Группа Мг 21, Техническая механика, 15.10.2021, 1 пара

Пространственная система сил

1. Момент силы относительно центра как вектор.

2. Момент силы относительно оси.

3. Зависимость между моментом силы относительно центра и относительно оси.

4. Теорема Вариньона о моменте силы относительно оси.

5. Момент пары сил как вектор.

6. Приведение произвольной пространственной системы сил к данному центру.

7. Условия равновесия произвольной пространственной системы сил.

1. Момент силы относительно центра как вектор

Для любой силы в пространстве, вращающий эффект характеризуется тремя элементами (рис. 3.1):

1.  величиной (модулем) момента, равным F∙h;
2.  плоскостью поворота ОАВ;
3.  направлением поворота в этой плоскости.

Рис. 3.1

Все эти три элемента характеризуются одним вектором , приложенным в центре О, равным по величине F∙h (произведению модуля силы на плечо), перпендикулярным плоскости поворота ОАВ и направленным в сторону, откуда поворот, совершаемый силой F, виден против хода часовой стрелки. Таким образом, вектор момента , одновременно характеризует величину, плоскость и направление поворота силы  относительно центра О и определяется векторным произведением:

.                                                (3.1)

Момент силы относительно центра О равен векторному произведению радиуса - вектора точки приложения силы на вектор силы.

Уравнение (3.1) определяет все три элемента момента силы, в том числе его величину:

.                                        (3.2)

2. Момент силы относительно оси

Пусть сила , приложенная в точке А, стремится повернуть тело вокруг оси z (рис. 3.2). Определим ее вращательный эффект. Проведем через точку А плоскость ху, перпендикулярную оси z, и разложим силу  на составляющие:  параллельную оси z и в плоскости ху. Сила II z и не может повернуть тело относительно оси (она стремится сдвинуть его вдоль оси). Следовательно, весь вращающий эффект, создаваемый силой , будет определяться моментом ее составляющей . Из рис. 3.2 видно, что момент  относительно оси z равно моменту этой же силы относительно точки О (точки пересечения оси z с плоскостью ху). Момент же силы  на основании уравнения (2.1) равен . Тогда окончательно будем иметь:

.                                (3.3)

Рис. 3.2

Определение: Момент силы относительно оси - алгебраическая величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, взятому относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Момент считается положительным, если с положительного конца оси z поворот, который стремится совершить проекция силы, виден происходящим против хода часовой стрелки, и отрицательным, если по ходу стрелки часов. На рис. 3.2 момент силы  относительно оси z - отрицательный.

Частные случаи:

1. Если сила  параллельна оси z, то ее момент равен нулю , т.к. .

2.  Если сила  пересекает ось z, то ее момент равен нулю , т.к. h=0.
3.  Если сила  перпендикулярна оси z, то ее момент равен произведению модуля силы на ее расстояние до оси .

Аналитические формулы для вычисления моментов силы относительно оси. Пусть сила , проекции которой на оси ,,, приложена к телу в точке  с координатами () (рис. 3.3). На основании уравнения (3.3)

По теореме Вариньона (уравнение 2.3):

.

Рис. 3.3                        Рис. 3.4

Из рис. 3.3 следует, что , а . С учётом этих значений . Аналогично вычисляются моменты относительно других осей. В результате имеем:

,

,                                     (3.4)

.

3. Зависимость между моментом силы относительно центра и относительно оси

Пусть на тело в точке А действует сила  (рис. 3.4). Проведём ось Z и возьмём на ней произвольно точку О. Момент силы  относительно центра О будет определяться вектором пл. ОАВ по величине (уравнения 3.1 и 3.2) плОАВ.

Через любую точку О ' проведём плоскость хуZ и найдём проекцию силы F на эту плоскость . Тогда на основании уравнений (3.3 и 2.2) =2плО'А'В'.

Так как О'А'В' является проекцией ОАВ на плоскость ху, то пл. О'А'В' = пл.OABcos, где γ - угол между плоскостями этих треугольников, равный углу между перпендикулярами к плоскостям. Умножая обе части последнего равенства на два, получим с учётом предыдущих уравнений:

.                        (3.5)

Определение: Проекция вектора момента силы относительно центра на любую ось равна моменту данной силы относительно этой же оси.

4. Теорема Вариньона о моментах силы относительно оси

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей относительно любого центра (уравнение 2.3) для произвольной системы сил в векторной форме определяется равенством:

Проекция этого равенства на координатные оси, согласно формуле (3.5), будет иметь вид:

.                                        (3.6)

Следовательно, теорема Вариньона справедлива и для моментов относительно любой оси. Этой теоремой удобно пользоваться при решении задач для нахождения моментов силы относительно координатных осей, проектируя эту силу на координатные оси.

5. Момент пары сил как вектор

Действие пары сил на тело в общем случае, как и момента силы, характеризуется тремя элементами:

1)        величиной (модулем) момента пары;

2)        плоскостью действия;

3)        направлением поворота в этой плоскости.

Все эти три элемента, по аналогии с моментом силы, можно изображать вектором , равным по модулю моменту пары сил, перпендикулярным плоскости действия и направленным в сторону, откуда поворот, совершаемый парой сил, виден против хода часовой стрелки. М одуль момента пары равен моменту одной из сил пары не её плечо. Следовательно .

На основании формулы (3.1) момент пары можно определить по величине и направлению векторным уравнением:

.                                (3.7)

Так как пару сил можно располагать где угодно в плоскости ее действия или плоскости ей параллельной, то вектор  можно прикладывать в любой точке тела. Такой вектор называется свободным.

6. Приведение произвольной пространственной системы сил к данному центру

Применяя метод Пуансо, произвольную пространственную систему сил, так же как и плоскую, можно привести к одной силе, приложенной в центре приведения, которая называется главным вектором

,                                (3.8)

и одной паре, которая называется главным моментом относительно центра приведения:

.                (3.9)

Численное значение главного вектора  определяется через его проекции:

,

Следовательно,

.                        (4.10)

Главный момент  по величине так же, как и главный вектор , определяется через проекции на оси:. Но по соответствующей теореме статики (§15)

,

следовательно,

.                (4.11)

7.  Условия равновесия произвольной пространственной системы сил

Необходимые и достаточные условия равновесия произвольной пространственной системы сил выражаются равенствами =0, . Эти векторы согласно уравнениям (3.10) и (3.11) будут равны нулю, когда каждый член подкоренных выражений уравнений (3.10) и (3.11) будет удовлетворять условиям:

;

.                        (3.12)

Таким образом, для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из трёх координатных осей и суммы их моментов относительно этих осей были равны нулю.

По механическому смыслу первые три уравнения показывают, что тело не имеет перемещений относительно координатных осей, а последние три уравнения - и не вращается относительно этих же осей, т.е. находится в равновесии.