Алгебраические выражения и их характеристики

Алгебраические выражения и их характеристики

© Скаржинский Я.Х.

Алгебра, как наука, изучает закономерности действий над множествами, обозначенных буквами. К алгебраическим действиям относят сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня. В результате данных действий образовались алгебраические выражения. Алгебраическое выражение - выражение, состоящее из чисел и букв, обозначающих множества, с которым осуществляют алгебраические действия. Данные действия перешли в алгебру из арифметики. В алгебре рассматривают и приравнивание одного алгебраического выражения другому, что является их тождественным равенством. Примеры алгебраических выражений приведены в §1. Методы преобразований и взаимосвязи выражений были тоже позаимствованы у арифметики. Знания арифметических закономерностей действий над арифметическими выражениями позволяют проводить преобразования над похожими алгебраическими выражениями, преобразовывать их, упрощать, сравнивать, анализировать. Алгебра – наука закономерностей преобразований выражений, состоящих из множеств, представленных в виде буквенных обозначений, связанных между собой знаками различных действий. Существуют и более сложные алгебраические выражения, изучаемые в высших учебных заведениях. Пока их можно разделить на виды, наиболее часто применяемые в школьном курсе.

1 Виды алгебраических выражений

п.1 Простые выражения: 4a;  (a + b);  (a + b)3с;  ; .

п.2 Тождественные равенства: (a + b)с = aс + bс;  ;

п.3 Неравенства: aс < bс;         a + с < b + с.

п.4 Формулы: х=2а+5;  у=3b;  у=0,5d2+2;  

п.5 Пропорции:

 - первого уровня сложности

- второго уровня сложности

- третьего уровня сложности         сточки зрения поиска значений для множеств

a, b, c, m, k, d:

- четвертого уровня сложности сточки зрения поиска значений для множеств а, у:

п.6 Уравнения: 

ах+с = -5bх;   4х2+2х= 42;

      и т.д.

п.7 Функциональные зависимости: у=3х;  у=ах2+4b;   у=0,5х2+2;

     и т.д.

2 Рассмотрим алгебраические выражения

2.1 В п.1 представлены простые алгебраические выражения. Бывает вид и

сложнее, к примеру:

.

Как правило, такие выражения не имеют знака «=». Задачей при рассмотрении таких выражений является их преобразование и получение в упрощенном виде. При преобразовании алгебраического выражения, относящегося к п.1, получают новое алгебраическое выражение, которое по своему значению равнозначно предыдущему. Такие выражения, говорят, тождественно равнозначны. Т.е. алгебраическое выражение слева от знака равно, равнозначно по своему значению алгебраическому выражению справа. В таком случае получают алгебраическое выражение нового вида, называемое тождественным равенством (см. п. 2).

2.2 В п.2 представлены алгебраические тождественные равенства, которые образуются при алгебраических методах преобразования, рассматриваются алгебраические выражения, наиболее часто применяемые как методы при решении задач по физике. Примеры тождественных равенств алгебраических преобразований, применяемых часто в математике и физике:

Переместительный закон сложения: a + b = b + a.

        Сочетательный закон сложения: (a + b) + с = a + (b + c).

        Переместительный закон умножения: ab = ba.

        Сочетательный закон умножения: (ab)с = a(bc).

        Распределительный закон умножения относительно сложения:

(a + b)с = aс + bс.

        Распределительный закон умножения относительно вычитания: 

(a - b)с = aс - bс.

Тождественные равенства дробных алгебраических выражений (предполагается, что знаменатели дробей отличны от нуля):

Тождественные равенства алгебраических выражений со степенями:

а) ,

где  (n раз, ) - степень с целым показателем

б) (a + b)2=а2+2ab+b2.

Тождественные равенства алгебраических выражений с корнями n-й степени:  

Выражение - арифметический корень n-й степени из числа  В частности,- арифметический квадратный.

Степень с дробным (рациональным) показателем корень:

        Тождественные выше приведенные равнозначные выражения применяют для преобразований более сложных алгебраических выражений, не содержащих знака «=».

        Рассмотрим пример, в котором для преобразований более сложного алгебраического выражения используют знания, приобретенные при преобразованиях более простых алгебраических выражений в виде тождественных равенств.

2.3 В п.3 представлены алгебраические неравенства, у которых алгебраическое выражение левой части не равно правой, т.е. не являются тождественными. В таком случае они и являются неравенствами. Как правило, при решении некоторых задач по физике важны свойства неравенств:

 1) Если a < b, то при любом c: a + с < b + с.

 2) Если a < b и c > 0, то aс < bс.

 3) Если a < b и c < 0, то aс > bс.

 4) Если a < b, a и b одного знака, то 1/a > 1/b.

 5) Если a < b и c < d, то a + с < b + d, a - d < b - c.

 6) Если a < b, c < d, a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, то ac < bd.

 7) Если a < b, a > 0, b > 0, то

 8) Если , то

2.4 В п.4 представлены алгебраические формулы т.е. алгебраические выражения, у которых с левой части от знака равенства стоит буква, обозначающая множество, значение которого неизвестно и его следует определить. А с правой части от знака равно стоят множества, значения которых известны. В данном случае это алгебраическое выражение называют алгебраической формулой.

Алгебраическая формула - это алгебраическое выражение, содержащее знак равенства, с левой стороны от которого находится множество, значение которого неизвестно, а справа – множества с известными значениями, исходя из условия задачи. Для определения неизвестного значения множества, стоящего слева от знака  «равно», производят подстановку известных значений величин в правой части от знака «равно» и осуществляют арифметические вычислительные действия, обозначенные в алгебраическом выражении в этой части.

Пример 1:

Дано:                                        Решение:

а=25                         Пусть дано алгебраическое выражение:

х=?                                         х=2а+5.

Данное алгебраическое выражение является алгебраической формулой т.к. слева от знака «равно» стоит множество, значение которого следует найти, а справа - множества с известными значениями.

        Следовательно, можно осуществлять подстановку известного значения для множества «а», для определения неизвестного значения множества «х»:

х=2·25+5=55.        Ответ: х=55.

Пример 2:

Дано:                                        Решение:

а=25                         Алгебраическое выражение   является формулой.

b=4                    Поэтому можно осуществлять подстановку известных

c=8                    значений для множеств, находящихся справа от знака «равно»,

d=3           для определения неизвестного значения множества «k»,

m=20                    стоящего слева:

n=6                                                  Ответ: k=3,2.

k=?                                        

В О П Р О С Ы

1 Что собой представляет алгебраическое выражение?

2 Какие виды алгебраических выражений вы знаете?

3 Какое алгебраическое выражение называют тождественным равенством?

4 Для чего необходимо знать шаблоны тождественных равенств?

5 Какое алгебраическое выражение называют формулой?

6 Какое алгебраическое выражение называют уравнением?

7 Какое алгебраическое выражение называют функциональной зависимостью?