Методическая копилка

МИНИСТЕРСТВО ЭНЕРГЕТИКИ, ПРОМЫШЛЕННОСТИ И СВЯЗИ СТАВРОПОЛЬСКОГО КРАЯ

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Ставропольский колледж связи имени Героя Советского Союза В.А. Петрова»

Цикловая комиссия  «Математика и информатика»

Утверждаю

Заместитель директора по учебной работе

________________ Г.А. Белоусова

«___» _____________2015 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

по учебной дисциплине

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

По специальности:

11.02.11 «Сети связи и системы коммутации»

Ставрополь, 2015 г.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Программа учебной дисциплины «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия» предназначена для изучения в учреждениях среднего профессионального образования, реализующих образовательную программу среднего (полного) общего образования для специальности 11.02.11 Сети связи и системы коммутации.

В программе предусмотрена реализация  следующих целей:

• формирование представлений о математике как части мировой культуры и о месте математики в современной цивилизации, о способах описания на математическом языке явлений реального мира; представлений о математических понятиях как о важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления, понимание возможности аксиоматического построения математических теорий;
• владение методами доказательств и алгоритмов решения; умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач; стандартными приемами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, логарифмических, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств;
• формирование представлений об основных понятиях, идеях и методах математического анализа;
• владение основными понятиями о плоских и пространственных геометрических фигурах, их основных свойствах; сформированность умения распознавать на чертежах, моделях и в реальном мире геометрические фигуры; применение изученных свойств геометрических фигур и формул для решения геометрических задач и задач с практическим содержанием;
• формирование представлений о процессах и явлениях, имеющих вероятностный характер, о статистических закономерностях в реальном мире, об основных понятиях элементарной теории вероятностей; умений находить и оценивать вероятности наступления событий в простейших практических ситуациях и основные характеристики случайных величин;
• владение навыками использования готовых компьютерных программ при решении задач.

Основу программы составляет содержание, согласованное с требованиями федерального компонента государственного стандарта  среднего (полного) общего образования базового уровня.

        Содержание программы представлено одиннадцатью темами:

        - действительные числа, комплексные числа, приближенные вычисления и вычислительные средства;

        - функции, их свойства и графики;

        - степенная, показательная и логарифмическая функции;

        - тригонометрические функции;

        - прямые и плоскости в пространстве;

        - уравнения и неравенства;

        - векторы и координаты;

        - производная и ее приложения;

        - интеграл и его приложения;

        - геометрические тела и поверхности;

        - элементы теории вероятности и математической статистики.

        При отборе содержания использован целесообразный подход, в соответствии с которым обучающиеся должны усвоить знания и умения, необходимые для формирования общей культуры, востребованные в жизни и в практической деятельности. Содержание каждой темы включает теоретический и практический материал, реализуемый в форме практических занятий с использованием средств ИКТ.

В программе разработаны содержание учебной дисциплины, тематическое планирование, требования к результатам обучения.

Данная программа рассчитана на максимальный объем учебной нагрузки обучающегося  435 часов, в том числе:

обязательной аудиторной учебной нагрузки обучающегося 290 часов;

самостоятельной работы обучающегося 145 часов.

1.СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

Введение

Математика в науке, технике, экономике, информационных технологиях и практической деятельности. Входной контроль.

1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СРЕДСТВА

Понятие о числе. Натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа. Действия с действительными числами. Комплексные числа. Действия над комплексными числами. Возведение комплексных числе в степень. Нахождение комплексных корней квадратных уравнений. Приближенное значение величины. Погрешности. Вычисления с помощью микрокалькулятора.

      Самостоятельная работа:

 Приближенное значение величины и погрешности приближений

       Комплексные числа

Свойства степени с действительным показателем

      История комплексных чисел

2. ФУНКЦИИ, ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ

Числовые функции. Их способы задания и свойства. Область определения и область значения функций. Графики и свойства функций. Построение графиков функций, заданных различными способами. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значение, точки экстремума функции. Исследование функции на четность, ограниченность. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях.

Обратные функции. Область определения и область значения обратной функции. Построение графика обратной функции.

Сложная функция (композиция). Геометрические преобразования графиков функций. Построение графиков с помощью геометрических преобразований. Решение упражнений по теме: «Функции, их свойства и графики»

Самостоятельная работа:

Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях
           Область определения и область значения обратной функции

3. СТЕПЕННАЯ, ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ

Понятие корня и степени. Корни натуральной степени из числа и их свойства. Степени с рациональными и действительными показателями, их свойства.

Степенная функция, ее свойства и графики.

Показательная функция, ее свойства и графики. Простейшие показательные уравнения. Методы решения показательных уравнений. Простейшие показательные неравенства. Решение показательных неравенств.

Логарифмы. Основное логарифмическое тождество. Свойства логарифмов. Переход к новому основанию. Преобразование логарифмических выражений. Десятичные и натуральные логарифмы. Логарифмическая функция, ее свойства и график. Решение логарифмических уравнений. Решение логарифмических неравенств.

Решение упражнений по теме: «Показательная, логарифмическая и степенная функции».

Самостоятельная работа:

Логарифм числа

Правила действия с логарифмами

Преобразование рациональных, иррациональных, степенных, показательных и логарифмических выражений

История логарифма

4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Углы и их измерения. Радианная мера угла.

Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Основные тригонометрические тождества. Тригонометрические функции углового аргумента. Синус, косинус, тангенс суммы и разности аргументов. Формулы приведения. Формулы двойного аргумента. Формулы половинного аргумента. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Формулы суммы и разности синусов, косинусов. Свойства и графики тригонометрических функций синус и косинус. Свойства и графики тригонометрических функций тангенс и котангенс.

Обратные тригонометрические функции.

Простейшие тригонометрические уравнения. Решение тригонометрических уравнений. Решение тригонометрических неравенств. Решение упражнений по теме: « Тригонометрические функции».

Самостоятельная работа:

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента
Простейшие тригонометрические неравенства
Арксинус, арккосинус, арктангенс числа
Обратные тригонометрические функции
Решение неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции
Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла

5. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Аксиомы стереометрии и простейшие следствия из них. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямыми. Параллельность прямой и плоскости, параллельность плоскостей. Параллельное проецирование. Изображение фигур в стереометрии. Перпендикулярность прямой и плоскости. Связь между перпендикулярностью и параллельностью прямых и плоскостей в пространстве. Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах. Угол между прямой и плоскостью.

Двугранный угол. Перпендикулярность двух плоскостей. Геометрические преобразования пространства.

Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции. Изображение пространственных фигур. Решение задач по теме: «Прямые и плоскости в пространстве».

Самостоятельная работа:

Параллельное проецирование

6. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Равносильность уравнений, неравенств, систем. Способы решения линейных уравнений и неравенств. Метод разложения на множители. Метод введения новой переменной. Метод подстановки. Графический метод решения уравнений. Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические уравнения и неравенства и основные приемы их решения.

Решение систем неравенств. Метод интервалов. Уравнения и неравенства с параметрами. Решение упражнений по теме «Уравнения и неравенства».

Самостоятельная работа:

История развития математики

Уравнения и неравенства с параметрами

7. ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ

Прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве. Простейшие задачи в координатах. Сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число. Координаты середины отрезка. Расстояние между двумя точками. Векторы на плоскости и в пространстве. Действие над векторами. Действие над векторами с заданными координатами.

Разложение вектора по направлениям, угол между векторами, проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов. Вычисление углов между прямыми и плоскостями.

Уравнение линии, прямой, окружности. Решение упражнений по теме: «Векторы и координаты». Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.

Самостоятельная работа:

Уравнения сферы, плоскости и прямой

8. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Предел функции в точке. Основные свойства предела. Предел функции на бесконечности. Непрерывные функции, свойства непрерывных функций. Решение задач по нахождению пределов функций.

Определение производной, ее геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции. Производные основных элементарных функций. Производные суммы, разности, произведения и частного. Вторая производная, ее физический смысл. Нахождение скорости и ускорения с помощью производной. Дифференцирование сложных функций. Признак постоянства, возрастание и убывание функции. Экстремумы функции. Исследование функции на экстремум. Исследование функции с помощью производной.

Применение производной к построению графиков. Применение производной к исследованию и построению функций. Наибольшее и наименьшее значение функции. Выпуклость графика функции, точки перегиба.

Применение производной к решению задач в профессиональной деятельности. Решение упражнений по теме: «Производная и ее приложения».

Самостоятельная работа:

Понятие о пределе последовательности

Существование предела монотонной ограниченной последовательности

Суммирование последовательностей

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма

Понятие о непрерывности функции

Производные обратной функции и композиции функции

Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком

Выпуклость графика функции. Точки перегиба

9. ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Определение первообразной. Правила нахождения первообразной.

Неопределенный интеграл и его свойства. Формулы интегрирования. Вычисление простейших интегралов. Методы интегрирования. Определенный интеграл и его геометрический смысл. Нахождение площадей криволинейных трапеций. Нахождение площадей фигур.

Применение производной и интеграла к решению практических задач. Решение упражнений по теме: «Интеграл и его приложения».

Самостоятельная работа:

Примеры применения интеграла в физике и геометрии

10. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА И ПОВЕРХНОСТИ

Многогранники. Правильные многогранники.  

Призма. Параллелепипед и его свойства. Пирамида. Свойства параллельных сечений в пирамиде.

Тела вращения. Поверхность тел вращения. Цилиндр, конус. Шар и сфера. Касательная плоскость к шару.

Понятия объема и площадей поверхностей геометрических тел. Определение объемов многогранников. Определение объемов тел вращения.

Площади поверхностей и объемы геометрических тел. Нахождение площадей поверхностей и объемов геометрических тел. Решение упражнений по теме: «Геометрические тела и поверхности».

Самостоятельная работа:

Площадь ортогональной проекции. Изображение пространственных фигур

Развертка. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера.

Наклонная призма

Усеченная пирамида

Усеченный конус

Осевые сечения и сечения, параллельные основанию

Касательная плоскость к сфере

Подобие тел. Отношение площадей поверхностей и объемов подобных тел

11. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Основные понятия комбинаторики. Правило произведения. Подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

Определение вероятности и операции над ними. Основные теоремы и формулы теории вероятности. Понятие о независимости событий. Дискретная случайная величина, закон ее распределения. Понятие о законе больших чисел.

Основные задачи и понятия математической статистики. Представление данных, генеральная совокупность. Выборка, среднее арифметическое, мода, медиана. Решение практических задач с применением вероятностных методов.

Самостоятельная работа:

Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики

Понятие о независимости событий

Дискретная случайная величина, закон ее распределения

Числовые характеристики дискретной случайной величины

Понятие о законе больших чисел

Генеральная совокупность, выборка, среднее арифметическое, медиана

Понятие о задачах математической статистики

Решение практических задач с применением вероятностных методов

В программе курсивом выделен материал, который при изучении контролю не подлежит.

                                           2. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

3. ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОБУЧЕНИЯ

В результате изучения учебной дисциплины «Математика» обучающийся должен знать/понимать:

- цели обучения математике;

-  основные понятия и формулы «Математики: алгебры, начал математического анализа и геометрии»;

- значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике;

- значение вопросов, возникающих в самой математике для развития математической науки;

- историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, теории вероятности и математической статистики;

- применимость на практике полученных знаний.

По теме «Действительные числа. Комплексные числа. Приближенные вычисления и вычислительные средства» уметь:

- выполнять  с  заданной точностью  на инженерном или программируемом (в режиме вычислений) микрокалькуляторе, арифметические действия, решать уравнения;

- использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.

По теме «Функции, их свойства и графики» уметь:

- вычислять значения элементарных функций;

- пользоваться различными способами задания функции;

- находить области определения функции:

- применять  геометрические преобразования (сдвиг и деформацию) при построении графиков;

- устанавливать  по графику функции ее важнейшие свойства (монотонность,  ограниченность,  четность, нечетность, периодичность, непрерывность);

- преобразовывать графики функций путем сдвига и деформации;

- находить значение функции,  заданной аналитически или графически, по значению аргумента и наоборот;

- использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.

По теме «Степенная, показательная и логарифмическая функции» уметь:

- строить графики известных степенных функций;

- строить графики показательных и логарифмических функций и на них иллюстрировать свойства функции;

- решать несложные показательные и логарифмические  уравнения;

- вычислять  значения  показательных  и логарифмических выражений с помощью вычислительных средств;

- использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.

По теме «Тригонометрические функции» уметь:

- вычислять значения тригонометрических функций  о  заданной степенью  точности;

- преобразовывать тригонометрические выражения, используя тригонометрические формулы;

- строить графики тригонометрических функций и на них иллюстрировать свойства функций;

- применять геометрические преобразования (деформацию и сдвиг) при построении графиков тригонометрических функций;

- использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.

По теме «Прямые и плоскости в пространстве» уметь:

- устанавливать в пространстве параллельность прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей, используя признаки и основные теоремы о параллельности;

- применять признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорему о трех перпендикулярах, признак перпендикулярности для вычисления углов и расстояний в пространстве;

- использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.

По теме «Уравнения и неравенства» уметь:

- решать уравнения и неравенства различными методами;

- использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.

По теме «Векторы и координаты» уметь:

- выполнять действия над векторами;

- разлагать вектор на составляющие;

- использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.

По теме «Производная и ее приложения» уметь:

- дифференцировать функции, используя таблицу производных и правила дифференцирования;

- вычислять значение производной функции в указанной точке;

- находить угловой коэффициент и угол наклона касательной к графику функции в данной точке;

- находить скорость изменения функции в точке;

- применять производную для исследования реальных физических процессов (нахождения скорости неравномерного движения, угловой скорости, значения переменного тока, линейной плотности неоднородного стержня и т. д.);

- находить производные второго порядка, применять вторую производную для решения физических задач;

- находить дифференциал функции, с помощью дифференциала приближенно вычислять значение и приращение функции в указанной точке;

- применять производную для нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции;

- проводить исследования и строить графики многочленов;

- находить  наибольшее  и  наименьшее значения функции непрерывной в промежутке;

- решать несложные прикладные задачи на нахождение наибольших и наименьших значений реальных величин;

- использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.

По теме «Интеграл и его приложения» уметь:

- находить неопределенные интегралы,  сводящиеся к табличным с помощью основных свойств я простейших преобразований;  

- выделять первообразную,  удовлетворяющую заданным начальным условиям;

- вычислять определенный интеграл с помощью основных свойств и формулы Ньютона-Лейбница;

- находить площади криволинейных трапеций;

- решать простейшие прикладные задачи, сводящиеся к нахождению интеграла;

- использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.

По теме «Геометрические тела и поверхности» уметь:

- вычислять и изображать основные элементы призм, пирамид, цилиндра и конуса, шара;

- вычислять и строить площади простейших сечений многогранников и круглых тел;

- находить объем прямой призмы, пирамиды, прямого цилиндра, конуса, шара;

- находить площади поверхностей призмы,  пирамиды,  цилиндра, конуса и шара;

- использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.

По теме «Элементы теории вероятности и математической статистики» уметь:

- оценивать  по относительной частоте события его вероятность, и наоборот, подсчитывать вероятность события, пользуясь классическим определением вероятности и используя простейшие комбинаторные схемы;

- вычислять  вероятности  суммы  несовместных  событий, произведения независимых событий;

- вычислять вероятности событий, связанных со случайной величиной, по заданному закону распределения этой величины;

- вычислять  математическое ожидание случайной величины по закону ее распределения,  а также пользуясь  свойствами математического ожидания;

- использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.

4. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Основные источники:

1. Башмаков М.И. Математика. Учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – 6 изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, - 256 с.
2. А. В. Погорелов «Геометрия», учебное пособие для средней школы, Москва, «Просвещение», 2014 г., 175 с.

Дополнительные источники:

1. Лисичкин В.Т.  Математика в задачах с решениями: учебное пособие / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. - 5-е изд., стереотип. – ЭБС: Лань, 2014. - 464с.
2. Нелин Е.П. Математика, алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни). 10 класс, учебное пособие для общеобразовательных учреждений, Е.П. Нелин, В.А. Лазарев, – М.: Илекса, 2015. - 312с.
3. Виленкин Н.Я. Математика, алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс, учебник для учащихся общеобразовательных организаций (углублённый уровень) / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. - 18-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2014. - 312с.  
4. Виленкин Н.Я. Математика, алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа, 11 класс, учебник для учащихся общеобразовательных организаций (углублённый уровень) / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. - 18-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2014. - 312с.