ЕГЭ

ЕГЭ 2010. Математика. Задача B4. Рабочая тетрадь

Смирнов В.А.

(под редакцией А. Л. Семенова и И.В.Ященко)

М.: Издательство МЦНМО; 2010, 48 стр.

Рабочая тетрадь по математике серии «ЕГЭ 2010.Математика» ориентирована на подготовку учащихся старшей школы для успешной сдачи Единого государственного экзамена по математике в 2010 году. В рабочей тетради представлены задачи по одной позиции контрольных измерительных материалов ЕГЭ-2010.

На различных этапах обучения пособие поможет обеспечить уровневый подход к организации повторения, осуществить контроль и самоконтроль знаний по основным темам планиметрии. Рабочая тетрадь ориентирована на один учебный год, однако при необходимости позволит в кратчайшие сроки восполнить пробелы в знаниях выпускника.

Тетрадь предназначена для учащихся старшей школы, учителей математики, родителей.

http://geometry2006.narod.ru/

Содержание

Введение

Диагностическая работа ……………………………………………………..

Решения задач диагностической работы ……………………………………

Тренировочные работы ………………………………………………………

1. Нахождение значений тригонометрических функций острых углов прямоугольного треугольника ……………………………………..……

2. Нахождение значений тригонометрических функций острых углов равнобедренного треугольника ………………………………………….

3. Нахождение значений тригонометрических функций тупых углов

4. Нахождение тригонометрических функций углов, изображенных на клетчатой бумаге ……………………………… ……………………….

5. Нахождение элементов прямоугольных треугольников …………..

6. Нахождение элементов равнобедренных треугольников ……………

Самостоятельные работы ……………………………………………

Самостоятельная работа 1 ………………………………………………….

Самостоятельная работа 2 ………………………………………………….

Самостоятельная работа 3 ………………………………………………….

Ответы ……………………………………………………………………

ВВЕДЕНИЕ

Данное пособие предназначено для подготовки к выполнению задания В4 ЕГЭ по математике. Его целями являются:

– показ примерной тематики и уровня трудности геометрических задач, включенных в содержание ЕГЭ;

– проверка качества знаний и умений учащихся по геометрии, их готовность к сдаче ЕГЭ;

– развитие представлений учащихся об основных геометрических фигурах и их свойствах, формирование навыков работы с рисунком;

– повышение вычислительной культуры учащихся, подготовка их к решению геометрических задач с числовым ответом.

Пособие содержит задачи по тригонометрии. Они проверяют умения учащихся находить значения тригонометрических функций углов по известным элементам геометрических фигур и, наоборот, находить неизвестные элементы геометрических фигур по известным значениям тригонометрических функций.

Для успешного выполнения предлагаемых задач требуются знания определений тригонометрических функций и их свойств, умения работать с формулами, выполнять арифметические действия и преобразования числовых выражений.

Задачи сопровождаются рисунками, позволяющими лучше понять условие, представить соответствующую геометрическую ситуацию, наметить план решения, при необходимости провести дополнительные построения и вычисления.

Вначале предлагается диагностическая работа, содержащая тригонометрические задачи, разбитые на шесть различных типов по три задачи в каждом. Для тех, кто хочет проверить правильность решения предложенных задач или убедиться в верности полученного ответа, приводятся их решения и даются ответы.

Затем, для закрепления рассмотренных методов решения задач, предлагаются  тренировочные работы, каждая из которых содержит тригонометрические задачи одного типа.

В случае успешного решения этих задач можно переходить к выполнению заключительных самостоятельных работ, содержащих тригонометрические задачи разных типов.

        В конце пособия даны ответы ко всем задачам.

По аналогии с рассмотренными задачами можно самим придумывать и решать тригонометрические задачи.

Отметим, что лучшим способом подготовки к ЕГЭ по геометрии являются систематические занятия по учебнику геометрии. Данное пособие не заменяет учебника. Оно может быть использовано в качестве дополнительного сборника задач при изучении геометрии в 7-9 классах, а также при организации обобщающего повторения в 10-11 классах или при самостоятельных занятиях по геометрии.

Диагностическая работа

1.1. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, AB = 10, AC = 8. Найдите sin A.

1.2. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, sin A = 0,6. Найдите cos A.

1.3. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, высота CH равна 6, AC = 10. Найдите tg A.

2.1. В треугольнике ABC AC = BC = 10,  AB = 12. Найдите sin A.

2.2. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 10, высота AH равна 8. Найдите cos A.

2.3. В треугольнике ABC AB = BC, высота CH равна 8, AC = . Найдите тангенс угла ACB.

3.1. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, AB = 10, BC = 6. Найдите синус внешнего угла при вершине A.

3.2. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, sin A = 0,6. Найдите косинус внешнего угла при вершине A.

3.3. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, AB = 10, AC = 8. Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.

4.1. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на .

4.2. Найдите тангенс угла AOB.

4.3. Найдите косинус угла AOB. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на .

5.1. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, BC  = 4, sin A = 0,8. Найдите AB.

5.2. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, tg A = 0,75, AC = 8. Найдите AB.

5.3. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, CH – высота, BC = 6, cos A = 0,8. Найдите CH.

6.1. В треугольнике ABC AC = BC = 10,  sin A = 0,8. Найдите AB.

6.2. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 10, cos A = 0,6. Найдите высоту AH.

6.3. В треугольнике ABC AB = BC, высота CH равна 5, tg C = . Найдите AC.

Решения задач диагностической работы

1.1. Первое решение. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB равна 10. Найдем катет BC. Используя теорему Пифагора, имеем BC = . Следовательно, sin A = 0,6.

Второе решение. Так как катет AC равен 8, а гипотенуза AB равна 10, то cos A = 0,8. Воспользуемся формулой , выражающей косинус через синус острого угла. Откуда sin A = 0,6. 

Ответ. 0,6.

1.2. Первое решение. Воспользуемся формулой . Тогда cos A =  = 0,8. 

Второе решение. Можно считать, что гипотенуза AB и катет BC данного прямоугольного треугольника равны соответственно 10 и 6. Тогда по теореме Пифагора катет AC равен 8 и, следовательно, cos A = 0,8.

Ответ. 0,8.

        1.3. В прямоугольном треугольнике  ACH катет CH равен 6, гипотенуза AC равна 10. Используя теорему Пифагора, находим AH = 8. Следовательно, tg A = 0,75.

Ответ. 0,75.

2.1. Проведем высоту CH. В прямоугольном треугольнике ACH гипотенуза AC равна 10, катет AH равен 6. По теореме Пифагора находим CH = 8 и, следовательно, sin A = 0,8.

Ответ. 0,8.

        2.2. В прямоугольном треугольнике ABH гипотенуза AB равна 10, катет AH равен 8. По теореме Пифагора находим BH = 6 и, следовательно, cos B = 0,6. Так как углы A и B треугольника ABC равны, то cos A = 0,6.

Ответ. 0,6.

2.3. В прямоугольном треугольнике ACH гипотенуза AC равна , катет CH равен 8. По теореме Пифагора найдем AH. Имеем AH == 16. Откуда tg A = 0,5. Так как углы A и C треугольника ABC равны, то тангенс угла ACB равен 0,5.

Ответ. 0,5.

3.1. Синус внешнего угла при вершине A треугольника ABC равен синусу угла A и, следовательно, равен 0,6.

Ответ. 0,6.

3.2. Косинус внешнего угла при вершине A равен –cos A. Воспользуемся формулой , выражающей косинус острого угла через его синус. Тогда cos A =  = 0,8 и, следовательно,  косинус внешнего угла при вершине A равен –0,8.

Ответ. –0,8.

3.3. Тангенс внешнего угла при вершине A равен –tg A. По теореме Пифагора находим BC == 6 и, следовательно, tg A = 0,75. Значит, тангенс внешнего угла при вершине A равен –0,75.

Ответ. –0,75.

        4.1. Первое решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник OBC. Его катет BC равен 3, гипотенуза OB равна . Следовательно, sin A = .

Второе решение. Угол AOB равен 45о. Следовательно, sin A = .

Ответ. 2.

        4.2. Рассмотрим прямоугольный треугольник OBC. Его катеты BC и OC равны соответственно 4 и 2. Следовательно, тангенс угла BOC равен 2. Учитывая, что тангенс смежного угла равен тангенсу данного угла, взятому с противоположным знаком, получаем, что тангенс угла AOB равен – 2.

Ответ. – 2.

4.3. Рассмотрим треугольник OBС. OC = BC = , OB =. Следовательно, треугольник OBC – прямоугольный, косинус угла AOB равен .

Ответ. 2.

5.1. Подставляя в формулу BC = ABsin A данные значения BC и sin A, находим AB = 5.

Ответ. 5.

        5.2. Имеем BC = ACtg A = 80,75 = 6. По теореме Пифагора находим AB = = 10.

Ответ. 10.

        5.3. Углы BCH и BAC равны, как острые углы с перпендикулярными сторонами, значит, cosBCH = 0,8. CH = BCcosBCH = 4,8.

Ответ. 4,8.

6.1. Первое решение. Проведем высоту CH. Имеем CH = ACsin A = 8. По теореме Пифагора находим AH =  и, следовательно, AB = 12.

Второе решение. Проведем высоту CH. Воспользуемся формулой , выражающей косинус острого угла через его синус. Тогда cos A =  = 0,6. Следовательно, AH = ACcos A = 6 и, значит, AB = 12.

Ответ. 12.

6.2. Первое решение. В равнобедренном треугольнике ABC угол A равен углу B,  BH = ABcos B = 6. По теореме Пифагора находим  AH = .

Второе решение. Воспользуемся формулой , выражающей синус острого угла через его косинус. Тогда sin A =  = 0,8. Следовательно, поскольку в равнобедренном треугольнике A = B, получаем AH = ABsin B = 8.

Ответ. 8.

6.3. Первое решение. В равнобедренном треугольнике ABC угол A равен углу C, значит, tg A = tg C и  AH = . По теореме Пифагора находим AC = = 10.

Второе решение. Так как tg C = , то угол C равен 30о. Угол A равен углу C. Так как катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30о, равен половине гипотенузы, то AC = 10.

Ответ. 10.

Тренировочные работы

1. Нахождение значений тригонометрических функций острых углов прямоугольного треугольника

1. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, AB = 10, BC = 6. Найдите cos A.

2. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, AB = 10, AC = 8. Найдите tg A.

3. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, cos A = 0,8. Найдите sin A.

4. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, cos A = 0,8. Найдите tg A.

5. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, tg A = 0,75. Найдите sin A.

6. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, sin A = 0,6. Найдите cos B.

7. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, cos A = 0,8. Найдите sin B.

8. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, CH – высота, AC = 10, AH = 8. Найдите cos B.

9. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, CH – высота, BC = 10, BH = 6. Найдите cos A.

2. Нахождение значений тригонометрических функций острых углов равнобедренного треугольника

1. В треугольнике ABC AC = BC = 10,  AB = 12. Найдите cos A.

2. В треугольнике ABC  AC = BC = 10, AB = 16. Найдите tg A.

3. В треугольнике ABC  AC = BC = 10, AB = 16. Найдите sin A.

4. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 10, высота AH равна 8. Найдите sin A.

5. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 10, высота AH равна 8. Найдите cos A.

6. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 10,  AH –  высота, BH = 6. Найдите cos A.

7. В треугольнике ABC AC = BC,  AH –  высота, sin A = 0,8. Найдите косинус угла BAH.

8. В треугольнике ABC AB = BC, AC = 16, высота CH равна 8. Найдите синус угла ACB.

9. В треугольнике ABC AB = BC, AC = 5,  CH –  высота, AH = 4. Найдите синус угла ACB.

3. Нахождение значений тригонометрических функций тупых углов

1. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, AB = 10, BC = 6. Найдите косинус внешнего угла при вершине A.

2. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, AB = 10, BC = 6. Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.

3. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, cos B = 0,8. Найдите косинус внешнего угла при вершине A.

4. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, cos A = 0,8. Найдите синус внешнего угла при вершине A.

5. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, tg A = 0,75. Найдите косинус внешнего угла при вершине A.

6. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, sin A = 0,6. Найдите косинус внешнего угла при вершине B.

7. В треугольнике ABC AC = BC = 10,  AB = 12. Найдите синус  внешнего угла при вершине  B.

8. В треугольнике ABC AB = BC, AB = 10, высота CH равна 8. Найдите косинус угла ABC.

9. В треугольнике ABC AB = BC, CH – высота, AB = 10, BH = 6. Найдите синус угла ABC.

4. Нахождение тригонометрических функций углов, изображенных на клетчатой бумаге

1. Найдите косинус угла AOB. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на .

2. Найдите тангенс угла AOB.

3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на .

4. Найдите тангенс угла AOB.

5. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на .

6. Найдите косинус угла AOB. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на .

7. Найдите тангенс угла AOB.

8. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на .

9. Найдите косинус угла AOB. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на .

5. Нахождение элементов прямоугольных треугольников

1. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, , AC = 8. Найдите AB.

2. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, tg A = 0,75, BC = 9. Найдите AC.

3. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, sin A = 0,6, BC = 6. Найдите AB.

4. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, cos A = 0,8, BC = 3. Найдите AB.

5. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, sin A = 0,6, AC = 4. Найдите AB.

6. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, tg A = , BC = 6. Найдите AB.

7. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, CH – высота, AB = 25, cos A = 0,8. Найдите AH.

8. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, CH – высота, AB = 25, sin A = 0,6. Найдите BH.

9. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, CH – высота, AH = 16, tg A = 0,75. Найдите BH.

6. Нахождение элементов равнобедренных треугольников

1. 1.     В треугольнике ABC AC = BC, AB = 18, cos A = 0,6. Найдите AC.

2. 2.     В треугольнике ABC AC = BC = 10, sin B = 0,8. Найдите AB.

3. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 18, sin A = 0,8. Найдите AC.

4. В треугольнике ABC  AC = BC, AB = 4, tg A = 0,75. Найдите высоту CH.

5. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 30, sin A = 0,8. Найдите высоту AH.

6. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 30, cos A = 0,6. Найдите высоту AH.

7. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 30, sin A = 0,8, AH - высота. Найдите BH.

8. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 30, cos A = 0,6, AH - высота. Найдите BH.

9. В треугольнике ABC AB = BC, AC = 10, sin C = 0,6. Найдите высоту CH.

Самостоятельные работы

Самостоятельная работа 1

1. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, tg A = . Найдите sin B.

2. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, CH – высота, AC = 10, AH = 8. Найдите sin B.

3. В треугольнике ABC AC = BC = 5,  AB = 6. Найдите cos B.

4. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 5, высота BH равна 4. Найдите sin B.

5. В треугольнике ABC AB = BC, AC = 5,  CH –  высота, AH = 4. Найдите синус угла ACB.

6. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, AB = 5, BC = 3. Найдите косинус внешнего угла при вершине A.

7. В треугольнике ABC AB = BC, AB = 5, высота CH равна 4. Найдите косинус угла ABC.

8. Найдите тангенс угла AOB.

9. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 15, sin B = 0,8. Найдите высоту BH.

10. В треугольнике ABC AB = BC, AC = 10, cos C = 0,8, CH - высота. Найдите AH.

Самостоятельная работа 2

1. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, sin B = 0,8. Найдите tg A.

2. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, AC = 5, высота CH равна 3. Найдите cos B.

3. В треугольнике ABC  AC = BC = 5, AB = 8. Найдите tg B.

4. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 5, высота BH равна 4. Найдите cos B.

5. В треугольнике ABC AB = BC, AC = 8, высота CH равна 4. Найдите синус угла ACB.

6. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, AB = 5, BC = 3. Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.

7. В треугольнике ABC AB = BC, CH – высота, AB = 5, BH = 3. Найдите синус угла ABC.

8. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на .

9. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 15, cos B = 0,6. Найдите высоту BH.

10. В треугольнике ABC AB = BC, AC = 10, cos С = 0,8. Найдите высоту CH.

Самостоятельная работа 3

1. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, cos B = 0,6. Найдите tg A.

2. В треугольнике ABC  угол C равен 90о, CH – высота, BC = 5, BH = 3. Найдите tg A.

3. В треугольнике ABC  AC = BC = 5, AB = 8. Найдите sin B.

3. 3.     В треугольнике ABC AC = BC, AB = 5,  BH –  высота, AH = 3. Найдите cos B.

4. 4.     В треугольнике ABC AB = BC, AB = 8, высота CH равна 4. Найдите синус угла ABC.

5. 5.     В треугольнике ABC  угол C равен 90о, tg A = 0,75. Найдите косинус внешнего угла при вершине A.

7. В треугольнике ABC AB = BC, AB = 5, высота CH равна 4. Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.

8. Найдите косинус угла AOB. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на .

9. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 15, sin A = 0,8, BH - высота. Найдите AH.

10. В треугольнике ABC AB = BC, AC = 5, sin C = 0,6, CH - высота. Найдите AH.

Ответы

Тренировочные работы

1. Нахождение значений тригонометрических функций острых углов прямоугольного треугольника

1. 0,8. 2. 0,75. 3. 0,6. 4. 0,75. 5. 0,6. 6. 0,6. 7. 0,8. 8. 0,6. 9. 0,8.

2. Нахождение значений тригонометрических функций острых углов равнобедренного треугольника

1. 0,6. 2. 0,75. 3. 0,6. 4. 0,8. 5. 0,6. 6. 0,6. 7. 0,8. 8. 0,5. 9. 0,6.

3. Нахождение значений тригонометрических функций тупых углов

1. -0,8. 2. -0,75. 3. -0,8. 4. 0,6. 5. -0,8. 6. -0,6. 7. 0,8. 8. -0,6. 9. 0,8.

4. Нахождение тригонометрических функций углов, изображенных на клетчатой бумаге

1. 2. 2. 1. 3. 2. 4. 0,5. 5. 4. 6. 2. 7. 2. 8. 1. 9. -2.

5. Нахождение элементов прямоугольных треугольников

1. 12. 2. 12. 3. 10. 4. 5. 5. 5. 6. 10. 7. 16. 8. 9. 9. 9.

6. Нахождение элементов равнобедренных треугольников

1. 15. 2. 12. 3. 15. 4. 1,5. 5. 24. 6. 24. 7. 18. 8. 18. 9. 6.

Самостоятельные работы

Самостоятельная работа 1

1. 0,8. 2. 0,8. 3. 0,6. 4. 0,8. 5. 0,6. 6. -0,8. 7. -0,6. 8. 0,5. 9. 12. 10. 8.

Самостоятельная работа 2

1. 0,75. 2. 0,6. 3. 0,75. 4. 0,6. 5. 0,5. 6. -0,75. 7. 0,8. 8. 4. 9. 12. 10. 6.

Самостоятельная работа 3

1. 0,75. 2. 0,75. 3. 0,6. 4. 0,6. 5. 0,5. 6. -0,8. 7. -0,5. 8. 2. 9. 9. 10. 4.

Задание С1 № 484547

Решите уравнение .

Решение.

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю и не теряет смысла. Поэтому данное уравнение равносильно системе: 

Решив уравнение системы как квадратное относительно , находим  либо . Если , то  то есть . Следовательно, . Если , то . В этом случае с учетом условия  системы получаем, что из двух точек единичной окружности, соответствующих решениям уравнения , нужно оставить только ту, для которой . Это точка четвертой четверти, и решение уравнении имеет вид 

.

Ответ: ; . 

Ваша оценка (баллов):   

    Обсудить ВКонтакте    Сообщить об ошибке

Задание С2 № 484567

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите угол между прямыми SB и CD.

Решение.

Вместо прямой CD рассмотрим параллельную ей прямую BE. Искомый угол равен углу SBE. Треугольник SBE равносторонний, поскольку большая диагональ правильного шестиугольника вдвое больше его стороны: . Следовательно, . 
Ответ: . 

Ваша оценка (баллов):   

    Обсудить ВКонтакте    Сообщить об ошибке

Задание С3 № 485950

Решите систему неравенств: 

Решение.

Рассмотрим второе неравенство. Оно имеет смысл при , то есть при  

Пусть  Тогда неравенство принимает вид

Последнее неравенство выполнено только при . Значит, 

Подставим в первое неравенство найденные значения : 

1. При :  

2. При :  

3. При :  

Неравенству удовлетворяют значения  и  

Ответ:  или 

Ваша оценка (баллов):    

    Обсудить ВКонтакте    Сообщить об ошибке

Задание С4 № 484612

В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и N так, что . Найдите BC если . 

Решение.

Пусть E — точка пересечения биссектрис, BM=x, MN=y NC=z. Так как , то точка M лежит между точками B и Nвозможны 2 случая. 

1. Точка E — внутри параллелограмма. Треугольники ABN и DMC равнобедренные,  следовательно, , откуда, . 

2. Точка E — вне параллелограмма. Тогда , откуда . 

Ответ: 16 или 48. 

Ваша оценка (баллов):    

Гость 03.05.2012 13:41:

НЕ сказано как располагаются точки M и N => можно поменять местами и решить ещё два случая

Анастасия Смирнова (Санкт-Петербург):

Если поменять местами точки M и N, то станет невозможным выполнение условия BM:MN = 1:2.

    Обсудить ВКонтакте    Сообщить об ошибке

Задание С5 № 484628

Найдите все значения a при каждом из которых система  не имеет решений. 

Решение.

Рассмотрим второе неравенство системы 

.

Если , то неравенство, а значит, и система не имеет решений. 
Если , то решение неравенства — луч 

.

Если , то решение неравенства — луч 

.

При  первое неравенство системы равносильно системе 

Если , то решение этой системы — два луча с концами в точках 

.

Если , то решение этой системы — полуинтервал с концами в точках 

.

Отметим, что точки  нет в множестве решений второго неравенства. 
Очевидно, что при , решение системы будет содержать луч, вида , где  большее из чисел  и , а значит система будет иметь решение. 
Для того, чтобы система не имела решений, при , необходимо и достаточно: 

.

Добавляя случай , получаем ответ. 

Ответ: .

Ваша оценка (баллов):     

    Обсудить ВКонтакте    Сообщить об ошибке

Задание С6 № 484664

Найдите все простые числа p, для каждого из которых существует такое целое число k, что число p является общим делителем чисел  и .

Решение.

Если число p является делителем числа , то оно является также и делителем числа . Но если число p является общим делителем чисел  и , то оно является также и делителем разности этих чисел, то есть числа 

.

Аналогично получаем: 

1) число p является общим делителем чисел  и , значит, p является делителем числа 

;

2) число p является общим делителем чисел  и , значит, p является делителем числа 

;

Число 105 имеет ровно три различных простых делителя — 3, 5 и 7. Остается проверить найдутся ли такие целые числа kдля каждого из которых одно из чисел 3, 5 и 7 является общим делителем чисел  и . 

Если , то число 3 является общим делителем данных чисел. Если число k кратно 5, то число 5 является общим делителем данных чисел. Если число k кратно 7, то число 7 является общим делителем данных чисел. 

Замечание. Последние два условия могут быть объединены в одно: если число k кратно 35, то числа 5 и 7 являются общими делителями данных чисел. 

Ответ: 3, 5, 7.