Разработки уроков, классных часов, мероприятий

Тема: Понятие модуля. Решение уравнений, содержащих знак модуля.

Цели: формирование у учащихся умений и навыков решения уравнений, содержащих модуль; развитие логического мышления.

Задачи: расширение представлений учащихся о методах решения уравнений, содержащих модуль.

Ход урока:

Орг. момент.

Изучение понятия модуля.

Модуль числа а есть расстояние от нуля до точки а. /а/= а, если а ≥ 0,

                                                                                                    -а,если < 0.

Модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками числовой прямой, соответствующими этим числам. Так, /а-b/ есть расстояние между точками а и в числовой прямой; /а/= /а - 0/ - расстояние между точками а и 0; /а +b/= /а – (b)/ - расстояние между точками а и –b числовой прямой.

Решить уравнение /х - b/ = а – значит, найти все точки х числовой оси, расстояние от каждой из которых до числа в равно а.

Понятно, что

Если а > 0, то х - b = ±а;

Если а = 0, то х = b;

Если а < 0, то решений нет.

Решим уравнение алгебраическим способом.

1.Рассмотрим уравнение в общем виде / / =  .

Оно равносильно совокупности двух систем:

=  ,

  ≥ 0;

= -,

≥  0.

2.Рассмотрим уравнение вида / / = / /  . Оно равносильно совокупности двух уравнений: =  и     = -   .

Если   и    - линейные функции, то лучше всего обе части возвести в квадрат, так как обе части уравнения неотрицательны в силу определения модуля.  

Закрепление.

Пример 1.

Решим уравнение /х - 7/ = 4.

х- 7 = ±4 , т. е. х1=11, х2 = 3.

Ответ: х1=11, х2 = 3.

Пример 2.

/х2 -5х + 7 / = /2х - 5/.

х2 -5х + 7  =  2х – 5,

х2 -5х + 7  =  5 - 2х;

х2 – 7х + 12 =0,

х2  -3х +2 = 0;

х1 = 3, х 2 = 4,

х 3 = 1, х 4= 2.

Ответ: 1; 2; 3; 4.

Пример 3.

/5 - х/ = /х + 3 /.

Обе части уравнения неотрицательны, возведем в квадрат:

25 – 10х + х2  = х2 + 6х + 9;

-16х = -16;

х = 1.

Ответ: 1.

Пример 4.

/х2 + 3х - 10 / = 3х - 1.

Это уравнение равносильно совокупности двух систем:

х2 + 3х - 10 = 3х – 1,

3х – 1 ≥ 0;

х2 + 3х - 10 / = 1 - 3х,

3х – 1 ≥ 0;

х2 – 9 = 0,

х ≥ 1\3;

х2 + 6х – 11 = 0,

х  ≥1\3;

х1 =- 3, х 2 = 3,

х > 1\3;

х 3 = -3 – 2 √5 , х 4=-3 + 2 √5,

х > 1\3.

Из корней уравнению удовлетворяют только корни 3 и -3 + 2 √5.

Ответ: 3; -3 + 2 √5.

Пример 5.

х2 – 5/х/ + 4 = 0.

Применим другой подход к решению задачи.

Так как х2  = / х /2 , то / х /2  - 5/х/ +4 = 0.

Пусть /х/ = t, где  t ≥  0 согласно определения модуля, тогда

t2 – 5t + 4 = 0.

Откуда t1 = 4,  t2 = 1 – оба удовлетворяют условию t ≥  0.

Значит,

/х/ = 1,              /х/ = 4,

х = ± 1.             /х/ = ± 4.

Ответ: ± 1; ± 4.

4.Задание на дом.

1) / 5- 4х / = 1;

2) / 5х – 3 / =4;  

3) / 2 – 5х / = 16;

4) /2х - 3/ = 3 – 2х;

5) /3х - 2/ + х = 11;

6) / 3х - 5/ = /5 – 2х/;

7) .( х2 – 5х + 6)2 – 5/ х2 – 5х + 6 / + 6 = 0.

Разработка урока по теме:

«Понятие модуля. Решение уравнений, содержащих знак модуля.»

( 9 класс)

Учитель математики  МОУ СОШ № 9 Кировского района ГО г. Уфа: Азарова О.Е.

Разработка урока по теме:

«Применение метода интервалов к решению уравнений,

содержащих знак модуля.»

( 9 класс )

Учитель математики  МОУ СОШ № 9 Кировского района ГО г. Уфа: Азарова О.Е.

Тема: Применение метода интервалов к решению уравнений, содержащих знак модуля.

Цели: формирование у учащихся умений и навыков решения уравнений, содержащих модуль; применение метода интервалов; развитие логического мышления и умения анализировать.

Задачи: расширение представлений учащихся о методах решения уравнений, содержащих модуль.

Ход урока:

1.Орг. момент.

2. Проверка домашнего задания.

3.Изучение нового материала.

Пример 1.

/ х + 1 / + / х – 5 / = 20.

Решим уравнение методом интервалов.

а)Найдем корни в выражениях, стоящих под знаком модуля:

х + 1 = 0                   х – 5 = 0

х = -1                        х = 5

б) Разбиваем числовую прямую этими корнями на промежутки, включая корни одним концом, определяя знаки подмодульных выражений на каждом числовом промежутке. Для этого из каждого промежутка берем число и смотрим знак в модуле.

Знак ( х + 1)        -                                      +                                    +

Знак ( х- 5)            -                                    -                                     +

                            х≤-1                         -1<х≤5                           х>5

в) Если  подмодульное выражение отрицательного знака, то раскрывая модуль, ставим перед выражением знак минус, если же положительного знака, то , открывая модуль, знак не меняем.

х≤-1          

-( х + 1  ) – ( х – 5 ) = 20;

-2х = 16;

х = -8.

-8 удовлетворяет условию х≤-1.        

-1<х≤5              

х + 1 –( х – 5 ) = 20 ;

6  ≠ 20.

Значит, на промежутке  -1<х≤5  корней нет.

х>5

х + 1 + х – 5 = 20;

2х = 24;

х = 12.  

     12 удовлетворяет условию х>5.

Ответ: -8; 12.  

4. Закрепление изученного.

Пример 2.

/ х + 2/ - / х – 3 / + / х – 1 / = 4.

На числовой оси отметим нули выражений, стоящих под знаком модуля:  х = -2, х = 3, х = 1.

        х< -2                       -2≤ х < 1                       1≤х<3                x≥3

Знак ( х + 2 )    -                     +                              +                           +

Знак ( х – 3 )    -                      _                              _                           +

Знак ( х – 1 )    -                      _                              +                           +

Рассмотрим исходное уравнение на каждом из четырех интервалов.

Если х ≥ 3, то ( х + 2 ) – ( х – 3 ) + ( х – 1 ) = 4, х = 0, что не отвечает условию х ≥ 3.

Если 1≤х<3 , то ( х + 2 ) + ( х – 3 ) + ( х – 1 ) = 4, х = 2.

Если -2≤ х < 1, то ( х + 2 ) + ( х – 3 ) - ( х – 1 ) = 4, х = 4, что не отвечает условию  -2≤ х < 1.

Если        х< -2, то - ( х + 2 ) + ( х – 3 ) - ( х – 1 ) = 4, х = - 8.

      Ответ : -8; 2.

5.Работа в группах.

1)/2х – 1 / + 6х = / 2х – 4 / + 15,

/ х + 5/ - / х – 3 / +  / х - 1 / = 4,

/ х + 4 / + 2х =  / х + 1 / - 7.

2) / х + 3 / - 7х = / х + 6 / + 11,

/ х - 5 / + 3х = /2 х - 4 / + 11,

/ х - 2 / + / х + 4 / - / х – 3  / = 5.

6.Анализ результатов.

7.Задание на дом:

      / х – 2  / - / х – 1  / + / х + 1 / = 3;

      / х - 2 / - / х - 1 / + / х + 2 / = 5;

     / х - 1 / + / х - 3 / = 2;

     / 7х - 12 / - / 7х - 11 / = 1;

     / х + 4 / + / х - 3 / = 7.

Разработка урока по теме:

«Решение неравенств с модулем.»

(9 класс)

Учитель математики  МОУ СОШ № 9 Кировского района ГО г. Уфа: Азарова О.Е.

Тема: Решение неравенств с модулем.

Цели: формирование умений решения неравенств, содержащих знак абсолютной величины;   развитие логического мышления.

Задачи: расширение представлений учащихся о методах решения неравенств, содержащих модуль.

Ход урока:

1.Орг. момент.

2.Изучение нового материала.

Одним из методов решения неравенств, содержащих знак модуля, является метод интервалов, который был рассмотрен при решении уравнений с модулем.

Разобьем числовую ось точками, в которых обращаются в нуль выражения, стоящие под знаком модуля.

Выбирая на этих промежутках контрольные точки, проверяем, удовлетворяется ли на них заданное неравенство или нет. Ответом к задаче служит объединение промежутков, где выполняется данное неравенство.

Пример 1.

.

Решение. Разобъем числовую ось точками  и х=1\3 на промежутки  ,  и .

1)Рассмотрим промежуток . Взяв контрольную точку, например, , убеждаемся, что  и , заменяя модули, получаем равносильное неравенство:

                .

После элементарных упрощений получаем . Значит, решением неравенства на рассматриваемом промежутке является множество

2)Перейдем на следующий промежуток . Взяв контрольную точку , убеждаемся, что  и . Неравенство упрощается:

,    ,   .

Решением неравенства является множество .

3)Перейдем к последнему промежутку . Убедимся, что на нем  и . Неравенство равносильно следующему:

,         ,         ,         .

Получили решение . Осталось объединить решения, полученные в трех случаях: =.

Ответ: .

Рассмотрим еще один способ решения неравенств с модулем, а именно возведение обеих частей в квадрат.

А)Неравенство вида / f (х) / < / g(x) / ( вместо знака , может быть знак ≤).

Так как обе части неотрицательны, возведем их в квадрат:

f 2 (х) <  g 2 (x),

f 2 (х) - g 2 (x) < 0,

(f (х)  - g(x))( f (х)  + g(x)) < 0.

Б) Неравенство вида / f (х) / <  g(x) , если g(x) < 0 решений не имеет. Поэтому неравенство вида / f (х) / <  g(x) равносильно системе неравенств:

 g(x) ≥ 0,

 f (х)  <  g(x),    

  g(x) ≥ 0,

 f 2(х)  <  g2(x),    

g(x) ≥ 0,

(f (х)  - g(x))( f (х)  + g(x)) < 0.

3. Закрепление изученного.

Пример 2.

/ х + 1 / + / х – 2 / ≤ 2х – 1.

Применим метод интервалов: х = -1, х = 2.

Рассмотрим промежуток х > 2. Взяв контрольную точку, убеждаемся, что  х + 1 > 0  и х – 2 > 0, заменяя модули, получаем равносильное неравенство:

          х + 1 + х – 2 ≤ 2х – 1,

   -1≤ -1.

Решением полученного неравенства является любое значение переменной х.

Учитывая рассматриваемый промежуток, получаем, что х > 2.

2)Перейдем на следующий промежуток     -1 < х ≤ 2.

Взяв контрольную точку, убеждаемся, что х + 1 > 0 и х – 2 < 0. Получаем неравенство:

х + 1 – х + 2 ≤ 2х – 1,

-2х ≤ -4,

х ≥ 2.

х = 2 – решение неравенства на промежутке   -1 < х ≤ 2.

3) Перейдем к последнему промежутку х ≤ -1. Видим, что х + 1<0 и х – 2 < 0.

  Неравенство равносильно следующему:

- х – 1 – х + 2  ≤ 2х – 1,

-4х ≤ -2,

х ≥ 1\2.

Пересекая х ≤ -1 и х ≥ 1\2, получаем, что на рассматриваемом промежутке решений нет.

Объединим полученные решения х > 2 и х = 2; х ≥ 2 – решение исходного неравенства.

Ответ: х ≥ 2.

Пример 3.

Найти ОДЗ функции у = √/х + 4 / - / 5 – х /.

ОДЗ функции определяется неравенством

/х + 4 / - / 5 – х / ≥ 0,

/х + 4 / ≥ / 5 – х /,

( х + 4 )2 ≥ ( 5 – х )2,

( х + 4 )2 - ( 5 – х )2 ≥ 0,

( х + 4 – 5 + х)(х + 4 + 5 – х)  ≥ 0,

9(2х – 1)   ≥ 0,

х ≥ 1\2.

Ответ: D(y)= ( 1\2; +∞ ).

4. Самостоятельная работа.

1)/ х / + / х – 1 / < 5;

2)/2х + 1 / - / 5х – 2 / ≥ 1;

3)/2х - 1/ < /4х + 1/.

5. Задание на дом:

/х + 8 / ≤ 3х -1;

/2х + 1/ - /5х - 2/ ≥ 1;

/х - 3/ > 2х;

/3х + 4/ > 5x;

/5х - 3/ > 6х - 2.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 9

Кировского района городского округа город Уфа РБ

Рассмотрено на методическом                                                        «УТВЕРЖДАЮ»

объединении и рекомендовано                                                       Директор школы

к утверждению                                                                      ____________/Р.З. Юлбаев /

протокол №___от___________2012г.                          приказ №____от_________2012г.

РАБОЧАЯ   ПРОГРАММА

по  МАТЕМАТИКЕ

для    7  класса

на 2012-2013 учебный год

Составитель:

учитель математики

Азарова Ольга Евгеньевна

Уфа-2012

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Рабочая программа учебного предмета математики  для 7 класса МОУ Дятьковская средняя общеобразовательная школа № 5 Брянской области составлена на основе:

1. Программы. Алгебра.  7-9 классы /авт.-сост. И.И. Зубарева, А.Г.Мордкович.-2-е изд., испр. и доп. -М.: Мнемозина, 2009. – 63с./

2. Программы общеобразовательных учреждений. Геометрия. 7-9 классы /авт.-сост. Т.А.Бурмистрова, Л.С. Атанасян и др. – М.: «Просвещение», 2009/

Реализация рабочей программы осуществляется с использованием учебно-методического комплекта:

1. Мордкович А.Г. Алгебра. 7 кл.: В двух частях: учебник, задачник. М.: Мнемозина, 2010.

2. Л.А.Александрова. Алгебра-7. Контрольные работы (под ред. А.Г.Мордковича). М.: Мнемозина, 2009.

3. Л.А.Александрова. Алгебра-7. Самостоятельные работы. (под ред. А.Г.Мордковича). М.: Мнемозина, 2006

4. А.Г. Мордкович. Алгебра-7-9.  Методическое пособие для учителя. М.: Мнемозина, 2000

5. А.Г. Мордкович, Е.Е.Тульчинская. Алгебра-7-9. Тесты  М.: Мнемозина, 2004.

6. Атанасян Л.С. Геометрия: учебник для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2010

7. Атанасян Л.С. Геометрия: рабочая тетрадь для 7 кл. общеобразовательных учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков, И.И. Юдина. – М.: Просвещение, 2008.

8. Атанасян Л.С. Изучение геометрии в 7-9 классах: методические рекомендации для учителя  [Текст] / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков и др. – М.: Просвещение, 2003.

9. Зив Б.Г. Дидактические материалы по геометрии для 7 класса./ Б.Г.Зив, В.М. Мейлер. – М.: Просвещение, 2007.

На изучение математики на базовом уровне согласно Федеральному базисному плану отводится 170 часов, 5 часа в неделю.

Математика играет важную роль в общей системе образования. Наряду с обеспечением высокой математической подготовки учащихся, которые в дальнейшем в своей профессиональной деятельности будут пользоваться математикой, важнейшей задачей обучения  является  обеспечение некоторого гарантированного уровня математической подготовки всех школьников  независимо от специальности, которую ли изберут в дальнейшем. Для продуктивной деятельности в современном информационном мире требуется достаточно прочная базовая математическая подготовка. Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время все шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, внедряется  в традиционно  далекие от нее области.

В ходе освоения содержания курса учащиеся получают возможность:

развить представления о числе и роли вычислений в человеческой практике; сформировать практические навыки выполнения устных, письменных, инструментальных вычислений, развить вычислительную культуру;

овладеть символическим языком алгебры, выработать формально-оперативные алгебраические умения и научиться применять их к решению математических и нематематических задач;

изучить свойства и графики элементарных функций, научиться использовать функционально-графические представления для описания и анализа реальных зависимостей;

развить изобразительные умения, освоить основные факты и методы планиметрии;

получить представления о статистических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, об особенностях выводов и прогнозов, носящих вероятностный характер;

развить логическое мышление и речь – умениия логически обосновывать суждения, проводить несложные систематизации, приводить примеры и контрпримеры, использовать различные языки математики (словесный, символический, графический) для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;

сформировать представления об изучаемых понятиях и методах как важнейших средствах математического моделирования реальных процессов и явлений.

Изучение математики на ступени основного общего образования направлено на достижение следующих целей:

овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования;

интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе: ясность и точность мысли, критичность мышления, интуиция, логическое мышление, элементы алгоритмической культуры, пространственных представлений, способность к преодолению трудностей;

формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;

воспитание культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для научно-технического прогресса.

Основные развивающие и воспитательные цели

Развитие:

Ясности и точности мысли, критичности мышления, интуиции, логического мышления, элементов алгоритмической культуры, пространственных представлений, способности к преодолению трудностей;

Математической речи;

Сенсорной сферы; двигательной моторики;

Внимания; памяти;

Навыков само и взаимопроверки.

Формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов.

Воспитание:

Культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для научно-технического прогресса;

Волевых качеств;

Коммуникабельности;

Ответственности.

Общеучебные умения, навыки и способы деятельности.

В ходе преподавания математики в основной школе, работы над формированием у учащихся перечисленных в программе знаний и умений, следует обращать внимание на то, чтобы они овладевали умениями общеучебного характера, разнообразными способами деятельности, приобретали опыт:

планирования и осуществления алгоритмической деятельности, выполнения заданных и конструирования новых алгоритмов;

решения разнообразных классов задач из различных разделов курса, в том числе задач, требующих поиска пути и способов решения;

исследовательской деятельности, развития идей, проведения экспериментов, обобщения, постановки и формулирования новых задач;

ясного, точного, грамотного изложения своих мыслей в устной и письменной речи, использования различных языков математики (словесного, символического, графического), свободного перехода с одного языка на другой для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;

проведения доказательных рассуждений, аргументации, выдвижения гипотез и их обоснования;

поиска, систематизации, анализа и классификации информации, использования разнообразных информационных источников, включая учебную и справочную литературу, современные информационные технологии.

Содержание предлагаемого курса полностью соответствует "Обязательному минимуму содержания образования по математике, рекомендованному Министерством образования РФ и Стандарту среднего образования.

Результаты изучения рабочей программы по математике для 7 класса представлены в Требованиях к уровню подготовки и задают систему итоговых результатов обучения, которых должны достигать все учащиеся, оканчивающие основную школу, и достижение которых является обязательным условием положительной аттестации ученика за курс основной школы. Эти требования структурированы по трем компонентам: «знать/понимать», «уметь», «использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни». При этом последние два компонента представлены отдельно по каждому из разделов содержания.

Требования к математической подготовке учащихся:

В результате изучения учебного курса "математика" в 7 классе ученик должен:

Знать/ понимать: 

существо понятия математического доказательства; примеры доказательств;

существо понятия алгоритма; примеры алгоритмов;

как используются математические формулы, уравнения и неравенства; примеры их применения для решения математических и практических задач;

как математически определенные функции могут описывать реальные зависимости; приводить примеры такого описания;

как потребности практики привели математическую науку к необходимости расширения понятия числа;

вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира; примеры статистических закономерностей и выводов;

каким образом геометрия возникла из практических задач землемерия; примеры геометрических объектов и утверждений о них, важных для практики;

смысл идеализации, позволяющей решать задачи реальной действительности математическими методами, примеры ошибок, возникающих при идеализации;

пользоваться языком геометрии для описания предметов окружающего мира;

распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение;

изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию задач; осуществлять преобразования фигур;

вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов), в том числе  находить стороны, углы треугольников;

решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними, применяя дополнительные построения, алгебраический аппарат;

проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя известные теоремы, обнаруживая возможности для их использования;

Уметь: 

составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач; осуществлять в выражениях и формулах числовые подстановки и выполнять соответствующие вычисления, осуществлять подстановку одного выражения в другое; выражать из формул одну переменную через остальные;

выполнять основные действия со степенями с натуральными показателями, с многочленами и с алгебраическими дробями; выполнять разложение многочленов на множители; выполнять тождественные преобразования рациональных выражений;

решать линейные уравнения, системы двух линейных уравнений;

решать линейные неравенства с одной переменной и их системы;

решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений, исходя из формулировки задачи;

изображать числа точками на координатной прямой;

определять координаты точки плоскости, строить точки с заданными координатами; изображать множество решений линейного неравенства;

находить значения функции, заданной формулой, таблицей, графиком по ее аргументу; находить значение аргумента по значению функции, заданной графиком или таблицей;

определять свойства функции по ее графику; применять графические представления при решении уравнений, систем, неравенств;

описывать свойства изученных функций, строить их графики;

Использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

выполнения расчетов по формулам, составления формул, выражающих зависимости между реальными величинами; нахождения нужной формулы в справочных материалах;

моделирования практических ситуаций и исследования построенных моделей с использованием аппарата алгебры;

описания зависимостей между физическими величинами соответствующими формулами при исследовании несложных практических ситуаций;

интерпретации графиков реальных зависимостей между величинами;

описания реальных ситуаций на языке геометрии;

решения практических задач, связанных с нахождением геометрических величин (используя при необходимости справочники и технические средства);

построений геометрическими инструментами (линейка, угольник, циркуль, транспортир);

 выполнять задачи из разделов курса VII класса: признаки равенства треуг-ов; соотношения между сторонами и углами треугольника; признаки и свойства параллельных прямых.

 Знать понятия: теорема, свойство, признак.

Учебно-тематическое планирование

Учебно-методическое обеспечение

Календарно-тематическое и поурочное планирование

7 класс