Школьный тур олимпиады по математике

7 класс

1. Найдите какое-нибудь натуральное число такое, что если к нему прибавить сумму его цифр, то получится 2222.

2. Мама купила 10 больших пирожных, 7 средних и 4 маленьких. Маленькое пирожное весит вдвое меньше среднего, а большое — втрое больше маленького. Как маме поделить их между шестью детьми, чтобы общий вес пирожных, доставшихся каждому, был одним и тем же, если разрезать пирожные она не хочет?

3. Поезд, двигаясь с постоянной скоростью, к 17:00 проехал в 1,2 раза больший путь, чем к 16:00. Когда поезд выехал?

4. Как разрезать клетчатый квадрат размером 6х6 клеточек на четыре одинаковые фигуры периметра 16 каждая, если резать можно только по сторонам клеточек? Сторона клеточки равна 1.

5. Двадцать семь одноклассников ели конфеты на первой и на второй переменах, причем на второй перемене каждый съел на одну конфету больше, чем на первой. Петя сказал, что он посчитал общее количество съеденных конфет и получил ответ 210. Правильно ли он посчитал? Объясните свой ответ.  

10 класс

1. Натуральное число n умножили на сумму его цифр и получили 1000. Найдите все такие числа n.

2. При каких значениях параметра a уравнения и  будут иметь общий корень? Найдите этот корень.

3. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла проведена высота CD. Найдите углы треугольника ABC , если известно, что площадь треугольника DBC в 3 раза больше площади треугольника ADC.  

4. В школьном турнире по волейболу каждая команда встречается с каждой по одному разу. Перед началом турнира в нем решила принять участие еще одна команда, в результате чего количество встреч, необходимых для проведения турнира, увеличилось на 20%. Сколько команд участвовало в первенстве?

5. Сумма нескольких целых чисел равна 100. Может ли сумма кубов этих чисел равняться 800?