Главные вкладки
Проблемное изложение в математике
Проблемное изложение в математике
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 konspekty_s_primeneniem_problemnogo_izlozheniya.docx | 103.86 КБ |
| didakticheskie_materialy.docx | 189.41 КБ |
Предварительный просмотр:
Анализ темы «Прогрессии».
Рассмотрим анализ темы по учебнику «Алгебра. Учебник для 9 кл. средней школы / под ред. Ш.А. Алимова. – М.: Просвещение, 2012 г., глава IV, §18-21».
В теме можно выделить следующие дидактические единицы:
- Определение понятия числовая последовательность;
- Способы задания числовых последовательностей: формулой n-го члена и рекуррентной формулой;
- Определение понятия арифметическая прогрессия;
- Определение понятия геометрическая прогрессия;
- Характеристическое свойство арифметической прогрессии;
- Характеристическое свойство геометрической прогрессии;
- Формула n-ого члена арифметической прогрессии;
- Формула n-ого члена геометрической прогрессии;
- Две формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии:
*n и
- Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем q
1:
Рассмотрим некоторые дидактические единицы подробнее.
Арифметическая прогрессия: «Числовая последовательность a1, a2, a3,…,an,… называется арифметической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство an+1=an+d, где d - некоторое число».
Формально-логическое: через род и видовые отличия, определяемое понятие - арифметическая прогрессия, родовое понятие – числовая последовательность a1, a2, a3,…,an,…, видовое отличие задается индуктивно.
Понятие разности арифметической прогрессии вводится символьно: d=an+1 - an.
Понятие арифметической прогрессии является одним из ведущих понятий в данной теме. На данном понятии основаны решения простейших заданий, доказательство свойства арифметической прогрессии о среднем арифметическом, выведение формулы n-го члена арифметической прогрессии, а также последующий материал данной главы, а именно доказательство теоремы о сумме n первых членов арифметической прогрессии, приведенное в параграфе 19 «Сумма n первых членов арифметической прогрессии».
Ранее в курсе алгебры учащиеся не встречались с понятием арифметической прогрессии. Этот материал является новым для них. Структура введения понятия арифметической прогрессии также является новой, так как впервые видовое отличие задается индуктивно. Кванторы отсутствуют.
Содержание понятия арифметической прогрессии дополняют свойство арифметической прогрессии о среднем арифметическом: «Каждый член арифметической прогрессии а1, а2, а3,…,аn,…, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов: » и формула n-го члена арифметической прогрессии: аn=a1+(n-1)d.
Доказательство свойства арифметической прогрессии о среднем арифметическом не является для учащихся новым, доказательство осуществляется на основе определения арифметической прогрессии и с помощью алгебраических действий.
Свойство арифметической прогрессии о среднем арифметическом доказывается следующим способом: выражаются предыдущий и последующий члены через n-ый член, затем складываются полученные равенства, далее выражается n-ый член.
Выведение формулы n-го члена арифметической прогрессии основывается на определении арифметической прогрессии и осуществляется методом неполной индукции, что является для учащихся новым.
Свойство арифметической прогрессии о среднем арифметическом и формула n-го члена арифметической прогрессии доказываются на основе определения арифметической прогрессии, то есть с помощью рекуррентной формулы an+1=an+d, поэтому можно формировать у учащихся умения применять рекуррентную формулу для доказательства теорем.
В тексте нужные правила не выделены, но проводя эвристическую беседу с учащимися, можно прийти к доказательству свойства арифметической прогрессии о среднем арифметическом и выведению формулы n-го члена арифметической прогрессии. Учащимся известно только определение арифметической прогрессии. Следовательно, учащимся может быть предложено, получить доказательство свойства арифметической прогрессии о среднем арифметическом и вывести формулу n-го члена арифметической прогрессии, используя определение арифметической прогрессии, то есть рекуррентную формулу. Алгоритмическое описание действий давать не обязательно, поскольку доказательство является несложным.
Метод проблемного изложения можно применять, создавая проблемную ситуацию при введении понятия « n-ого члена арифметической прогрессии». Можно поставить следующую проблемную ситуацию.
Задача 1. На складе 1 числа было 50 тонн угля. Каждый день в течение месяца на склад приходит машина с 3 тоннами угля. Сколько угля будет на складе 30 числа, если в течение этого времени уголь со склада не расходовался.
Задача 2. Дана числовая последовательность 1,-4,-9,… Найти а1,а2,а3,а100.
Учащиеся без труда могут вычислить а1,а2,а3, однако, когда требуется найти а100 возникает проблемная ситуация, так как находить все предыдущие члены последовательности, а их 99, не удобно и занимает много времени. Поэтому, чтобы вычислить а100,а1000 и другие, необходимо иметь общую формулу для их вычисления, которая имеет название «формула n-члена последовательности». Образовалась учебная проблема, в результате решения которой ученики получают новые знания.
Задача 3. Джентльмен получил наследство. В первый месяц он истратил 100$, а каждый следующий месяц он тратил на 50$ больше, чем в предыдущий. Сколько $ он истратил за год; два; десять лет?
Перед учащимися возникает проблема: данные задачи имеют широкое практическое значение, однако, отсутствуют необходимые знания для решения поставленных задач. Учитель сообщает учащимся, что не только в математике, но и на практике в жизни часто встречаются задачи, для решения которых используются такие последовательности, то есть последовательности, в которых каждый член равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Такие последовательности имеют специальные названия: арифметическая прогрессия.
В параграфе 19 «Сумма n первых членов арифметической прогрессии» вводится понятие суммы n первых членов арифметической прогрессии в символьной записи: . Оно также является одним из ведущих понятий в теме. На данном понятии основано доказательство теоремы о сумме n первых членов арифметической прогрессии.
Ранее в курсе алгебры учащиеся не встречались с понятием суммы n первых членов арифметической прогрессии. Этот материал является новым для них. Понятие суммы n первых членов арифметической прогрессии вводится символьной записью, что не является новым для учащихся. Кванторы отсутствуют.
Содержание понятия суммы n первых членов арифметической прогрессии дополняет теорема о сумме n первых членов арифметической прогрессии: «Сумма n первых членов арифметической прогрессии равна ».
Для доказательства теоремы о сумме n первых членов арифметической прогрессии используются понятие суммы n первых членов арифметической прогрессии, определение арифметической прогрессии и равносильные преобразования. Данное доказательство осуществляется синтетическим методом, что не является для учащихся новым.
Для доказательства теоремы о сумме n первых членов арифметической прогрессии используется следующий прием: записывают эту сумму дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания их номеров, а во втором случае в порядке убывания одна под другой. Получают, что сумма каждой пары членов прогрессии, расположенные друг под другом, равна (a1 + an). В итоге, сложив почленно выражения и выполнив преобразования, получают нужную формулу.
Теорема о сумме n первых членов арифметической прогрессии доказывается синтетическим методом, поэтому можно формировать у учащихся умения доказывать теоремы данным методом.
В тексте нужные правила выделены. Алгоритмическое описание действий давать не обязательно, поскольку доказательство является несложным.
В данном параграфе метод проблемного изложения можно применить при постановке проблемы перед изучением теоремы «Сумма n- первых членов арифметической прогрессии».
Пример. Учитель начинает урок с исторической справки.
Историческая справка: в XVIII веке в одной из школ учитель попросил учеников найти сумму 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100. И к его удивлению через 2 минуты один из учеников дал ответ. Это был К.Гаусс, впоследствии великий ученый-математик, имеющий много замечательных открытий в области алгебры, теории чисел. Как Гауссу так быстро удалось подсчитать эту сумму?
Формулируется проблема: как найти сумму n-первых членов прогрессий, не выполняя последовательных вычислений.
Задание: найти сумму первых ста натуральных чисел
Обсуждая, ученики находят свойство членов двух прогрессии, равноудаленных от концов и пробуют найти результат, используя это свойство.
В тетрадях оформляются записи.
Для арифметической прогрессии:
S100 = 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100,
S100 =100+99+…. + 3 +2 + 1.
2S100 = (1 + 100) * 100.
Отсюда S100 =
Аналогично рассуждая, можно найти сумму n членов прогрессии.
Sn = a1 + a2 + … + an-1 + an.
Sn = an + an-1 + … + a2 + a1.
2Sn = (a1 + an) * n, значит
В параграфе 20 «Геометрическая прогрессия» вводится понятие геометрическая прогрессия: «Числовая последовательность b1, b2, b3,…,bn,…называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство bn+1=bn*q, где bn ≠ 0, q - некоторое число, не равное нулю» (формально-логическое, через род и видовые отличия, родовое понятие – числовая последовательность b1, b2, b3,…,bn,…, видовое отличие задается индуктивно). Понятие знаменателя геометрической прогрессии вводится символьной записью: .
Это одно из ведущих понятий данной темы. На данном понятии основаны решения простейших заданий, доказательство свойства геометрической прогрессии о среднем геометрическом, выведение формулы n-го члена геометрической прогрессии, а также последующий материал данной главы, а именно доказательство теоремы о сумме n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем q≠1, приведенное в параграфе 31 «Сумма n первых членов геометрической прогрессии».
Ранее в курсе алгебры учащиеся не встречались с понятием геометрической прогрессии. Этот материал является новым для них. Но понятие геометрической прогрессии является аналогичным понятию арифметической прогрессии, поэтому структура введения понятия геометрической прогрессии уже не является новой для учащихся. Кванторы в определении отсутствуют.
Содержание понятия геометрической прогрессии дополняют свойство геометрической прогрессии о среднем геометрическом: «Каждый член геометрической прогрессии b1, b2, b3,…,bn,…, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов: , bi>0 , n>1» и формула n-го члена геометрической прогрессии: .
Доказательство свойства геометрической прогрессии о среднем геометрическом не является для учащихся новым, оно является аналогичным доказательству свойства арифметической прогрессии о среднем арифметическом и осуществляется на основе определения геометрической прогрессии и с помощью алгебраических действий.
Свойство геометрической прогрессии о среднем геометрическом доказывается следующим методом: выражаются предыдущий и последующий члены через n-ый член, затем умножаются полученные равенства, далее выражается n-ый член.
Выведение формулы n-го члена геометрической прогрессии является аналогичным выведению формулы n-го члена арифметической прогрессии, оно основывается на определении геометрической прогрессии и осуществляется методом неполной индукции, что также уже не является новым для учащихся, так как таким же методом выводится формулы n-го члена арифметической прогрессии.
Свойство геометрической прогрессии о среднем геометрическом и формула n-го члена геометрической прогрессии доказываются на основе определения геометрической прогрессии, то есть с помощью рекуррентной формулы bn+1=bn*q, bn≠0, q≠0, поэтому можно формировать у учащихся умения применять рекуррентную формулу для доказательства теорем.
В тексте нужные правила не выделены, но проводя эвристическую беседу с учащимися, можно прийти к доказательству свойства геометрической прогрессии о среднем геометрической и выведению формулы n-го члена геометрической прогрессии. Учащимся известно только определение геометрической прогрессии. Следовательно, учащимся может быть предложено получить доказательство свойства геометрической прогрессии о среднем геометрическом и вывести формулу n-го члена геометрической прогрессии, используя определение геометрической прогрессии, то есть рекуррентную формулу. Алгоритмическое описание действий давать не обязательно, поскольку доказательство является несложным.
В данном параграфе метод проблемного изложения можно применять при постановке проблемы перед изучением понятия «формула n-ого члена геометрической прогрессии».
Задача 1. Имеется радиоактивное вещество массой 256 г, за сутки его масса уменьшается вдвое. Какова станет масса вещества на вторые сутки? На третьи сутки? На восьмые сутки?
Задача 2. Срочный вклад, положенный в сберегательный банк ежегодно увеличивается на 5%. Каким станет вклад через 10 лет?
Задача 3. Дана последовательность 6,18,54,.. Вычислить b1,b2,b3,b10.
Учащиеся без труда могут вычислить b1,b2,b3, однако, когда требуется найти b100 ,возникает проблемная ситуация, так как находить все предыдущие члены последовательности, а их 99, неудобно и занимает много времени. Поэтому, чтобы вычислить b100,b1000 и другие, необходимо иметь общую формулу для их вычисления, которая имеет название «формула n-члена последовательности». Образовалась учебная проблема, в результате решения которой ученики получают новые знания.
Перед учащимися возникает проблема: данные задачи имеют широкое практическое значение, однако, отсутствуют необходимые знания для решения поставленных задач. Учитель сообщает учащимся, что не только в математике, но и на практике в жизни часто встречаются задачи, для решения которых используются такие последовательности, то есть последовательности, в которых каждый член равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Такие последовательности имеют специальные названия: геометрическая прогрессия
В параграфе 21 «Сумма n первых членов геометрической прогрессии» вводится понятие суммы n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем q≠1 в символьной записи: .
Это понятие является одним из ведущих в данной теме. На данном понятии основано доказательство теоремы о сумме n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем q≠1.
Ранее в курсе алгебры учащиеся не встречались с понятием суммы n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем q≠1. Этот материал является новым для них. Но понятие суммы n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем q≠1 является аналогичным для понятия суммы n первых членов арифметической прогрессии. Понятие суммы n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем q≠1 вводится символьной записью. Кванторы в определении отсутствуют.
Содержание понятия суммы n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем q≠1 дополняет теорема о сумме n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем q≠1: «Сумма n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем q≠1 равна ».
Для доказательства теоремы о сумме n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем q≠1 используются понятие суммы n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем q≠1, определение геометрической прогрессии и равносильные преобразования. Данное доказательство является аналогичным доказательству теоремы о сумме n первых членов арифметической прогрессии и осуществляется также синтетическим методом, что не является для учащихся новым.
Для доказательства теоремы о сумме n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем q≠1 используется следующий прием: записывают эту сумму дважды, в первом случае все члены записываются по формуле n-ого члена, а во втором случае всю сумму умножают на знаменатель. Затем из первого выражения вычитают второе и выражают сумму прогрессии через первый член и знаменатель прогрессии.
Теорема о сумме n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем q≠1 доказывается синтетическим методом, поэтому можно формировать у учащихся умения доказывать теоремы данным методом.
В тексте нужные правила выделены. Алгоритмическое описание действий давать не обязательно, поскольку доказательство является несложным.
В данном параграфе метод проблемного изложения можно применить при постановке проблемы перед изучением теоремы «Формула суммы n первых членов геометрической прогрессий».
Задача 1. Найти сумму десяти первых членов геометрической прогрессии 1, 2, 4, …
Формулируется проблема: как найти сумму n-первых членов прогрессий, не выполняя последовательных вычислений.
Обсуждая, ученики находят свойство членов прогрессии, равноудаленных от концов и пробуют найти результат, используя это свойство.
Итак, основные дидактические единицы темы: определения понятий арифметической и геометрической прогрессий, формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий, свойства арифметической прогрессии о среднем арифметическом и геометрической прогрессии о среднем геометрическом, формулы суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий.
Определения арифметической и геометрической прогрессий вводятся аналогично. Прогрессиям дается формально-логическое определение: родовое понятие – числовая последовательность, видовое отличие задается индуктивно. Учащиеся впервые встречаются с определениями такого вида. Для иллюстрации нужно привести историческую справку или пример из жизни, что может послужить мотивацией для изучения данной темы. Определить то, что между членами прогрессий есть зависимость, и какая это зависимость, могут сами ученики (нужно привести наглядный пример каждой прогрессии). Учащиеся смогут самостоятельно сформулировать определения прогрессий, зная, что они являются числовыми последовательностями, и определив предварительно зависимость между членами каждой из них. Кроме словесной формулировки необходимо рассмотреть и символическую запись определений, т.к. в ней отражены рекуррентные формулы, задающие прогрессии. В рассматриваемом учебнике символические записи определений имеются.
Кроме определений также являются аналогичными свойства арифметической и геометрической прогрессий и их доказательства, формулы n-го члена прогрессий и способы их выведения, теоремы о сумме n первых членов прогрессий и их доказательства. Даже соответствующие задачи в тексте параграфов (ключевые) имеют аналогичные решения.
Для арифметической прогрессии выполняется свойство о среднем арифметическом. Для геометрической прогрессии выполняется о среднем геометрическом.
Также можно сделать вывод, что метод проблемного изложения можно применить при изучении каждого параграфа. Таких дидактических единиц «формула n-ого члена арифметической и геометрической прогрессии», «Формула суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий». Перед учащимися ставится проблема (проблемная ситуация): предложенные задачи имеет большое практическое применение, но на данный момент не достаточно знаний для их решения. Учащимися была сформулирована учебная проблема, решение которой осуществлялось в ходе самостоятельной работы, обучающего характера.
Анализ задачного материала позволил выделить следующие группы задач:
Дана прогрессия:
- найти разность и первый член: №233,№296
- записать формулу n-го члена: №237
- выяснить, является ли число членом данной прогрессии: №239,№240
- указать номер заданного члена прогрессии:№238, №240, №245, №246
Текстовые задачи: №248,№ 249, №318, №325
Доказать равенство: №250, №251
На формулу n-го члена:
1)Дана формула n-го члена, доказать, что последовательность является арифметической прогрессией: №235,№ 297
2)Дана разность и первый член арифметической прогрессии:
- найти заданное число членов данной прогрессии: №234
- найти член с заданным номером: №236, №298
3)Даны несколько членов арифметической прогрессии.
- найти формулу n-го члена: №244
- найти разность: №241, №247 №308
- найти первый член прогрессии: № 243(2)
- записать заданное число членов прогрессии: № 309, №311
4)Дана разность и член с заданным номером. Найти первый член прогрессии: №242, №243(1)
На характеристическое свойство:
- вставить число, чтобы получилась прогрессия: №310,№ 312
- показать, что три числа образуют прогрессию: №313
На формулу суммы n первых членов:
1) Найти сумму n первых членов арифметической прогрессии:
- даны первый член и разность: №255
- дана сумма нескольких членов (не соседних): №265
- даны первый член и член под заданным номером: № 252, №256, №257, №299,№ 300
- дана прогрессия: № 256, №257, №301
- дана формула n-го члена: № 257,№ 258
- последовательность задана рекуррентной формулой: №260
2) Найти n-ый (первый) член и разность по первому(n-му) члену и сумме первых n членов: № 262, №263, №314, №317 (дана сумма n первых и их произведение)
3) Сколько нужно взять чисел из промежутка, чтобы получить заданную сумму: № 261, №313
4) Найти первый член и разность по двум суммам: №266
Текстовые задачи: №264, №319
Доказать равенство: № 267
Доказать, что последовательность является геометрической прогрессией: № 270, №260 (текст)
Дан знаменатель и первый член прогрессии:
а) найти член с заданным номером (первый): № 271,№ 304,№ 311
б) записать заданное количество членов прогрессии: №269
Даны два члена прогрессии:
а) записать формулу n-го члена: № 272
б) найти член под заданным номером: №274, №276,№ 277, №312
Текстовые задачи: №279, №280, №323, №325
Дана прогрессия:
а) найти знаменатель и первый член: № 268, №296
б) записать формулу n-го члена: № 272, №297
в) найти номер заданного члена прогрессии: № 254, №273
г) найти член под заданным номером: №275,№ 296
На характеристическое свойство:
вставить число, чтобы получилась прогрессия: № 313
На формулу суммы n первых членов
1) Найти сумму n первых членов арифметической прогрессии:
а) даны первый член и знаменатель: №282, №299
б) даны несколько членов: №288 (плюс найти еще один член под заданным номером), №292(3,4)
в) дана прогрессия: № 283, №287,№300
г) дана формула n-го члена: № 268
2) Найти n по знаменателю, первому(n-му) члену и сумме первых n членов: № 285,№286
3) Дан знаменатель и сумма n первых членов, найти первый (n-ый) член: № 284, №291(дан n-ый член вместо знаменателя)
4) Найти знаменатель: №292(1,2)
Доказать равенство: №290, №320, №321
Итак, задачи, рассматриваемые в главе «Прогрессии» отличаются многообразием своих разновидностей. Расположение в параграфах от простых к сложным. Упражнения позволяют отработать все представленные дидактические единицы главы. На отработку некоторых типов задач представленных в учебнике номеров недостаточно. Мало упражнений на отработку характеристического свойства арифметической прогрессии и характеристического свойства геометрической прогрессии, поэтому задачный материал в учебнике можно дополнить задачами такого вида. Комбинированных задач на арифметическую и геометрическую прогрессии не выявлено (только в упражнениях для самостоятельной работы). Поэтому нужно дополнить материал задачами данного типа. Например, следующими:
Задача 1. Три числа, сумма которых равна 78, образуют возрастающую геометрическую прогрессии. Их же можно рассматривать как первый, третий и девятый члены арифметической прогрессии. Найти большее число.
Решение:
Задача 2. Три числа являются первым, вторым и третьим членов арифметической прогрессии и, соответственно, первым, третьим и вторым членами геометрической прогрессии. Найдите эти числа, если известно, что сумма квадрата первого из них, удвоенного второго и утроенного третьего равна .
Задача 3. Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 21. Если к этим числам прибавить соответственно 2, 3, 9, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найти указанные числа.
Задача 4. В геометрической прогрессии второй член равен 8, а пятый - 512. Составить арифметическую прогрессию, у которой разность в два раза меньше знаменателя геометрической прогрессии, а суммы трех первых членов в одной и другой прогрессиях были бы равны.
В теме «Прогрессии» вводится достаточно большое количество формул. Каждая из этих формул порождает целую систему упражнений. Так как темы арифметическая и геометрическая прогрессия рассматриваются аналогично, то и группы задач на каждую из формул для арифметической прогрессии имеют аналогичную группу задач на аналогичную формулу для геометрической прогрессии.
Учебная задача темы: используя метод проблемного изложения, вместе с учащимися сформулировать определение арифметической и геометрической прогрессий, вывести формулу n члена арифметической и геометрической прогрессий, сформулировать и доказать теорему о сумме n первых членов арифметической и геометрической прогрессий.
Диагностируемые цели темы «Прогрессии».
В результате изучения данной темы:
-знает: определение арифметической и геометрической прогрессий, формулу n члена арифметической и геометрической прогрессий, теоремы и их доказательства «о сумме n первых членов арифметической и геометрической прогрессий»;
-умеет:- распознавать арифметические и геометрические прогрессии,
- решать задачи на нахождение неизвестного члена арифметической и геометрической прогрессии,
- проверять является ли данное число членом прогрессии,
- находить сумму n - первых членов прогрессии,
- решать текстовые задачи, используя свойства числовых последовательностей,
- решать задачи с применением формул n-го члена, суммы n - первых членов прогрессии.
-понимает: что арифметическая и геометрическая прогрессии являются числовыми последовательностями; взаимосвязь понятий арифметической прогрессии и среднего арифметического, взаимосвязь понятий геометрической прогрессии и среднего геометрического; аналогию определений и свойств арифметической и геометрической прогрессий; что характеристическое свойство арифметической прогрессии является критерием (свойством и признаком), что характеристическое свойство геометрической прогрессии является критерием (свойством и признаком); как были получены формулы n-ого члена арифметической и геометрической прогрессии.
В Примерной основной образовательной программе сказано, что выпускник при изучении числовых последовательностей научится:
• понимать и использовать язык последовательностей (термины, символические обозначения);
• применять формулы, связанные с арифметической и геометрической прогрессией, и аппарат, сформированный при изучении других разделов курса, к решению задач, в том числе с контекстом из реальной жизни. 92 Выпускник получит возможность научиться:
• решать комбинированные задачи с применением формул n-го члена и суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессии, применяя при этом аппарат уравнений и неравенств;
Методические рекомендации по применению метода проблемного изложения:
- Анализ теоретического материала темы с целью выявления основных дидактических единиц и прогнозирования применения при их введении проблемных ситуаций, т.е. наметить пути мотивации для введения ведущих понятий темы, их признаков и свойств с использованием метода проблемного изложения.
- Анализ задачного материала темы( выделить ключевые задачи), с целью выявления основных групп решаемых задач в учебнике и прогнозирования применения при их рассмотрении проблемного изложения.
- Изучить дополнительную математическую и методическую литературу по рассматриваемой теме, в частности, с целью подбора материала из истории математики, задач с практическим содержанием для создания проблемных ситуаций на уроке.
- Разработать тематическое планирование с наибольшим привлечением проблемного изложения.
- Составить конспекты уроков с учетом особенностей применения метода проблемного изложения.
2.2. Конспекты уроков
Конспект урока по теме «Арифметическая прогрессия»
Учебник: Алгебра. Учебник для 9 кл. средней школы / под ред. Ш.А. Алимова. – М.: Просвещение, 2012 г, глава IV, параграфы §18.
Учебная задача: используя метод проблемного изложения вместе с учащимися выявить особый вид числовой последовательности: арифметическую прогрессию, дать определения, вывести формулы n-го члена арифметической прогрессии;
Диагностируемые цели:
В результате урока ученик:
- знает: определение арифметической прогрессии, рекуррентную формулу n-ого члена арифметической прогрессии, характеристическое свойство арифметической прогрессии и его доказательство; формулу n-ого члена арифметической прогрессии;
- умеет: формулировать определение арифметической прогрессии, применять рекуррентную формулу n-ого члена арифметической прогрессии; формулировать и доказывать характеристическое свойство арифметической прогрессии;
- понимает: что арифметическая прогрессия является числовой последовательностью; взаимосвязь понятий арифметической прогрессии и среднего арифметического, что характеристическое свойство арифметической прогрессии является критерием (свойством и признаком), как были получены формулы n-ого члена арифметической прогрессии.
Тип урока: урок изучения нового материала;
Методы обучения: проблемное изложение, репродуктивный;
Средства обучения: традиционные (записи на доске, слово преподавателя), технические (презентация), канва таблица;
Форма работы: фронтальная;
Структура урока:
1. Мотивационно-ориентировочный этап – 10 мин
2. Содержательный этап – 30 мин
3. Рефлексивно-оценочный этап – 5 мин
Ход урока
Деятельность учителя | Деятельность ученика |
Мотивационно-ориентировочный этап. | |
Актуализация | |
Здравствуйте. На прошлом уроке мы изучили, что такое числовая последовательность и как она задается. Запишите общий вид числовой последовательности (один у доски, остальные в тетради) | а1,а2,а3,…,аn,…. |
Как называют число а1? | Число а1 называют первым членом числовой последовательности |
Как называют число аn? | Энным членом числовой последовательности |
Теперь выполним следующие задания. 1)Устно. Дана последовательность 1, 4,9,16,.. (Представлено на слайде) Назовите первый, третий, n-ый член последовательности | а1=1, а2=4 а3=9 an= |
На слайде записаны числовые последовательности. Запишите для каждой из них, какой формулой она задана:
| 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. |
Какие способы задания последовательности вы знаете? В чем особенность задания последовательности формулой n члена? Какой способ задания последовательности называется рекуррентным?
| Рекуррентной формулой и формулой n члена Последовательность задается формулой n члена, где формула зависит от n Рекуррентный способ задания последовательность – способ задания последовательности, при котором вычисление (n+1)-го члена последовательности производится через предыдущие n членов. |
Какие из данных числовых последовательностей заданы рекуррентной формулой, а какие формулой n-го члена? | Рекуррентной формулой: 1, 2,3, 4, 5,6 7,9,10 Формулой n-го члена: 1, 8 |
Рассмотрим последовательности, заданные рекуррентной формулой. Как в первой последовательности связаны an и an+1 члены? | an+1 получается прибавлением к an единицы. |
Как во второй последовательности связаны an и an+1 члены? | an+1 получается вычитанием из an двух. |
Иначе говоря, an+1 получается прибавлением к an минус двух. | |
Как в третьей последовательности связаны an и an+1 члены? | an+1 получается прибавлением или вычитанием из an нуля. |
Как в четвертой последовательности связаны an и an+1 члены? | an+1 получается прибавлением к an 1/2 |
Что объединяет эти последовательности? Как находится последующий член из предыдущего? | Последующий член получается из предыдущего прибавлением (вычитанием) одного и того же числа |
Мотивация | |
Не только в математике, но и на практике в жизни часто встречаются задачи, для решения которых используются такие последовательности, то есть последовательности, в которых каждый член равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Рассмотрим задачу 1: (Представлено на слайде) Продолжительность года приблизительно равна 365 суткам. Более точное значение равно 365¼ суток, поэтому каждые четыре года накапливается погрешность, равная одним суткам. Для учета этой погрешности к каждому четвертому году добавляются сутки, и удлиненный год называется високосным. Например, в третьем тысячелетии високосными годами будут годы 2004, 2008, 2012, 2016, 2020… Какая зависимость существует между последующим и предыдущим членами этой последовательности? | В этой последовательности каждый ее член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенного с одним и тем же числом 4. То есть an+1=an+4, где a1=2004 |
(Представлено на слайде). Задача 2. На складе 1 числа было 50 тонн угля. Каждый день в течение месяца на склад приходит машина с 3 тоннами угля. Сколько угля будет на складе 30 числа, если в течение этого времени уголь со склада не расходовался. Как будем решать эту задачу? | Посчитаем, сколько угля было во второй день, в третий и так далее до 30 дня включительно 1 день:50 2 день: 50+3=53 3 день: 53+3=56 и так далее |
Будет ли это решение быстрым и удобным? | Нет |
Замечаете ли вы, какую - нибудь зависимость? | Да в каждый последующий день количество угля равно количеству угля в предыдущий день плюс 3 |
Данный особый вид числовой последовательности известны издавна, а потому нельзя сказать, кто их открыл. Однако, во время раскопок в Египте был найден папирус, который датируется 2000 г. до н.э., но и его содержание было переписано из другого, еще более раннего, отнесенного к ІІІ тысячелетию до н.э.Ученые расшифровали текст папируса, содержание некоторых задач дает возможность отнести их к задачам на особый вид числовой последовательностиРассмотрим следующую историческую задачу 3. (Представлено на слайде) Задача из папируса Ринда. Сто мер хлеба разделили между 5 людьми так, чтобы второй получил настолько же больше первого, насколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых получили в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому? Что в этой задаче можно заметить? | Каждый следующий человек получал хлеба на некоторое число больше, чем предыдущий |
Эту задачу можно решить с помощью построения последовательности, где каждый член будет на некоторое число больше предыдущего | |
Как мы построим ее, что можно обозначить за первый член этой последовательности? | а1-доля хлеба, который получил 1 человек а2-доля хлеба, который получил 2 человек а3-доля хлеба, который получил 3 человек а4-доля хлеба, который получил 4 человек а5-доля хлеба, который получил 5 человек |
Какую в итоге получим последовательность? | а1,а2,а3,а4,а5 |
И что тогда нам нужно найти исходя из этого? | Члены этой последовательности |
Верно, как было отмечено эта задача историческая, но уже в те времена, людям приходилось совершать различные действия с такими видами последовательностей, которые и в наше время имеют большое практической применение (задача 1,2 из мотивации) | |
Поэтому сегодня на уроке перед нами стоит проблема, разрешить данную историческую задачу с помощью особого вида числовой последовательности | |
(Представлено на слайде). Задача 4. Дана числовая последовательность 1,-4,-9,.. Найти сотый член этой последовательности. Чему равен первый член данной последовательности? Чему равен второй, третий член последовательности? Что можно заметить в данной последовательности? | а1=1 а2=-4 а3=-9 Каждый следующий член последовательности равен предыдущий плюс -5 |
Как будет вычислять а100? | Найдем все члены последовательности до 99 |
Удобно и быстро ли так будет его вычислять? | Нет |
Верно, целесообразнее было бы использовать формулу, по которой можно вычислить любой член последовательности. | |
Постановка учебной задачи | |
Поэтому целью нашего урока является: изучить последовательности, в которых каждый следующий член последовательности, выражается через предыдущий, дать название, сформулировать определения и изучить их свойства. Также разрешить историческую задачу. | |
Содержательный этап | |
Сначала будем заполнять первый столбец канвы-таблицы. Второй столбец канвы таблицы мы заполним на следующих уроках. | |
Давайте вернемся к первой задаче. Нам дана последовательность високосных годов. Запишем ее 2004, 2008, 2012, 2016, 2020… | 2004, 2008, 2012, 2016, 2020… |
Чему равен первый, второй, третий член данной последовательности? | а1=2004 а2=2008 а3=2012 |
Как мы уже отметили в начале урока, каждый следующий член последовательности равен предыдущему плюс некоторое число, 4. | |
Давайте запишем как получили а2? Как получили а3? Как получили а4? | а2=а1+4=2004+4=2008 а3=а2+4=2018+4=2012 а4=а3+4=2012+4=2016 |
Как можно записать формулу этой последовательности в общем виде? Где некоторое число, в данном случае 4, обозначим за d | an+1=an+d, |
Можно ли применять данный общий вид формулы последовательности ко всем последовательностям, где каждый член равен предыдущему плюс некоторое число? (гипотеза) Вернемся ко 2 задаче. Решение данной задачи можно свести к построению числовой последовательности. Для начала составим последовательность. Чему равен а1? Чему равен а2? а3? | -Наверно можно -нельзя а1=50, так как в первый день было 50 тонн груза а2=50+3=53,так как во второй день пришло еще 3 тонны груза а3=53+3=56,так как в третий день пришло еще 3 тонны груза а4=56+3=59 Получили последовательность 50,53,56,59… |
Теперь попробуем вычислить а2,а3,а4 с помощью общей формулы, которую получили в предыдущей задаче an+1=an+d, чему здесь будет равно d? Чему будет равно а2,а3,а4 тогда? | d =3 а2=а1+ d=50+3=53 а3=а2+ d=53+3=56 а4=а3+d=56+3=59 |
Получили ли мы в итоге равные значения, используя формулу an+1=an+d? | Да |
Действительно, данную формулу общую вида можно применять ко всем последовательностям, где каждый следующий член равен предыдущему плюс некоторое число. | |
Такая числовая последовательность имеет специальное название - арифметическая прогрессия. Сформулируем определение арифметической прогрессии, используя канву таблицу. (После формулировки учащимися определение представлено на слайде) | Числовая последовательность а1, а2, а3,…,аn,… называется арифметической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство: an+1=an+d |
Выразите из этой формулы число d. Запишем это в канву-таблицу. | d= an+1-an |
Чему оно равно? | Разности двух соседних членов последовательности. |
Поэтому d называют разностью. Отметьте это у себя в таблицах. | d= an+1-an - разность |
Слово «прогрессия» латинского происхождения буквально означает «движение вперед» ( как и слово «прогресс») и встречается впервые у римского автора Боэция (V-VI вв.). Названия «арифметическая» перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки. | |
(Представлено на слайде). Рассмотрим пример: Продолжите ряд: -10, -14, -18… Чему равно d?(устно) | d=-4 -10, -14, -18, -22, -26, -30, … |
Обратимся к примерам, рассмотренным в начале урока. Чему равно d в последовательностях 1, 4, 7, 9?(открывается слайд с последовательностями) (письменно в тетради) | 1. d=1 4. d=-2 7. d=0 9. d=0 |
Чему равны первый, второй и третий члены последовательности 4? | |
Как можно получить 3 из 5 и 1? | 3 = (5+1)/2, то есть 3 – это среднее арифметическое чисел 5 и 1. |
Как записать это можно в общем виде? | а2=(а3+а1)/2 |
Таким свойством обладают любые три подряд идущие члена этой последовательности, начиная со второго. Давайте запишем это свойство в общем виде. | |
Если один из членов этой последовательности an, то какой для него будет предыдущим членом, а какой последующим? | an+1 – последующий для an an-1 – предыдущий для an |
Тогда получили три подряд идущих члена последовательности an-1, an, an+1. Как выразить an через два других члена? | |
Как вы думаете, почему первый член последовательности таким свойством не обладает? | Для него нет предыдущего. |
Какое тогда условие накладывается на n в формуле? | |
Таким образом, an член этой последовательности есть среднее арифметическое его последующего и предыдущего членов. Поэтому данный вид последовательности получил название арифметическая прогрессия. Запишем заголовок первого столбца канвы таблицы «Арифметическая прогрессия» | Заполняют заголовок первого столбца таблицы |
Полученная связь между членами арифметической прогрессии является ее свойством. Сформулируйте его и запишите в канву-таблицу. | Каждый член арифметической прогрессии а1, а2, а3,…,аn,…, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов: |
Докажем это свойство. Для этого сначала запишите рекуррентную формулу для an и an+1 членов. Запишем это как первый пункт доказательства в канву-таблицу. Как вы получили данные формулы? Отметьте это в скобках. | 1). an=an-1+d an+1=an+d Из определения арифметической прогрессии |
Переходим ко второму пункту доказательства. Выразите из первого равенства аn-1 | 2). an-1= an- d |
Заметим, что в формуле, которую требуется доказать, отсутствует d, а в числителе стоит сумма чисел an-1 и an+1. Как вы думаете, что нужно сделать с данными равенствами, чтобы получить искомую формулу? Запишите. | Нужно сложить эти равенства. Записывают в таблицу: 2). an-1= an- d + an+1=an+d ________ an-1+ an+1= an- d+ an+d an-1+ an+1=2* an |
Какое еще действие нужно произвести, чтобы получить искомую формулу? | Разделить обе части равенства на 2. Записывают: an-1+ an+1=2* an |
Для любого ли числа n справедлива полученная формула? | Нет, только для n, больших единицы. Дописывают в канву таблицу n>1. |
Рассмотрим свойство арифметической прогрессии. Сформулируйте для него обратное утверждение. | Если в последовательности а1, а2, а3,…,аn,…, каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов: , то такая последовательность является арифметической прогрессией. |
Как вы думаете, будет ли это утверждение верным? (гипотеза) | Наверное, да. |
Попробуем это доказать. Что нам дано и, что нужно доказать? | Дана последовательность а1, а2, а3,…,аn,…, где Доказать, что данная последовательность арифметическая |
То есть, что нужно доказать, что значит арифметическая прогрессия? | Что каждый следующий член этой последовательности равен предыдущий плюс некоторое число, то есть an+1=an+d |
По-другому, это можно сказать, что разность an+1-an одна и та же для всех n,то есть не зависит от n. Найдем эту разность. Чему будет равно an+1 из формулы, которая нам дана в условии | an+1-an= |
Будет ли эта разность зависеть от n? | Нет, так как каждое an+1, |
Таким образом, сформулирован признак арифметической прогрессии, запишите его в таблицу. | Записывают в первый столбец: Если в последовательности а1, а2, а3,…,аn,…, каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов: , то такая последовательность является арифметической прогрессией. |
Раз верно и прямое и обратное утверждение, то можно сформулировать критерий арифметической прогрессии. Данный критерий называют характеристическим свойством арифметической прогрессии. Давайте сформулируем его, используя канву таблицу, и запишем | Числовая последовательность а1, а2, а3,…,аn,…, является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов, то есть: а1, а2, а3,…,аn,… - арифметическая прогрессия <=> |
Вновь рассмотрим определение арифметической прогрессии: заметим, что если заданы а1 и d, то остальные члены арифметической прогрессии можно найти по рекуррентной формуле аn+1=an+d. Таким способом нетрудно вычислить несколько первых членов последовательности. (Представлено на слайде): Рассмотрим задачу. Дана последовать 2,4,6,…. Вычислить а4 | а4= а3+d а3=6, d=4-2=2 а4=6+2=8 |
Вычислить а50. Можно ли найти а50.используя рекуррентную формулу аn+1=an+d.Что для этого нужно найти? | Нужно найти все предыдущие члены последовательности до а50. |
Удобно и быстро ли это будет сделать? | Нет |
Целесообразнее было бы получить формулу, с помощью которой можно вычислять любой член последовательности (Проблемная ситуация) | |
Используя рекуррентную формулу, запишите 2-ой, 3-ий и 4-ый члены арифметической прогрессии. | а2=a1+d a3=a2+d a4=a3+d |
Можно ли 3-ий член выразить через 1-ый? | a3=a2+d=a1+2d |
Можно ли 4-ый член выразить через 1-ый? | a4=a3+d=a1+3d |
Продолжая далее, таким способом можно выразить n-ый член арифметической прогрессии через первый член прибавлением к нему (n-1) раз числа d. | аn=a1+(n-1)d |
Эта формула называется формулой n-ого члена арифметической прогрессии. Запишите ее в канву-таблицу | Записывают в первый столбец: аn=a1+(n-1)d |
Рассмотрим применение формулы на нашем примере: Дана последовать 2,4,6,…. Вычислить а50 | Подставим известные величины в формулу n-ого члена арифметической прогрессии, получим: а50=2+(50-1)ּ2=3+49ּ2=101 |
Таким образом, первый столбец канва-таблица заполнен. | |
Вернемся ко 2 задаче. Для нее мы составили последовательность. Запишем ее | 50,53,56 |
Что нужно найти в задаче? | Сколько угля будет на складе 30 числа, если в течение этого времени уголь со склада не расходовался. |
На языке последовательностей, что это значит? | Значит нужно найти а30 |
Можем ли мы сейчас его найти, используя полученные новые знания? | Да, используя формулу аn=a1+(n-1)d а30=50+(30-1)*3=137 |
Верно | |
Вернемся к исторической задаче. Как мы уже отметили, для решения задачи нужно составить последовательность, где каждый следующий член (человек) получается прибавлением к предыдущему некоторого числа. Как мы выяснили, как эта последовательность называется? | Арифметическая прогрессия |
Что нужно найти в задаче, используя язык арифметической прогрессии? | Нужно найти а1,а2,а3,а4,а5 |
Где а1,а2,а3,а4,а5 –доля первого, второго и т.д. | |
Знаем ли мы, чему равен 1 член этой прогрессии? | Нет |
Поэтому обозначим а1 через х | |
Знаем, чему равна разность? | Нет |
Обозначим разность через у | |
Чему тогда равна а2? | а2=а1+у=х+у |
а3? | а3=а2+у=х+у+у=х+2у |
а4? | а4=а3+у=х+3у |
а5? | а5=а4+у=х+4у |
Теперь на основании условий задачи составьте уравнения | Так как всего было 100 мер, то а1+а2+а3+а4+а5=100 Или х+х+у+х+2у+х+3у+х+4у+х+5у=100 Отсюда х+2у=20 |
Верно, как записать, что двое первых получили в 7 раз меньше чем остальные трое? | 7(а1+а2)=а3+а4+а5 Или 7(х+х+у)=х+2у+х+3у+х+4у 11х=2у |
Как теперь найти х и у? | Составим систему х+2у=20 11х=2у Получаем х=1 |
Можем мы теперь найти а1,а2,а3,а4,а5? | Да получаем, 1 |
Значит, отвечая на вопрос задачи, что мы получили | Хлеб должен быть разделен на такие части 1 |
Рефлексивно-оценочный этап | |
Какова была цель урока? | Изучить особый вид числовой последовательности: дать названия, сформулировать определения и изучить свойства. |
Достигли ли мы ее? | Да |
Как мы ее достигли? | На конкретных примерах выявили особый вид числовых последовательностей. Дали названия, сформулировали определения, сформулировали и доказали свойства. |
Какова была проблема в нашем уроке? | сегодня на уроке перед нами стояла проблема, разрешить историческую задачу с помощью особого вида числовой последовательности |
Решили ли мы ее? | Да |
Как решили? | Использовали новые знания, арифметическую прогрессию |
Как называются выделенная особая вид последовательности? | Арифметическая прогрессия |
Сформулируйте определения и характеристические свойства. | Определения: Числовая последовательность а1, а2, а3,…,аn,…, называется арифметической прогрессией, если для всех натуральных n выполняются равенство: an+1=an+d, где d – разность. Характеристические свойства: Числовая последовательность а1, а2, а3,…,аn,…, является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов, то есть: а1, а2, а3,…,аn,… - арифметическая прогрессия <=> |
Домашнее задание: выучить канву-таблицу. Читать параграф 18. (Представлено на слайде) №235(2,4),№236(2,4),№237(2,4), №238 | Домашнее задание. №235 Доказать, что последовательность заданная формулой n члена является арифметической прогрессией: 2) -разность не зависит от n, значит последовательность арифметическая 4) -разность не зависит от n, значит последовательность арифметическая №236 В арифметической прогрессии найти: 2) a20=a1+d(n-1)=3+19*4=79 4)a11, если а1=-2,d=-4 a11=a1+d(n-1)=-2-10*4=42 №237 Записать формулу n члена арифметической прогрессии 2)25,21,17,13…. а1=25 d=-4 an= a1+d(n-1)=25-4(n-1)=29-4n 4)1,-4,-9,-14… а1=1 d=-5 an= a1+d(n-1)=1-5(n-1)=6-5n №238 Число -22 является членом арифметической прогрессии 44,38,32…Найти номер этого члена. an= a1+d(n-1) а1=44 d=-6 an=-22 -22=44-6(n+1) n=12 |
Канва таблица по уроку «Арифметическая прогрессия» представлена в приложении 1.
Записи в тетради по уроку «Арифметическая прогрессия» представлены в приложении 2.
Конспект урока «Сумма первых членов арифметической прогрессии».
Учебник: Алгебра. Учебник для 9 кл. средней школы / под ред. Ш.А. Алимова. – М.: Просвещение, 2012 г, глава IV, параграфы §18-21.
Учебная задача: используя метод проблемного изложения вместе с учащимися сформулировать и доказать теорему «Сумма первых членов арифметической прогрессии»;
Диагностируемые цели:
В результате урока ученик:
- знает: определение арифметической прогрессии, формулу n-ого члена арифметической прогрессии, теорему «Сумма первых членов арифметической прогрессии»;
- умеет: формулировать определение арифметической прогрессии,; формулировать и доказывать теорему «Сумма первых членов арифметической прогрессии»;
Тип урока: урок изучения нового материала;
Методы обучения: проблемное изложение, репродуктивный;
Средства обучения: традиционные (записи на доске, слово преподавателя), технические (презентация);
Форма работы: фронтальная;
Структура урока:
1. Мотивационно-ориентировочный этап – 10 мин
2. Содержательный этап – 30 мин
3. Рефлексивно-оценочный этап – 5 мин
Ход урока
Записи в тетради по уроку «Сумма первых членов арифметической прогрессии» представлены в приложении 3.
Конспект урока «Сумма первых членов геометрической прогрессии».
Учебник: Алгебра. Учебник для 9 кл. средней школы / под ред. Ш.А. Алимова. – М.: Просвещение, 2012 г, глава IV, параграфы §18-21.
Учебная задача: используя метод проблемного изложения вместе с учащимися сформулировать и доказать теорему «Сумма первых членов геометрической прогрессии»;
Диагностируемые цели:
В результате урока ученик:
- знает: определение геометрической прогрессии, формулу n-ого члена геометрической прогрессии, теорему «Сумма первых членов геометрической прогрессии»;
- умеет: формулировать определение геометрической прогрессии,; формулировать и доказывать теорему «Сумма первых членов геометрической прогрессии»;
Тип урока: урок изучения нового материала;
Методы обучения: проблемное изложение, репродуктивный метод;
Средства обучения: традиционные (записи на доске, слово преподавателя), технические (презентация);
Форма работы: фронтальная;
Структура урока:
1. Мотивационно-ориентировочный этап – 10 мин
2. Содержательный этап – 30 мин
3. Рефлексивно-оценочный этап – 5 мин
Ход урока
Деятельность учителя | Деятельность ученика |
Здравствуйте. На прошлых уроках мы изучили понятие геометрической прогрессии и формулу энного члена. Давайте повторим это. Для этого выполним след задания | |
Задача 1. Последовательность задана формулой
Определить из них те, которые являются геометрическими прогрессиями. (Представлено на слайде) | |
Сформулируйте сначала определение геометрической прогрессии | Числовая последовательность, в которой каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на некоторое число, называется геометрической прогрессией, где bn≠0 |
Как это можно записать символьно? | bn+1=bn*q. bn≠0 |
Как можно узнать является ли данная последовательность геометрической? | По определению |
Что это значит? | Требуется доказать что частное |
Верно | |
Один человек у доски остальные в тетради, всего на данное задание 3 учащихся
|
3)
4) )
6)
|
(Представлено на слайде): Задача 2. Найдите знаменатель и седьмой член геометрической прогрессии 4,12,36.. | |
Какую формулу будем использовать? | Формулу энного члена геометрической прогрессии |
Запишите ее в общем виде | bn=b1*qn-1 |
Чему будет равен знаменатель? | q=12/4=3 |
Как найдем b7? | b7=b1* |
Чему равно b1? | b1=4 |
Чему равно b7 тогда? | b7=4* |
Мотивация | |
(Представлено на слайде): Рассмотрим задачу 3. Однажды бизнесмен Георгий заключил выгодную, как ему казалось, сделку с человеком (бизнесменом Василием) , который в течение 20 дней ежедневно должен был приносить по 100 тыс. руб., а взамен в первый день месяца Василий должен был отдать 1 коп., во второй-3 коп., в третий-9 коп., в четвертый-27 коп. и т. д. в течении 20 дней, увеличивалась в 3 раза .Сколько денег получил Георгий и сколько отдал? Кто выиграл от этой сделки? | |
Какой вопрос мы могли бы поставить в этой задаче? | Нужно посчитать, сколько денег заплатит Георгий и сколько денег заплатил Василий и сравнить |
На какой вопрос мы можем сразу ответить? | Сколько денег заплатил Василий |
Как найдем? | Так как каждый день Василий платил по 100000 в течении 20 дней, то он заплатил 20*100000=2000000 рублей |
Как можно посчитать, сколько заплатил Георгий? | Можно решить нахождением, сколько он заплатил в каждый день, затем сложить |
Будет ли это удобно и быстро? | Нет |
Удобно решать данную задачу с помощью построения последовательности | |
Чему будет равно b1? | b1=1 |
b2? | b2=b1*3=3 |
b3? | b3= b2*3=9 |
b4? | b4=b3*3=27 |
Что можем сказать про данную последовательность, как она называется? | Геометрическая прогрессия, так как в каждый след день Григорий платил в 3 раза больше, чем в предыдущий |
Что тогда нужно найти? | Нужно найти b1, b2 и т.д. b20 ,затем их сложить |
То есть нужно найти сумму первых членов геометрической прогрессии | |
Вычисление каждого b1,b2 и до b 20 затем их суммы займет много времени. Поэтому удобнее было бы иметь формулу, которая вычисляет сумму с первого по нужный член геометрической прогрессии. Есть ли у нас сейчас такая формула? (проблемная ситуация) | Нет |
Поэтому сегодня на уроке нам нужно доказать или опровергнуть наличие данной формулы | |
Оставьте место с правой стороны для решения О том, как давно была известная геометрическая прогрессия, свидетельствует легенда.Историческая задача 4.Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен. Узнав, что игра была изобретена одним из его поданных, царь древней Индии Шерам пригласил к себе изобретателя шахмат Сета и спросил, какую бы награду, хотел бы он получить за изобретение столь мудрой игры. Тогда Сета попросил царя на первую клетку шахматной доски положить 1 зерно, на вторую – 2 зерна, на третью – 4, на четвертую – 27 и т.д., т.е. на каждую клетку вдвое больше зерна, чем на предыдущую клетку. Поначалу царь удивился столь “скромному” запросу изобретателя и поспешно повелел выполнить ту просьбу «Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моей милостью. Ступай, слуги вынесут тебе мешок с пшеницей» Сета улыбнулся хитро, покинул дворец и стал дожидаться у ворот дворца. Почему так хитро улыбнулся Сета? Прав ли был индусский царь, посчитав просьбу поданного ничтожной? (Представлено на слайде) | |
Как можно решить эту задачу? | Можно последовательно находить сумму, то есть 1+2+4+8++ |
Решим данную задачу с построением последовательности | |
Что будет b1? | b1=1 |
b2? | b2=b1*2=2 |
b3? | b3=b2*2=b1*q2=4 |
b4? | b4=b3*2=8= b1*q3=8 |
Как будет называться данная последовательность? | Геометрическая прогрессия, так как каждый след член равен предыдущему, умноженному на 2 |
Запишем ее | 1,2,4,8… |
Что тогда, исходя из построенной последовательности, нужно найти? | Сумму геометрической прогрессии с 1 члена по 64,так как на шахматной доске 64 клетки |
То есть нужно найти сумму первых членов геометрической прогрессии | |
Есть ли у нас формула позволяющая вычислять это быстро и рационально? (проблемная ситуация) | Нет |
Поэтому сегодня перед нами стоит проблема разрешить данную историческую задачу с помощью особой формулы, которая помогла бы нам | |
Как можно заметить во всех задачах и практической и исторической требуется найти сумму первых членов геометрической прогрессии до некоторого члена этой прогрессии. Значит, нам необходимо разрешить данный вопрос: как найти эту сумму. | |
Оставьте место для решения данной задачи с правой стороны. | |
Постановка учебной задачи | |
Поэтому целью нашего урока будет доказать или опровергнуть существование формулы для вычисления суммы n первых членов геометрической прогрессии. Разрешить историческую задачу. | |
Содержательный этап. | |
Вернемся к задаче 2. Мы записали геометрическую прогрессию 1,2,4,8,16… Или 1,3, | |
Сначала найдем сумму, которую заплатит Григорий за 5 дней. | S=1+3+ |
Умножим обе части равенства на q, чему оно у нас равно? | q=3 3S=3+ |
Перепишем равенства след образом S=1+(3+ 3S=(3+ И вычтем из 1 равенства 2 | S-3S=1- |
Преобразуем равенство, вынеся в левой части S за скобку. | S(1-3)=1- |
Выразим отсюда s. | S5= |
Так как здесь 1=b1, 3=q, Запишем формулу в общем виде | S5= |
Выразим b6 через b1. | S5= |
Вынесем общий множитель в числителе за скобку. | S5= |
Как вы думаете можно ли использовать данную формулу ко всем задачам, где нужно найти сумму первых членов геометрической прогрессии? (гипотеза) | -Наверное, да - Наверно, нет |
Докажем это или опровергнем. Рассмотрим произвольную геометрическую прогрессию b1, b1*q, b1*q2,….b1*qn…. Где q≠1 Пусть Sn –сумма первых членов этой прогрессии Чему она будет равна? | Sn= b1+b1*q+b1*q2+…+b1*qn-1(3) |
Умножим обе части равенства (3) на q. | q*Sn= b1q+b1*q2+b1*q3+…+b1*qn(4) |
Перепишем равенства (3) и (4) выдели в них одинаковые слагаемые в скобки. | Sn= b1+(b1*q+b1*q2+…+b1*qn-1) q*Sn= (b1q+b1*q2+b1*q3+…)+b1*qn |
Что можно сказать про выражения в скобках? | Они равны |
Вычтем из верхнего равенства нижнее равенство. | Sn-qSn=b1-b1*qn |
Вынесем в левой части Sn за скобку и выразим Sn | Sn(1-q)=b1-b1*qn Sn= |
Данная формула называется «формула суммы n первых членов геометрической прогрессии» . | подписывают |
А почему в условии была оговорка, что q≠1? | Иначе знаменатель обратится в ноль, делить на ноль нельзя |
Таким образом мы доказали теорему о вычислении суммы n первых членов геометрической прогрессии. Сформулируйте ее. | Сумма n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем q≠1 равна Sn= |
Запишем ее. | Теорема. Сумма n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем q≠1 равна Sn= |
Запишем теперь в оставленное место в начале урока тему нашего урока. «Сумма n первых членов геометрической прогрессии». | |
Историческая справка. Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида «Начала» 3 век до н.э., что дает нам представление о том, как давно началось изучение геометрической прогрессии. Общее правило для суммирования любой конечной геометрической прогрессии встречается в книге Н. Шюке «Наука о числах», увидевшей свет в 1484 году. | |
Вернемся к задаче 3. Как можно посчитать сумму, которую заплатил Григорий за 20 дней | По формуле Sn= |
Чему будет равно n? | n=20 |
b1? | b1=1 |
q? | q=3 |
Найдем тогда S30 | S20= |
320 равно 3486784401. | S20= 1743392200 |
Но это мы считали сумму в копейках, как перевести ее в рубли? | 17433922руб |
На какой вопрос задачи мы не ответили еще? | Кто выиграл |
Как узнаем? | Сравним 200000 меньше 1743392200 Таким образом, выиграл Василий |
Вернемся к исторической задаче 4 За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унес ли свою награду Сета. -Повелитель - был ответ, приказание твое исполняется, придворные математики исчисляют число следуемых зерен. Под вечер царь опять велел узнать получил ли свою награду Сета. Оказалось, нет: «Не в твоей власти исполнять, повелитель, такие желания. Во всех амбрах нет этого числа, нет и на всей поверхности Земли». С изумлением внимал царь слова поданного и приказал назвать ему это число. Которое мы сейчас вычислим. | |
Мы построили последовательность 1,2,4,8… | |
Что нам нужно найти? | S64 |
По какой формуле будем искать? | S64= |
Чему равно b1? | b1=1 |
q? | q=2 |
Найдем сумму. | S64= |
S64=8446744073704551615 | |
Масса такого зерна больше триллиона тонн. Для того чтобы осознать насколько это большое число представим что зерно хранят в амбаре площадью 12 га. Тогда его высота была бы больше расстояние от земли до солнца. Индусский царь не был в состоянии выплатить его, но если бы он знал формулу суммы первых членов геометрической прогрессии, то не попал в такую ситуацию. Поэтому мы еще раз убедились в необходимости знания данной формулы | |
Рассмотрим теперь задачу 5 на применение данной формулы. Последовательность 5,15,45….1215… является геометрической прогрессией. Найти сумму 5+15++1215(Представлено на слайде) | |
Запишем что нам дано? | b1=5 q=3 bn=1215 |
Что нужно найти? | Sn |
Запишем формулу? | Sn= |
Что нам неизвестно? | n |
Как можно выразить n, если знаем bn, b1? | bn=b1*qn-1 |
Выразим qn? | qn= |
Подставим в формулу | Sn= |
Таким образом, мы получили еще формулу для вычисления суммы первых членов геометрической прогрессии, если нам известно b1,q,bn | |
Подставим | Sn= |
Верно, выпишем отдельно, полученную в данной задаче формулу для вычисления суммы первых членов геометрической прогрессии, если нам известно b1,q,bn | Sn= |
Рефлексивно оценочная часть | |
Какая была цель нашего урока? | Доказать или опровергнуть существование формулы для вычисления суммы n первых членов геометрической прогрессии. Разрешить историческую задачу |
Достигли ли мы ее? | Да, доказали что существует формула позволяющая вычислять сумму первых n первых членов геометрической прогрессии |
Сформулируйте ее | Сумма n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем не равным 1 равна Sn= |
Какова была проблема в нашем уроке? | Разрешить данную историческую задачу с помощью особой формулы, которая помогла бы нам также |
Решили ли мы ее и как? | Решили, доказав формулу вычисления суммы n первых членов геометрической прогрессии |
Домашнее задание Параграф 21.Знать формулу. №282(2,4)№283(2),№284(2)№285 (2,4) (Представлено на слайде) | Домашняя работа №282(2,4) Найти сумму n первых членов геометрической прогрессии, если 2)b1=-2,q= Sn= Sn= 4) b1=-4,q= Sn=-4*200=-800 №283(2) Найти сумму семи первых членов геометрической прогрессии 2)2,6,18… b1=2,q=3,n=7 Sn= S7= №284(2) В геометрической прогрессии найти 2)b1,b8 , если q=-2,S8=85 Sn= 85= 255=-255b1 b1=-1 b8=b1*qn-1 b8=-1*(-2)7=128 №285 (2,4) В геометрической прогрессии найти n членов 2)Sn=635, b1=5,q=2 Sn= 635= -635=5-5*2n 128=2n n=7 4)Sn=-99, b1=-9,q=-2 Sn= -99= -297=-9+9*(-2)n -32=(-2)n n=5 |
Предварительный просмотр:
Тема 1. Натуральные числа
1. Расставить скобки так, чтобы получилось верное равенство:
1×2+3×4+5×6-7+8=29
2. Заменить значки «*» на значки «+» и «-» так, чтобы получилось верное равенство:
13×11×9×7×5×3×1=1
3. Какова последняя цифра ответа:
1997×1999×2001-1998×2000
4. Вычислить устно:
а)125125:125
б)66667777:11
5. Продолжить числовой ряд:
18;10;6;4…
2;5;10;17;20…
125;64;27…
6. На сколько отличается число
50000+4000+200+30+5
от числа
40000+3000+100+20+4
7. Из четырех цифр 1,2,3,4 составьте два различных двухзначных числа, произведение которых будет наибольшим. Найдите это произведение.
8. Решить задачу:
Девять коз за 3 дня съедают 27 мешков корма. Сколько корма надо пяти козам за 5 дней?
9. Найдите решения уравнения
а×в=4× (а+в)
10. Какими натуральными числами необходимо заменить а и в, чтобы корнем уравнения (11-а)+(х-в)=16 было число 7?
Тема 2. Измерение величин:
1. Прямоугольник разрезали на три одинаковых квадрата, сумма периметров которых 24 см. Найдите площадь исходного прямоугольника.
2. Из кирпичей, длина которых 30 см, ширина 10 см и высота 5 см, сложили куб, ребро которого равно 120 см. Сколько кирпичей на это было затрачено?
3. Высота самой большой горы на Земле 9000 км, а на рисунке в книге она имеет высоту 30 см. Сколько километров в 1 см изображения?
Тема 3. Степень с натуральным показателем
1. Рассмотрите равенства и вычислите:
=1
=121
=12321
=
2. Сравните и
3.Найдите последнюю цифру числа
,
,
4. Вычислить -
5. Сократить дробь:
6. Чему равна утроенная половина четверти числа 96?
7. Задача:
Среди моих знакомых есть любители кошек и любители собак. Причем число любителей собак составляет числа тех, кто любит собак, и
числа тех, кто любит кошек. Кого среди моих знакомых больше: любителей кошек или любителей собак?
8. Задача:
Группа туристов отправилась в поход. В первый день они прошли 1/3 пути, во второй 1/3 остатка, в третий 1/3 нового остатка. В результате им осталось пройти 32 км. Сколько километров был маршрут туристов?
Проблемные ситуации при изучении темы “Нумерация чисел”
I. “Десяток”
1. Проведи прямую линию так, чтобы она пересекала кривую линию:
в двух точках; в трех точках; в пяти точках; в шести точках.
2. Прочитай “лишнее” число: 7, 6, 8, 10, 5, 2.
3. Пронумеруй деревья по высоте начиная с самого высокого дерева:
4. Сколько на рисунке треугольников? Сколько на рисунке четырехугольников? Сколько всего фигур?
5. Какое число нужно написать в столбике?
1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
ž 1 2 3
II. Место каждого числа в натуральном ряду.
1. Посчитай грибы. Запиши цифрами числа, которые ты называешь. Проверь, получился ли у тебя такой ряд чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Подумай, как ты получил каждое следующее число.
2. Какие числа пропущены?
_ 2 3 _ _ 6 7 _ 9
3. Выбери ряд чисел, которым можно пользоваться при счете предметов:
а) 1, 2, 4, 3. 5, 6, 7, 9, 8;
6) 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1;
в) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;
г) 1, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8.
5. Запиши числа в порядке возрастания:
9, 3, 7, 5, 1, 2, 4, 6, 8.
-Какой ряд чисел у тебя получился?
-По какому правилу он записан?
6. Сколько листов между пятым и девятым листами альбома?
III. Принцип образования натурального ряда чисел:
1. Назови соседей чисел: 8, 5, 1.
2. Увеличь на 1 число: 6, 9, 3.
3. Запиши число на 1 меньше, чем: 5, 1,9.
4. Скажи, какое число равно сумме всех предшествующих ему в ряду?
5. Какие числа должны стоять в следующем ряду?
5
4 4
3 3 3
2 2 2 2
… … …
6. Каких чисел не хватает в ряду? 4 4 4 4 3 3 3 _ _ 1.
7. Напиши числа: 5, 6, 7, 8, 9. На сколько каждое следующее число больше предыдущего? Можно ли назвать этот ряд чисел натуральным? Напиши еще один отрезок натурального ряда.
8. Можно ли, не считая, сказать, сколько клеток в каждом ряду?
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
9. Лестница состоит из 7 ступенек.
Какая ступенька находится на середине лестницы?
10. На поляне растут цветы. Девять бабочек выбрали по цветку и сели на них. К свободному цветку подлетает пчела. Каким по счету будет цветок на который садится пчела?
IV. Сравнение чисел.
1. Какие числа можно вставить в “окошки”, чтобы получились верные неравенства?
2. Какие из чисел, записанных в строке, меньше 6?
1,9,7.5,4,2,8,6,3. Назови их по порядку.
3. Найди ошибки:
8=8 64 4
4. На велосипедах катались 9 мальчиков и 7 девочек. Кого было меньше? Как записать? Кого было больше? Как записать?
5. Какие числа надо зачеркнуть, чтобы среди оставшихся чисел каждое следующее было на 2 больше предыдущего? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 .
“Сотня”
I. Запись чисел и их названия.
1. Запиши цифрами числа, которые соответствуют каждому рисунку:
Чем похожи рисунки? Чем рисунки отличаются?
Чем похожи числа? Чем числа отличаются?
* * *
* * * *
*
2. Напиши и назови различные двузначные числа, используя цифры: 2 и 4.
3. Прочитай "лишнее" число: 92, 33, 42, 70, 15.
II. Место каждого числа в натуральном ряду.
1. Перепиши числа в порядке убывания
а) 98, 89, 78, 87, 64, 46, 52, 25.
б) 23,32,48,84, 19, 11, 91.
2. Назови в порядке возрастания числа от 78 до 87.
3. В поезде 14 вагонов. Мальчик сел в седьмой вагон. Сколько вагонов впереди этого вагона и сколько вагонов сзади?
4. В поезде 16 вагонов. Какие вагоны находятся в середине поезда?
5. Найди закономерность и продолжи ряд чисел:
- 90, 70, 80, 60, 70, 50, 60, 40, 50...
- 20, 50, 30, 60, 40, 70, 50,80, 60...
6. Сколько находится домов между домами № 26 и № 55?
7. Начало рассказа помещено на 16 странице, а конец на 31. Сколько страниц занимает этот рассказ?
III. Принцип образования натурального ряда чисел:
1. Назови соседей числа 80.
2. Увеличь на 1 число 60.
3. Запиши число на 1 меньше, чем 50.
1.При изучении систем счисления можно предложить такое задание:
-Известно, что если два натуральных числа имеют разное количество разрядов, то больше то число, у которого разрядов больше. Однако неравенство 101
2. Тема «Деление и дроби»
-Чтобы найти корень уравнения вида а*х = б, нужно б разделить на а. Если б не делится на а нацело, то уравнение не имеет натуральных корней.
Как объяснить тот факт, что уравнение 5х=1 имеет корень?
3. Тема «Проценты»
-В конкурсе участвовали два класса. Из 4 «а» класса – 50% учащихся, а из 4 «б» - 40%. При подсчете оказалось, что количество участников из каждого класса одинаково. Почему?
4. Тема «Свойства деления»
-Коле дали задание найти значение выражения
(37 + 34*5) : (45*3 – 135) .
-Он сказал, что найти значение этого выражения нельзя. Прав ли он?
5. Тема «Объем прямоугольного параллелепипеда»
-Длина плавательного бассейна 200 м, а ширина 50 м. В бассейн налили 2 000 000 л воды. Как вы полагаете, можно ли плыть в этом бассейне?
6. В легенде рассказывается, что, когда один из помощников Магомета – мудрец Хозрат Али садился на коня, подошедший человек спросил его:
- Какое число делится без остатка на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?
Мудрец ответил:
- Умножь число дней в неделе на число дней в месяце (считая, что в месяце 30 дней) и на число месяцев в году.
-Прав ли Хозрат Али? Почему?
Познавательные задачи
Огромное значение для активизации познавательной деятельности имеют познавательные задачи. Если ученик воспринимает задачу как проблему и самостоятельно ее решает, то это есть главнейшее условие развития его мыслительных способностей.
Типология задач:
1. Задачи с несформулированным вопросом.
В этих задачах нарочно не формулируется вопрос, но этот вопрос логически вытекает из данных в задаче математических отношений. Учащиеся упражняются в осмысливании логики данных в задаче отношений и зависимостей. Задача решается после того, как ученик сформулирует вопрос (иногда к задаче можно поставить несколько вопросов). В скобках указывается пропущенный вопрос.
Пример 1. Шоколад стоит 15 руб., коробка конфет 30 руб. Задайте все возможные вопросы по условию данной задачи.
Пример 2.
2. Задачи с недостающими данными.
В задачах этого типа отсутствуют некоторые данные, вследствие чего дать точный ответ на вопрос задачи не представляется возможным. Школьник должен проанализировать задачу и доказать, почему нельзя дать точного ответа на вопрос задачи, чего не хватает, что надо добавить.
Пример 1. Из двух пунктов вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Скорость одного пешехода равна 7 км/ч, а скорость другого – на 1 км/ч больше. Какое расстояние будет между пешеходами через 2 часа?
Учащимся задаются вопросы:
-Почему нельзя дать ответ на вопрос задачи?
-Чего не хватает?
-Что нужно добавить?
-Докажи, что теперь задачу точно можно будет решить?
-А можно ли что-нибудь извлечь даже из имеющихся данных?
-Какое заключение можно сделать из анализа того, что дано?
Пример 2.
3. Задачи с излишними данными.
Масса 11 ящиков яблок 4 ц 62 кг, а масса 18 ящиков груш 6 ц 12 кг. В магазин привезли 22 ящика яблок и 6 ящиков груш. На сколько килограммов масса одного ящика яблок больше массы одного ящика груш.
4. Задачи с несколькими решениями.
Для упражнения гибкости мышления важно, чтобы школьник умел находить несколько решений одной и той же задачи. Если эти решения неравноценны с точки зрения экономичности и рациональности, то ученик должен дать с этой точки зрения оценку каждому решению. Надо побуждать школьника найти наиболее рациональное, ясное, простое, изящное решение.
Пример 1. За три дня в магазине продано 1280 кг яблок. В первый день продали 25% всех яблок, а во второй день – 45% всех яблок. Сколько килограммов яблок продали в третий день? Решите задачу несколькими способами. Какой из них наиболее простой.
Пример 2.
5. Задачи с меняющимся содержанием.
Необходимо перестроить содержание действия по решению задачи в соответствии с изменившимися условиями. Такие задания заставляют размышлять, пробовать, ошибаться и, наконец, находить правильный ответ. Дети постоянно ищут рациональный способ решения, делают для себя открытия.
Пример 1. Исходная задача. Туристы прошли за день 20 км, что составило 40% намеченного маршрута. Какова длина маршрута?
Второй вариант. Туристы прошли за день 20 км, и им осталось пройти 60% намеченного маршрута. Какова длина маршрута?
Пример 2.
6. Задачи на доказательство.
Пример. Докажите, что число + 1 делится на 2.
7. Задачи на соображение, логическое рассуждение.
Создание проблемных ситуаций
Задание. Как вы полагаете, верно ли выполнено сравнение? 24, 325
(Дети как правило отвечают, что неверно).
-Сравнение выполнено верно. Как же могло получиться, что число, состоящее из большего числа разрядов, меньше числа, состоящего из меньшего числа разрядов?
Проблемная задача №1.
Длина аквариума 80 см, ширина 45 см, а высота 55 см. Сколько воды надо влить в этот аквариум, чтобы уровень воды был ниже верхнего края аквариума на 10 см?
Проблема: не знают понятие объема и формулу для нахождения объема параллелепипеда.
Учащиеся выбирают необходимую им информацию, используя текст учебника. Обсуждают решение задачи, делают вывод, записывают формулу в тетради.
Проблемная задача №2.
Длина плавательного бассейна 200 м, а ширина 50 м. В бассейн налили 2 000 000 л воды. Можно ли плыть в этом бассейне?
Проблема: несоответствие единиц измерения.
Учащиеся ищут пути решения задачи, используя повествование учителя о единицах измерения объемов.