения задач в 10 и 11 класса, знание данной темы поможет  при сдаче ЕГЭ по этим предметам.

Цель работы:

Научиться решать квадратные уравнения различными способами.

Для достижения цели мы  поставили  перед собой следующие задачи

1.Изучить литературу по выбранной теме;

2.Изучить историю возникновения и решения квадратных уравнений;

3.Изучить способы решения квадратных уравнений разного вида;

4. Подобрать дидактический материал по теме работы

Объект исследования – квадратные уравнения.

При выполнении исследования применялись такие методы, как сравнительный анализ  литературы,  сбор и обработка фактов с помощью  анализа, сравнения и   аналогии.

1.Определение квадратного уравнения, его виды.

 Определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида

                                                   ax2 + bx + c = 0,

 где  х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем,  а ≠ 0.  

Коэффициенты а, b, с, различают по названиям: а – первый или старший коэффициент; b – второй или коэффициент при х; с – свободный член, свободен от переменной х.

Пример: 5х²+7х+3=0 (а=5, b=7, c=3.)

               8х-3х²+5=0 (а=-3, b=8, с=5.)

               -3+7х+8х²=0 (а=8, b=7, с=-3.)

Квадратное уравнение также называют уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени

Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1.

 х²+рх+q=0 – стандартный вид приведенного квадратного уравнения

кроме приведенных и неприведенных квадратных уравнений различают также полные и неполные уравнения.

Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b и с равен нулю.

Обратите внимание: об ах² речи нет, этот член всегда присутствует в квадратном уравнении.

 1) ах2 + с = 0, где с ≠ 0;

2) ах2 + bх = 0, где b ≠ 0;

3) ах2 = 0.

Корнем квадратного уравнения ах²+вх+с=0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах²+bх+с обращается в нуль; такое значение переменной х называют также корнем квадратного трехчлена.

Можно сказать и так: корень квадратного уравнения ах²+bх+с=0 – это такое значение х, подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство. 0=0.

Решить квадратное уравнение – это значит найти все его корни или установить, что их нет.

2.Способы решения квадратных уравнений

2.1 Решение неполных квадратных уравнений.

Сначала математики научились решать неполные квадратные уравнения, поскольку для этого не пришлось, как говорится, ничего изобретать.

Пример:  а)2х²-7х=0              в)х²-16=0                  д)5х²=0  

                 б)-х²+5х=0              г)-2х²+7=0

Решение:

а) 2х²-7х=0; х(2х-7)=0

<=>   х=0,                    х=0,

          2х-7=0;              х=3,5;

Ответ: х1=0, х2=3,5.

б) х²-16=0; х²=16                

Ответ: х1=4, х2=-4.

в) 5х²=0; х²=0; х=0              ответ: х=0.

Неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень и ни одного корня.

2.2 Разложение левой части уравнения на множители. 1. СПОСОБ

Решим уравнение х2 - 2х - 8 = 0. Разложим левую часть на множители:

х2 - 2х - 8 = х2 - 4х  +2х -8 = х(х -4 ) + 2(х -4) = (х + 2)(х -42).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 2)(х -4)=0.

  Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = -2, а также при х = 4.  Это означает, что число - 2 и 4  являются корнями уравнения х2 - 2х - 8 = 0.

2.3 Метод выделения полного квадрата. 2. СПОСОБ:  

Решим уравнение х2 + 6х - 7 = 0. Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х2 + 6х  в следующем виде:

х2 + 6х = х2 + 2• х • 3.

В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как

х2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3)2.

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х2 + 6х - 7 = 0,

прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:

х2 + 6х - 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 - 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 - 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3)2 - 16 =0,  (х + 3)2 = 16.

Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х1 = 1, или х + 3 = -4, х2 = -7.

   2.4 Решение квадратных уравнений по формуле. 3. СПОСОБ:

Умножим обе части уравнения

ах2  + bх + с = 0, а ≠ 0

на 4а и последовательно имеем:

4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах)2 + 2ах • b + b2) - b2 + 4ac = 0,

(2ax + b)2 = b2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b2 - 4ac,

Примеры.

а) Решим уравнение: 4х2 + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b2 - 4ac = 72 - 4 • 4  • 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, два разных корня;

 Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при

b2 - 4ac >0 , уравнение  ах2  + bх + с = 0 имеет два различных корня.

б) Решим уравнение: 4х2 - 4х + 1 = 0,

а = 4, b = - 4, с = 1, D = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 • 4 • 1= 16 - 16 = 0, D = 0, один корень;

Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b2 - 4ac = 0, то уравнение

ах2  + bх + с = 0 имеет единственный корень,

в) Решим уравнение: 2х2 + 3х + 4 = 0,

а = 2, b = 3, с = 4, D = b2 - 4ac = 32 - 4 • 2  • 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.

 Данное уравнение корней не имеет.

      Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b2 - 4ac < 0, уравнение ах2  + bх + с = 0 не имеет корней.

      Формула (1) корней квадратного уравнения ах2  + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть),  в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.

2.5 Решение уравнений с использованием теоремы Виета. 4. СПОСОБ:

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

х2 + px + c = 0.                        (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

x1 x2 = q,

    x1 + x2 = - p

     Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам  p и  q можно предсказать знаки корней).

     а) Если свободный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0), то уравнение имеет  два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р < 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба корня положительны.

      Например,

x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2  и  x2 = 1, так как q = 2 > 0 и  p = - 3 < 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x1 = - 7  и  x2 = - 1,  так как q = 7 > 0  и  p= 8 > 0.

       б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 .

       Например, x2 + 4x – 5 = 0; x1 = - 5 и x2 = 1,  так как  q= - 5 < 0  и  p = 4 > 0;

x2 – 8x – 9 = 0; x1  = 9  и x2 = - 1, так как q = - 9 < 0  и p = - 8 < 0.

2.6 Решение  уравнений с использованием теоремы Виета (обратной) 5. СПОСОБ

  Справедлива теорема, обратная теореме Виета:

   Если числа х1 и х2 таковы, что х1+х2 = -р,  х1х2 = q, то х1 и х2 – корни квадратного уравнения   х2 +рх + q = 0.

Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.

     ● Пример

 1.    Решить уравнение                              х2 +3х – 28 = 0

Попробуем найти два числа х1 и х2 , такие, что    х1 +х2 = - 3 и     х1х2 =  - 28

Нетрудно заметить, что такими числами будут – 7 и 4. Они и являются корнями уравнения.

2.7 Решение уравнений способом «переброски». 6. СПОСОБ:  

Рассмотрим квадратное уравнение ах2  + bх + с = 0, где а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнениеа2х2 + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у2 + by + ас = 0,

равносильно данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета.

Окончательно получаем х1 = у1/а  и  х1 = у2/а. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

       • Пример.

Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим

у2 – 11у + 30 = 0.

Согласно теореме Виета

      у1 = 5                  х1 = 5/2            x1 = 2,5

                                                   у2 = 6                x2 = 6/2            x2 = 3.

Ответ: 2,5; 3.

2.8 Свойства коэффициентов квадратного уравнения. 7. СПОСОБ

А. Пусть дано квадратное уравнение  ах2  + bх + с = 0, где а ≠ 0.

1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1 = 1,  х2 = с/а.

Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

x2 + b/a • x + c/a = 0.

 Согласно теореме Виета

x1 + x2 = - b/a,

   x1x2 = 1• c/a.

 По условию а – b +  с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,

                                            x1 + x2 = - а + b/a= -1 – c/a,

                                             x1x2  = - 1• ( - c/a),

т.е. х1 = -1 и х2 = c/a, что м требовалось доказать.

• Пример.

Решим уравнение 132х2 – 247х + 115 = 0.

Решение. Так как  а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то  х1 = 1,    х2 = c/a = 115/132.

Ответ: 1; 115/132.

Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней

• Пример. 

Решим уравнение 3х2 — 14х + 16 = 0.

Решение. Имеем: а = 3, b = — 14, с = 16, k = — 7;

D = k2 – ac = (- 7)2 – 3 • 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, два различных корня;

Ответ: 2; 8/3

В. Приведенное уравнение          х2 + рх + q= 0

совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = р и с = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

принимает вид:

Формулу (3) особенно удобно использовать, когда р — четное число.

• Пример.  Решим уравнениех2 – 14х – 15 = 0.

Решение. Имеем: х1,2 =7±√ 49+15 =7±√64=7±8

Ответ: х1 = 15; х2 = -1.

2.9 Графическое решение      квадратного уравнения.   8. СПОСОБ  

Если в уравнении  х2 +  px + q = 0  перенести второй и третий члены в правую часть, то получим                х2 = - px - q.

 Построим графики зависимости у = х2 и у = - px - q.

     График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости - прямая (рис.1). Возможны следующие случаи:

- прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

- прямая и парабола могут касаться (одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

• Примеры.

1) Решим графически уравнение х2 - 3х - 4 = 0 (рис. 2).

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4.

Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4. Прямую

у = 3х + 4  можно  построить по двум точкам М (0; 4) и

 N (3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках

А и В с абсциссами х1 = - 1 и х2  = 4. Ответ: х1 = - 1;  х2  = 4.

2) Решим графически уравнение (рис. 3) х2 - 2х + 1 = 0. 

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 2х - 1.

        Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х - 1.

Прямую у = 2х - 1 построим по двум точкам М (0; - 1)

и N(1/2; 0).  Прямая и парабола пересекаются в точке А с

абсциссой х = 1. Ответ: х = 1.

3) Решим графически уравнение х2 - 2х + 5 = 0 (рис. 4). 

Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 5х - 5. Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х - 5. Прямую у = 2х - 5 построим по двум точкам М(0; - 5) и N(2,5; 0). Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет.

Ответ. Уравнение х2 - 2х + 5 = 0 корней не имеет.        

2.10 Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и   линейки. 9. СПОСОБ:

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.

Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного    уравнения    ах2  + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5).

Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х1; 0 ) и D (х2; 0), где х1 и х2 - корни уравнения   ах2  + bх + с = 0,  и  проходит  через  точки  А(0; 1) и С(0; c/a) на  оси  ординат.  Тогда по теореме о секущих  имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC = OB • OD/ OA= х1х2/ 1 = c/a.

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому

Итак:

1) построим точки  S(-b/2а; (а+с)/2а) (центр окружности) и A(0; 1);

2) проведем окружность с радиусом SA;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

     При этом возможны три случая.

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или  R > a + c/2a),  окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 6,а) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения  ах2  + bх + с = 0.

2) Радиус окружности равен ординате центра  (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения.

 3) Радиус окружности меньше ординаты центра                                    

окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.                 

  • Пример.

Решим уравнение  х2 - 2х - 3 = 0  (рис. 7).

Решение. Определим координаты  точки центра окружности по формулам:

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

Ответ: х1 = - 1; х2 = 3.

2.11 Решение квадратных уравнений с помощью  номограммы.    

10. СПОСОБ:

       Это старый и незаслуженно забыты способ решения квадратных уравнений, помещенный  на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. - М., Просвещение, 1990).

      Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициен-

там определить корни уравнения. 

     Криволинейная шкала номограммы построена

по формулам (рис.11):

     Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из

подобия   треугольников  САН  и  CDF получим пропорцию

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение  

z2 + pz + q = 0,причем буква   z   означает метку любой точки криволинейной шкалы.

• Примеры.

1) Для уравнения z2 - 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z1 = 8,0  и  z2 = 1,0 (рис.12). 

2) Решим  с  помощью  номограммы   уравнение  2z2 - 9z + 2 = 0.

Разделим  коэффициенты  этого уравнения на 2,

получим уравнение  z2 - 4,5z + 1 = 0.

 Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5.

3) Для уравнения   z2 - 25z + 66 = 0

коэффициенты p и q  выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t,

 получим уравнениеt2 - 5t + 2,64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим

  t1 = 0,6  и  t2 = 4,4,  откуда z1 = 5t1 = 3,0  и z2 = 5t2 = 22,0.

2.12 Геометрический способ решения квадратных  уравнений. 11. СПОСОБ:

           В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал - Хорезми.

• Пример.

       Решим уравнение х2 + 10х = 39.

      В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15).

      Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники  так,  что  другая  сторона   каждого   из   них    равна  2,5, следовательно,  площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в  углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

2.13 Способ решения квадратных  уравнений по теореме Безу. 12. СПОСОБ:

При делении P(х) на х -  в остатке может получиться лишь некоторое число r (если r = 0, то деление выполняется без остатка):P(x) = (x - ) Q (x) + r.                                 (1)

Чтобы найти значение r, положим в тождестве (1) х = . При этом двучлен х -  обращается в нуль, получаем, что P () =  r.

Итак, доказано утверждение, называемое теоремой Безу.

Теорема 1 (Безу). Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен х -  равен P() (т.е. значению P(x)  при х = ).

Если число  является корнем многочлена P(x), то этот многочлен делится на х -  без остатка.

х²-4х+3=0

Р2(х)= х²-4х+3

α; ±1,±3.

α =1,         1-4+3=0

Разделим р(х) на (х-1)

(х²-4х+3)/(х-1)=х-3

х²-4х+3=(х-1)(х-3)

(х-1)(х-3)=0

 <=>    х-1=0;     х=1,            или              х-3=0,  х=3;         Ответ: х1=2, х2=3.     

Заключение

          Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

Однако, значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще мало изучена вообще, просто ею не занимаются, поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней.

Здесь мы остановились на вопросе решения  квадратных уравнений, а что,

если существуют и другие способы их решения?! Опять находить красивые закономерности, какие-то факты, уточнения, делать обобщения, открывать все новое и новое. Но это вопросы уже следующих работ.

Проводя исследования по данной теме, я получила следующие выводы:

1.Квадратные уравнения умели решать ещё более трех тысяч лет назад. Способы решения  были сложными. Общее правило решения уравнений вида: ax2 + bx = c, где a > 0, b и c – любые, которым мы пользуемся и сейчас сформулировал  индийский ученый Брахмагупта (VII в. н. э.).

2.Способов решения квадратных уравнений очень много. Мы нашли 12 способов решения квадратных уравнений. Нужно отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ЕМЭ.

3. Для того чтобы усвоить все методы решения уравнений, нужно прорешать несколько уравнений изучаемым способом. А для этого нужны задания. Я предлагаюм небольшую подборку заданий для решения уравнений.

4. Квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания ВУЗа. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни. Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то   они,  безусловно,  должно    заинтересовать     увлекающихся  математикой учеников.  

         Подводя  итоги, можно сделать вывод:  квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни.

Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то   они,  безусловно,  должно    заинтересовать     увлекающихся  математикой учеников.  Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на  те задачи, которые ставит перед нами математика. 

Литература:

1. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Г. В. Дорофеев и др. – М.: Дрофа, 2004
2. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1988
3. Глейзер Г. И., История математики в школе. – М.: просвещение, 1982
4. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для среденй школы. – м., просвещение, 1990
5. Окунев А. К. , Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1972
6. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. М., Квант, №4/72. С.34.
7. Дидактические материалы по алгебре.
8.   М., Математика (приложение к газете «Первое сентября»), №№ 21/96, 10/97, 24/97, 40/2000.      
9. www.textreferat.com
10. www.portfolio.ru
11.  «Энциклопедический словарь юного математика» под редакцией Гнеденко