олимпиада

5 класс.

№1. Найдите решение числового ребуса  Я +О⋅Н + Д ⋅ Р⋅У ⋅ З ⋅ Ь⋅ Я = М ⋅Ы (одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными – разные).

№2. Разрежьте треугольник на семь треугольников.

№3. Волк, Ёж, Чиж и Бобёр делили апельсин. Ежу досталось вдвое больше долек, чем Чижу, Чижу – впятеро меньше, чем Бобру, а Бобру – на 8 долек больше, чем Чижу. Найдите, сколько долек было в апельсине, если Волку досталась только кожура.

№4. Маленький Витя помогал папе и дедушке вешать полки. Чтобы повесить одну полку, нужно вбить шесть гвоздей. Витя вбил меньше всех – 10 гвоздей, а его папа больше всех – 14 гвоздей. Сколько всего полок они повесили?

№5. Степа задумал два четырехзначных числа и сказал, что:

- все цифры одного из них различны;

-если записать цифры одного из них в обратном порядке, получится второе число;

-одно из них четно, а другое нечетно;

-разность этих чисел меньше 1000.

Найдите наибольшее возможное значение суммы задуманных чисел.

1. Найдите все решения ребуса 20·11 = КАА+РА, где одинаковыми буквами зашифрованы одинаковые цифры, а разными — разные.

2. Ребята собрали в саду по полному ведёрку спелых яблок. Всего было собрано 361 яблоко, причём в каждом ведёрке их оказалось одинаковое количество. Сколько ребят ходило в сад? (В саду было несколько ребят, и в каждом ведёрке — несколько яблок)

3. Разрежьте фигуру на рисунке справа на две части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.

4. 7 карандашей дороже 8 тетрадей. Что дороже — 8 карандашей или 9 тетрадей?

5. Встретились трое — лжец, который всегда лжет, рыцарь, который всегда говорит правду и турист, который может и говорить правду, и лгать. Первый сказал: «Я — турист». Второй сказал: «Первый и третий — не лжецы». Третий сказал: «Второй — турист». Определите, кто есть кто.

Базовый вариант

1. Как в записи 211111 = 100 расставить знаки арифметических действий и скобки, чтобы получилось верное равенство?

2. Мойдодыр был «умывальников начальник и мочалок командир». В каждый отряд входит один умывальник и 5 мочалок. Всего умывальников и мочалок 102. Сколько мочалок находится под командой Мойдодыра? Ответ объясните.

3. На клетчатой бумаге нарисован квадрат со стороной в 5 клеточек. Как разрезать его по сторонам клеточек на 7 различных прямоугольников (квадрат — тоже прямоугольник)?

4. Один из попугаев всегда говорит правду, другой всегда врет, а третий — хитрец: иногда говорит правду, иногда врет. На вопрос: «Кто Кеша?» — они ответили: Гоша: «Лжец». Кеша: «Я хитрец!» Рома: «Абсолютно честный попугай». Кто Кеша? Почему?

5. Играя в настольную игру, Петя набрал за 40 ходов 90 очков, а Стёпа — 119 очков за 36 ходов. За каждый правильный ход давалось 7 очков, а за каждый ошибочный снималось 12 очков. У кого больше правильных ходов? Ответ обоснуйте.

Усложнённый вариант

1. В примере на умножение «в столбик» часть цифр заменили звёздочками. Получилось то, что показано на рисунке справа. Восстановите стёртые цифры.

2. Муравьишка проехал на гусенице некоторое расстояние за 28 минут. За сколько минут муравьишка проедет на жуке расстояние в 4 раза большее, если скорость жука в 7 раз больше скорости гусеницы? Ответ объясните.

3. Один из попугаев всегда говорит правду, другой всегда врет, а третий — хитрец: иногда говорит правду, иногда врет. На вопрос: «Кто Кеша?» – они ответили: Гоша: «Лжец». Кеша: «Я хитрец!» Рома: «Абсолютно честный попугай». Кто Кеша? Почему?

4. На доске записаны в ряд числа от 1 до 600. Петя вычёркнул из него все чётные числа: 2, 4, 6, …, а Вася — все числа, делящиеся на 3: 3, 6, 9, …. Сколько всего чисел было вычеркнуто? Обоснуйте ответ.

5. Однажды в понедельник Петя принес в школу и дал почитать Коле сборник фантастических рассказов. Во вторник Коля отдал его Грише, Гриша в четверг отдал его Саше, Саша в следующий понедельник отдал его Володе, и так далее, причем каждый держал у себя книгу вдвое дольше предыдущего. В результате книга вернулась к Пете опять в понедельник, но лишь в следующей учебной четверти. Сколько ребят, кроме Пети, успели ее прочесть? Как Вы нашли ответ?

5.1. Замените значки * в выражении 13*11*9*7*5*3*1 = 1 на знаки + и – так, чтобы

получилось верное равенство.

5.2. Придумайте какой-нибудь прямоугольник периметра 18, который можно разрезать

на 5 клетчатых квадратов. (Квадраты могут быть разных размеров. Клеточка имеет

размер 1х1.)

5.3. Мальчик по чётным числам всегда говорит правду, а по нечётным всегда говорит

неправду. Как-то его три ноябрьских дня подряд спрашивали: «Как тебя зовут?». На

первый день он ответил: «Андрей», на второй: «Борис», на третий: «Виктор». Как

зовут мальчика? Объясните, как вы рассуждали.

5.4. Гусеница ползет по столбу 5 минут вверх, затем 2 минуты вниз, потом опять 5

минут вверх и 2 минуты вниз и т.д. Скорость гусеницы всегда постоянна и равна 10 см

в минуту. За какое время гусеница поднимется на 1,2 м?

5.5. Артем, Борис, Ваня и Глеб на перемене ели конфеты. Каждую минуту каждый из

них съедал по одной конфете. В начале перемены у Артема и Бориса вместе было

столько же конфет, сколько у Вани и Глеба. Могло ли в конце перемены у всех вместе

остаться 15 конфет? Объясните свой ответ.

Базовый вариант

1. В числе 3 278 954 106 зачеркните три цифры так, чтобы оставшиеся цифры в том же порядке составили как можно меньшее семизначное число.
2. Кот Матроскин принёс с базара несколько яблок и хвастается Шарику: «Я купил в четыре раза больше яблок, чем ты вчера, но заплатил за каждое яблоко вдвое меньше». Сколько денег заплатил Матроскин, если Шарик истратил на яблоки 75 рублей?
3. У пяти пиратов было по 16 монет. Потом первый отдал половину своих монет второму, второй – половину от имеющихся теперь монет третьему, третий половину четвертому, а четвертый – половину пятому. На сколько монет у пятого пирата стало больше, чем у первого?
4. Первый вторник месяца Митя провёл в Смоленске, а первый вторник после первого понедельника  — в Вологде. В следующем месяце Митя первый вторник провёл во Пскове, а первый вторник после первого понедельника  — во Владимире. Определите, какого числа и какого месяца Митя был в каждом из городов?
5. Выберите из пяти изображённых фигурок четыре и сложите из них квадрат.

Усложнённый вариант

1. Кот Матроскин принёс с базара несколько яблок и хвастается Шарику: «Я купил в четыре раза больше яблок, чем ты вчера, но заплатил за каждое яблоко вдвое меньше». Сколько денег заплатил Матроскин, если Шарик истратил на яблоки 75 рублей?

2. Имеются 12-литровый бочонок, наполненный квасом, и два пустых бочонка  — в 5 и 8 л. Попробуйте, пользуясь этими бочонками: а) разделить квас на две части  — 3 и 9 л; б) разделить квас на две равные части.

 3. У пяти пиратов было по 16 монет. Потом первый отдал половину своих монет второму, второй – половину от имеющихся теперь монет третьему, третий половину четвертому, а четвертый – половину пятому. На сколько  монет у пятого пирата стало больше, чем у первого?

4. Алиса и Белый Кролик в полдень вместе вышли из домика Кролика и пошли на прием к Герцогине. Пройдя полпути, Кролик вспомнил, что забыл перчатки и веер, и вернулся за ними домой. В результате Алиса пришла к Герцогине за 5 минут до начала приема, а Кролик опоздал на 10 минут. Алиса и Кролик шли с постоянными и одинаковыми скоростями. На какое время был назначен прием у Герцогини?

5. Разрежьте изображённый на рисунке пятиугольник на две одинаковые (совпадающие при наложении) части.

        1. Из книги выпал кусок, первая страница которого имеет номер 143, а номер последней состоит из тех же цифр, но записанных в другом порядке. Сколько страниц выпало из книги?

2. Как разделить круг тремя прямыми на 4, 5, 6, 7 частей?

3. Три яблока, четыре груши и один персик стоят 40 руб. Одно яблоко, четыре груши и персик стоят 32 руб. Сколько стоят одно яблоко, одна груша и один персик, если персик стоит столько, сколько стоят два яблока?

4. Расшифруйте ребус:

                                             C И Н И Ц А

                                         +

                                             С И Н И Ц А

                                            ____________

                                              П Т И Ч К И

5. Кенгуру мама прыгает за 1 секунду на 3 метра, а её маленький сынишка прыгает на 1 метр за полсекунды. Они одновременно стартовали от бассейна к эвкалипту по прямой. Сколько секунд мама будет ждать сына под деревом, если расстояние от бассейна до дерева 240 метров?

6 класс.

№1. Найдите решение числового ребуса ОГОГО + УГУГУ = УГУГУГ (одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными – разные).

№2. Капитан Джек Воробей объявил, что максимальная скорость корабля «Черная жемчужина» равняется 50 м/мин. Уилл Тернер ему не поверил и правильно: капитан все перепутал и думал, что в метре 60 сантиметров, а в минуте 100 секунд. Помогите Уиллу определить максимальную скорость передвижения «Черной жемчужины».

№3. Разрежьте квадрат 3×3 на две части и квадрат 4×4 на две части так, чтобы из полученных четырех кусков можно было сложить квадрат.

№4. По двум телевизионным каналам одновременно начали показывать один и тот же фильм. На первом канале фильм разбили на части по 20 минут каждая и вставили между ними двухминутные рекламные паузы. А на втором канале фильм разбили на части по 10 минут каждая и вставили между ними минутные рекламные паузы. На каком канале фильм закончится раньше? (в конце фильма рекламы не было)

№5. В конце учебного года шестиклассник Ваня посчитал количество замечаний в своём дневнике за 6-й класс. Их оказалось 50. Ваня заметил, что с каждым годом количество замечаний возрастает на одно и то же число. Сколько замечаний получит Ваня за все 11 лет учёбы в школе, если эта закономерность будет продолжаться?

1. Федя бежал лыжный кросс на 10 километров. Все участники кросса стартовали одновременно и бежали с постоянными скоростями. Через полчаса после старта выяснилось, что Федя пробежал в 4 раза меньше лидера и отстает от него на 6 километров. С какой скоростью бежал лидер?

2. Вычеркните четыре цифры из записи 254727+46490 так, чтобы получилась наименьшая возможная сумма.

3. На Черном озере расцвели сине-зелёные водоросли. Каждый день покрытая ими площадь поверхности озера удваивалось, а на 16-й день все озеро покрылось ими. На какой день покрылась водорослями четверть Черного озера?

4. Как разделить 7 яблок поровну между 12 школьниками, если каждое яблоко надо разрезать на равные части, но ни одно нельзя разрезать более, чем на 5 частей?

5. Покажите, как разрезать фигуру, изображённую на рисунке справа, на четыре одинаковые части и сложить из этих частей квадрат размером 6×6 с шахматной раскраской.

Базовый вариант

1. Найдите площадь прямоугольника, если его длина на 7 см больше ширины, а полупериметр равен 23 см.

2. Муравьишка проехал на гусенице некоторое расстояние за 28 минут. За сколько минут муравьишка проедет на жуке расстояние в 4 раза большее, если скорость жука в 7 раз больше скорости гусеницы?

3. На доске записаны в ряд числа от 1 до 600. Петя вычёркнул из него числа, идущие через три: 1, 4, 7, 10,…, а Вася — числа, идущие через четыре:1, 5, 9, 13,… Сколько всего чисел было вычеркнуто?

4. Как расставить в кружках на рисунке все цифры от 1 до 7, чтобы их сумма на каждой из трёх окружностей и на каждой из трёх прямых равнялась 12?

5. Придя с работы, мама обнаружила, что ее любимая вазочка разбита. «Кто это сделал?» — обратилась она к детям.

Саша сказал: «Я не разбивал. Вазу разбил Олег.»

Олег сказал: «Это сделал не я. Это сделал Саша.»

Маша сказала: «Я вазочку не разбивала. И Олег не разбивал.»

Известно, что каждый из детей один раз сказал правду и один раз солгал. Кто разбил вазу?

Усложнённый вариант

1. Машина движется со скоростью 80 км/час. С какой скоростью ей надо двигаться, чтобы 1 км проезжать на 15 секунд быстрее?

2. На доске записаны в ряд числа от 1 до 600. Петя вычёркнул из него числа, идущие через три: 1, 4, 7, 10,…, а Вася — числа, идущие через четыре:1, 5, 9, 13,… Сколько всего чисел было вычеркнуто?

3. Как расставить в кружках на рисунке все цифры от 1 до 7, чтобы их сумма на каждой из трёх окружностей и на каждой из трёх прямых равнялась 12?

4. В понедельник в полдень (12:00) электронные часы с цифровой 24-часовой индикацией (от 0:00 до 23.59) показывали верное время, а уже через 4 часа они отставали на 1 час. В какой день и час часы впервые покажут время, на 1 час большее, чем на самом деле?

5. Придя с работы, мама обнаружила, что ее любимая вазочка разбита. «Кто это сделал?» — обратилась она к детям.

Саша сказал: «Я не разбивал. Вазу разбил Олег.»

Олег сказал: «Это сделал не я. Это сделал Саша.»

Маша сказала: «Я вазочку не разбивала. И Олег не разбивал.»

Известно, что каждый из детей один раз сказал правду и один раз солгал. Кто разбил вазу?

6.1. Найдите все трёхзначные числа, у которых вторая цифра вчетверо больше первой,

а сумма всех трёх цифр равна 14.

6.2. Из клетчатого квадрата 5х5 вырезали центральный квадратик 1х1. Разрежьте

оставшуюся фигуру на 4 равные клетчатые фигуры. (Приведите какой-нибудь один

пример разрезания).

6.3. Из ящика с яблоками взяли половину всего количества яблок, потом еще половину

остатка, затем половину нового остатка, и, наконец, половину следующего остатка.

После этого в ящике осталось 10 яблок. Сколько яблок было в ящике вначале?

6.4. В трех коробках лежат елочные шары: в одной – два красных, в другой – красный

и синий, в третьей – два синих шара. На коробках написано: «Два красных», «Красный

и синий», «Два синих». Известно, что ни одна из надписей не является правильной.

Как, вытащив всего один шар, определить, в какой коробке лежат какие шары?

Укажите, из какой коробки его нужно взять и как потом определить содержимое

коробок.

6.5. Три подруги принесли в школу конфеты. Вторая принесла в два раза больше

конфет, чем первая, а третья – в три раза больше, чем первая. Они сложили все

конфеты вместе. После того, как подруги съели по 3 конфеты, первая ушла, а вторая

поделила оставшиеся конфеты поровну. Третья сказала второй, что она ошиблась.

Почему она так решила?

Базовый вариант

1. Найдите дробь, равную , разность знаменателя и числителя которой равна 99.
2. Квадрат разбит на прямоугольники, периметры двух из них указаны на рисунке. Найдите длину стороны квадрата.

3. Знаменитый садовод Лэсли Браун завещал свой сад сыновьям. Четыре сына должны были поделить сад так, чтобы каждый участок был одинаковой формы, одинакового размера и на каждом росло по три экзотических дерева. Сыновья справились с этой непростой задачей. А вам она по силам?

4. На каждой перемене девочка Света съедает по конфете. За неделю (с понедельника по субботу) было 30 уроков. Сколько всего конфет съела Света на переменах за неделю?

5. Богини Гера, Афина и Афродита пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее. Представ перед Парисом, богини высказали следующие утверждения. Афродита: «Я самая прекрасная. Гера не самая прекрасная». Афина: «Афродита не самая прекрасная. Я самая прекрасная». Гера: «Я самая прекрасная». Афина: «Я самая прекрасная». Парис предположил, что все утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух других богинь ложны. Мог ли Парис вынести решение, кто из богинь прекраснее?

Усложнённый вариант

1. У Даши было 9 кусочков бумаги. Некоторые из них она разрезала на три части. Всего получилось 15 кусочков. Сколько кусочков разрезала Даша?

2. К числу 43 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45. Найдите все решения.

3. На каждой перемене девочка Света съедает по конфете. За неделю

(с понедельника по субботу) было 30 уроков. Сколько всего конфет съела Света на переменах за неделю?

6. Богини Гера, Афина и Афродита пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее. Представ перед Парисом, богини высказали следующие утверждения. Афродита: «Я самая прекрасная. Гера не самая прекрасная». Афина: «Афродита не самая прекрасная. Я самая прекрасная». Гера: «Я самая прекрасная». Афина: «Я самая прекрасная». Парис предположил, что все утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух других богинь ложны. Мог ли Парис вынести решение, кто из богинь прекраснее?

7. В произведении К×Е×Н×Г×У×Р×У буквами зашифрованы некоторые цифры (одинаковые цифры обозначены одинаковыми буквами, а разные – разными). Произведение не делится на 4. Найдите, какой цифрой оно оканчивается.

1. Какой цифрой оканчивается сумма

94+ 76+ 51?

2. Расставьте в записи 4 × 12 + 18 : 6 + 3 скобки так, чтобы получился наименьший возможный результат.

3. Ваня, Коля и Антон могут одинаково быстро вскопать землю лопатой. Если любые два из этих мальчиков будут работать вместе, то справятся с земельным участком за полтора часа. За какое время ребята вскопают тот же участок, если будут работать все трое вместе?

4. Расшифруйте ребус:

                                        Д В А

                                     ×

                                        Д В А

                                     ________

                                    *  *  *  *

                                *  *  *  В

                             Е *  *  *

                            _____________

                             Ч Е Т Ы Р Е

5. Длина ребра куба 0,5 м. Этот куб разрезали на кубики, длина ребра каждого из которых равна 2 мм. Затем кубики уложили в один сплошной ряд. Чему равна его длина?

7 класс.

№1. Старый будильник отстает на 8 минут за сутки. На какое время его надо завести в 20.00, чтобы он зазвонил вовремя в 8 часов утра следующего дня?

№2. Рядом начерчены квадраты со сторонами 10 см, 8 см и 4 см. Чему равна площадь закрашенной фигуры?

№3. Ваня задумал простое трёхзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может оканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух?

№4. Маша вышла из дома, через 12 минут оттуда же вышли Гриша и Степа. Гриша шел вдвое быстрее Степы и догнал Машу за 4 минуты. За сколько минут догнал Машу Степа?

№5. За билетами на концерт стояла очередь школьников. Из подошедшего автобуса в очередь к знакомым влезло еще несколько школьников так, что между каждыми двумя соседями влез один человек. То же случилось с новой очередью, когда подошел еще один автобус. Так же увеличивалась очередь еще после двух автобусов. Теперь в ней стоят 177 человек. А сколько человек было в очереди перед приходом первого автобуса?

1. Полная фляга с медом весит 74 кг, а та же фляга, заполненная медом на треть — 38 кг. Сколько весит пустая фляга?

2. Про число x известно, что x = a–b+2010 = b–c+2011 = c–a+2012. Найдите x.

3. Может ли в результате переезда жителя села Чудинского в село Юдинское увеличиться средний возраст жителей обоих сёл?

4. Покажите, как разрезать фигуру, изображённую на рисунке справа, на четыре одинаковые части и сложить из этих частей квадрат размером 6×6 с шахматной раскраской.

5. Старинные настенные часы почтальона Печкина испортились. С 24 часов до часу ночи они шли нормально. Затем каждый час часовая и минутная стрелки менялись скоростями. Какой угол был между стрелками в 3 часа 30 минут?

Базовый вариант

1. Учащиеся выполняли на доске упражнение на приведение подобных слагаемых, а затем стерли знаки между слагаемыми. У них получилось

3х   5у   7х   4у   5х   2у = х+7у

Какой могла быть исходная запись?

2. А = , В=. Что больше, А или В?

3. Я иду от дома до школы 30 минут, а мой брат — 40 минут. Через сколько минут я догоню брата, если он вышел из дома на 5 минут раньше меня?

4. В понедельник в полдень (12:00) электронные часы с цифровой 24-часовой индикацией (от 0:00 до 23.59) показывали верное время, а уже через 4 часа они отставали на 1 час. В какой день и час часы впервые покажут время, на 1 час большее, чем на самом деле?

5. Новогодняя гирлянда состоит из 50 красных и синих лампочек. Рядом с любой красной лампочкой есть синяя. Какое наименьшее количество синих лампочек может быть в гирлянде?

Усложнённый вариант

1. Найдите четырёхзначное число, у которого сумма трёх последних цифр равна 26, а сумма двух первых цифр равна 9.

2. Найдите все несократимые дроби, которые при прибавлении знаменателя к числителю увеличиваются в 4 раза.

3. В понедельник в полдень (12:00) электронные часы с цифровой 24-часовой индикацией (от 0:00 до 23.59) показывали верное время, а уже через 4 часа они отставали на 1 час. В какой день и час часы впервые покажут время, на 1 час большее, чем на самом деле?

4. Новогодняя гирлянда состоит из 50 красных и синих лампочек. Рядом с любой красной лампочкой есть синяя. Какое наименьшее количество синих лампочек может быть в гирлянде?

5. Точки D и E делят сторону АС треугольника АВС на три равные части. Может ли случиться, что отрезки BD и BE делят угол АВС на три равные части?

7.1. Найдите какое-нибудь натуральное число такое, что если к нему прибавить сумму

его цифр, то получится 2222.

7.2. Мама купила 10 больших пирожных, 7 средних и 4 маленьких. Маленькое

пирожное весит вдвое меньше среднего, а большое — втрое больше маленького. Как

маме поделить их между шестью детьми, чтобы общий вес пирожных, доставшихся

каждому, был одним и тем же, если разрезать пирожные она не хочет?

7.3. Поезд, двигаясь с постоянной скоростью, к 17:00 проехал в 1,2 раза больший путь,

чем к 16:00. Когда поезд выехал?

7.4. Как разрезать клетчатый квадрат размером 6х6 клеточек на четыре одинаковые

фигуры периметра 16 каждая, если резать можно только по сторонам клеточек?

Сторона клеточки равна 1.

7.5. Двадцать семь одноклассников ели конфеты на первой и на второй переменах,

причем на второй перемене каждый съел на одну конфету больше, чем на первой. Петя

сказал, что он посчитал общее количество съеденных конфет и получил ответ 210.

Правильно ли он посчитал? Объясните свой ответ.

Базовый вариант

1. Найдите все корни уравнения |х - 2012| = 2013.

2. Куб сложен из 27 одинаковых кубиков (см. рис.). Сравните площадь поверхности этого куба и площадь поверхности фигуры, которая получится, если из него вынуть все "угловые" кубики. 

3. Алиса и Белый Кролик в полдень вместе вышли из домика Кролика и пошли на прием к Герцогине. Пройдя полпути, Кролик вспомнил, что забыл перчатки и веер, и вернулся за ними домой. В результате Алиса пришла к Герцогине за 5 минут до начала приема, а Кролик опоздал на 10 минут. Алиса и Кролик шли с постоянными и одинаковыми скоростями. На какое время был назначен прием у Герцогини?

4.Четверо купцов заметили, что если они сложатся без первого, то соберут 90 рублей, без второго – 85, без третьего – 80, без четвертого – 75 рублей. Сколько у кого денег?

5. Фигура, изображенная на рисунке, составлена из квадратов. Найдите сторону левого нижнего квадрата, если сторона самого маленького квадрата равна 1.

Усложнённый вариант

1. Сколько треугольников и сколько квадратов мы видим на картинке?

2. Алик, Боря и Вася собирали грибы. Боря собрал грибов на 20% больше, чем Алик, но на 20% меньше, чем Вася. На сколько процентов больше Алика собрал грибов Вася?

3.        В равенстве  ТИХО + ТИГР = СПИТ  замените одинаковые буквы одинаковыми цифрами, а разные буквы – разными цифрами так, чтобы ТИГР был бы как можно меньше (нулей среди цифр нет).

4. Квадрат ABCD со стороной 2 и квадрат DEFK со стороной 1 стоят рядом на верхней стороне AK квадрата AKLM со стороной 3. Между парами точек A и E, B и F, C и K, D и L натянуты паутинки. Паук поднимается снизу вверх по маршруту AEFB и спускается по маршруту CKDL. Какой маршрут короче?

5. В некотором месяце три воскресенья выпали на четные числа. Какой день недели был пятого числа этого месяца?

1. Восстановить цифры, которые заменены звёздочками, в записи деления 

  2* * 1 : 13 = *2*.

2. В школе прошли три олимпиады. Оказалось, что в каждой из них участвовало по 50 человек. Причем, 60 человек приходило только на одну олимпиаду, а 30 человек - ровно на две. Сколько человек приняло участие во всех трех олимпиадах?

3. Поставить вместо звёздочек такие цифры, чтобы число 32*35717* делилось на 72.

4. Разрежьте изображенную заштрихованную фигуру (по границам клеток) на три равные (одинаковые по форме и величине) части.  

5. Вася, Коля, Петя и Степа – ученики 4, 5, 6 и 7 классов, пошли по грибы  Шестиклассник не нашел ни одного белого гриба, а Петя и ученик 4 класса  нашли 8 штук.  Вася и пятиклассник нашли много подосиновиков. И позвали Николая. Семиклассник, шестиклассник и Коля смеялись над Стёпой, сорвавшим мухомор.  Кто в каком классе учится?

Базовый вариант

1. Числитель несократимой дроби увеличили на 3, а знаменатель — на 8. Могла ли получиться дробь, равная исходной? Если да, то приведите пример. Если нет, то объясните, почему.

2. Решите систему уравнений: .

3. Волк с тремя поросятами написал детектив «Три поросёнка–2», а потом вместе с Красной Шапочкой и её бабушкой кулинарную книгу «Красная Шапочка–2». В издательстве выдали гонорар за обе книжки поросёнку Наф-Нафу. Он забрал свою долю и передал оставшиеся 2100 золотых монет Волку. Гонорар за каждую книгу один и тот же и делится поровну между её авторами. Сколько денег Волк должен взять себе?

4. Расположите дроби 11111110/11111111, 22222221/22222223, 33333331/33333334 в порядке возрастания.

5. Точки D и E делят сторону АС треугольника АВС на три равные части. Может ли случиться, что отрезки BD и BE делят угол АВС на три равные части?

Усложнённый вариант

1. Решите систему уравнений: .

2. Волк с тремя поросятами написал детектив «Три поросёнка–2», а потом вместе с Красной Шапочкой и её бабушкой кулинарную книгу «Красная Шапочка–2». В издательстве выдали гонорар за обе книжки поросёнку Наф-Нафу. Он забрал и передал оставшиеся 2100 золотых монет Волку. Гонорар за каждую книгу один и тот же и делится поровну между её авторами. Сколько денег Волк должен взять себе?

3. Расположите дроби 11111110/11111111, 22222221/22222223, 33333331/33333334 в порядке возрастания.

4. Простое число p можно представить как в виде суммы, так и в виде разности двух простых чисел. Найдите все такие числа.

5. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и CC1. M и K — основания перпендикуляров, опущенных из точки B на прямые АА1 и СС1. Докажите, что MK || AC.

1. Вычеркните четыре цифры из записи 254727+46490 так, чтобы получилась наименьшая возможная сумма.

2. Дворники получают грабли и метлы. Если каждый возьмет одну метлу или одни грабли, то останется 14 метел. А чтобы дать каждому дворнику и одну метлу, и одни грабли, не хватает 10 грабель. Сколько было дворников, сколько метел и сколько грабель?

3. В окружности с центром в точке О проведены радиусы ОВ и ОА так, что ∠АОВ=60°, ОВ = DС. Найдите величину угла АDО.

4. Как разрезать квадрат на 17 квадратов?

5. За круглым столом сидят 2011 представителей четырех цивилизаций: люди, гномы, эльфы и гоблины. Известно, что люди никогда не сидят рядом с гоблинами, а эльфы — рядом с гномами. Докажите, что какие-то два представителя одной цивилизации сидят рядом.

1. Восстановите математическую запись примера:           А Н Н А

                                                                                                     + В А  Л Я

                                                                                                        4  8   0  9

  Здесь разные буквы обозначают разные цифры, а одинаковые буквы – одинаковые  цифры.

2. Одну овцу лев съедает за 2 дня, волк – за 3 дня, а собака – за 6 дней. За сколько дней они вместе съедят овцу?
3. Найдите все такие целые числа с, при которых дробь  является целым числом.
4. Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению х2 – у2 =69.
5. Какой треугольник надо взять, чтобы после проведения в нем одного отрезка получить все известные виды треугольников: равносторонний, равнобедренный, разносторонний, прямоугольный, остроугольный, тупоугольный.

8.1. Торговец купил на оптовом рынке партию ручек и предлагает покупателям либо одну ручку за 10 рублей, либо три ручки за 20 рублей. При этом он в обоих случаях получает одинаковую прибыль (разницу между покупкой товара и его продажей). Какова оптовая цена ручки?

8.2. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла равна одному из двух отрезков, на которые она разделила противоположную сторону. Докажите, что она вдвое длиннее второго из этих отрезков.

8.3. Найдите сумму двух различных чисел a и b , удовлетворяющих равенству 2 2 a b b a .

8.4. Три ученика A, B и C участвовали в беге на 100 м. Когда A прибежал на финиш, B был позади него на 10 м, также, когда B финишировал, C был позади него на 10 м. На сколько метров на финише A опередил C?

8.5. На дне рождения у Маши перед каждым из 10 гостей лежало равное количество конфет. Во время чаепития первый съел одну конфету, второй – две, третий – три, и т.д., десятый – 10 конфет. Маша захотела перед вторым чаепитием переложить конфеты так, чтобы вновь перед каждым лежало равное количество конфет, но папа, не глядя на стол, сказал, что она не сможет это сделать. Почему он так решил?

Базовый вариант

1. Какой цифрой оканчивается сумма  92012 + 92013 ?

2. В треугольнике АВС угол А в три раза больше угла В и равен половине угла С. Какова градусная мера угла А?

3. На рисунке изображен график функции  у = kx + b .  Сравните |k| и |b|.

4. В треугольнике одна из медиан перпендикулярна к одной из биссектрис. Докажите, что одна из сторон этого треугольника вдвое больше другой.

5. На математическом конкурсе в VIII классе было предложено несколько трудных и несколько легких задач. За каждую решенную трудную задачу участник получал 3 балла, за легкую – 2 балла. Но за каждую нерешенную легкую задачу у участника вычитался 1 балл. За нерешенную трудную задачу баллы не вычитались. Миша решил 10 задач и набрал 14 баллов. Сколько легких задач было на конкурсе?

Усложнённый вариант

1. Пусть положительные числа a и b таковы, что (a + b)2  =а2 +10b. Докажите, что 2a2+10b = 10a + b2+ab.

2. Через точку Y на стороне AB равностороннего треугольника ABC проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке Z, а продолжение стороны CA за точку A – в точке X. Известно, что  XY = YZ  и  AY = BZ.  Докажите, что прямые XZ и BC перпендикулярны.

3. Дядя Богдан наловил рыбы. Три самых больших рыбы он дал своей собаке, тем самым, уменьшив общий вес своего улова на 35%. Затем он дал три самых маленьких рыбы своему коту, уменьшив вес оставшейся рыбы на 5/13. Остальную рыбу семья съела на обед. Сколько рыб поймал дядя Богдан?

4.. Найдите наибольшее натуральное n такое, что n200 < 5300.

5. Имеется три кучи камней: в первой – 10, во второй – 15, в третьей – 20 камней. За ход разрешается разбить любую кучу на две меньшие. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто победит – начинающий или его партнер?

1. Доказать, что число    делится на 37.
2. Построить график функции   у =
3. Докажите, что значение выражения положительно при всех допустимых значениях переменных:  
   .
4. В треугольнике АВС проведена биссектриса ВВ1. Пусть М – такая точка плоскости, что отрезок МВ1 пересекает сторону ВС в точке К, ВМ = АВ1, МВВ1 = ВВ1А. Докажите, что ВК = КВ1.
5. Можно ли в равенстве  1*2*3*…*10 = 0. Вместо знаков * поставить знаки плюс и минус так, чтобы получилось верное равенство?

1. Положительные числа а и b таковы, что а2+b = b2+a. Обязательно ли а = b?

2. В 9«Г» классе хватает двоечников, но Вовочка учится хуже всех. Педсовет решил, что либо Вовочка должен к концу четверти исправить двойки, либо его исключат. Если Вовочка исправит двойки, то в классе будет 24% двоечников, а если его выгонят, то двоечников станет 25%. Какой процент двоечников в 9 «Г» классе сейчас?

3. На чертеже справа изображён график функции у = kх+b. Перерисуйте чертёж и в той же системе координат изобразите график функции у = bх+k. Ответ обоснуйте.

4. Точка D — середина стороны AC треугольника ABC. На стороне BC выбрана точка E так, что равны углы BEA и CED. Найдите отношение AE : DE.

5. Произведение пяти чисел не равно нулю. Каждое из этих чисел уменьшили на единицу, при этом их произведение не изменилось. Приведите пример таких чисел.

Базовый вариант

1. Решите систему уравнений: .

2. Волк с тремя поросятами написал детектив «Три поросёнка–2», а потом вместе с Красной Шапочкой и её бабушкой кулинарную книгу «Красная Шапочка–2». В издательстве выдали гонорар за обе книжки поросёнку Наф-Нафу. Он забрал и передал оставшиеся 2100 золотых монет Волку. Гонорар за каждую книгу один и тот же и делится поровну между её авторами. Сколько денег Волк должен взять себе?

3. Можно ли расставить по кругу все числа от 1 до 2010 так, чтобы сумма любых двух чисел, стоящих через одно, делилась на 3?

4. Точки D и E делят сторону АС треугольника АВС на три равные части. Может ли случиться, что отрезки BD и BE делят угол АВС на три равные части?

5. Два равносторонних треугольника, периметр одного из которых равен 6 см, а периметр другого — 9 см, ограничивают шестиугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны. Найдите периметр шестиугольника.

Усложнённый вариант

1. Какую наименьшую сумму цифр может иметь целое положительное число, делящееся на 13?

2. Постройте график функции

3. Два автомобиля одновременно выехали навстречу друг другу из пунктов А и В. Первый приехал в В через 9 ч после встречи, а второй прибыл в А через 4 ч после встречи. Сколько времени они ехали до встречи?

4. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и CC1. M и K — основания перпендикуляров, опущенных из точки B на прямые АА1 и СС1. Докажите, что MK || AC.

5. Строки квадратной таблицы размером 2011×2011 занумеровали различными целыми числами (не обязательно идущими подряд). Теми же числами занумеровали ее столбцы. После этого в каждой клетке таблицы записали сумму номеров ее строки и столбца. Докажите, что четных чисел в клетках таблицы записано больше, чем нечетных.

1. Между двумя равными двузначными числами вставили вдвое меньшее число, и полученное число оказалось точным квадратом. Могло ли такое случиться.
2. Существует ли квадратное уравнение с целыми коэффициентами, один из корней которого равен - 1?
3. В выпуклом четырехугольнике АВСD точка Е – пересечение диагоналей. Известно, что площади треугольников АВЕ и СDЕ равны между собой, диагональ АС является биссектрисой угла А,  АВ = 4. Найти ВС.
4. Можно ли в клетчатой таблице 13Х13 отметить некоторые клетки так, чтобы любая клетка таблицы граничила по стороне ровно с одной из отмеченных клеток?
5. Доказать, что из любых 5 целых чисел можно найти 3, сумма которых делится на 3.

9.1. Найдите площадь квадрата, все вершины которого лежат на двух прямых: x y 0 и x y 2 .

9.2. На маленьком острове 2/3 всех мужчин женаты и 3/5 всех женщин замужем. Сколько жителей острова состоят в браке, если всего там проживает 1900 человек?

9.3. На окружности с диаметром AB и центром O выбрана точка C так, что

биссектриса угла CAB перпендикулярна радиусу OC . В каком отношении прямая CO делит угол ACB ?

9.4. Найдите количество трехзначных чисел, в десятичной записи которых участвует ровно одна цифра 3.

9.5. Мама хочет наказать Петю за двойку по математике. Они договорились о

следующем. Петя задумывает двузначное число с разными цифрами и сообщает его маме. После этого мама называет свое двузначное число Пете. Петя прибавляет мамино число к своему числу, затем к полученной сумме, затем к вновь полученной сумме и т.д. до тех пор, пока у него не получится сумма, оканчивающаяся на две одинаковые цифры. Сможет ли мама не позволить Пете в этот день поиграть в футбол?

Базовый вариант

1. На прямой через равные промежутки поставили десять точек, и они заняли отрезок длины a. На другой прямой через такие же промежутки поставили 100 точек, и они заняли отрезок длины b. Во сколько раз b больше a?
2. Сколько процентов от 5% числа а составляет столько же, сколько 8% от 3% от числа 2а?
3. Города A, B и C вместе с соединяющими их прямыми дорогами образуют треугольник. Известно, что прямой путь из A в B на 200 км короче объезда через C, а прямой путь из A в C на 300 км короче объезда через B. Найдите расстояние между городами B и C.
4. Медиана треугольника в полтора раза больше стороны, к которой она проведена. Найдите угол между двумя другими медианами.
5. Докажите, что число a=4∙1612 -240 делится на 33.

Усложнённый вариант

1. Города A, B и C вместе с соединяющими их прямыми дорогами образуют треугольник. Известно, что прямой путь из A в B на 200 км короче объезда через C, а прямой путь из A в C на 300 км короче объезда через B. Найдите расстояние между городами B и C

2. Известно, что  . Найдите значение выражения

3. Найдите наименьшее число, кратное 45, десятичная запись которого состоит только из единиц и нулей.

4. В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне и является биссектрисой одного из углов трапеции. В каком отношении делится каждая диагональ точкой их пересечения?

5. Назовем автобусный билет несчастливым, если сумма цифр его шестизначного номера делится на 13. Могут ли два идущих подряд билета оказаться несчастливыми?

9 класс

9.1. Найдите все пары чисел (х; у), удовлетворяющие условию .

9.2. Постройте график функции .

9.3. Докажите, что при всех значениях  х справедливо неравенство .

9.4. Докажите, что произведение двух последовательных натуральных чисел не может быть представлено в виде 25к + 1, где к = 0; 1; 2; …

9.5. В треугольнике АВС, АВ = ВС, DB и АЕ – биссектрисы треугольника, AD = ВЕ. Найдите угол С.