Для коллег

Геометрия.   Краткий конспект

Функциональная грамотность в геометрии — один из важнейших блоков. Сама наука геометрия произошла благодаря запросам повседневной жизни к науке. Геометрия окружает нас повсюду, например, в архитектуре и картах. Иногда она появляется там, где мы её совсем не ждём — в еде, например (мы разберём в разделе несколько задач про это). Поэтому важно развивать геометрическую интуицию и уметь применять геометрические методы на практике.

Одна из ролей, которую играет геометрия в школе, — развитие логики. Большое внимание в школьном курсе геометрии уделяется доказательствам геометрических утверждений, в задачах по планиметрии и стереометрии используется много формул и вычислений. Часто школьники ещё не готовы к такой подаче материала, поэтому важно с начальной школы познакомить ребят с большим количеством несложных наглядных геометрических сюжетов.

В качестве примера практической геометрической задачи обсудим постановку задачи на план местности, которую вам предстоит решить далее.

Задача. Таня на летних каникулах приезжает в гости к дедушке в деревню Антоновка (на плане обозначена цифрой 1). В конце каникул дедушка на машине собирается отвезти Таню на автобусную станцию, которая находится в деревне Богданово. Из Антоновки в Богданово можно проехать по просёлочной дороге мимо реки. Есть другой путь — по шоссе до деревни Ванютино, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Богданово. Третий маршрут проходит по просёлочной дороге мимо пруда до деревни Горюново, где можно свернуть на шоссе до Богданово. Четвёртый маршрут пролегает по шоссе до деревни Доломино, от Доломино до Горюново по просёлочной дороге мимо конюшни и от Горюново до Богданово по шоссе. Ещё один маршрут проходит по шоссе до деревни Егорка, по просёлочной дороге мимо конюшни от Егорки до Жилино и по шоссе от Жилино до Богданово. Шоссе и просёлочные дороги образуют прямоугольные треугольники.

Расстояние от Антоновки до Доломино равно 12 км, от Доломино до Егорки — 4 км, от Егорки до Ванютино — 12 км, от Горюново до Ванютино — 15 км, от Ванютино до Жилино — 9 км, а от Жилино до Богданово — 12 км.

Базовое понятие теории графов.

Краткий конспект

Граф — это конечное множество точек, некоторые из которых соединены линиями. Точки называются вершинами графа, а соединяющие их линии — рёбрами. Каждое ребро соединяет ровно две различные вершины.

Пример. Транспортный граф. В стране есть пять городов: A, B, C, D и E. Дороги соединяют следующие пары городов: A и B, B и C, B и D, C и D, D и E. Это можно изобразить в виде следующего графа:

Иногда графы бывает удобно задавать перечислением множества вершин и множества рёбер. Например, граф на рисунке выше можно задать следующим образом: это граф c вершинами {A,B,C,D,E} и рёбрами {AB,BC,BD,CD,DE}.

Пример. Социальный граф. Андрей, Вася, Саша, Дима и Евгений отправились в поход. До начала похода Андрей был знаком с Васей, Сашей и Димой, а Саша — с Димой, другие ребята не были знакомы между собой. Это можно изобразить в виде следующего графа:

Пример. Турнирный граф. В школе между пятью классами проходил однокруговой турнир по футболу. К середине марта три класса сыграли все матчи между собой, а оставшиеся два класса не сыграли ни одного матча. К середине апреля все матчи были сыграны. Это можно изобразить в виде следующих графов:

Можно привести и другие примеры, когда графы возникают естественным образом: граф авиасообщений, генеалогическое древо.

Полный граф — это граф, в котором каждые две вершины соединены ребром.