Дополнительное математическое образование

Программа курса «Паркеты» для 7-8 классов

1. Пробовали ли вы когда-нибудь выкладывать кафельную или паркетную плитку на полу, или на стене? Или может быть помогали родителям в этом деле? Я думаю, что после наших занятий вы обязательно попробуете придумать свою укладку и, может быть, даже осуществить ее на практике!
2. Итак, с чего, как вы думаете, надо начать, если перед вами стоит задача – выложить красивый орнамент из плитки на полу комнаты? (Варианты – с измерения размеров комнаты, с покупки плитки, и т.д. – обсуждаем, выходим на то, что сначала надо сделать модель – продумать узор, понять, сколько и какой плитки надо покупать).
3. Какой формы плитка вам чаще всего встречалась в помещениях, или на улице? (демонстрация фотографий с красивым паркетом). Итак, чаще всего встречается плитка в форме прямоугольника, квадрата, шестиугольника, равностороннего треугольника (на этом этапе раздаются вырезанные из картона правильные многоугольники).  Конечно, понятно, что проще всего выложить плитку в форме прямоугольника, или квадрата, но такой паркет получится скучным, неинтересным. Обратите внимание, что многоугольники, которые даны вам, обладают одним общим свойством, кто заметил – каким? (подвести к выводу, что у них все стороны равны и углы равны). Такие многоугольники называются правильными (зафиксировали это). Как вы думаете, почему им дано такое название? Получается, что те многоугольники, которые не обладают этим свойством, мы можем назвать неправильными!
4. Укладку многоугольников на плоскости без просветов и перекрытий называют паркетом, или мозаикой, а те паркеты, которые получаются из правильных многоугольников, называют правильными паркетами.
5. Как вы думаете, почему плитка в форме, например, правильного пятиугольника встречается в паркетах гораздо реже? (обсуждаем, пробуем выложить на столе паркет из пятиугольников, приходим к выводу, что это связано с углами многоугольника).
6. А как узнать – какой величины углы у правильного пятиугольника? (можно измерить) А как вы думаете, у правильного пятиугольника другого размера углы будут другие? (демонстрация двух правильных пятиугольников с разной длиной стороны, дать кому-нибудь измерить их углы; вспомнить, что у всех квадратов углы одинаковы независимо от длины их стороны,  сделать вывод – скорее всего и у всех правильных пятиугольников  углы одинаковы и не зависят от размеров).
7. Для того чтобы вычислить (а не измерить!) угол правильного пятиугольника можно применить прием «разбиение», т.е. разобьем его на более простые фигуры – самым простым многоугольником является, конечно, треугольник (разбиваем диагоналями из одной вершины). Сколько треугольников получилось?  Кто знает – чему равна сумма углов треугольника? Да, кто-то из вас уже учил это в школе, а кто нет – тот примет пока на веру, что сумма углов любого треугольника равна 180º. Значит, сумма углов в пятиугольнике получилась равной 3х180º = 540º. А тогда каждый угол чему будет равен? (почему можно разделить на 5, верно ли это будет для неправильных пятиугольников?).
8. Итак, теперь вы можете понять, почему же нет паркетов из одних правильных пятиугольников – чтобы произошло покрытие плоскости, нужно чтобы многоугольники закрывали угол в 360º, а здесь три пятиугольника образуют угол в 324º, а четыре – уже в 432º.
9. А из каких правильных многоугольников  вообще можно выложить паркет, если брать многоугольники одного вида? (попробуют выложить). Сколько треугольников должно сходиться в одной вершине? (да, 6 штук, ведь каждый угол правильного треугольника равен 180º: 3 = 60º). А сколько шестиугольников? (про угол в шестиугольнике поговорить – как вычислить его).
10. А как вы думаете, можно ли сложить паркет из правильных семиугольников? Какой угол будет в правильном семиугольнике? Да, получается, что чем больше сторон в многоугольнике – тем каждый угол больше! Значит, из правильных семиугольников уже не сложить паркет (два мало, а три много!), а что уж говорить про восьмиугольники и т.д.! Но мы же видели на фотографиях паркеты с использованием восьмиугольников (обратить внимание, что там они в комбинации с другими многоугольниками). Вывод: если использовать правильные многоугольники одного вида, то паркет можно выложить только из правильных треугольников, квадратов и шестиугольников.
11. Задание: попробуйте выложить красивый паркет, используя только многоугольники одного вида. Особой красоты не получается! Конечно, более интересные паркеты будут получаться, когда мы сможем использовать многоугольники разных видов. А вот какие многоугольники можно использовать в одном паркете и сколько вариантов паркета будет при этом получаться – вы узнаете на следующем занятии.

2 занятие

1. Мы с вами начинали с практической задачи – как узнать, сколько и какого вида плитки нужно купить, чтобы выложить красивый пол. Приняли ограничения, что плитка у нас в форме правильных многоугольников и укладку этих многоугольников на плоскости без пробелов и перекрытий условились называть Паркетом. На сегодня нам предстоит выяснить – какие правильные многоугольники можно использовать вместе, в одном паркете и сколько вариантов паркета может быть при этом получено. Договоримся о еще одном  ограничении – укладку плитку вот такого вида будем называть мозаикой (фото), а укладку плитки «симметричным» образом, чтобы наш узор можно было наложить на себя так, что  любая вершина паркета совместиться с  любой другой заданной вершиной (показать) будем называть именно паркетом (в культуре встречается еще название  - правильный паркет).  

2. Понятно, что в таком правильном паркете любая его вершина его устроена одинаково – в ней сходится одинаковое число одинаковых многоугольников. Сколько их может быть? Угол вокруг одной вершины равен 360 градусам, самый маленький угол из правильных многоугольников, как мы выяснили, имеют правильные треугольники (угол треугольника равен 60 градусам), значит, наибольшее количество многоугольников в одной вершине равно 6. А наименьшее количество? Два многоугольника в одной вершине достаточно? Будет покрываться угол 360 градусов? Понятно, что нет, ведь угол при вершине любого правильного многоугольника меньше 180 градусов. Значит, наименьшее количество многоугольников равно 3, например 3 шестиугольника.

3. Рассмотрим паркеты с 3 многоугольниками в вершине. Могут быть три случая:

А) три одинаковых многоугольника

Б) два одинаковых и один отличный от них

В) все три разных.

Понятно, что случай А – это три шестиугольника, т.к. 360 : 3 = 120 градусов, а это угол правильного шестиугольника.

Рассмотрим второй случай Б:

Проводим перебор для решения уравнения 2х + у = 360

Два треугольника дают угол 120, угла 240 градусов быть не может, значит, в этом варианте двух треугольников быть не может.

Два квадрата дают угол 180 градусов, угла 180 градусов также не может быть, значит и двух квадратов быть не может;

Два пятиугольника дают угол 216 градусов, значит, третий должен давать угол 144 градуса – это правильный 10 – угольник. Посмотрим на эту конфигурацию – является ли она правильным паркетом? Как видим, такая укладка не обладает нужной нам симметрией, и значит, нам не подходит.

Продолжим перебор: два шестиугольника дают нам угол 240 градусов, значит,  третьей фигурой может быть только шестиугольник – это случай А.

Два семиугольника дают угол 257 1/7 градуса, остается угол 102 6/7 градусов, такого правильного многоугольника нет.

Два восьмиугольника дают угол 270 градусов, значит третьим,  должен быть квадрат. Попробуйте выложить такой паркет – является ли он правильным? Итак, один такой паркет мы нашли!

Проверим еще: два 9-угольника – угол 280 градусов, угла в 80 градусов у правильных многоугольников нет.

Два 10-угольника - 288 градусов, угла в 72 градуса также нет; два 11-угольника – 294 6/11, угла в 64 5/11 также нет; два 12-угольника – 300 градусов, значит, третий – это шестиугольник! Попробуйте выложить… Итак, еще один такой паркет найден.

Кто может сказать – надо ли дальше продолжать перебор? Почему? (сумма углов 2 многоугольников станет больше 300 градусов, значит, оставшийся угол менее 60 градусов,  а самый маленький угол  у правильного многоугольника – 60 градусов).

Рассмотрим третий случай – в одной вершине сходятся три различных многоугольника.

Здесь заметим, что в одной вершине паркета не могут сходиться три таких различных многоугольника, у которых нечетное число сторон. Если бы такой паркет существовал, то вокруг нечетноугольника оставшиеся m и n-угольники должны были бы идти чередуясь, а значит, при его обходе рядом окажутся два одинаковых многоугольника,  нарушится симметрия, паркет не будет правильным!

Значит, получается, мы рассматриваем паркеты, у которых в одной вершине сходится три разных многоугольника и у  них у всех трех четное число сторон.  

Проверяем: квадрат, шестиугольник и восьмиугольник – 90 + 120 + 135 не дают в сумме 360; с десятиугольником – очевидно, нет;

квадрат, шестиугольник и денадцатиугольник – 90 + 120 + 140 = 360. Попробуйте выложить такой паркет… Итак, еще один паркет найден.

Почему можно не проверять дальше? Квадрат, шестиугольник и четырнадцати угольник? (сумма углов будет больше 360), а почему мы не проверяем, например, шести-, восьми – и двенадцатиугольник? По той же причине – сумма углов будет больше 360.

Итак, вариант укладки паркета, когда в одной вершине сходятся 3 многоугольника,  дал нам 4 вида паркета (показать еще раз).

На следующем занятии мы продолжим поиск вариантов паркета.  

3 занятие

1. Итак, на прошлом занятии мы рассмотрели такие паркеты, когда в одной вершине сходится минимальное количество - три многоугольника. Получили четыре вида паркета (показать). А сколько еще многоугольников может сходиться в одной вершине (вспомнить, что максимум – 6, значит, может быть еще 4, 5, или 6).

2. Рассмотрим вариант, когда в одной вершине сходится 4 многоугольника.

А) 4 одинаковых – ясно, что это 4 квадрата;

Б) три одинаковых, 1 отличается;

В) 2 одинаковых.

Рассмотрим теперь вариант Б – 3х60 – четвертый должен быть с углом 180 градусов, но это невозможно. 3х90 – уже был, это вариант А; 3х108 = 324 градуса, остается 36 градусов – такого нет. А дальше искать бесполезно, угол многоугольника увеличивается – оставшийся угол будет меньше 60 градусов – а это минимально возможный угол.

Итак, рассмотрим вариант В – два одинаковых и два различных многоугольника. Делаем перебор для уравнения 2х + у + z = 360.

2х60 + 90 + 108 – нет; 2х60 + 90= 210, ясно, что четвертым многоугольником в этом случае может быть только 12-угольник. Попробуем выложить такой паркет. Как видим, есть два варианта, но условие симметрии в каждом из них нарушается, такой паркет не будет правильным.

Пробуем дальше: 2х90 + 60 + 120 = 360. Пробуем выложить. Тоже есть два варианта, будут ли они правильными паркетами? Один из них да! Итак, мы нашли шестой вариант правильного паркета – паркет из двух квадратов, треугольника и 12-угольника.

Пробуем найти еще – 2х120 + 60 + 60 = 360, это паркет из двух шестиугольников и двух треугольников в одной вершине. Попробуйте выложить! Как видим, у нас два варианта, но только один из них является правильным! Итак, седьмой вариант паркета найден.

Перебрав варианты понимаем, что случаев где два правильных пятиугольника, семи- и более угольников быть не может.

Остается рассмотреть случай, когда в одной вершине сходится пять многоугольников (потому что случай с 6 многоугольниками тривиален – это 6 треугольников).

Итак, для 5 многоугольников в одной вершине возможны варианты:

А) 5 одинаковых;

Б) 4 одинаковых;

В) 3 одинаковых;

Г) 2 одинаковых

А: 360 : 5 = 72 градуса – таких нет;

Б: 4х60 + 120 = 360, в одной вершине сходятся 4 треугольника и 1 шестиугольник. Пробуем выложить и видим, что мы нашли восьмой правильный паркет! Других случаев для этого варианта быть не может (почему?)

В: 3х60 + 2х90 = 360, пробуем выложить, как видим – есть два паркета – и оба правильные! Других наборов в случаях В и Г быть не может (почему?).

Итак, мы получили всего 11 видов правильного паркета. Какой вариант вам больше нравится? Теперь, когда вы выбрали рисунок для пола, какие должны быть действия, чтобы понять – сколько плитки какого вида нужно купить для конкретной комнаты?

Решите эту задачу, если размеры комнаты 3х4 метра, а длина стороны каждой плитки 20 см.

(выйти на то, что просчитать ширину «полосы», затем количество полос в комнате, умножить это количество на количество плитки каждого вида в этой «полосе»).

Занятие 4.

1. На предыдущих занятиях  мы занимались паркетами из правильных многоугольников, а сегодня я бы хотела познакомить вас с такими красивыми объектами как правильные многогранники.

Если многоугольник – это плоская фигура, это часть плоскости, то что такое многогранник? (часть пространства, ограниченная плоскими многоугольниками). Какие многогранники вы знаете? (показать призму, пирамиду, конус, цилиндр – почему это не многогранники?)

Давайте попробуем выстроить определение правильного многогранника. Вспомните определение правильного многоугольника (такой многоугольник, у которого стороны равны и углы между собой равны). А тогда правильный многогранник – что это? (состоит из правильных многоугольников, причем одного вида – т.е. в каждой вершине сходится одинаковое число ребер; показать на кубе и пирамиде отличие).

2. Сколько есть видов правильных многоугольников? (бесконечно много). А как вы думаете – правильных многогранников тоже много? Или их конечное число  видов? Давайте попробуем ответить на этот вопрос!

Итак, рассматриваем многогранник, который состоит из правильных треугольников. Чтобы образовался трехгранный угол – в одной вершине может сходиться сколько треугольников? (3, 4, 5 – и все!) Значит, есть всего три вида правильных многогранников, которые состоят из треугольников. Попробуем их сконструировать! (делаем тетраэдр, октаэдр, икосаэдр). Сколько граней получилось в каждом случае? Они и называются по числу граней – четырехгранник, восьмигранник, двадцатигранник.

 3. Теперь будем рассматривать многогранники, которые состоят из квадратов. Сколько квадратов может сходиться в одной вершине, чтобы образовался угол? Верно, три, и получается знакомый нам с детства куб. Сколько граней у куба? И другое его название – шестигранник, гексаэдр.

На очереди правильный пятиугольник. Сколько может сходиться в одной вершине угла правильных пятиугольников? Только 3. Пробуем склеить такой многогранник! Отлично! Сколько граней у него? И мы увидели двенадцатигранник, или додекаэдр.

Может ли получиться многогранник из правильных шестиугольников? А из 7-, 8- и других многоугольников?

Значит, мы получили интересный результат – оказывается правильных многогранников всего 5 видов, а вовсе не бесконечное количество как правильных многоугольников!

4. С  правильными многогранниками были связаны представления об устройстве мира в Древней Греции.

Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру. Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца». Аристотель добавил пятый элемент — эфир и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.

Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. Их всех поражало совершенство, гармония многогранников Сальвадор Дали на картине «Тайная вечеря» изобразил И Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра. Учеными достаточно хорошо изучены правильные выпуклые многогранники, но сам ли человек их придумал? Скорее всего он «подсмотрел» их у природы.
Правильные многогранники встречаются и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр. Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий?  По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объем при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи. Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Итак, благодаря правильным многогранникам открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии.

Флексагоны

В конце 1930-х годов англичанин Артур Стоун, двадцатитрехлетний аспирант-математик, только начинал свою блистательную карьеру в Принстонском университете, штат Нью-Джерси. Среди прочих американских «странностей», к которым ему еще предстояло привыкнуть, был и необычный стандарт Letter. Как-то раз, обрезая листы А4 под новый формат, он принялся машинально складывать из обрезков разные фигуры. Сложив полоску бумаги в трех местах под углом 60 градусов, он получил равносторонний шестиугольник – оставалось только обрезать концы по форме последней грани. Склеив концы полоски, Стоун получил фигуру с весьма любопытными свойствами: подгибая один из углов шестиугольника к центру, можно было раскрыть его, подобно бутону цветка. После каждого очередного раскрытия на свет появлялась новая поверхность, состоящая из шести треугольников, а предыдущие шесть треугольников скрывались внутри конструкции. Можно было покрасить каждую поверхность определенной краской, и тогда с каждым переворотом фигура принимала один из трех цветов.

Стоуну сразу же пришла в голову мысль, что можно сложить и более сложный шестиугольник, внутри которого прячется большее количество скрытых поверхностей. Он переспал ночь с этой идеей и убедился в правильности своей догадки, построив фигуру с шестью чередующимися поверхностями. Почувствовав, что за загадочным шестиугольником скрывается интересная математическая теория, Стоун продемонстрировал свою поделку друзьям. Среди них были физик Ричард Фейнман, математик Брайант Таккерман и Джон Тьюки, которому некоторые источники приписывают авторство слова «бит» (binary digit). Будущие светила науки собирались вместе в студенческой столовой и демонстрировали друг другу новые головоломки, которые им удавалось собрать.
 
Друзья назвали изобретенную Стоуном фигуру флексагоном (от английского flex – сгибать). Шестиугольные флексагоны получили название гексафлексагонов. Еще одна численная приставка означала порядок флексагона, то есть число чередующихся поверхностей. В частности, первая созданная Артуром фигура оказалась тригексафлексагоном, а конструкция с шестью поверхностями – гексагексафлексагоном. Стоун, Таккерман, Фейнман и Тьюки в шутку окрестили себя «Флексагонным комитетом» и всерьез взялись за изучение математических основ «флексологии». К 1940 году Фейнманом и Тьюки была разработана всеобъемлющая теория флексагонов, которая позволяла построить флексагон с любым числом сторон и поверхностей всеми возможными способами. Полностью сей труд так и не был опубликован, хотя отдельные его положения впоследствии были открыты другими учеными.

В тесном родстве с гексафлексагонами находится множество игрушек, имеющих форму четырехугольника. Они известны под общим именем тетрафлексагонов. Простейший тетрафлексагон имеет три поверхности и поэтому называется три-тетрафлексагоном. Более интересен гекса-тетрафлексагон, который можно сгибать вдоль двух взаимно перпендикулярных осей. Для его построения нужно взять полоску бумаги, вырезанную в виде квадратной рамки, разграфить на квадраты и пронумеровать так, как показано на рисунке. После этого полоску бумаги надо перегнуть вдоль всех прямых, которые отделяют друг от друга соседние квадраты. Сгибы должны быть обращены острием вниз:

Наметив все линии сгиба, полоску нужно разгладить и вновь перегнуть вдоль прямых, указанных стрелками на рис. (а). Перевернем полоску и перегнем вдоль прямых, указанных стрелками на рис. (в). Заправим квадрат с цифрой 3 под квадрат с цифрой 2. В результате все четыре верхних квадрата окажутся помеченными цифрами 2. К левому верхнему квадрату с цифрой 2 приклеим прозрачную ленту, а другой конец ленты приклеим к квадрату с цифрой 1, который находится с обратной стороны флексагона.

Стоуну и компании удалось создать полную и всеобъемлющую теорию гексафлексагонов. Как ни странно, квадратные тетрафлексагоны, которые выглядят куда проще шестиугольных собратьев, оказались куда более загадочными с точки зрения математики. Все тайны четырехугольных головоломок «Флексагонному комитету» разгадать так и не удалось. Простейший представитель этого семейства - тритетрафлексагон - можно легко сложить из полосы бумаги, состоящей из шести квадратов. Достаточно сложить ее в трех местах, как показано на рисунке, склеить пару «двоек» - и флексагон готов. Кстати, изобретение этой фигуры принадлежит вовсе не Стоуну. Оно уже несколько столетий известно как шарнирное соединение двойного действия - петля, которая позволяет открывать дверь в любую сторону (как тамбурные двери в железнодорожных вагонах). Тетратетрафлексагон можно часто встретить в роли головоломки или рекламного буклета. Это связано с его особым свойством: одну из поверхностей отыскать гораздо сложнее, чем три других. На этом свойстве основан старый фокус с «исчезающим» в недрах конструкции долларом.

На рисунке 3 показано изготовление тетрафлексагона посложнее. Разграфите лист бумаги на 12 квадратов и пронумеруйте их с двух сторон, как показано на рисунках За, б. Сплошной линией помазаны линии разрезов. Вырезанный «язычок» из двух центральных квадратов 2 и 1 отогните назад (рис. Зв). Назад отогните и правый столбец с цифрами 3, 1, 3 (рис. Зг). Теперь новый правый столбец с тремя двойками тоже подогните назад (рис. Зд), а левый висящий квадрат с тройкой загните к себе (рис. Зе). В результате сверху должны оказаться все квадраты с цифрой 1.

Склейте полоской бумаги два средних квадрата. Перегибая этот тетрафлексагон вдоль вертикальной линии, вы обнаружите четыре разные его поверхности. Сложнее всего найти поверхность, пронумерованную четверками. Если вы наклеите на поля с четверками разрезанную на квадратики картинку, то превратите свой тетрафлексагон в увлекательную головоломку, цель которой — отыскать эту картинку. Головоломка будет долговечнее, если вырезать заготовку из тонкой ткани и наклеить на нее цветные кусочки картона (каждый цвет соответствует какой-либо цифре) или разделенные на квадратики картинки.
Н. ПАВЛОВА. Прил. Журнала Юный техник №2-86г.

__________________

Если все сделано верно, то во всех треугольниках на видимой стороне должна стоять цифра 1, а во всех треугольниках на другой стороне - цифра 2. В таком виде тригексафлексагон готов к перегибанию. Взявшись за два смежных треугольника (рис. 3), согнем шестиугольник по общей стороне этих треугольников и подогнем противоположный угол флексагона. При этом откроются треугольники с цифрами 3 или 5. Перегибая флексагон наугад, вы без труда обнаружите и остальные поверхности. Однако поверхности с цифрами 4, 5 и 6 найти несколько труднее, чем поверхности с цифрами 1, 2 и 3. Иногда вы будете блуждать по замкнутому кругу: сколько бы вы ни бились, перед вами будут открываться лишь одни и те же уже успевшие надоесть вам поверхности.

Рис.4. Схема пути Таккермана на гексагексафлексагоне.

    Таккерман довольно быстро нашел простейший способ выявления всех поверхностей любого флексагона: держа флексагон за какой-нибудь угол, следует открывать фигуру до тех пор, пока она "открывается", а затем переходить к следующему углу. Этот метод, известный как "путь Таккермана", позволяет увидеть все шесть разворотов гексагексафлексагонов за один цикл из 12 перегибаний. Поверхности с цифрами 1,2 и 3 будут появляться в три раза чаще, чем поверхности с цифрами 4,5 и 6. Путь Таккермана удобно изображать в виде схемы, показанной на рис. 4. Стрелки указывают, в каком порядке становится видимыми поверхности флексагона. Схемы такого типа пригодны для исследования любой разновидности флексагонов. Если модель перевернуть, то путь Таккермана будет изображаться той же схемой, но направление ее обхода будет противоположным.
    Комитет обнаружил, что, удлиняя цепочку треугольников, можно делать флексагоны с 9, 12, 15 и даже большим числом поверхностей. Таккерман ухитрился даже изготовить действующую модель флексагона с 48 поверхностями! Он также обнаружил, что из зигзагообразной полоски бумаги (то есть из полоски с зубчатым, а не прямым краем) можно сложить тетрагексафлексагон (с четырьмя поверхностями) и пентагексафлексагон (с пятью поверхностями). Существует три различных гексагексафлексагона: первый складывают из прямой полоски бумаги, второй - из полоски, предварительно сложенной в виде шестиугольника, и третий - из полоски, форма которой напоминает лист клевера. Разновидностей декагексафлексагона (с десятью поверхностями) намного больше - их 82. Заготовки для всех 82 типов декагексафлексагонов имеют вид бумажных полос, сложенных самым причудливым образом. В принципе можно построить флексагон с любым числом поверхностей, но если поверхностей больше 10, то число разновидностей флексагонов катастрофически возрастает. Кстати, все флексагоны с четным числом поверхностей делаются из двусторонних полос, а флексагоны с нечетным числом поверхностей, подобно листу Мёбиуса, имеют одну сторону.
    Полная математическая теория флексагонов была разработана в 1940 году Тьюки и Фейнманом. Помимо всего прочего, теория указывает точный способ построения флексагона с любым числом сторон, причем именно той разновидности, которая требуется. В своем полном виде эта теория так и не была опубликована, хотя отдельные ее части впоследствии были открыты заново другими математиками. Среди энтузиастов "флексологии" следует назвать отца Таккермана известного физика Луи Таккермана. Таккерман старший внес существенный вклад в теорию флексагонов, разработав простой, но эффективный способ изображать путь Таккермана в виде дерева.
    Нападение японцев на Пирл-Хабор приостановило работу "Флексагонного комитета", а война вскоре разбросала всех четырех его учредителей в разные стороны.
    Комитет все еще надеется как-нибудь собраться и написать одну или две статьи с подробным изложением теории флексагонов. Но пока этого не случилось, ничто не мешает нам, играя с самодельными флексагонами, попытаться вывести собственную теорию.

    Существует множество способов раскраски флексагонов, которые приводят к интересным головоломкам и самым неожиданным зрительным эффектам. Так, каждая поверхность гексагексафлексагона может появляться по крайней мере в двух различных видах в зависимости от того, как повернуты относительно друг друга образующие ее треугольники. Например, если каждую поверхность разделить на части так, как показано на рис. 5, и выкрасить области А, В и С в различные цвета, то в центре видимой поверхности могут появиться и области А (именно этот случай и показан на рис. 5), и области В, и области С. На рис. 6 изображен геометрический узор, который, будучи нарисован на одном развороте флексагона, появляется на двух других разворотах, каждый раз принимая иной вид.

 Рис. 5.

    Вращая треугольники, из которых составлен правильный шестиугольник, мы получаем 18 различных разновидностей шестиугольников. Если гексагексафлексагон сделан из прямой полоски бумаги, то три из этих 18 шестиугольников никогда не встретятся нам, как бы мы ни складывали наш флексагон. Поэтому, можно наклеить на каждый разворот гексагексафлексагона части трех различных картинок. Перегибая определенным образом флексагон, мы будем видеть по очереди в центре открывшейся поверхности одну из картинок, а на периферии - фрагменты двух других изображений. К трем "скрытым" шестиугольникам, которые никогда полностью не появляются на видимой стороне флексагона, можно приклеить разрезанные на части портреты трех очаровательных девушек, которые нельзя рассмотреть во всех подробностях, несмотря на все свои старания. Другой способ добиться аналогичного результата, нужно склеить два смежных треугольника. Из-за этого исчезает целый шестиугольник, и можно тщетно пытаться найти недостающий разворот флексагона. Неудача будет казаться тем более непонятной, что, заглянув внутрь флексагона, можно собственными глазами увидеть части таинственно исчезнувшей поверхности!

 Рис. 6.

    Утверждение о том, что шестиугольники, возникающие при развороте гексагексафлексагонов, могут быть только 15 различных типов, необходимо несколько уточнить. Несимметричная раскраска поверхностей гексагексафлексагонов позволяет обнаружить любопытный факт: три из 15 допустимых шестиугольников имеют свои зеркально-симметричные пары. Перенумеровав внутренние углы каждого из допустимых шестиугольников по часовой стрелке цифрами от 1 до 6, мы обнаружим, что при складывании флексагонов три шестиугольника переходят в зеркально-симметричные шестиугольники, у которых углы перенумерованы теми же цифрами, но расположенными в обратном порядке. Если принять во внимание эту асимметрию, то можно сказать, что шесть поверхностей гексагексафлексагона могут порождать 18 различных шестиугольников.
    Для тех, кто захочет сам изготовить флексагоны других типов, отличные от рассмотренных, приводится краткий обзор флексагонов низших порядков.

1. Унагексафлексагон.
   Полоску из трех треугольников разглаживают и концы ее соединяют так, чтобы получился лист Мёбиуса с треугольным краем. Поскольку лист Мёбиуса имеет только одну сторону и состоит из шести треугольников, его можно назвать унагексафлексагоном, хотя, разумеется, у него нет шести сторон и он не складывается.
2. Дуогесафлексагон
   Представляет собой просто шестиугольник, вырезанный из бумаги. У него две стороны, но он не складывается.

3. Тригексафлексагон.
   Существует только одна разновидность этого флексагона, именно она и была уже описана.

4. Тетрагексафлексагон
   Также существует лишь в единственном варианте. Его складывают из пилообразной полоски, изображенной на рис. 7, а.
5. Пентагексафлексагон.
   Единственную разновидность этого флексагона складывают из полоски, показанной на рис. 7, б.
6. Гексагексафлексагон.
   Существует три различных типа этих флексагонов, каждый из них обладает неповторимыми свойствами. Дано описание лишь одного типа. Два остальных можно сделать из полосок форма которых показана на рис. 7, в.
7. Гептагексафлексагон.
   Его складывают из трех полосок бумаги, изображенных на рис. 7, г. Первую полоску можно сложить двумя различными способами, поэтому общее число возможных форм гептагексафлексагонов равно 4. Третью форму этих флексагонов конструируют из полоски бумаги, имеющей вид восьмерки с перекрывающими частями. Это первая из фигур, которые Луи Таккерман назвал "флексагонными улицами". Поверхности этой фигуры можно перенумеровать так, что на "пути Таккермана" они будут встречаться "по порядку номеров", как дома на улице.

   
Рис. 7. Зигзагообразные полоски бумаги для складывания гексафлексагонов. Заштрихованные треугольники служат клапанами для склеивания.

    Существует 12 различных типов октагексафлексагонов, 27 типов эннагексафлексагонов и 82 типа декагексафлексагонов. Точное число флексагонов каждого порядка определяется неоднозначно и зависит от того, что следует понимать под "различными" флексагонами. Например, все флексагоны имеют асимметричную структуру и делятся на правые и левые, но зеркально-симметричные формы флексагонов вряд ли следует считать самостоятельными. Более подробно о числе неэквивалентных флексагонов каждого порядка можно прочитать в статье Оукли и Визнера.(American Mathematical Monihli, 64, 1957, p. 143)
    Порядки гексафлексагонов, которые можно сложить из прямых полосок, поделенных на равносторонние треугольники, всегда кратны трем. Особенно легко построить одну разновидность гексафлексагонов с двенадцатью поверхностями. Для этого берут прямую полоску бумаги вдвое длиннее той, из которой мы складывали гексагексафлексагон, и "скручивают" ее так, как показано на рис. 2, б. При этом длина полоски сократится вдвое и станет равной длине гексагексафлексагонной полоски. Затем скрученную полоску нужно сложить точно таким образом, как если бы вы складывали гексагексафлексагон. В результате получится додекагексафлексагон.

Экспериментируя с флексагонами высоких порядков, полезно иметь в виду удобное правило: число слоев бумаги в двух соседних треугольных секциях всегда равно числу поверхностей данного флексагона. Интересно также отметить, что если каждую поверхность флексагона пометить каким-нибудь числом или символом и этот символ поставить на всех треугольниках, принадлежащих данной поверхности, то чередование символов на развернутой полоске будет обладать трехкратной периодичностью. Например, на лицевой и обратной сторонах развертки гексагексафлексагона, изображенного на рис. 2, цифры будут располагаться в такой последовательности:

123123   123123   123123
445566   445566   445566

    Аналогичное разделение символов на три группы характерно для всех гексагексафлексагонов, но у флексагонов нечетного порядка символы в одной из трех групп расположены в обратном порядке по сравнению с двумя остальными группами.

Забавное из жизни флексагонов. Письма опубликованные в Scientific American.

    Уважаемая редакция!

Меня прямо-таки потрясла статья "Флексагоны", опубликованная в декабрьском номере вашего журнала (за 1956 год). Провозившись каких-нибудь шесть или семь часов, я с помощью сотрудников нашей лаборатории в конце концов сумел правильно склеить гексагексафлексагон. С тех пор вся наша лаборатория не перестает удивляться.
    Сейчас мы встали перед проблемой. Как-то утром один из наших сотрудников, занимаясь от нечего делать складыванием гексагексафлексагона, не заметил, как кончик его галстука попал внутрь этой игрушки. При каждом последующем перегибании галстук несчастного все больше и больше втягивался внутрь флексагона. После шестого перегибания исчез сам сотрудник.

Разумеется, мы тут же начали лихорадочно перегибать флексагон, но так и не обнаружили никаких следов нашего товарища, зато мы нашли шестнадцатую поверхность гексагексафлексагона.
    Возникает вопрос: должна ли вдова исчезнувшего сотрудника получить компенсацию за все время его отсутствия или же мы можем с полным основанием сразу считать его умершим?
Ждем вашего совета.

НЕЙЛ АПТЕГРОУВ, Лаборатория Аллена В. Дюмона
Клифтон, штат Нью-Джерси

    Сэр!
    Письмо об исчезновении внутри гексагексафлексагона сотрудника Лабораторий Аллена В. Дюмона, напечатанное в мартовском выпуске вашего журнала, помогло нам решить одну загадку.

Однажды, занимаясь на досуге складыванием гексагексафлексагона самой последней модели, мы заметили, что из него торчит кусочек какой-то пестрой материи. При последующих перегибаниях флексагона из него показался незнакомец, жующий резинку.

К сожалению, он был очень слаб и из-за частичной потери памяти не мог объяснить нам, каким образом оказался внутри флексагона. Наша национальная диета из овсянки, хэггиса (Хэггис - шотландское национальное блюдо, приготовленное из овечьей или телячьей требухи, овсяной муки, лука и перца.) и виски поправило его здоровье. Он стал всеобщим любимцем и откликается на имя Экклз.

Нас интересует, нужно ли нам вернуть его и если да, то каким способом? К сожалению, Экклза бросает в дрожь при одном лишь виде гексагексафлексагона, и он решительно отказывается "складываться".

РОБЕРТ М. ХИЛЛ, Королевский колледж науки и техники
Глазго, Шотландия

Тетра-гексафлексагон

Клуб «Флексагоны» на Летней школе развития «Пифагор», 2013 г.

Математические софизмы

Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются "запрещенные" действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям "очевидности". Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки.

В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Роль софизмов в развитии математики сходна с той ролью, какую играют непреднамеренные ошибки в математических исследованиях, допускаемые даже выдающимися математиками. И. П. Павлов говорил, что "правильно понятая ошибка - это путь к открытию". Действительно, уяснение ошибок в математических рассуждениях часто содействовало развитию математики.

Пожалуй, особенно поучительна в этом отношении история аксиомы Евклида о параллельных прямых. Сформулировать эту аксиому можно так: через данную точку, лежащую вне данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной (что одну прямую, параллельную данной, можно провести - это доказывается). Это утверждение на протяжении более чем двух тысяч лет пытались доказать, т. е. вывести из остальных аксиом* геометрии, многие выдающиеся математики разных времен и разных народов. Все эти попытки не увенчались успехом. Многочисленные "доказательства", какие были найдены, оказались ошибочными.

* (Аксиомы - это исходные положения, принимаемые без доказательства. Особенности аксиомы параллельных давали повод думать, что она может быть превращена в теорему, т.е. доказана с помощью остальных аксиом геометрии.)

"Строгого доказательства сей истины, - писал великий русский математик Н. И. Лобачевский в 1823 г. в своем учебнике геометрии, - до сих пор не могли сыскать; какие были даны, могут назваться только пояснениями, но не заслуживают быть почтены в полном смысле математическими доказательствами". И все же, несмотря на ошибочность этих "доказательств", они принесли большую пользу развитию геометрии. Были основательно выяснены связи между различными теоремами геометрии. Можно сказать, что эти "доказательства" подготовили одно из величайших достижений в области геометрии и всей математики - создание неевклидовой геометрии. Честь разработки новой геометрии принадлежит нашему великому соотечественнику Н. И. Лобачевскому и венгерскому математику Яношу Бойяи. Н. И. Лобачевский и сам сначала пытался доказать аксиому параллельных, но скоро понял, что этого сделать нельзя. В 1826 г. он пришел к заключению, что утверждение, выражаемое аксиомой о параллельных, при помощи остальных аксиом геометрии доказать нельзя. Путь, идя которым Лобачевский убедился в этом, и привел его к созданию новой геометрии. И этот замечательный вклад в математику был одним из тех, которые прославили русскую науку.

Примеров подобного рода можно было бы привести несколько.

Чем же полезны софизмы для изучающих математику? Что они могут дать?

Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, т. е. прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме - это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от повторения ее в других математических рассуждениях. Когда ребенок раз притронется к горячему предмету, то впоследствии он постарается этого не делать. Он будет много осторожнее. Так изучающий математику впоследствии проявит больше осторожности.

Далее, что особенно важно, разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого математического материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений, за законностью выполняемых операций. Все это нужно и важно.

Наконец, разбор софизмов увлекателен. Только очень сухого человека не может увлечь интересный софизм. Как приятно бывает обнаружить ошибку в математическом софизме и тем как бы восстановить истину в ее правах. И чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет его анализ.

Имеется немало разных книг, в которых собраны различные софизмы. В конце XIX - начале XX в. особенно большой известностью среди учащихся пользовалась книга Обреимова "Математические софизмы". Этой книжкой зачитывались. Трудно было найти гимназиста, который не читал бы ее. Василию Ивановичу Обреимову, передовому, революционно настроенному деятелю народного образования последних десятилетий XIX и начала XX в. удалось собрать и обработать интересные софизмы. Наверное, этот сборник софизмов имел в виду В. И. Ленин, когда он в одной из своих статей писал, что такие сборники учащимся "приносят свою пользу".

В. И. Ленину в борьбе, которую он вел с врагами рабочего класса, часто приходилось разбирать и разоблачать разнообразные политические софизмы своих противников. Рассуждения по вопросам политики, содержащие замаскированные ошибки, В. И. Ленин сравнивал с математическими софизмами. Он говорил, что эти рассуждения похожи, "...как две капли воды, на те рассуждения, которые математики называют математическими софизмами и в которых, - строго логичным, на первый взгляд, путем, - доказывается, что дважды два пять, что часть больше целого и т. д."*. Эти слова В. И. Ленина показывают, что он знал математические софизмы и это знание помогало ему разоблачать софизмы в политике.

* (Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 8, с. 67.)

В нашей "Математической шкатулке" приводятся ниже некоторые софизмы. При разборе их постарайтесь самостоятельно найти допущенные ошибки и отчетливо понять их. Ну, а если ошибки вы не обнаружите и указания, данные в конце книги, вам не помогут, то обратитесь за разъяснениями к вашему учителю. Помните, что важно добиться отчетливого понимания ошибок, иначе софизмы будут бесполезны.

Наблюдательный и вдумчивый читатель, конечно, заметит, что во многих софизмах допущены одинаковые ошибки. Отчетливое понимание сути таких ошибок значительно облегчит решение последующих аналогичных задач.

369.4 p. = 40 000 к. Возьмем верное равенство: 2 р. = 200 к. и возведем его по частям в квадрат. Мы получим: 4 р. = = 40 000 к. В чем ошибка?

370.5 = 6. Попытаемся доказать, что 5 = 6. С этой целью возьмем числовое тождество: 35 + 10 - 45 = 42 + 12 - 54. Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим: 5(7 + 2 - 9) = 6(7 + 2 - 9). Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключенный в скобки). Получаем 5 = 6. В чем ошибка?

371.2*2 = 5. Найдите ошибку в следующих рассуждениях. Имеем числовое. равенство (верное): 4:4 = 5:5. Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим: 4(1:1) = 5(1:1). Числа в скобках равны, поэтому 4 = 5, или 2*2 = 5.

372.4 = 5. Где допущена ошибка в следующей цепочке равенств: 16 - 36 = 25 - 45, 16 - 36 + 20 1/4 = 25 - 45 + 20 1/4 ,(4 - 9/2)2 = (5 - 9/2)2, 4 - 9/2 = 5 - 9/2, 4 = 5?

373.2*2 = 5. Обозначим: 4 = а, 5 = b, a + b/2 = d .Имеем: а + b = 2d, а = 2d - b, 2d - а = b. Перемножим два последних равенства по частям. Получим: 2da - а2 = 2db - b2. Умножим обе части получившегося равенства на -1 и прибавим к результатам d2. Будем иметь: а2 - 2da + d2 = b2 - 2db + d2 , или (а - d)2 = (b - d)2, откуда a - d = b - d и a = b, т. e. 2*2 = 5. Где допущена ошибка?

374.2 = 3. Имеем: 4 - 10 = 9 - 15, 4 - 10 + 6 1/4 = 9 - 15 + 6 1/4, (2 - 5/2)2 = (3 - 5/2)2, 2 - 5/2 = 3 - 5/2 и окончательно 2 = 3. В чем ошибка?

375.5 = 1. Желая доказать, что 5 = 1, будем рассуждать так. Из чисел 5 и 1 по отдельности вычтем одно и то же число 3. Получим числа 2 и -2. При возведении в квадрат этих чисел получаются равные числа 4 и 4. Значит, должны быть равны и исходные числа 5 и 1. Где ошибка?

376.4 = 8. Возьмем систему уравнений:

Решим ее способом подстановки. Получим: 4 - у + у = 8, т. е. 4 = 8. В чем здесь дело?

377.Все числа равны между собой. Пусть m ≠ n. Возьмем тождество: m2 - 2mn + n2 = n2 - 2mn + m2. Имеем: (m - n)2 = {n - m)2. Отсюда m - n = n - m, или 2m = 2n, а значит, m = n. В чем ошибка?

378.Расстояние от Земли до Солнца равно толщине волоска. Пусть а(м) - расстояние от Земли до Солнца, а b(м) - толщина волоска. Среднее арифметическое их обозначим через v. Имеем: a + b = 2υ, a = 2υ - b, a - 2υ = - b. Перемножив по частям два последних равенства, получаем: а2 - 2aυ = b2 - 2bυ.Прибавим к каждой части υ2. Получим: а2 - 2aυ + υ2 = b2 - 2bυ + υ2, или ( a - υ)2 = (b - υ)2, т.е. (a - υ) = (b - υ), и, значит, а = b. Где мы ошиблись?

379.Любое, отличное от нуля, число равно противоположному ему числу. Какая ошибка допущена в следующих рассуждениях? Возьмем произвольное, отличное от 0, число а. Обозначим его буквой x, x = a. Обе части этого равенства умножим на -4а. Получим: - 4ах = - 4а2, или - 4ах + 4а2 = 0. К обеим частям этого равенства прибавим х2. Получим: х2 - 4ах + 4а2 = х2, или (х - 2а)2 = х2. Значит, х - 2а = х, но х = а, поэтому а - 2а = а, или -а = а.

380.Любое число равно его половине. Возьмем два равных числа а и b, а = b. Обе части этого равенства умножим на а и затем вычтем из произведений по b2. Получим: а2 - b2 = ab - b2, или (a + b)(a - b) = b(а - b). Отсюда а + b = b, или а + а = а, так как b = а. Значит, 2а = а, или а = a/2. Какая ошибка допущена в этих рассуждениях?

381.Спичка вдвое длиннее телеграфного столба. Пусть a - длина спички (дм) и b - длина столба (дм). Разность между b и а обозначим через с. Имеем: b - а = с, b = a + с. Перемножая два эти равенства по частям, находим: b2 - ab = са + с2. Вычтем из обеих частей bc. Получим: b2 - ab - bc = са + с2 - bc, или b(b - a - с) = -c(b - a - с), откуда b = -c, но с = b - а, поэтому b = a - b, или a = 2b.

382.1 = -1. Начнем с верного числового равенства: 16 - 24 + 9 = 4 - 12 + 9. Перепишем его в виде: (4 - З)2 = (2 - З)2. Значит, 4 - 3 = 2 - 3, т.е. 1 = - 1. Где ошибка?

383.Отрицательное число больше положительного. Возьмем два положительных числа а и b. Сравним два отношения: a/-b и -a/b. Они равны, так как каждое из них равно - a/b. Можем составить пропорцию: a/-b = -a/b. Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае a > - b; следовательно, должно быть -а > b, т.е. отрицательное число больше положительного. В чем ошибка?

384.Из двух неравных чисел первое всегда больше второго. Пусть а и b - произвольные числа и а ≠ b. Имеем: (а - b)2 > 0, т.е. а2 - 2аb + b2 > 0, или a2 + b2 > 2аb. К обеим частям получившегося неравенства прибавим -2b2. Получим: а2 - b2 > 2ab - 2b2, или (а + b)(а - b) > 2b(а - b). После деления обеих частей на а - b имеем: a + b > 2b, откуда следует, что а > b. Где мы ошиблись?

385.Любое число равно числу, в два раза большему его. Пусть а - какое угодно число. Возьмем тождество а2 - а2 = а2 - а2. В левой части его вынесем а за скобки, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов. Тогда получим: (а - а)а = (а - а)(а + а). Упростив это тождество, получим: а = 2а. В чем здесь ошибка?

386.Любое число равно 0. Найдите ошибку в таком рассуждении. Каково бы ни было число а, верны равенства: (+a)2 = а2 и (-а)2 = а2. Следовательно, (+a)2 = (-а)2, а значит, +a = -а, или 2a = 0, и поэтому a = 0.

387.1 = 2. Где ошибка в следующей цепочке следствий из верного утверждения: 1 - 3 = 4 - 6, 1 - 3 + 9/4 = 4 - 6 + 9/4,

388.Из точки на прямую можно опустить два перпендикуляра. Попытаемся "доказать", что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра. С этой целью возьмем треугольник ABC (рис. 13). На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и D. Соединим точки Е и D прямыми с точкой В. Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВDC также прямой. Следовательно, BE ⊥ AC и BD ⊥ AC. Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС. В чем ошибка?

Рис. 13, Рис.14

389.Из точки, взятой на прямой, можно провести к этой прямой два перпендикуляра (лежащие с ней в одной плоскости). Найдите ошибку в таком "доказательстве". Возьмем прямой угол АОВ (рис. 14). Через вершину О проведем внутри угла произвольный луч и на нем от точки О отложим произвольный отрезок ON. Из середины этого отрезка, как центра, опишем окружность, проходящую через точки О и N. Проведем через точку N прямую, параллельную АО. Пусть эта прямая пересекает окружность в точке D. Соединим отрезком точки О и D. Угол ODN, как вписанный, опирающийся на диаметр, прямой, а так как ND || АО, то угол DOA тоже прямой. Следовательно, ОВ ⊥ АО и OD ⊥ АО.

390.Через точку, лежащую вне прямой, можно провести две прямые, параллельные данной прямой. Дана прямая MN и вне ее точка А. Проведем через точку А прямую АВ, параллельную прямой MN. Возьмем на MN некоторую точку С. На отрезке АС, как на диаметре, построим полуокружность. Пусть D - точка пересечения этой полуокружности с перпендикуляром к прямой MN, проходящим через точку С. Через точки А и D проведем прямую. Так как угол CDA прямой, а CD ⊥ MN, то AD - прямая, параллельная MN. Следовательно, через А проходят две прямые, параллельные прямой MN (рис. 15). В чем ошибка?

Рис.15

391.Прямой угол равен тупому. Для доказательства выполним следующее построение. Возьмем некоторый отрезок АВ и при концах его А и В построим прямой угол и тупой (рис. 16).

Рис.16

На сторонах этих углов от их вершин отложим равные отрезки AD и ВС. Отрезки АВ и DC разделим каждый пополам и через точки деления проведем к этим отрезкам перпендикуляры. Так как АВ и DC непараллельны, то эти перпендикуляры пересекутся в некоторой точке О. Соединим точку О с точками А, В, С и D отрезками. Получившиеся треугольники AOD и ВОС равны, так как |АО| = |ОВ|, |AD| = |ВС|, |DO| = |СО|, и, значит, ∠ OAD = ∠ ОВС, но ∠ ЕАО = ∠ ЕВО, поэтому ∠ DAE = ∠ СВЕ, т. е. прямой угол равен тупому. Аналогично могут быть рассмотрены случаи, когда точка О лежит на АВ или ниже АВ (рис. 17). Вывод и в этих случаях будет такой же: прямой угол равен тупому. В чем здесь дело?

Рис.17

392.Всякий треугольник равнобедренный. Пусть ABC (рис. 18) - произвольный треугольник.

Рис.18

Проведем биссектрису угла А и перпендикуляр к стороне ВС, проходящий через ее середину D. Может оказаться так, что точка пересечения биссектрисы и перпендикуляра (точка К) будет лежать внутри треугольника ABC. Опустим из точки К перпендикуляры КЕ и KF на стороны АС и АВ. Имеем: Δ АЕК = Δ AFK, а значит, |КЕ| = |KF| и |AE| = |AF|. Треугольники BKD и CKD также равны, а поэтому |КВ| = |КС|. Остается рассмотреть прямоугольные треугольники BKF и СКЕ. Они равны, так как |КЕ| = |KF| и |KB| = |КС|. Из равенства этих треугольников вытекает, что |ЕС| = |FB|. Возьмем теперь два равенства: |АЕ| = |AF| и |СЕ| = |BF|. Сложив их по частям, получаем: |АС| = |АВ|. Аналогично можно провести рассуждения в случае, если точка К будет лежать вне треугольника ABC (рис. 19).

Рис.19

Рассуждения в случае, если точка К будет лежать на стороне ВС (совпадает с D), также не сложны (проведите их сами). Во всех этих случаях приходим к выводу, что треугольник ABC равнобедренный. Значит, любой треугольник равнобедренный. Где ошибка?

393.Всякая окружность имеет два центра. Построим острый угол ABC (рис. 20).

Рис.20

На сторонах его возьмем точки D и Е и через них проведем перпендикуляры к сторонам угла. Пусть эти перпендикуляры пересекаются в точке F. Через три точки D, F и Е проведем окружность. Эта окружность пересечет стороны угла в точках М и N. Отрезки MF и NF должны быть диаметрами построенной окружности, так как на них опираются вписанные в эту окружность прямые углы MDF и NEF. Середины отрезков MF и NF должны быть центрами построенной окружности. Следовательно, окружность имеет два центра. Где ошибка?

394.Внешний угол треугольника равен внутреннему, с ним не смежному. Рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором сумма углов А и С равна 180° (рис. 21).

Рис.21

Через вершины D, А и В проведем окружность. Пусть эта окружность пересечет сторону DC в точке Е. Соединим точку Е с точкой В отрезком прямой линии. Тогда ∠ C= 180° - ∠ А (по построению), ∠ BED = 180° - Â (так как четырехугольник ABED вписанный, а значит, сумма противоположных углов его BED и BAD равна 180°). Следовательно, ∠ С= ∠ BED, но ∠ BED - внешний угол треугольника СВЕ, a ∠ C - не смежный с ним внутренний угол этого треугольника. Найдите ошибку.

395.Хорда окружности, не проходящая через центр, равна диаметру. Пусть в окружности проведен диаметр АВ. Через точку В проведем какую-либо хорду ВС, не проходящую через центр; затем через середину этой хорды D и точку А проведем новую хорду АЕ; наконец, точки Е и С соединим отрезком (рис. 22).

Рис.22

Рассмотрим треугольники ABD и EDC. В них |BD| = |DC| (по построению), ∠ А = ∠ С (как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу). Кроме того, ∠ BDA = ∠ EDC (как вертикальные). Если же сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Значит, Δ BDA = Δ EDC. Поэтому |АВ| = |ЕС|. Где ошибка?

396.Катет равен гипотенузе (рис. 23).

Рис.23

∠ С = 90°, BD - биссектриса угла СВА, |СК| = |КА|, ОК ⊥ С А, О - точка пересечения прямых ОК и BD, ОМ ⊥ АВ, OL ⊥ ВС. Имеем: Δ LBO = Δ МВО, |BL| = |BM|, |ОМ| = |OL| = |СК| = |КА|, Δ КОА = Δ ОМА (ОА - общая сторона, |КА|= |ОМ|, ∠ ОКА = ∠ ОМА = 90°), ∠ ОАК = ∠ MOA, |ОK| = |МА| = |CL|, |ВА| = |ВМ| + |МА|, |ВС| = |ВL| + |LC|, но |ВМ| = |BL|, |МА| = |CL|, и поэтому |ВА| = |ВС|. Где допущена ошибка?

397."Доказательство" теоремы о сумме внутренних углов треугольника, не опирающееся на аксиому параллельных прямых. Возьмем произвольный треугольник ABC (рис. 24),

Рис.24

на стороне АС его произвольную точку D и соединим ее отрезком с В. Обозначим искомую сумму внутренних углов треугольника буквой х. Имеем: ∠ A + ∠ 1 + ∠ 3 = x, ∠ С + ∠ 2 + ∠ 4 =х. Сложим по частям эти равенства: (∠ A + ∠ C + ∠ 1 + ∠ 2) + (∠ 3 + ∠ 4) = 2х. Выражение в первых скобках - сумма углов треугольника ABC; она равна х. Выражение во вторых скобках равно 180° (как сумма смежных углов). Имеем: х + 180° = 2х и х = 180°. Верно ли это?

398.64 = 65. Квадрат со стороной, равной 8 единицам длины, разрезан на 4 части, как показано на рисунке 25.

Рис.25

Из этих частей сложен прямоугольник. Основание этого прямоугольника оказалось равным 13 единицам длины, а высота - 5 единицам. Площадь исходного квадрата равна 64 квадратным единицам, а получившегося из него прямоугольника - 65 квадратным единицам. Значит, 64 = 65. В чем ошибка?

399.Длины всех окружностей равны. Соединим неподвижно относительно друг друга два разных круга (с неравными радиусами) так, чтобы центры их совпали. Заставим эти круги перемещаться так, чтобы больший из них покатился без скольжения по прямой линии и сделал полный оборот (рис. 26).

Рис.26

Тогда отрезок АВ прямой линии будет иметь длину, равную длине окружности большего круга (с радиусом ОА). Меньший круг, неподвижно скрепленный с большим, также сделает полный оборот. Отрезок А1В1 будет иметь длину, равную длине окружности меньшего круга (с радиусом ОА1). А так как |АВ| = |А1В1| (как противоположные стороны прямоугольника), то, следовательно, длины этих двух окружностей равны. В чем тут дело?

400.Любые два отрезка параллельных прямых, заключенные между сторонами угла, равны (рис. 27). Так как АВ || CD,то Δ ABE ∼ Δ CDE, и поэтому |AE|/|CE| = |BE|/|DE|, или |АЕ |×|DE| = |СЕ||BE|. Получившееся равенство умножим по частям на |AB| - |CD|. Получим: |АЕ||DE|(|АВ| - |CD|)= |CE||BE|×|AB| - |CD|), или |АЕ||DE||АВ| - |AЕ||DE||CD| = |CE||BE||AB| - |CE||BE||CD|, что можно переписать так: |АЕ||DE||АВ| - |СЕ||ВЕ||АВ| = |АЕ||DE||CD| - |CE||BE||CD|, или |АВ|(|АЕ||DE| - |CE||BE|)= |CD|(|АЕ||DE| - |CE||BE|), откуда получаем: |АВ| = |CD|. Где ошибка?

Рис.27., Рис.28

401.Длина средней линии трапеции равна нулю (рис. 28). ABCD - трапеция, ВС || AD, О - точка пересечения диагоналей. Выполним следующее построение: ВК - продолжение ВС, |ВК| = |AD|, |DE| = |BC|. Введем обозначения: |ВО| = х, |OF| = у, |FD| = z. Имеем: Δ DEF ∼ Δ ВКЕ, откуда |BF|/||FD = |BK|/|DE|, или x + y/z = |AD|/|BC| (1). Δ BOC ∼ Δ AOD, откуда |DO|/|BO| = |AD|/|BC|, или y + z/x= |AD|/|BC| (2). Сравнив (1) и (2), получаем: x + y/z = y + z/x, или x + y/z = -y - z/-x. Обозначив каждое из этих отношении через t, получаем: x + y/z = t,-y - z/-x = t, откуда имеем: х + у = tz, - y - z= -tx. Просуммировав полученные равенства по частям, получаем: х + у - у - z = t(z - х), или x + y - y - z/z - x = t, и поэтому x - z/z - x = x + y/z, или x + y/z = -1. Но x + y/z = |AD|/|BC| и поэтому |AD|/|BC| = -1, т.е. |AD| = -|ВС|. Значит, |AD| + |ВС| = 0 и |AD| + |BC|/2 = 0. Где ошибка?

402."Новое доказательство" теоремы Пифагора. Возьмем прямоугольный треугольник с катетами а и B, гипотенузой с и острым углом α, противолежащим катету а. Имеем: а = csin α, b = сcosα, откуда а2 = с2sin2α, b2 = с2cos2α. Просуммировав по частям эти равенства, получаем: а2 + b2 = c2(sin2α + cos2α). Но sin2α + cos2α = 1, и поэтому а2 + b2 = с2. Подвергните критике это "доказательство".

403.Квадрат любого числа равен 1. Пусть m - какое угодно число. Обозначим: x = y = m4/4. Имеем: √x = √y и x - √x = y - √y или х - у = √х - √y что можно переписать так: (√x + √y)(√x - √y) = √x - √y. Из полученного равенства находим: √x + √y = 1. Следовательно, 2 √х = 1, но х = m4/4, и поэтому 2 √m4/4 = 1, или m2 = 1. Где ошибка?

404.2 = 4. Имеем тождество: cos2х = 1 - sin2x, откуда (cos2х)3/2 = (1 - sin2х)3/2, или cos3х = (1 - sin2x)3/2. К обеим частям полученного равенства прибавим 3. В полученное равенство подставим вместо х 180°. Будем иметь: -1 + 3 = 1 + 3, т. е. 2 = 4.

406. Ученик составил таблицу значений функции у = 1/х.

Затем построил точки по найденным их координатам, соединил их отрезками прямых, получив график (рис. 30). Найти ошибки. Что нужно сделать, чтобы устранить ошибки?

Рис.30

411. Один ученик рассуждал так: "Известно, что если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то такой параллелограмм - ромб. Нам дан параллелограмм, диагонали которого не являются взаимно перпендикулярными. Следовательно, этот параллелограмм не ромб". В чем ошибка?

412. Витю заинтересовала аксиома параллельных прямых: через точку А, лежащую вне прямой а, в плоскости, определяемой этими точкой и прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной а. "Одну прямую можно провести, - подумал он. - Это доказать легко". Через точку А проведем прямую b, перпендикулярную к а, и через А прямую с, перпендикулярную к b, а и с параллельны. Но из моих рассуждений следует, что такая прямая и единственна. В самом деле, перпендикуляр, проведенный через А к а, единствен. Далее, перпендикуляр, проходящий через А к b, тоже единствен. Значит, через А проходит единственная прямая, параллельная а. В чем ошибка?

413. Пассажир, едущий в поезде, захотел узнать скорость поезда. Для этого он подошел к окну вагона, заметил по своим часам время, когда против окна показался телеграфный столб, и, начиная с него, стал считать столбы один за другим. При появлении 24-го столба против окна пассажир опять заметил время. Оказалось, что прошло 2 мин. Зная, что расстояние между столбами 50 м, пассажир сделал вывод: скорость поезда равна 36 км/ч. Какую ошибку допустил пассажир?

414. Известна задача: "Из какой точки земной поверхности нужно выйти, чтобы, пройдя 10 км по меридиану к югу, затем 10 км по параллели к востоку, наконец, снова 10 км по меридиану к северу, вернуться в точку отправления?"

Прежде чем читать дальше, попытайтесь решить эту задачу. Решили? А сейчас познакомьтесь с рассуждениями, которые часто проводятся для решения этой задачи. "Первая и третья части пути проходят по меридианам, но два меридиана имеют только две общие точки: северный полюс и южный. Из южного полюса двигаться на юг нельзя, поэтому он отпадает. Остается единственная возможность - начать движение с северного полюса. Задача имеет единственное решение". Не сможете ли вы обнаружить в этом рассуждении ошибку? Единственное ли решение имеет предложенная задача?

95. Загадочное исчезновение

Рис. 103

Начертите на прямоугольном куске картона 13 одинаковых палочек на равном расстоянии друг от друга, так, как показано на рис. 103. Теперь разрежьте прямоугольник по прямой MN, проходящей через верхний конец первой палочки и через нижний конец последней. Если затем вы сдвинете обе половины так, как показано на рис. 104, то заметите любопытное явление: вместо 13 палочек перед вами окажется всего 12! Одна палочка исчезла бесследно. Куда же она девалась?

Рис. 104

Решение. Если вы сопоставите длины палочек на первом и втором рисунках, то обнаружите, что палочки на втором рисунке на 1/12 длиннее палочек первого рисунка. Исчезнувшая 13-я палочка улетучилась не бесследно: она словно растворилась в 12 остальных, удлинив каждую из них на 1/12 своей длины Геометрическую причину зтого понять очень легко Прямая MN и та прямая, которая проходит через верхние концы всех палочек, образуют угол, стороны которого пересечены рядом параллельных прямых. Из подобия треугольников следует, что прямая MN отсекает от второй палочки 1/12 ее длины, от третьей 2/12, от четвертой 3/12 и т. д. Когда же мы сдвигаем обе части картона, то приставляем отсеченный отрезок каждой палочки (начиная со второй) к нижней части предыдущей. А так как каждый отсеченный отрезок больше предыдущего на 1/12, то каждая палочка должна удлиниться на 1/12 своей длины. На глаз это удлинение незаметно, так что исчезновение 13-й палочки на первый взгляд представляется довольно загадочным.

Рис. 105

Чтобы усилить эффект, можно расположить палочки по кругу, как показано на рис. 105. Если вырезать внутренний круг и укрепить его в центре так, чтобы он мог вращаться, то, повернув круг на небольшой угол, мы опять увидим, что одна палочка исчезла (рис. 106).

Рис. 106

100. Земля и апельсин

Вообразим, что земной шар обтянут по экватору обручем и что подобным же образом обтянут и апельсин по его большому кругу. Далее, вообразим, что окружность каждого обруча удлинилась на 1 м. Тогда, разумеется, обручи отстанут от поверхности тел, которые они раньше стягивали, и образуется некоторый зазор. Спрашивается, в каком случае этот зазор будет больше - у земного шара или у апельсина?

Решение. "Здравый смысл" подсказывает такой ответ: "Конечно, у апельсина образуется больший зазор, чем у Земли! Ведь в сравнении с окружностью земного шара - 40 000 км - какой-нибудь один метр есть столь ничтожная величина, что прибавка ее останется совершенно незаметной. Другое дело апельсин: по сравнению с его окружностью один метр - огромная величина, и прибавка ее к длине окружности должна быть весьма ощутима".

Однако давайте проверим наше заключение с помощью вычислений. Пусть длина окружности земного шара равна С, а апельсина с метрам. Тогда радиус Земли R = C/2π и радиус апельсина r = c/2π. После прибавки к обручам одного метра окружность обруча у Земли будет С + 1, а у апельсина с + 1, радиусы же их соответственно будут C + 1/2π и c + 1/2π. Если из новых радиусов вычтем прежние, то получим в обоих случаях одно и то же приращение:

C + 1/2π - C/2π = 1/2π для Земли, с + 1/2π - с/2π = 1/2π для апельсина.

Итак, у Земли и у апельсина получится один и тот же зазор в 1/2π метра, т. е. примерно 16 см. Столь "поразительный" результат есть следствие постоянства отношения длины любой окружности к ее радиусу.

Числовые головоломки

11. Как нужно разрезать циферблат часов на 6 частей так, чтобы во всех частях сумма чисел была одинакова?

12. Запишите, пользуясь тремя пятерками и знаками действий: 1) 1; 2) 0; 3) 2; 4) 5.

13. Пользуясь пятью двойками и знаками действий, запишите число 28.

14. Пользуясь четырьмя двойками и знаками действий, запишите число 111.

15. Запишите число 100, пользуясь знаком " + " и: 1) четырьмя девятками, 2) шестью девятками. (Допускается использование дробной черты.)

16. Запишите число 31, пользуясь знаками действий и: 1) пятью тройками, 2) шестью тройками, 3) пятью пятерками.

17. Запишите 100, пользуясь знаками действий и: 1) пятью единицами, 2) пятью тройками, 3) пятью пятерками.

18. Напишите девять цифр: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Не меняя порядка этих цифр, расставьте между ними плюсы и минусы, всего три знака, таким образом, чтобы в результате получилось 100.

19. С помощью четырех четверок и известных вам знаков действий запишите все натуральные числа от 1 до 10.

20. Запишите число 100, использовав все 10 цифр и знаки некоторых действий.

21. Какие знаки арифметических действий нужно поставить между восемью двойками, записанными одна за другой, чтобы результат этих действий был равен 8?

22.Какие знаки арифметических действий нужно поставить вместо знаков вопроса в записи 5? 5? 5? 5/5, чтобы получить 8? Чтобы получить 20?

23. 1) Как нужно расставить знаки " + " в записи 1 2 3 4 5 6 7, чтобы получилась сумма, равная 100?

2) Как нужно расставить знаки " + " в записи 9 8 7 6 5 4 3 2 1, чтобы получилась сумма, равная 99?

24. Какое целое число делится (без остатка) на любое целое число, отличное от 0?

25. 1) Сумма каких двух натуральных чисел равна их произведению?

2) Сумма каких двух натуральных чисел больше, чем их произведение?

26. 1) Найдите число, одна треть и одна четверть которого составляет 21.

2) Полтрети - число 100. Что это за число?

27. Что больше: 1020 или 2010?

28. Что больше: 10020 или 900010?

29. Какое натуральное число в 7 раз больше цифры его единиц?

30. Какое наибольшее число можно записать при помощи: 1) трех единиц; 2) четырех единиц?

31. Напишите возможно меньшее натуральное число, пользуясь тремя двойками и знаками действий.

32. Напишите, пользуясь двумя цифрами и знаками действий, возможно меньшее число.

33. Какую последнюю цифру может иметь квадрат натурального числа? Куб его? Четвертая степень?

34. Могут ли числа 458, 523, 652 быть квадратами или кубами целого числа?

35. Тремя тройками (четверками), не употребляя знаков действий, записать возможно большее число.

36. Напишите, использовав 3 цифры, наибольшее возможное число.

37. Сколько раз следует взять слагаемым а, чтобы получить аn? Какие значения при этом может принимать а?

38. В магазине имелось 6 эмалированных баков емкостью 15, 16, 18, 19, 20 и 31 л. Двое купили 5 баков: один из них два, а второй - три бака, причем оказалось, что емкость первых двух баков вдвое меньше емкости трех баков, приобретенных вторым покупателем. Какой бак остался в магазине?

39. Можно ли 5 яблок разделить между 6 мальчиками поровну, так чтобы не пришлось ни одного яблока резать больше чем на 3 части?

40. Как 7 яблок разделить поровну между 12 мальчиками, не разрезая ни одного яблока больше, чем на 4 части?

41. Найдите наименьшее число, которое при делении на 2 дает в остатке 1, при делении на 3 дает в остатке 2, при делении на 4 дает в остатке 3, при делении на 5 дает в остатке 4 и при делении на 6 дает в остатке 5.

42. Колхозница привезла на рынок для продажи корзину яиц. Продавала она их по одной и той же цене. После продажи яиц колхозница пожелала проверить, верно ли она получала деньги. Но вот беда: она забыла, сколько у нее было яиц. Вспомнила она только, что когда перекладывала яйца по 2, то оставалось одно яйцо, одно яйцо оставалось также и при перекладывании яиц по 3, по 4, по 5, по 6. Когда же она перекладывала по 7, то не оставалось ни одного. Помогите колхознице сообразить, сколько в корзине было яиц.

43. Из 4 спичек сложено число VII (семь). 1)Как можно переложить две спички так, чтобы получилось число 5? 2)Как можно переложить одну спичку так, чтобы получилось число 1?

Веселые вопросы

188. Мотоциклист ехал в поселок. По дороге он встретил три легковые машины и грузовик. Сколько всего машин шло в этот поселок?

189. В одной семье два отца и два сына. Сколько это человек?

190. Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу; первый из пункта а со скоростью 20 км/ч, второй из b со скоростью 15 км/ч. Который из велосипедистов будет ближе к а в момент встречи их?

191. (Шутка.) Когда нельзя сокращать сократимую обыкновенную дробь?

192. В семье 5 сыновей и у каждого есть сестра. Сколько детей в этой семье?

193. Блокнот с оберткой стоят 11 к. Сам блокнот на 10 к. дороже обертки. Сколько стоят блокнот и обертка в отдельности?

194. Часы с боем отбивают один удар за 1 с. Сколько времени потребуется часам, чтобы они отбили 12 ч?

195. Три курицы за три дня снесут три яйца. Сколько яиц снесут 6 куриц за 6 дней? А 4 курицы за 9 дней?

196.2/3 числа равняется 3/5 его. Какое это число?

197. Чему равно произведение последовательных целых чисел, начинающихся числом - 5 и оканчивающихся числом 5?

198. Как можно истолковать равенства: а) 19 + 23 = 18, б) 9 + 8 = 5, в) 12 + 12 = 0, г) 7*3 = 9?

199. (Шутка.) Одно яйцо варят 4 мин. Сколько минут нужно варить 5 яиц?

200. Четыре яблока, не разрезая их, нужно разделить между тремя приятелями так, чтобы никто из них не получил больше, чем остальные. Как это сделать?

201. Половина - треть числа. Какое это число? Сколько будет трижды сорок и пять?

202. Сколько будет трижды сорок и пять?

Отчет по курсу “Лента Мебиуса и другие односторонние поверхности”, 6-7 кл, ЛШР - 2013, Юрченкова Наталья Викторовна

Целью курса было:

- познакомить детей с существованием односторонних поверхностей;

- в ходе выполнения опытов  с различными поверхностями для исследования их на двусторонность - односторонность  развивать умение удерживать основной вопрос, умение фиксировать результаты опыта, умение работать в группе (группы были из 3 человек).

Курс получился адекватным возрасту, я даже ожидала, что больше детей найдется знакомых с лентой Мебиуса, а их из 16 человек всего нашлось двое.

Курс, на мой взгляд, цели достиг.

Было 5 групп по 3 человека, для меня одной это оказалось многовато, если был бы второй ведущий, то мы успевали бы тщательно выслушать все группы, а я одна успевала не ко всем. Но заставлять все группы работать в одном темпе, на мой взгляд, неправильно (хотя в школе обычно так и делают).

Удачным приемом, который просто “заставлял” детей фиксировать результаты опытов и делать выводы, оказался лист, в котором слева было описание опыта, а справа оставлено место для записи результата.  Интересно было потом читать эти листы - во-первых, это позволяло увидеть типичные ошибки и на следующий день их исправить (право сделать это предоставлялось тем, кто сумел выполнить опыт верно), во-вторых, было хорошо видно у каких групп рефлексивные умения плохо развиты, и я на них больше обращала внимания. Кроме того, я старалась кратко эти отчеты комментировать и мотивировать всех постараться точно отвечать на вопрос, в том числе и записывать свои гипотезы, а потом результат.

Один из хороших отчетов я прикреплю ниже.

Материалы курса у меня есть, если кому-то интересно - обращайтесь, вышлю. Я сама узнала много интересного, особенно про применение ленты Мебиуса. Вообще это оказался хороший, яркий, эффектный материал, вызывающий удивление и восхищение красотой и функциональностью.