Примеры тестовых заданий на уроках алгебры

ГОТОВНОСТЬ К ПРОДОЛЖЕНИЮ ОБРАЗОВАНИЯ

Если вы хотите проверить себя, как вы усвоили основные положения курса, вы можете использовать следующие задания. Выделено 29 основных тем курса, и для каждой из них составлено несколько тестов. Тест представляет собой набор из пяти утверждений относительно одной и той же ситуации. Утверждения независимы друг от друга. О каждом из надо ответить, верно оно или неверно. В ответах эти случаи помечены значками + и –. Некоторые утверждения могут быть проверены устно, но большинство из них требует вычислений. Фактически мы собрали около 500 задач, с помощью которых вы можете повторить курс или проверить себя. Тестовая форма экзаменов и различных проверок сейчас все больше входит в жизнь, и мы думаем, что вам будет полезно постепенно привыкать к ней.

ТЕСТЫ

1. Устный счет

1  A = 1

1. A = 

2. A = 

3. A = 2,36 – 1,12 – 0,88 + 0,64

4. A = 

5. A = 

Ответ: +, +, +, –, +

2  A = B

1. A = 0,125; B = 

2. A = 3200; B = 27  52

3. A = 3,66…; B = 

4. A = 1,(6); B = 1 + 

5. A = ; B = 1,4

Ответ: +, +, –, +, –

3  А делится на B

1. A = 135 + 372 – 263 + 511; B = 2

2. A = 1234567; B = 3

3. A = 6837 + 3915; B = 4

4. A = 3  4  7  11 + 6  66; B = 5

5. A = 233  138 – 277  152; B = 10

Ответ: –, –, +, +, +

2. Значение выражения

4  A = 1

1. A = (2 + )(2 – )

2. A = 5–7  6–3  104  154  30–1

3. A = log216 + log2

4. A = sin 20 + tg 45 + cos 110

5. A = sin 1 + sin 89

Ответ: +, +, +, +, –

5  A = B

1. A = ; B = –3 + 2

2. A = ; B = 1024

3. A = lg 6 – lg 14 + lg 21; B = 2 lg 3

4. A = sin 15  cos 15; B = 

5. A = ; B = 

Ответ: –, –, +, +, +

6  Выражение А не имеет смысла

1. A = 

2. A = 

3. A = 

4. A = 1 + sin 2

5. A = 

Ответ: +, +, +, –, –

3. Действия над числами в стандартной записи

7  Порядок числа А равен 3.

1. A = 1000

2. A = 21  103

3. A = 

4. A = 

5. A = 7!

Ответы: +, –, +, –, +

8  Числа А и В имеют одинаковый порядок

1. A = 12500; B = 86480

2. A = 0,0003; B = 

3. A = 2,7  10–6; B = 6,1  10–4  3,2  10–3

4. A =   (2,1  104)3; B = 1012

5. A = 14!; B = 1010

Ответы: +, +, +, –, +

9  Если радиус шара R ед. удовлетворяет данному условию, то его объем V куб. ед. имеет порядок, не меньший 10.

1. R = 5,0  103

2. R > 1000

3. R  104

4. |R – 1500|  250

5. Круг радиуса R имеет площадь (в кв. ед.) порядка 7.

Ответы: +, –, –, –, +

4. Пропорции и проценты

10  Из данных четырех чисел можно составить пропорцию

1. 1; ; ;

2. 1; 0,5; 0,25; 0,125

3. –1; –0,1; 0,01; 0,001

4. 1; –; ;

5. 36; 9; 8; 2

Ответы: –, +, +, –, +

11  Если для числа выполнено данное условие, то оно равно 100.

1. 10% от него равны 10

2. 1% от него равен 1

3. 50% от него равны 200

4. 0,5% от него равны 0,5

5. 200% от него равны 50

Ответы: +, +, –, +, –

12  Стоимость товара в первый раз снизили на а процентов, второй раз – на b процентов. В результате стоимость товара составила 60% исходной цены.

1. a = 20; b = 20

2. a = 20; b = 25

3. a = 25; b = 20

4. a = 40; b = 0

5. a = 66; b = 10

Ответы: –, +, +, +, +

5. Сравнение чисел

13  A > B

1. A = ; B = 

2. A = ; B = 

3. A = ; B = 

4. A = 0,(123); B = 0,1(23)

5. A = 0,3; B = 

Ответы: +, –, +, –, –

14  A < 1

1. A = 

2. A = 

3. A = 

4. A = 

5. A = 2 – ln 2

Ответы: +, +, +, +, –

15  A < B

1. A = ; B = 

2. A = 0,996; B = 

3. A = ; B = 2

4. A = ; B = 0,999

5. A = 3100 + 4100; B = 5100

Ответы: –, +, +, –, +

6. Свойства числовых неравенств

16  Для некоторого числа с выполняются данные условия. Из этого вытекает, что a > b.

1. a > c; c > b

2. a > c; c > b + 1

3. a > c – 1; c > b + 1

4. a > 1 – c; c < 1 – b

5. a + 1 > c; c > b + 1

Ответы: +, +, +, +, +

17  a и b отрицательные числа, причем a < b. Тогда верно следующее неравенство.

1. 

2. a2 < b2

3. a3 < b3

4. 

5. 

Ответы: +, –, +, –, –

18  Для любых положительных чисел a и b верно следующее неравенство.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. a2 + b2  ab

Ответы: +, +, –, +, +

7. Средние значения числовых рядов

19  На предприятии работает 10 человек, трое из которых получают зарплату 100, трое – 300, двое – 600 и еще два руководителя – по 1000 (в некоторых условных единицах). Верны следующие утверждения.

1. Более половины получает зарплату, меньшую средней для работающих на предприятии.

2. Не менее 20% получают зарплату, превышающую среднюю более, чем вдвое.

3. Если самым низкооплачиваемым работникам увеличить зарплату вдвое, то средняя зарплата вырастет менее, чем на 10%.

4. Если отбросить тех, кто получает меньше всех и больше всех, то средняя зарплата остальных увеличится.

5. Если сделать зарплату всем одинаковой, кроме руководителей, и при этом сохранить среднюю зарплату по предприятию, то это не затронет половины работающих.

Ответы: +, +, +, –, +

20  Автомобиль за четыре часа проехал 200 км. Верны следующие утверждения о его средних скоростях на различных участках пути.

1. Средняя скорость автомобиля за все время движения равна 50 км/ч.

2. Пусть первую четверть пути он двигался со скоростью v1, вторую четверть – со скоростью v2, третью – со скоростью v3 и четвертую – со скоростью v4 (в км/ч). Тогда среднее арифметическое чисел v1, v2, v3 и v4 равно средней скорости автомобиля на всем пути.

3. Пусть первый час автомобиль двигался со скоростью u1, второй час – со скоростью u2, третий час – со скоростью u3 и четвертый – со скоростью u4 (в км/ч). Тогда среднее арифметическое чисел v1, v2, v3 и v4 равно средней скорости автомобиля за все время движения.

4. Среднее гармоническое чисел v1, v2, v3 и v4 (т. е. число ) равно 25.

5. Среднее гармоническое чисел u1, u2, u3 и u4 (т. е. число ) равно 25.

Ответы: +, –, +, +, –

8. Число вариантов

21  Из пяти букв А, Б, В, Г, Е составили шестибуквенное слово с указанным ниже условием. Число таких слов получилось больше шести тысяч.

1. Слово начинается с гласной буквы.

2. В слове нет рядом двух одинаковых букв.

3. Первая и последняя буквы слова одинаковы.

4. Первые три буквы слова различны.

5. Буква А входит в слово ровно один раз.

Ответы: +, –, –, +, +

22  В данном слове Р переставили буквы всеми возможными способами. Получили А возможных вариантов.

1. Р = комбинат, А = 40320

2. Р = теорема, А = 5040

3. Р = вариант, А = 2520

4. Р = панама, А = 240

5. Р = долото, А = 120

Ответы: +, –, +, –, –

23  Из класса, в котором 20 девочек и 10 мальчиков, выбрана всеми возможными способами группа, удовлетворяющая следующим условиям. Получилось А возможных вариантов.

1. В группе 3 человека, А = = 4060.

2. В группе 2 девочки и 2 мальчика, А =  = 480.

3. Число людей в группе не больше четырех, но группа не пустая, А =  = 31930.

4. В группе 5 человек, причем есть как мальчики, так и девочки, А = 20  10   = 655200.

5. В группе 4 человека, из которых один выделен в качестве старшего, А = 4   = 109620.

Ответы: +, –, +, –, +

9. Преобразования буквенных выражений.

24  Верно тождество A = x

1. A = ((x – 1)(x – 2)(x + 1) – (x – 1)(x – 2)(x + 2) + (x – 1)(x + 1)(x + 2) –
– (x – 2)(x + 1)(x + 2))

2. A = 

3. A = 

4. A = , где x1, x2 – корни трехчлена x2 + px + q

5. A = 

Ответы: +, +, –, +, –

25  Верны тождества

1. 

2. 

3. 2x  31 – x  43x – 1  52x + 1 = ekx + b, где k = 7 ln 2 – ln 3 + 2 ln 5; b = –2 ln 2 + ln 3 + ln 5

4. log2x + log3x + log5x = k ln x, где k = ln 2 + ln 3 + ln 5

5. logab  logbc  logcd  logda = 1

Ответы: +, –, +, –, +

10. Развитие понятия числа

26  Число А – рациональное

1. A = 5

2. A = 1,333…

3. A = 

4. A = 

5. A = 

Ответы: +, +, +, –, +

27  Число А – действительное.

1. А = 

2. А = 

3. А – корень уравнения x2 + x + 1 = 0

4. A – корень уравнения x4 – 6x2 + 1 = 0

5. eA = –1

Ответы: +, –, –, +,

28  Следующие утверждения верны.

1. Между любыми двумя рациональными числами расположено бесконечно много рациональных.

2. Между любыми двумя иррациональными числами расположено бесконечно много рациональных.

3. Между любыми двумя рациональными числами расположено бесконечно много иррациональных.

4. Между любыми двумя иррациональными числами расположено бесконечно много иррациональных.

5. Между всеми рациональными и всеми иррациональными числами можно установить взаимно однозначное соответствие.

Ответы: +, +, +, +, –

11. Координатный метод

29  При данных значениях a и b прямая ax + by = 1 проходит через точку (–1; 2) и наклонена к оси абсцисс под тупым углом.

1. a = 5; b = 3

2. a = –; b = 

3. a = b = –3

4. a = –5; b = –2

5. a = 9; b = 5

Ответы: +, –, –, +, +

30  При данных k и b прямая y = kx + b не пересекает окружность x2 + y2 = 4.

1. k = 1; b = 3

2. k = –1; b = –2

3. k = 3; b = 0

4. k = ; b = 

5. k = –3; b = 10

Ответы: +, –, –, –, +

31  При данных значениях а и b вершина параболы y = ax2 + bx лежит во второй четверти.

1. a = 1; b = 1

2. a = –1; b = –1

3. a = 2; b = –1

4. a = –1; b = 2

5. a = –2; b = –3

Ответы: +, –, –, –, +

12. Функции и их значения

32  Значения указанных числовых выражений вычислены правильно.

1. 

2. 

3. 2 lg 2 –  lg 125 + 3 lg  = –1

4. sin2  + tg2  + cos2 = 

5. sin4 15 + cos4 15 = 

Ответы: +, +, +, –, +

33  Данная функция определена во всех точках промежутка [1; 3].

1. y = 

2. y = 

3. y = ln (x2 – x)

4. y = 

5. y = tg x

Ответы: –, –, –, +, –

34  Областью значений данной функции является множество всех действительных чисел.

1. y = 5 – x

2. y = x3 – x

3. y = 

4. y = ln (x – 1)

5. y = sin x + tg x

Ответы: +, +, +, +, +

13. Свойства функций

35  Данная функция возрастает на промежутке [1; 3].

1. y = 6x – x2

2. y = 

3. y = 2x – 3

4. y = –ln x

5. y = –cos x

Ответы: +, –, +, –, +

36  Данная функция является либо четной, либо нечетной.

1. y = x2 + x

2. y = 

3. y = ex – e–x

4. y = (ln x)2

5. y = sin x + cos x

Ответы: –, +, +, –, –

37  Наибольшее значение на промежутке [1; 3] данная функция достигает на одном из концов этого промежутка.

1. y = 2 – x

2. y = x2 – 4x

3. y = 

4. y = 2–x

5. y = sin x

Ответы: +, +, –, +, –

14. Графики основных функций

38  Параболы, графики указанных квадратичных функций, имеют следующие свойства.

1. Парабола y = 4 – x2 симметрична относительно оси ординат и ее ветви направлены вниз.

2. Парабола y = x2 + 2x симметрична относительно прямой x = 1 и ее ветви направлены вверх.

3. Парабола y = –x2 + 2x симметрична относительно прямой x = 1 и ее ветви направлены вверх.

4. Парабола y = 2x2 + x симметрична относительно прямой x = – и ее ветви направлены вверх.

5. Парабола y = x – 2x2 симметрична относительно прямой x =  и ее ветви направлены вниз.

Ответы: +, –, –, –, +

39  График данной функции получается из графика функции y = ex указанным преобразованием.

1. y = e–x – симметрией относительно оси x.

2. y = –e–x – симметрией относительно начала координат.

3. y = 2x – растяжением вдоль оси x с коэффициентом растяжения, меньшим 1.

4. y =  – симметрией относительно оси y и растяжением, большим 1.

5. y =  – преобразованием подобия с центром в начале координат и коэффициентом подобия 2.

Ответы: –, +, +, +, –

15. Производная

40  Касательная к графику данной функции в точке x = 1 наклонена к оси абсцисс под углом 45.

1. y = x3 – x2

2. y = 

3. y = 

4. y = ex – 1

5. y = –sin x

Ответы: +, +, –, +, –

41  Данная функция возрастает на всей числовой оси.

1. y = x3 – x

2. y = x3 – x2 + 2x + 1

3. y = 

4. y = x – cos x

5. y = 2x + sin x

Ответы: –, +, +, –, +

42  Данная функция в точке x = –1 имеет максимум.

1. y = 2x3 + 3x2

2. y = –

3. y = 

4. y = xex

5. y = x + sin x

Ответы: +, +, –, –, +

16. Последовательности

43  25-ый член последовательности вычислен правильно.

1. 1, 4, 7, 10, …; a25 = 76

2. a1 = 1; an = an – 1; a25 = 4096

3. a1 = a2 = 1; an = an – 1 + an – 2; a25 = 75040

4. a1 = ; an = an – 1 + ; a25 = 1 –  = 0,96

5. a1 = 12; an = an – 1 + n2; a25 = 5525

Ответы: –, +, +, +, +

44  Суммы n членов последовательности вычислены правильно.

1. 1 + 2 + 3 + … + n = 

2. 1 + q + q2 + … + qn = 

3. 1  2  3 + 2  3 + … + n (n + 1) = 

4. 1  1! + 2  2! + … + n  n! = (n + 1)! – 1

5. 

Ответы: –, –, +, +, –

45  Следующие последовательности периодичны.

1. a1 = 2; an = a2n – 1 – an – 1

2. a1 = 0; a2 = 1; an = an – 1 – an – 2

3. a1 = a2 = 1; an = an – 1 – an – 2

4. a1 = 0; a2 = 0; an = an – 1 + 2an – 2

5. a1 = 1; a2 = –1; an = an – 1 + 2an – 2

Ответы: +, +, +, –, +

17. Приближенные вычисления

46  Округление чисел с точностью до второго знака после запятой сделано правильно.

1. a = 1,1683, a  0,17

2. a = 0,2309, a  0,23

3.   1,41

4. e  2,71

5. 2  9,86

Ответы: +, +, –, –,

47  Относительная погрешность произведенного вычисления менее 1%.

1.   3б16

2. 210  1000

3. Площадь круга радиуса 3  103 примерно равна 3  107

4.  21

5. 911  3  1010

Ответы: +, –, +, –, +

48  Следующие приближенные формулы дают приближения недостатком при 0  x < 1.

1. (1 + x)3  1 + 3x

2.   1 – x

3. sin x  x

4. 

5. ex  1 + x

Ответы: +, +, –, –, +

18. Квадратные уравнения и неравенства

49  Квадратное уравнение имеет два действительных корня одного знака.

1. 2x2 + 5x + 1 = 0

2. –x2 + 4x – 1 = 0

3. 6x2 – 5x + 2 = 0

4. 4x2 – 4x + 1 = 0

5. 4x2 – 6x + 1 = 0

Ответы: +, –, –, –, +

50  Сумма квадратов корней уравнения равна А.

1. x2 + 6x – 5 = 0, A = 26

2. 2x2 – x – 6 =0, A = 

3. x2 + 3x + 4 = 0, A = 1

4. (x – 1)(x2 – 4x + 7) = 0, A = 2

5. x3 – x – 6 = 0, A = 2

Ответы: –, +, +, +

51  Неравенство верно при всех x из промежутка [–1; 2].

1. (x – 3)(x – 4) > 0

2. x2 + 2x > 0

3. x2 + x + 1 > 0

4. x2 – x + 6 < 0

5. (x2 – 4) (x2 – 2x – 15)  0

Ответ: +, –, +, +, +

19. Стандартные уравнения и неравенства

52  Уравнение f(x) = , где f – данная стандартная функция, имеет единственное решение.

1. f(x) = 5 – 2x

2. f(x) = x – x2

3. f(x) = 2x + 1

4. f(x) = lg (x – 1)

5. f(x) = sin x

Ответы: +, –, +, +, –

53  Неравенство f(x)  1, где f – данная стандартная функция, выполняется для всех x в промежутке [0; 1].

1. f(x) = 2 – 5x

2. f(x) = x2 – x – 2

3. f(x) = 

4. f(x) = 3–x

5. f(x) = lg (x + 9)

Ответы: –, +, +, +, +

54  Все решения данного уравнения – целые числа.

1. |2x – 1| = 3

2. x3 + 2x2 – x – 2 = 0

3. (lg x)2 – lg x – 2 = 0

4. 

5. sin = –1

Ответы: +, +, –, –, +

20. Графическое решение уравнений и неравенств

55  Уравнение f(x) = 1 – x, где f – данная функция, имеет ровно один корень.

1. f(x) = –x + 5

2. f(x) = –x2 + 5x – 8

3. f(x) = 2x + 1

4. f(x) = ln (x + 5)

5. f(x) = 

Ответы: –, +, +, +, –

56  Решением неравенства f(x)  x – 1 является один конечный промежуток

1. f(x) = 2 |x – 1| – 1

2. f(x) = x4 – 4x

3. f(x) = –

4. f(x) = 

5. f(x) = ln x

Ответы: +, +, +, +, –

57  Верны следующие высказывания об уравнении y = 0, где y = ax2 – 12x + 6 (a + 1), зависящем от параметра а.

1. Уравнение y = 0 при a > 1 не имеет решений.

2. Любое число x может быть корнем уравнения y = 0 при некотором значении а.

3. Если уравнение y = 0 разрешимо, то оно имеет два корня, за исключением случая а = 0.

4. Значения а, при которых уравнение y = 0 имеет хотя бы один корень, заполняют конечный промежуток.

5. Уравнение y = 0 не может иметь двух корней разных знаков.

Ответы: +, +, –, +, –

21. Тригонометрия

58  Следующие выражения можно представить как многочлены от sin x.

1. sin 2x

2. cos 2x

3. sin2 2x

4. sin 3x

5. sin2

Ответы: –, +, +, +, –

59  Наименьший положительный период указанной функции равен Т.

1. y = sin 2x, T = 

2. y = cos , T = 3

3. y = sin x + cos x, T = 

4. y = tg , T = 2

5. y = sin2 x, T = 2

Ответы: +, –, –, +, –

60  Следующее уравнение на промежутке [0; 2] имеет ровно два корня.

1. sin x = 

2. cos  = 0

3. tg x = –2

4. sin x + cos x = 2

5. sin4x + cos4x = 

Ответы: +, –, +, –, –

22. Фигуры на плоскости

61  Могут ли быть перпендикулярны:

1. диагонали параллелограмма

2. две высоты прямоугольного треугольника

3. два диаметра окружности

4. две прямые, симметричные относительно оси

5. две диагонали правильного 99-угольника

Ответы: +, –, +, +, –

62  В каждой окружности:

1. есть самая большая хорда

2. есть самая маленькая хорда

3. для каждой хорды найдется равная и перпендикулярная ей

4. есть две равные хорды, которые разбивают окружность на попарно различные части

5. любые две равные хорды симметричны относительно некоторой прямой

Ответы: +, –, +, –, +

63  Для каждого правильного n-угольника выполняется следующее утверждение:

1. он имеет ровно n осей симметрии

2. у него есть центр симметрии

3. у него найдутся n равных диагоналей (n > 4);

4. его можно построить циркулем и линейкой

5. при повороте вокруг центра на угол  он совмещается сам с собой

Ответы: –, –, +, –, +

64  В равнобедренном треугольнике ABC основание AC равно 2, угол при вершине B больше 40. В этом треугольнике:

1. угол А меньше 70

2. боковая сторона АВ больше 1

3. площадь больше 1

4. радиус описанной окружности больше 2

5. радиус вписанной окружности меньше 1

Ответы: +, +, –, +, +

65  В четырехугольнике ABCD угол А равен 60, углы В и D прямые, AC = CD. Этот четырехугольник обладает следующими свойствами:

1. у него есть ось симметрии

2. его диагонали перпендикулярны

3. в него можно вписать окружность

4. около него можно описать окружность

5. диагональ АС равна сумме сторон АС и CD

Ответы:

23. Прямые и плоскости в пространстве

66  В тетраэдре ABCD точки K, L, M и N – середины сторон AD, BD, BC и AC соответственно. Следующие прямые скрещиваются:

1. AD и BC

2. AL и CK

3. NL и MK

4. AM и KL

5. KN и LM

Ответы: +, +, –, +, –

67  Если для двух плоскостей выполняется одно из следующих условий, то эти плоскости параллельны.

1. Они пересекают третью плоскость по параллельным прямым.

2. Для каждой прямой в одной из них есть параллельная прямая в другой.

3. Они перпендикулярны одной и той же плоскости.

4. Каждая прямая, пересекающая одну из них, пересекает и другую.

5. Они параллельны одной и той же прямой.

Ответы: –, +, –, +, –

68  В результате ортогонального проектирования на некоторую плоскость

1. проекцией плоскости может быть прямая

2. проекцией квадрата может быть прямоугольник с неравными сторонами

3. проекцией тетраэдра может быть треугольник

4. проекцией шара может быть эллипс

5. проекцией куба может быть восьмиугольник

Ответы: +, +, +, –, –

24. Призмы и пирамиды

69  PABCD – правильная четырехугольная пирамида, каждое ребро которой равно 2.
В этой пирамиде

1. расстояние от вершины А до прямой PС равно 2

2. расстояние от вершины С до плоскости BPD больше 1

3. расстояние от центра основания до плоскости PCD больше 1

4. угол между прямыми PA и BC больше угла между прямой РА и плоскостью основания

5. угол, который боковое ребро образует с плоскостью основания, больше угла наклона боковой грани к плоскости основания

Ответы: +, +, –, +, –

70  В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 1, а боковое ребро равно а. Если выполнено одно из следующих условий, то призма является кубом.

1. а = 1

2. диагональ равна

3. объем равен 2

4. радиус описанного шара равен

5. в призму можно вписать шар

Ответы: +, +, –, –, +

71  В тетраэдре PABC боковое ребро PB перпендикулярно основанию. В таком тетраэдре

1. все грани – прямоугольные треугольники

2. ребра АР и ВС взаимно перпендикулярны

3. есть плоскость симметрии

4. площадь грани АРС больше площади основания

5. не может быть тупого двугранного угла

Ответы: –, –, –, +, +

25. Тела вращения

72  Дан шар.

1. Существует единственное сечение, которое имеет наибольшую площадь.

2. Чем сечение дальше от центра, тем его площадь меньше.

3. Сечения, имеющие одинаковую площадь, равноудалены от центра.

4. На его поверхности найдутся четыре точки, попарные расстояния между которыми одинаковы.

5. Через любую точку вне шара можно провести ровно две плоскости, касательные к шару.

Ответы: –, +, +, +, –

73  Радиус основания цилиндр равен R, высота – h. Если выполнено данное условие, то его объем больше 10.

1. h = 1, R < 1,5

2. R = 1, h = 3

3. R = h = 1,3

4. цилиндр вписан в шар радиуса 5

5. R = 1 и наибольшее по площади сечение цилиндра наклонено к плоскости основания под углом 60

Ответы: –, –, +, –, +

74  Верны следующие утверждения о конусе.

1. Наибольшим по площади его треугольным сечением является осевое.

2. Каждая его плоскость симметрии проходит через его ось.

3. Имеется более пяти разных по форме его сечений, отличных от точки и отрезка.

4. Существует такая плоскость, ортогональная проекция на которую отлична от круга и от треугольника.

5. Площадь любого его сечения меньше площади его боковой поверхности.

Ответы: –, +, +, +, +

26. Многогранники

75  Существует наклонный параллелепипед, у которого:

1. есть плоскость симметрии;

2. все грани ромбы;

3. высоты имеют разную длину;

4. существует описанная сфера;

5. существует вписанная сфера.

Ответы: –, +, +, –, +

76  Дан прямоугольный параллелепипед. Существует

1. его сечение, являющееся трапецией;

2. точка, равноудаленная от всех вершин;

3. точка, равноудаленная от всех граней;

4. его проекция, являющаяся шестиугольником;

5. диагональ, перпендикулярная другой диагонали.

Ответы: +, +, +, +, +

77  Верны следующие утверждения о выпуклых многогранниках.

1. Существует многогранник с любым числом граней, большим трех.

2. Существует многогранник с любым числом ребер, большим семи.

3. Существует многогранник с любым числом вершин, большим трех.

4. Существует многогранник, имеющий одинаковое число вершин и ребер.

5. Существует многогранник, имеющий одинаковое число вершин и граней.

Ответы: +, +, +, –, +

27. Площади

78  Площадь треугольника больше 1, если:

1. Одна из его сторон равна 1, а другая равна 2;

2. Одна из его сторон равна 100, другая равна 200, а третья равна 300;

3. Одна его сторона равна 2, а углы при ней равны 80 и 70;

4. Одна его сторона равна 4, другая сторона равна 5, а угол против стороны, равной 5, равен 30;

5. Радиус вписанной окружности равен 1.

Ответ:

79  Площадь сечения может равняться:

1. 4, если это сечение шара радиусом 1;

2. 5, если это сечение куба с ребром 1;

3. 4, если это сечение цилиндра с радиусом 1 и образующей 1;

4. 2, если это сечение конуса и проходит через его вершину. Образующая поверхности конуса равна 2 и составляет с плоскостью основания угол 150.

5. 4/5, если это сечение правильной треугольной пирамиды, боковые ребра которой равны 1 и попарно перпендикулярны.

Ответы: –, –, –, +, +

80  Диаметр основания конуса равен образующей его поверхности и равен 2. В таком конусе:

1. Площадь осевого сечения больше, чем 1,5.

2. Существует сечение, параллельное основанию, площадь которого равна 1.

3. Существует сечение, проходящее через вершину конуса, площадь которого меньше, чем 0,01.

4. Наибольшая площадь треугольного сечения равна 2.

5. Существует сечение с площадью , равной 8.

Ответы: +, +, +, –, –

28. Объемы

81  Объем некоторого цилиндра больше 10, если

1. Радиус его основания больше 1 и его высота больше 1;

2. Радиус его основания меньше 1 и его высота меньше 2;

3. Его осевым сечением является квадрат со стороной 3;

4. Диагональ его осевого сечения равна 4 и образует с плоскостью основания угол 600;

5. Он вписан в шар радиуса 2.

Ответы: ?, –, +, +, –

82  Объем некоторой призмы больше 5, если этой призмой является

1. Куб с диагональю 3;

2. Прямоугольный параллелепипед, диагональ которого равна 3 и составляет с его ребрами углы 450;

3. Прямой параллелепипед, у которого все ребра равны 1;

4. Наклонный параллелепипед, у которого все ребра равны 2;

5. Правильная треугольная призма, каждое ребро которой больше 2.

Ответы: +, –, –, ?, ?

83  Объем пирамиды больше 1, если этой пирамидой является

1. Правильный тетраэдр с ребром большим, чем 2;

2. Правильная треугольная пирамида, у которой боковые ребра равны 2 и все плоские углы при вершине прямые;

3. Правильная треугольная пирамида, у которой боковые ребра равны 10, а плоский угол при вершине равен 10;

4. Четырехугольная пирамида, у которой все ребра равны 2;

5. Тетраэдр, в котором две  грани являются равносторонними треугольниками со стороной 10, а угол между этими гранями тупой.

Ответы: +, +, –, +, –

84  Это утверждение верно.

1. Радиус шара пропорционален кубическому корню его объема;

2. Если радиус шара больше 1, то объем этого шара больше 4;

3. Чем больше объем шара, тем больше объем правильного тетраэдра, вписанного в него;

4. Если даны шары радиусами R1 и R2 с объемами V1 и V2 соответственно, причем R2 = 2R1, то V2/V1<7;

5. Если даны шары радиусами R1 и R2 с объемами V1 и V2 соответственно, и V2 > 2V1, то R2/R1 > 1.

Ответы: +, +, +, –, –

85  Объем некоторого тела больше 10, если это тело:

1. прямоугольный параллелепипед, диагональ которого, равная 30, образует равные углы с гранями, имеющими с ней общую точку;

2. тетраэдр, у которого пять ребер равны 4;

3. правильная четырехугольная пирамида, у которой боковые ребра равны 2;

4. цилиндр, у которого осевое сечение имеет площадь 6;

5. конус с площадью поверхности 16.

Ответы: +, ?, –, ?, –

29. Вероятности

86  Вероятность указанного события не превосходит половины.

1. При бросании игральной кости выпадет четное число очков.

2. При бросании пары игральных костей в сумме выпадет не более семи очков.

3. При двух последовательных бросаниях игральной кости ни разу не выпадет ни единица, ни шестерка.

4. При трех последовательных бросаниях пары игральных костей на них хоть раз выпадет в сумме 10 очков или больше.

5. При трех последовательных бросаниях игральной кости каждый раз выпадает разное количество очков.

Ответы: +, –, +, +, –

87  9 монет случайным образом раскладывают в три различных кармана. Вероятность указанного события равна p.

1. Монеты различны, первый карман оказался пустым.  0,026

2. Монеты различны, в каждом кармане по три монеты.

3. Монеты одинаковы, первый карман оказался пустым.

4. Монеты одинаковы, в каждом кармане по три монеты.

5. Монеты различны, пустых карманов нет.

Ответы: +, +, –, +,