Обобщение опыта

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа

с углубленным изучением отдельных предметов

г. Нолинска Кировской области

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

КАК СРЕДСТВА ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ И КАЧЕСТВА

 ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ

МЕТОДОМ УРАВНЕНИЙ В 7-9 КЛАССАХ

НОЛИНСК

2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

                                                                                                                          Стр.

Введение

Сегодня, в условиях реформирования образования, не вызывает сомнений необходимость инновационных процессов в школе. Количество информации растёт экспоненциально, и как-то ограничить этот рост мы не можем, невозможно его также и игнорировать. Способности же человека по запоминанию и переработке информации мало того, что ограничены, так и в связи с плохой экологией, стрессами и социальными проблемами даже снижаются по сравнению с предыдущими поколениями. Таким образом, традиционное образование, основанное на передаче знаний от учителя к ученику, не только не выполняет свою основную функцию, но и загоняет в тупик все новые поколения учеников. Проблема перегрузки в школе общеизвестна.

С введением в школах Базисного учебного плана и увеличением количества учебных предметов на всех ступенях обучения на математику уменьшилось количество учебных недельных часов. Возникает противоречие между требованиями программы, объемом содержания математического образования, наличием в классах учащихся коррекционного уровня и уменьшившимся временем обучения математике, недостаточным материальным обеспечением школы наглядностью, дидактическими и раздаточными материалами к обновляемым учебникам.

Перед школой и учителем встают задачи: преодолевать возникающие противоречия, трудности и давать обучающимся качественные знания.

I. Состояние проблемы овладения обучающимися ступени основного общего образования умением решать текстовые задачи методом уравнений.

Из Программы для общеобразовательных учреждений по математике одним из требований к математической подготовке учащихся основной школы является: решать текстовые задачи методом уравнений.

Текстовые задачи в школьном курсе математики являются важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических знаний, умений и навыков, ведущей формой учебной деятельности в процессе изучения математики и средством их математического развития.

От эффективности применения текстовых задач в обучении математике во многом зависит и степень подготовленности школьников к последующей за обучением практической деятельности в любой сфере производства.

Текстовые задачи – традиционно трудный материал для значительной части школьников. Однако в школьном курсе математики ему придается большое значение, так как такие задачи способствуют развитию логического мышления, речи и других качеств  продуктивной деятельности обучающихся.

Так почему же этот материал труден для учащихся?

Работая в школе с 1996 года, я пришла к выводу, что разрозненные указания учителя по решению задач быстро забываются учениками, они не приобретают навыков решения текстовых задач. Без конкретной программы деятельности учащихся, без алгоритмов, системы приемов поиска решения задачи трудно организовать процесс обучения решению задач.

Основными причинами, вызывающими у учащихся затруднения при поиске решения, являются:

• неумение воспринимать задачу в целом, видеть отдельные ее элементы или только числовые значения;
• неумение установить функциональную зависимость между величинами, о которых идет речь в задаче;
• неумение правильно выбрать и объяснить выбор действия при решении задач;
• слабые навыки схематической и символической записи условия, способствующей анализу задачи, выражению зависимости между величинами, входящими в задачу.

Работая первые годы в школе, я заметила, что на выпускном письменном экзамене по математике за курс основной школы только треть учеников приступает к решению текстовой задачи.

Поэтому овладение учащимися умением решать текстовые задачи становится актуальной темой сегодняшнего дня.

Таким образом, передо мной встала проблема совершенствования  методики обучения решению текстовых задач методом уравнений в курсе алгебры 7-9 классов.

Объект исследования: процесс обучения учащихся решению текстовых задач методом уравнений в курсе алгебры  7-9 классов.

Предмет исследования: текстовые задачи, решаемые с помощью уравнений в курсе алгебры 7-9 классов.

        Цель: обоснование необходимости совершенствования методики обучения учащихся решению текстовых задач с помощью уравнений, использование математического моделирования как средства обучения решению текстовых задач. 

Гипотеза исследования: систематическая и целенаправленная пропедевтическая работа учителя по формированию умений решать текстовые задачи с помощью уравнений в курсе алгебры 7-9 классов, использование элементов наглядного моделирования при решении задач для восприятия задачи как единого целого, четкое определение этапов процесса решения текстовых задач позволят учащимся успешно овладеть алгебраическим методом решения текстовых задач.

Задачи работы:

• провести анализ действующих учебников по реализации одного из требований к математической подготовке учащихся основной школы: решать тестовые задачи алгебраическим методом;
• рассмотреть процесс математического моделирования как основу решения текстовых задач;
• раскрыть возможности табличного моделирования при решении текстовых задач алгебраическим методом;
• осуществить экспериментальную проверку эффективности моделирования при обучении решению текстовых задач методом уравнений.

Методы исследования:

• изучение учебно-методической литературы, сравнительный анализ действующих учебников;
• наблюдение за процессом решения учениками текстовых задач с помощью уравнений в основной школе;
• опытное преподавание.

В курсе математики 5-9 классов рассматриваются два основных способа решения текстовых задач: арифметический и алгебраический. Арифметический способ состоит в нахождении неизвестной величины посредством составления числового выражения (числовой формулы) и подсчета результата. Алгебраический способ основан на использовании уравнений, неравенств и их систем, составляемых при решении задач.

Моё внимание будет акцентировано на текстовых задачах, решаемых алгебраическим способом. Точнее, на задачах, решаемых с помощью уравнений в курсе алгебры 7-9 классов.

II. Анализ действующих учебников алгебры 7-9 классов.

С целью узнать, как реализуется одно из требований к математической подготовке учащихся основной школы: решать тестовые задачи алгебраическим методом, были проанализированы следующие действующие учебники федерального перечня, рекомендованные и допущенные Министерством образования и науки Российской Федерации к использованию в образовательном процессе в общеобразовательных учреждениях.

Учебники [ 1 ], [ 2 ],[ 3 ].

Обучение учащихся решению текстовых задач с помощью уравнений начинается с задач, приводящих к линейным уравнениям. Происходит это в 7 кл. при изучении темы «Уравнения с одной переменной», где выделены 3 этапа решения задачи указанным способом: [1, с. 31 ].

Данные три этапа в точности соответствуют трем этапам математического моделирования.

В 7 классе  также решаются текстовые задачи с помощью систем уравнений. Обучение решению такого вида задачам происходит в теме «Системы линейных уравнений», где также выделены три этапа решения задачи: [ 1, с.208].

Решение текстовых задач с помощью квадратных, дробно-рациональных уравнений, рассматриваемых в 8 классе, происходит после рассмотрения соответствующего типа уравнений, т.е.  квадратных, дробно-рациональных.  Методика обучения решению таких задач аналогична методике обучения решению текстовых задач, приводимых к линейным уравнениям.

Решение текстовых задач с помощью систем уравнений второй степени происходит в 9  классе в теме «Уравнения и системы уравнений».

Таким образом, в данных учебниках обучение решению текстовых задач с помощью уравнений построено в соответствии с принципом соподчинения материала по основной цели его изучения.

Учебники [4], [5], [6].

В данных учебниках решение текстовых задач с помощью уравнений, сводящихся к линейным, состоит, в отличие от учебника [1], из двух этапов: [4, с.35]. Рассмотрение таких задач происходит с опорой на уже имеющиеся знания из курса математики 5-6 классов.

С целью интерпретации полученного результата предлагается воспользоваться условиями данной задачи для составления другой, в которой найденный результат становится известным, а какое-нибудь данное надо найти.

Не рассматриваются в учебнике [4] задачи, когда корень составленного по тексту задачи уравнения не удовлетворяет условию задачи.

Все учащиеся должны научиться решать задачи того уровня, который принят в рубрике «Проверь себя!» (дополнительные упражнения, включающие задания для самоконтроля).

Решение текстовых задач с помощью систем линейных уравнений также происходит в 2 этапа, как и решение задач с помощью уравнений.

Также не рассматриваются задачи, в которых могут быть корни, не удовлетворяющие условию задачи. Но я считаю, что присутствие этапа интерпретации в 7 классе позволило бы прочно усвоить обучающимся процесс решения текстовых задач с помощью уравнений.

Знакомство учащихся с квадратными уравнениями в 8 классе позволяет рассмотреть текстовые задачи, приводящие к уравнениям или системам, сводящимся к решению квадратных уравнений.

Здесь возникает необходимость интерпретации полученных решений уравнений в соответствии с условием задачи.

Решение текстовых задач с помощью систем нелинейных уравнений происходит в 9 классе в теме «Алгебраические уравнения. Системы нелинейных уравнений» известными способами (сложением или  подстановкой),  а также делением уравнений и введением вспомогательных неизвестных.

Итак, в учебниках [4], [5], [6] обучение решению текстовых задач с помощью уравнений осуществляется как практическое применение разных видов уравнений, ввиду чего этапу интерпретации полученного решения отведена незначительная роль.

Учебник [7]

Решение текстовых задач с помощью линейных уравнений рассматривается как решение заданий повышенной трудности. Алгоритм решения таких задач в пунктах учебника не вводится.

Рассмотрение уравнений с переменной в знаменателе происходит с помощью текстовых задач. Дается алгоритм решения таких уравнений, которые приводимы к виду =0, где P(x), Q(x) -  многочлены с   одной и той же переменной х.

Текстовые задачи, приводящие к решению квадратных уравнений и систем уравнений, рассматриваются позднее, являясь завершающими курс алгебры 8 класса.

Таким образом, основное внимание обучению текстовых задач с помощью уравнений в данном учебнике приходится на конец 8 класса, поэтому, как мне кажется, усвоение этой темы не будет прочным.

Учебники [8], [9], [10]

Алгебраический способ решения текстовых задач рассматривается в учебнике  [8] отдельным параграфом. На что отводится 13 часов!

По содержанию текстовые задачи учебников [8], [9], [10] и задачников к ним несколько иные, нежели в учебниках [1]- [7]: с использованием литературного текста, задачи-исследования, задачи-расчеты, задачи, в которых требуется не просто найти какую-то величину, а объяснить то или иное явление.

Тема «Решение текстовых задач» находит свое применение во многих разделах алгебры основной школы:  «Многочлены» (7 кл.), «Алгебраические дроби» (8 кл.), «Квадратные уравнения» (8 кл.), «Системы линейных уравнений» (8 кл.), «Уравнения и системы» (9 кл.).

Итак, обучению алгебраическому способу решения задач в курсе алгебры 7-9 классов по учебникам [8], [9],  [10] уделяется особое внимание, которое находит свое применение во многих темах курса.

Учебники [11], [12], [13]

Комплект А.Г. Мордковича состоит из двух частей: теоретической  [11], [12], [13] и практической (задачник) [14], [15], [16].

В учебнике [11] второй и третий параграфы посвящены математическому языку и математической модели. На примерах рассматривается, что такое математическая модель и этапы решения текстовых задач. В задачниках  [14], [15], [16] решение всех задач состоит из трех этапов: составление математической модели, работа с составленной моделью, ответ на вопрос задачи. В конце тем в параграфе «Основные результаты» можно подвести итоги, здесь перечислено все изученное.

Таким образом, учебник [11] можно использовать не только для решения задач, но и для объяснения нового материала по теме «Математическая модель».

В ходе анализа учебников я обратила внимание на количество часов, отведенных на обучение учащихся решению задач алгебраическим способом разными авторами. Результаты занесены в таблицу. (слайд 1)

Слайд 1.

Из таблицы видно, что более подробно рассматриваются текстовые задачи, решаемые с помощью уравнений, в учебниках [8],[9],[10]. Главное при обучении решению текстовых задач обращать большее внимание этапам формализации и интерпретации.

III. Математическое моделирование при решении текстовых задач.

В основе решения всех задач, возникающих на практике, лежит математическое моделирование.

Математическая модель – описание какого-либо реального процесса на языке математических понятий, формул и отношений.

Математическими моделями могут служить уравнения, неравенства, их конструкции. Такое моделирование называется аналитическим.

Выделяют следующие этапы:

1. этап формализации, то есть перевод предложенной задачи на математический язык с естественного, иначе, построение математической модели.
2. внутримодельное решение – исследование модели средствами математики.
3. интерпретация – обратный перевод с математического языка на данный язык.

Опыт преподавания математики в школе показывает, что эффективной наглядной моделью поиска решения текстовых задач алгебраическим методом является табличная форма записи тех отношений, которые включают данные, искомые, условия и требования задач.

Раскрою возможности первых двух этапов модели поиска решения задач на составлении уравнений первой степени. (слайды 2,3,4)

Слайд 2.

Пример 1. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух поселков, расстояние между которыми 76 км. Через два часа они встретились. Какова скорость каждого велосипедиста, если скорость одного из них на 3 км/ч меньше скорости другого?

Таблица поиска решения будет выглядеть так:

В данной задаче описывается равномерное движение велосипедистов. Значит, задача (явно или неявно) содержит три физические величины: скорость движения V, время движения t, пройденный путь S. Существенным для задачи является то, что зависимость между этими величинами выражается формулой

 V•t = S.

Пусть в данной задаче а – скорость движения (км/ч), b – время движения (ч), с – пройденное расстояние (км); величины а, b и с связаны отношением

а•b = с.

Слайд 3.

Обозначим через x (км/ч) скорость первого велосипедиста. Тогда модель поиска решения задачи можно представить следующей таблицей:

Исходя из табличной записи, получаем уравнение 2x+2•(x+3)=76

        Анализ задачи, ее мысленное расчленение на составные части выполняется путем вычленения данных и искомых с учетом отношений между ними.

        С другой стороны, основное отношение, реализованное в таблице, направляет ученика на то, чтобы выделенные в ходе анализа выражения мысленно объединить в единое целое. В данном случае искомое уравнение получено путем синтеза двух выражений одной и той же величины (расстояния), являющейся третьим компонентом основного отношения а•b=с, реализованного в задаче.

Слайд 4.

Если через х (км) обозначить расстояние, пройденное первым велосипедистом до момента встречи со вторым, то модель поиска решения задачи будет следующей:

                     x

Уравнение:      + 3  • 2 = 76 – x

                     2

        В данном случае уравнение получено другим способом: в составлении уравнения приняли участие все три компонента основного отношения а•b=с. Однако это не означает, что в задаче обе ситуации изолированы друг от друга. Действительно, выражение величины (х/2) необходимо для получения выражения скорости второго (х/2+3). Поэтому можно сказать, что между задачными ситуациями имеет место неявная связь – связь порождения.

Если с первыми двумя этапами модели поиска решения задачи учащийся уже неоднократно встречались в 5-6 классах, то третьему этапу почти не уделялось внимания. В связи с этим в теоретической части пункта, посвященного теме «Решение задач с помощью линейных уравнений»  [1, с.31-32] в 7 классе рассматривается случай, когда корень уравнения, составленного по условию задачи, не соответствует смыслу задачи.(слайд 5)

Слайд 5.

Задача. Предназначенные для посадки 78 саженцев смородины решили распределить между тремя звеньями так, чтобы  первому звену досталось саженцев в 2 раза меньше, чем второму, а третьему звену на 12 саженцев больше, чем первому. Сколько саженцев надо выделить первому звену?

Решение. Пусть первому звену решили выделить х саженцев. Тогда второму следует выделить 2х саженцев, а третьему х + 12 саженцев.

Общее число саженцев х + 2х + (х +12), что по условию задачи равно 78.

Значит,  х + 2х + (х +12) = 78

               х + 2х + х + 12 = 78    

                     4х = 78 – 12

                          4х = 66

                          х = 16,5

По смыслу задачи значение х должно быть натуральным числом, а корень уравнения – дробное число. Значит, распределить саженцы указанным способом нельзя.

Во многих задачах, приводящих к квадратному уравнению, получаются отрицательные корни, которые обычно, не задумываясь, отбрасывают.(слайд 6)

Слайд 6.

Задача. Первый рабочий может выкопать яму на 5 часов быстрее второго. Вместе они могут выкопать эту яму за 6 часов. За сколько часов каждый из них может выкопать яму?

Обозначим через х число часов, за которые может выкопать яму первый рабочий, тогда второму понадобится (х + 5) ч.

Получим уравнение: 1/х + 1/(х + 5) = 1/6, или х2 – 7х – 30 = 0

Его корни: х1 = -3; х2 = 10

С положительным корнем все ясно. Но не будем спешить отбрасывать корень отрицательный.

Полноценное мышление появляется в разрывных ситуациях. Разрыв между полученным решением и неумением пока его объяснить вызывает напряжение мысли.

Итак, если х = -3, то х + 5 = 2

Проинтепретируем отрицательный корень х = -3: первый рабочий закапывает яму и для этого ему нужно 3 часа, а второй рабочий выкапывает эту же яму. Тогда за один час будет выкопана   1/2 - 1/3 = 1/6 часть ямы, то есть за 6 часов яма будет все-таки выкопана.  

Таким образом, использование моделирования при решении текстовых задач дает учащимся возможность одновременного восприятия задачи как единого целого со всеми ее данными и взаимоотношениями между ними, обеспечивает качественный анализ задачи, осознанный поиск ее решения, обоснованный выбор арифметического действия, нахождение нескольких способов решения и выбор наиболее рационального из них и тем самым предупреждает многие ошибки в решении задач учащимися.

Все это убедительно говорит о необходимости широкого использования моделирования при решении текстовых задач.

IV. Опытное преподавание.

С 1996 г. по август 2011 г. я работала учителем математики в основной общеобразовательной школе села Юртик Нолинского района Кировской области, с сентября 2011 г. до настоящего времени в средней общебразовательной школе с углубленным изучением отдельных предметов г.Нолинска Кировской области. Преподаю математику в 5-9 классах. В первые годы работы я заметила, что большинство обучающихся испытывают затруднения при решении текстовых задач. Это меня очень взволновало. В результате назрела необходимость совершенствования методики обучения решению текстовых задач методом уравнений. Анализ действующих учебников алгебры 7-9 классов показал, что наиболее эффективно обучить учащихся решению текстовых задач с помощью уравнений позволяют учебники [8], [9], [10], [11], [12], [13].

Обучение алгебре в обеих школах ведётся по учебникам [1], [2],[3], но сравнительный анализ действующих учебников позволил эффективно использовать при обучении школьников решению текстовых задач с помощью уравнений учебники других авторов (такие как [8], [9], [10], [11], [12], [13]).   Опыт использования при обучении учебников  [11], [12], [13] учителями некоторых школ Нолинского района, в частности п. Медведок, также положителен.  

Опыт и исследование показали, что целесообразно познакомить обучающихся со структурой математического моделирования при решении текстовых задач, т.е. четко выделить этапы:

1) формализации;

2) внутримодельного решения;

3) интерпретации.

Для более успешного решения текстовых задач полезно использовать табличную форму записи.

Сделав анализ своей работы за последние три года, я вижу, что наблюдаются устойчивые высокие результаты в освоении государственных образовательных стандартов по математике основного общего уровня общего образования

2011-2012 уч.г. – 98,96%

2012-2013 уч.г. – 100%

2013-2014 уч.г. – 100%

и государственной итоговой аттестации выпускников 9 класса в форме основного государственного экзамена (ОГЭ)

2011-2012 уч.г. – нет выпуска

2012-2013 уч.г. – 3,85

        2013-2014 уч.г. – нет выпуска

Опытное преподавание показало, что при осуществлении целенаправленной пропедевтической работы, усилении роли математического моделирования можно добиться успешного овладения учащимися решением текстовых задач с помощью уравнений. Большая часть обучающихся не испытывают трудностей при решении текстовой задачи алгебраическим методом.

Тем самым подтверждена гипотеза исследования.

Итак, проведённые исследования и опытное преподавание позволяют сделать вывод о том, что использование математического  моделирования действительно способствует повышению эффективности и качества процесса обучения решению текстовых задач методом уравнений в 7-9 классах.

V. Литература

1. Алгебра: Учебник для 7 кл. /Под редакцией С.А.Теляковского –

М.: Просвещение, 2011.

2.Алгебра: Учебник для 8 кл. /Под редакцией С.А.Теляковского –

 М.: Просвещение, 2011.

3. Алгебра: Учебник для 9 кл. /Под редакцией С.А.Теляковского –

М.: Просвещение, 2011.

4. Алгебра: Учебник для 7 кл. /Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др. – М.: Просвещение, 1991.

5. Алгебра: Учебник для 8 кл. / Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др. – М.: Просвещение, 1991.

6. Алгебра: Учебник для 9 кл. / Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др. – М.: Просвещение, 1992.

7. Алгебра: Учебник для 7-9 классов. /Муравин К.С., Муравин Г.К. –

М.: Просвещение, 1994.

8. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных: Учебник для 7 кл. /Под редакцией Г.В. Дорофеева – М.: Дрофа, 1999.

9. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных: Учебник для 8 кл. /Под редакцией Г.В. Дорофеева – М.: Дрофа, 1999.

10. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных: Учебник для 9 кл. /Под редакцией Г.В. Дорофеева – М.: Дрофа, 1999.

11. Алгебра: Учебник для 7 кл. /Мордкович А.Г. и др. – М.: Мнемозина, 2003.

12. Алгебра: Учебник для 8 кл. /Мордкович А.Г. и др. – М.: Мнемозина, 2003.

13. Алгебра: Учебник для 9 кл. /Мордкович А.Г. и др. – М.: Мнемозина, 2003.

14. Алгебра: Задачник для 7 кл. / Мордкович А.Г. и др. – М.: Мнемозина, 2003.

15. Алгебра: Задачник для 8 кл. / Мордкович А.Г. и др. – М.: Мнемозина, 2003.

16. Алгебра: Задачник для 9 кл. / Мордкович А.Г. и др. – М.: Мнемозина, 2003.

17. Алгебра в 7-9 кл.: Методическое пособие для учителя // Ф.М. Барчунова, А.А.Бесчинская, Л.О.Денищева и др.; Сост. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк – М.: Просвещение, 1998. – 384с.

18. Александров В.И. Задачи на составление уравнений. – М.: Наука, 1990-96с.

19. Виноградова Л.В. О задачах на составление уравнений. // Математика в школе. – 1994 -№ 5. – С. 8-9.

20. Драган З.П. К методике решения задач в IV классе. // Математика в школе. – 1983 - № 1 – с.24.

21. Калягин Ю.М., Оганесян В.А. Учитесь решать задачи. – М.: Просвещение, 1980 – С. 96

22. Левитас Г.Г. Об алгебраическом решении текстовых задач. // Математика в школе. – 2000 – № 8 – С.13.

23. Ляпис.С.Е. Методика преподавания математики в средней школе. М.: Просвещение, 1987.

24. Матушкина З.П. Задания, формирующие умение решать задачи. // Математика. Приложение к газете «Первое сентября» - 1999 - № 42. – С. 8-10.

25. Мишин В.И. Методика преподавания математики в средней школе. – М.: Просвещение, 1987.

26. Муравин К.С.,   Муравин   Г.С. Обучение решению текстовых задач в 7 кл. // Математика в школе – 1992 – № 2-3 – С.11-15.

27. Никифоров Н.Н. К изучению темы «Решение задач с помощью уравнений.

// Математика в школе – 1994 № 2 – С.20-21.

28. Перевощикова Е.Н. Обучение решению текстовых задач: цели и диагностика. // Математика в школе – 1998 - № 2 – С.62-65.

29. Пойа Д. Как решать задачу. – М.: Учпедгиз,1961.

30. Сафонова Л.А. О действиях, составляющих умение решать текстовые задачи. // Математика в школе. – 200 - № 8 – С.34-36.

31. Совайленко В.К. Об обновлении тематики школьных задач. // Математика в школе. – 1994 - № 5 – С. 27-29.

32. Совайленко В.К. О систематизации задач в учебниках математики.

// Математика в школе. – 1981 - № 1 – С. 52-54.

33. Фокин Б.Д. «Здравый смысл и решение задачи». // Математика в школе. – 1911 - № 2 – С. 21-23.

34. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. М.: Просвещение, 1983.

35. Фридман Л.М. Как научиться решать задачи. М.:Просвещение,1979.–С. 160

36. Фридман Л.М. Учитесь учиться математике.  М.: Просвещение, 1985. – С.112

37. Функции задач в обучении математике: Сборник статей /ред. В.К. Смышляев. – Киров - Йошкар-Ола, 1985. – С.114

38. Цукарь А.Я. Схематизация и моделирование при решении текстовых задач. // Математика в школе. – 1998 - № 5 – С.48-54.

39. Шевкин А.В. О задачах на «работу» и не только о них. // Математика в школе. – 1993 - № 6 – С.16-19.

40. Щепоткина А.А. Алгоритм решения задач на тему «Работа». // Математика в школе. – 1993 - № 2 – С.21-22.