Теоретический материал к урокам 1-9 (10 класс, ест-научн)

Урок 1.

Выражения

Все выражения можно разбить на два класса на основании наличия переменных: числовые выражения и выражения с переменными.

Для числовых выражений можно находить значение – результат всех выполненных действий. Для выражений с переменными можно также находить значение при некоторых значениях переменных, предварительно упростив его, например, с помощью свойств, правил, формул сокращенного умножения.

Решение линейных неравенств с одним неизвестным

Определение

Неравенство первой степени с одним неизвестными – это неравенство вида axb , ax≤b , ax ≥b, где a и b – заданные числа, x – неизвестное.

Определение

Решение неравенства с одним неизвестным – это то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – это значит найти все его решения или установить, что их нет.

Правило решения неравенства первой степени с одним неизвестным

1.Перенести с противоположными знаками члены, содержащие неизвестное, из правой части в левую, а не содержащие неизвестное – из левой части в правую.

2.Привести подобные члены в левой и правой частях неравенства.

3.Если коэффициент при неизвестном отличен от нуля, то разделить на него обе части неравенства.

Системы линейных неравенств с одним неизвестным

Решение системы неравенств с одним неизвестным – это значение неизвестного, при котором все неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства.

Урок 2.

Линейное уравнение с одним неизвестным – это уравнение вида ax=b, где a и b – заданные числа, x – неизвестное

Решить уравнение – это значит найти все его корни или установить, что корней нет

Основные свойства уравнений

Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.

Решение уравнения ax=b,где a и b – числа, x – переменная

Если a≠0, b – любое число, то .

Если a=0, b≠0, то нет корней.

Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Системы линейных уравнений с двумя неизвестными

Определение

Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными – это система вида

где x и y – неизвестные,

– заданные числа,

причем  и .

Определение

Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными – это пара чисел x и y, которые при подстановке в эту систему обращают каждое ее уравнение в верное числовое равенство.

Решить систему уравнений – это значит найти все ее решения или установить, что их нет.

Способы решения систем уравнений: способ подстановки и способ сложения.

Решение системы способом подстановки

Для этого необходимо:

1.Выразить одну переменную через другую из какого-либо уравнения.

2.Подставить полученное выражение вместо выраженной переменной в другое уравнение.

3.Решить полученное уравнение относительно одной переменной.

4.Найти значение другой переменной, подставив найденный корень в формулу пункта 1.

5.Записать решение системы.

Решение системы способом сложения

Для этого необходимо:

1.Домножить какое-либо уравнение системы или оба уравнения на такие числа, чтобы при почленном сложении уравнений получить уравнение относительно одной переменной.

2.Решить уравнение, полученное после почленного сложения.

3.Подставить найденный корень в какое-либо уравнение исходной системы.

4.Решить составленное уравнение.

5.Записать решение системы.

Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Если , то система имеет единственное решение.

Если то система не имеет решений.

Если , то система имеет бесконечно много решений.

Функцией называется закон f по которому каждому элементу x из множества Х ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y. Формула y=f(x) обозначает функцию, то есть зависимость одной переменной от другой. Где x - независимая величина, или аргумент, y - зависимая величина.

D(y) - область определения функции или допустимые значения аргумента. Это все значения x, при которых функция имеет смысл.

E(y) -  область значений функции.  Это все значения, которые принимает y, при допустимых значениях x.

Существует 3 способа задания функции:

- аналитический (с помощью формул);

- табличный;

- графический

Самая простая функция – прямая пропорциональность. Выражается формулой у = kx, где коэффициент пропорциональности k ≠ 0.

Обратная пропорциональность выражается формулой у .

Рассмотрим следующие функции:

- линейная функция: y= kx+b;

- квадратичная функция: , где a≠0.

Обратите внимание на слово «единственный» в определении функции. Пусть функция задана формулой y=3x+1. При x=0, (подставляем данное значение в формулу) получаем y=1. Одному значению x соответствует только одно значение y. Можно составить таблицу различных значений и построить график данной функции. Уравнение линейное - это значит, что графиком будет прямая линия.

Графиком квадратичной функции является парабола. Точка А – вершина параболы имеет абсциссу.

Графиком функции  является гипербола.

Понятие «функция» встречается и в других науках: физике, химии, экономике, медицине и других. Рассмотрим примеры:

1. Автомобиль движется со скоростью 50 км/ч. Зависимость пути S от времени  t выражается формулой: S=50t. Это зависимость - значит, функция.

2. В экономике изучается график спроса и предложения в зависимости от цены. Как правило, чем выше цена, тем меньше спрос. Это тоже функция.

Линейная и квадратичная функции.

Рассмотрим свойства линейной и квадратичной функции.

Зависимость положения графиков данных функции от ее коэффициентов определятся положением точки при х=0.

Если коэффициенты k одинаковые, графики линейной функции параллельны, если разные пересекаются. Если k =0 прямая параллельна оси ОХ.

Если старшие коэффициенты квадратичной функции одинаковы, то графики можно получить сдвигом.

Зависимость свойств квадратичной функции от дискриминанта определяет наличие корней или точек пересечения графика с осью абсцисс.

Если дискриминант больше нуля два корня, то есть две точки на оси абсцисс. Если равен нулю один корень или одна точка. Если меньше нуля график не пересекает ось абсцисс.

Пусть – координаты вершины параболы. Если , то a и b разных знаков, если , то a и b одинаковых знаков.

Рассмотрим схему исследования свойств функции: находим ООФ, ОЗФ, нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности.

Эти функции можно рассматривать как модели некоторых реальных процессов в физике, экономике, медицине, статистике и других науках. Например, квадратичная функция описывает равноускоренное движение. Камень, брошенный под углом к горизонту, снаряд, выпущенный из пушки, летят по траектории, имеющей форму параболы.

Парабола обладает оптическим свойством: все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения направленны параллельно его оси. Это свойство используется при изготовлении оптических устройств: линз, прожекторов, фар, фонариков.

Лучи солнца приходят на Землю в виде пучка параллельных лучей, двигающихся вдоль оси параболы, отражаясь, собираются в его фокусе. Это свойство – основа создания телескопов, антенн, локаторов, зеркала которых имеют параболическую форму.

Урок 3. Квадратные уравнения.

Как определить, сколько корней имеет уравнение, подскажет дискриминант.

Дискриминант – это число, которое находим по формуле 

Если D <0 корней нет, если D = 0 один корень, если D> 0 два корня.

Если дискриминант D> 0 , корни можно найти по формуле:

Если D = 0 , то 

Рассмотрите пример. Решить уравнение 

Шаг 1. Выпишем коэффициенты a, b, c. 

Шаг 2. Найдем дискриминант. D=16.

Шаг 3. Запишем формулу корней и подставим значения. Вычислим значения корней: 

Заметим:

1.Перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду.

2. Избавьтесь от минуса перед . Для этого надо умножить всё уравнение на -1.

3. Если в уравнении есть дробные коэффициенты, умножьте уравнение на общий знаменатель.

4. Проверяйте корни по теореме Виета. Это просто, когда a=1.

Рассмотрите другие формулы:

, где второй коэффициент b=2k – четное число.

Приведенное квадратное уравнение  , старший коэффициент равен a= 1, проще решать по теореме Виета.

Уравнение (х-3) (х+5) =0 является квадратным. Для его решения воспользуйтесь свойством: произведение равно 0, когда один из множителей равен 0.

Неполные квадратные уравнения. Неполные — значит один или два коэффициента равны нулю.

Для решения систем уравнений применяются все методы решения: подстановки, сложения, графический.

Квадратные неравенства.

Теперь, когда мы разобрали решение квадратных уравнений, переходим к решению квадратных неравенств
ax2+ bx + c больше или меньше нуля.  

Шаг 1. Запишем соответствующее неравенству квадратное уравнение и найдем его корни. Отметим корни на оси OХ и схематично покажем расположение ветвей параболы «вверх» или «вниз».

Шаг 2. Расставим на оси знаки, соответствующие знаку квадратичной функции: там, где парабола выше оси, ставим +, а там, где ниже –.

Шаг 3. Выписываем интервалы, соответствующие знаку неравенства. Если неравенство нестрогое, корни входят в интервал, если строгое не входят.

Вспомните возможные случаи расположения корней на оси и ветвей параболы в зависимости от коэффициента а и дискриминанта.

Метод интервалов упрощает схему решения. По-прежнему находим корни квадратного трехчлена, расставляем на числовой прямой. Определяем знаки на интервалах + или – по схеме:

если а>0 + - +, если а <0 - + -. Или путём подстановки произвольного значения квадратный трехчлен.

Рассмотрим несколько примеров:

D=0  все точки параболы выше оси и только одна х=2 на оси ОХ -нет решений.

D<0 коэффициент а=2>0 ветви вверх. Парабола выше оси, все значения положительны, значит х- любое число. Неравенство  не имеет решений.

Далее рассмотрим схему решения системы неравенств.

Алгоритм решения системы неравенств.

1.Решить первое неравенство системы, изобразить его графически на оси x.

2.Решить второе неравенство системы, изобразить его графически на оси x.

3.Выбрать в ответ те участки, в которых решение первого и второго неравенств пересекаются. Записать ответ.

Урок 4.

Часто при решении различных задач, как прикладных, так и теоретических, возникают последовательности. Это могут быть последовательности чисел или элементов какого-то другого множества.

Определение 1

Если каждому натуральному числу n ∈ N поставлен в соответствие какой-то элемент xn из некоторого множества A, то говорят, что задана последовательность элементов множества A: 

Определение 2

Функцию y = f(x), x ∈ N, называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают y = f(n) или .

Способы задания

Аналитический

Задается формулой n-го члена: 

Описательный 

Состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

Рекуррентный 

Состоит в том, что указывается правило, по которому вычисляют (n+1) -й член, если известен её предыдущий n-й член и задают 1-ый член последовательности.

Арифметическая прогрессия -

числовая последовательность , заданная рекуррентно

, где n = 2, 3…

 - формула n-го члена арифметической прогрессии.

- характеристическое свойство.

- сумма n  членов

Геометрическая прогрессия - числовая последовательность , заданная рекуррентно

, где n =2, 3, ...

 b ≠ 0, q ≠ 0.

 - формула n-го члена геометрической прогрессии

- характеристическое свойство

- сумма n  членов

Свойства числовых последовательностей.

Определение 1. 

Последовательность  называют возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего:  

Определение 2.  Последовательность {yn} называют убывающей, если каждый ее член меньше предыдущего: 

Далее перейдем к понятию «проценты». Известно, что процент — это сотая часть числа. В основной школе были рассмотрены 3 типа задач:

1 тип. Найти % от числа.

2 тип. Найти число по его %.

3 тип. Найти %-ое отношение.

Алгоритм решения задач 1 и 2 типа.

- выразить % десятичной дробью, например, 0,25 = 25%

- умножить или разделить число на дробь.

Обратим внимание на банковские %. Простой процент – это начисление % на банковском счете за весь период хранения средств. Определяется в годовой процентной ставке.

Формула расчета простых процентов

– сумма вклада;

 – первоначальный вклад;

р- процентная ставка;

n – срок кредита.

Формула расчета сложных процентов

Важно! При простой системе прибыль растет в арифметической прогрессии, а при сложной системе в геометрической.

Для решения экономической задачи ЕГЭ можно использовать следующую формулу расчета ежемесячного платежа:

C — общая сумма кредита, 

x — процент,

P — ежемесячный платеж, 

n— срок, на который берется кредит.

Урок 5(4)

Процесс познания окружающего мира включает наблюдение и эксперимент. Результаты наблюдений можно представить последовательностью чисел.

 Статистика – наука о сборе, обработке и анализе статистической информации. Статистические характеристики – это математические понятия, с помощью которых описываются особенности совокупности данных, полученных с помощью наблюдений.

К статистическим характеристикам относятся: мода, медиана, размах, среднее арифметическое.

Среднее арифметическое n чисел – это частное от деления суммы всех этих чисел на n. 

Размах ряда – это разность между наибольшим и наименьшим числом в ряде. 

Мода ряда – это число, наиболее часто встречающееся в ряду. 

Медиана ряда - среднее число упорядоченного ряда чисел, если ряд нечетный или среднее арифметическое двух средних чисел, если ряд четный

Как же обрабатывает информацию статистика?

1. Данные измерений упорядочивают и группируют.

2. Составляют таблицы распределений данных.

3. По таблицам строят графики распределений.

График распределения частот называют полигоном.
Пусть задача состоит в том, чтобы исследовать некоторый признак. Все множество объектов, входящих в совокупность называют генеральной совокупностью. Часть генеральной совокупности, выбранную случайным образом, называют выборкой.

Числа, которые показывают, сколько раз варианты встречаются в данной совокупности, называют частотами.

Выборка является репрезентативной при обследовании большой группы людей, только так можно сделать верные выводы.

Построение прогнозов и оценок, применение различных методов исследования, достоверность проведенных испытаний и многое другое - вот чем занимается статистика.

Теория вероятностей - раздел математики, который связан с информацией. Вероятностью события А  называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

Вы знаете, что события бывают: случайные, достоверные, невозможные.

Вероятность случайного события

Р (A) = m / n

где m - число элементарных исходов, благоприятствующих A; n - число всех возможных элементарных исходов испытания.

 – противоположное событие

Комбинаторика – раздел математики, который рассматривает различные соединения элементов: перестановки, сочетания, размещения.

Перестановки из n элементов по n:

Pn= n!

Размещения по k элементов из n, отличаются порядком.

Сочетания по k элементов из n, порядок не важен.

Урок 5,7 Математическая логика

Логика - раздел математики, который изучает доказуемость утверждений. Верные и неверные предложения в математике называют высказываниями. При этом вместо слов «верное» и «неверное» говорят истинное и ложное.

Основные операции логики: отрицание, дизъюнкция, конъюнкция.

Одним из способов решения логических задач является контрпример — пример, опровергающий верность некоторого утверждения.

Множество. Действия над множествами.

Множество является первичным неопределяемым понятием в математике. Объекты множества, называются его элементами. Множества обозначаются заглавными буквами, а элементы строчными.

 - пустое множество;

А∩В - пересечение множеств;

АU В - объединение множеств;

А∩В =  т.е. нет общих элементов;

 - дополнение;

Способы задания множеств. 
1. Перечислением  его элементов
2. Описание свойств 
Характеристическое свойство - это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, не принадлежащий множеству. 

Над множествами, как и над числами, выполняют действия. Круги Эйлера - хорошая иллюстрация действий.

Особенно важны числовые множества.

N - множество натуральных чисел;

Z - множество целых чисел;

Q - множество рациональных чисел;

R - множество действительных чисел.

Математическая индукция

Индукцией называется переход от частных утверждений к общим.

Одним из важных методов доказательств является метод математической индукции. Большинство формул, относящихся к натуральным числам n, доказываются методом математической индукции. Он заключается в следующем: некоторое утверждение справедливо для всякого натурального n, если оно справедливо для n = 1 из справедливости утверждения для какого-либо произвольного натурального n = k следует его справедливость для n = k+1.

Доказательство по методу математической индукции проводится в три этапа:

1. Проверятся справедливость утверждения для любого натурального числа n (обычно для n = 1);
2. Предполагается справедливость утверждения при любом натуральном n=k;
3. Доказывается справедливость утверждения для числа nk+1, отталкиваясь от предположения второго пункта.