Научно-исследовательские работы

      Муниципальное бюджетное общеобщеобразовательное

учреждение-лицей № 18 г. Орла

Творческая работа

     по математике на тему

   «Признаки делимости»

                                                                            Выполнила

                                                                            ученица 6 «А» класса

                                                                                Проконина Екатерина

                                                                                 руководитель

                                                                                Дамм Е.Ю.

Содержание

I. Вступление ………………………………………………………………3-4

II. Некоторые исторические сведения…………………………………….5

III. Делимость чисел

1. Понятие делимости чисел……………………………………………6

2. Свойства делимости:…………………………………………………6

     - делимость суммы…………………………………………………..7

     - делимость разности………………………………………………...7

     - делимость произведения…………………………………………..7

3. Признаки делимости чисел, изучаемые в школе:………………….7-10

     - на 2

     - на 3

     - на 5

     - на 9

     - на 10

4. Признаки делимости чисел, не изучаемые в школе:………………10-13

     - на 4

     - на 11

     - на 25

     - на 15

     - на 6

     - на 13

     - на 19

     - на 12

     - на 14

     - на 15

IV. Задачи для самостоятельного решения………………………………..14

V.  Заключение………………………………………………………………15

VI. Список литературы……………………………………………………...16

I. Вступление.

Математика, как и все другие науки, возникла из потребностей практической деятельности человека. На очень ранней ступени развития у человека возникла необходимость подсчитать количество добычи или урожая, измерять земельные участки, определять вместимость сосудов, вести счет времени. Для удовлетворения этих практических потребностей возникли примитивные способы счета и измерения.

При дальнейшем развитии общества усложнялась практическая деятельность человека, а вместе с ней росли потребности в усовершенствованных приемах счета и измерений. Первоначальный счет по пальцам и измерения при помощи размеров частей человеческого тела (пядь, локоть) не могли удовлетворять потребностям жизни. Возникла необходимость в более быстрых и более точных приемах счета и измерений. Продолжительный опыт привел человека к установлению некоторых общих правил, дающих возможность при счете конкретных предметов не прибегать в каждом отдельном случае к непосредственному перечислению и перекладыванию этих предметов. Постепенно человек приобрел способность отвлечения, абстрагирования от конкретного счета. Так возникли и признаки делимости чисел.

Вопросами делимости чисел люди интересовались очень и очень давно. Благодаря многолетнему труду математиков над проблемами делимости чисел были разгаданы многие ее тайны, но и сейчас в этом разделе математики есть еще много неясного.

Решая задачи и выполняя действия сложение, вычитание, и умножение, действие деление, в отличие от остальных действий, выполнить, не всегда удается (разделить нацело). Возникает  необходимость предсказать – делится число нацело или нет. Поэтому  в математике исследуются  условия делимости, выводятся определенные правила и признаки, по которым  можно определить делится ли натуральное число  на другое натуральное число или нет. Чтобы ответить на вопрос о том, делится ли целое число a на целое число b, можно произвести деление этих чисел. Но при решении некоторых задач это может оказаться очень трудоёмким делом. Поэтому удобно знать некоторые признаки, которые позволяют без выполнения деления определять, делится одно целое число на другое или нет.

Знание признаков делимости чисел поможет при сокращении дробей, вынесении общего множителя за скобки, упрощении уравнений.

Изучая  в курсе математики признаки делимости натуральных чисел на 2, на 3, на 5, на 9, на 10, у меня возник вопрос: «Нельзя ли, не прибегая к непосредственному делению числа, установить его делимость  на другое натуральное число?» Именно поэтому для творческой работы  мной выбрана тема «Признаки делимости чисел».

В связи с этим, при написании данной работы я ставлю перед собой  следующие  цели и задачи:

1. Изучить научную литературу по теме «Признаки делимости чисел», расширить и углубить свои знания по этой теме.
2. Овладеть в совершенстве признаками делимости чисел, изучаемых на уроках математики и вне школьной программы.
3. Рассмотреть решения задач на применение признаков делимости чисел, подобрать серию задач, связанных  с  признаками делимости чисел для самостоятельного решения.

II. Некоторые исторические сведения.

    Признак делимости – это правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу без необходимости выполнять фактическое деление.

      Признаки делимости на 2, 5, 10, 3, и 9 были известны  с давних времен. Так, например, признак делимости на 2 знали древние египтяне за две тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, и 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком  Леонардо Фибоначчи (1170-1228). Выдающийся французский математик  и физик Блез Паскаль (1623-1662) еще в раннем возрасте вывел общий признак делимости чисел, из которого следуют все частные признаки.

Признак Паскаля  состоит в следующем:

натуральное число,  а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа  а на соответствующие остатки, получаемые при делении  разрядных единиц на число b, делится на это число.

    Например, число 2814 делится на 7, так как    делится на 7. (Здесь 6-остаток от деления 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3- остаток от деления 10 на 7).

III. Делимость чисел.

Мы знаем, что в результате сложения, вычитания или умножения целых чисел всегда получается число целое. А вот деление натуральных чисел нацело не всегда возможно. Для того чтобы узнать, делится ли натуральное число а на натуральное число b нацело, надо предварительно выяснить некоторые общие свойства делимости чисел.

1. Понятие делимости чисел.

Разделить число а на число b – это значит найти такое число q, при умножении которого на b получается а, т.е. b∙q = а. Если для целых чисел а и b такое число q существует, то говорят, что а делится на b.

Целое число а делится на целое число b, не равное нулю, если существует целое число q, такое, что а = b∙q.

В том случае, когда а делится нацело на b, число а называется кратным числу b, а число b называется делителем числа а.

Например, число 54 делится нацело на число 9, так как существует натуральное число 6, такое, что выполняется равенство  9 ∙ 6 = 54. Число 64 не делится на 9, так как не  существует такое целое число q, при котором выполняется равенство 9 ∙ q = 64.

При определении делимости мы исключили случай, когда b = 0. В том случае, когда а = 0 и b = 0, любое число может выступать в роли частного, т.е.  частное   становится   неопределенным. Если а ≠ 0 и b = 0,  то равенство а = 0∙q не будет верным ни при каком значении q.

2. Свойства делимости.

Чтобы узнать, делится ли одно число на другое нацело, можно просто разделить первое число на второе. Если при делении остатка не будет, значит, числа делятся нацело. Если же при делении получится остаток,  не равный нулю, значит, эти числа нацело не делятся. Можно ли, не производя самого деления, установить, делится ли одно число на другое нацело?

Можно, так как делимость одних чисел связана с делимостью других. Поэтому надо найти такие свойства делимости, при помощи которых было бы возможно, не производя деления, установить, является ли данное число кратным другому.

Делимость суммы.

Если каждое слагаемое суммы делится на одно и то же число, то и сумма делится на это число.

Например, числа 150 и 120 делятся на 3. Разделится ли сумма этих чисел на 3?

150 + 120 = 10∙15 + 10 ∙12 = 10∙ (15 + 12) = 10∙27

А это значит, что сумма делится на 3.

Делимость разности.

Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на одно и то же число, то и разность делится на это число. 

Например, числа 150 и 120 делятся на 3. Разделится ли разность этих чисел на 3?

150 - 120 = 10∙15 - 10 ∙12 = 10∙ (15 -12) = 10∙3

Значит, разность 150 и 120 делится на 3.

Делимость произведения.

Если в произведении нескольких натуральных чисел хотя бы один из сомножителей делится на какое-то число, то и всё произведение делится на это число.

Например, известно, что число 168 делится на 28. А 28 делится на 7. Делится ли 168 на 7?

168 = 28∙6 = (7∙4) ∙6 = 7∙(4∙6) = 7 ∙ 24

Полученное равенство показывает, что число 168 делится на 7.

3. Признаки делимости чисел, изучаемые в школе.

Рассмотрим сначала признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9, 10.

Признак делимости на 2: если число оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8, то оно делится на 2.

Любое число, которое оканчивается цифрой 0, можно представить в виде произведения двух чисел, одним из которых будет число 10. По свойству делимости чисел мы знаем, что, если один из множителей делится на какое-либо число, то и произведение делится на это число.  У нас одним из множителей обязательно будет число 10. А 10 делится на 2. Значит, число, которое оканчивается на цифру 0, делится на 2.

 Любое число, например, четырёхзначное, которое оканчивается цифрой 2, можно представить в виде 1000∙а + 100∙b + 10∙с + 2,

где а – число тысяч, b – число сотен, с –  число десятков.

Первое слагаемое 1000∙а делится на 2, т.к. множитель 1000 делится на 2. Второе слагаемое 100∙b  делится на 2, т.к. множитель 100 делится на 2. Третье слагаемое 10∙с  делится на 2, т.к. множитель 10 делится на 2.  Четвёртое слагаемое делится на 2, т.к. 2 делится на 2. По свойству делимости чисел мы знаем, что, если каждое слагаемое делится на какое-либо число, то и сумма делится на это число. У нас все слагаемые делятся на 2, значит, число, которое оканчивается цифрой 2, делится на 2.

Рассуждая так же, мы увидим, что числа, оканчивающиеся одной из цифр 4, 6 или 8, тоже делятся на 2. Значит, число, которое оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8, делится на 2.

Например, число 3562 делится на 2, т.к. 3562 = 1000∙3 + 100∙5 + 10∙6 + + 2. Все четыре слагаемых делятся на 2. Значит, число 3562 делится на 2.

Число 3565 не делится на 2, т.к. 3565 = 1000∙3 + 100∙5 + 10∙6 +5. Первые три слагаемых делятся на 2, а четвёртое слагаемое не делится на 2. Значит, число 3565 не делится на 2.

Числа, делящиеся на 2, называют чётными. Числа, не делящиеся на 2, называют нечётными.

Признак делимости на 3: если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3.

Любое число, например, трёхзначное, можно представить в виде  

100∙а + 10∙b + с, где а – число сотен, b– число десятков, с – число единиц.

100∙а + 10∙b + с = (99 + 1) ∙а + (9 + 1) ∙b + с =

=99∙а +  а + 9∙b + b + с = (99∙а + 9∙b) + + ( а + b + с)

Сумма в первых скобках всегда делится на 3, т.к. каждое слагаемое делится на 3. Для того, чтобы число делилось на 3, надо, чтобы сумма во вторых скобках тоже делилась на 3. А сумма во вторых скобках является суммой цифр числа. Значит, число делится на 3, если сумма цифр числа делится на 3.

Например, число 276 делится на 9, т.к. 2 + 7 + 6 = 18. А число 15 делится на 3.

Число 431 не делится на 3, т.к. 4 + 3 +1 = 8. А число 8 на 3 не делится.

Признак делимости на 5: если число оканчивается одной из цифр 0 или 5, то оно делится на 5.

Любое число, которое оканчивается цифрой 0, можно представить в виде произведения двух чисел, одним из которых будет число 10. По свойству делимости чисел мы знаем, что, если один из множителей делится на какое-либо число, то и произведение делится на это число.  У нас одним из множителей обязательно будет число 10. А 10 делится на 5. Значит, число, которое оканчивается на цифру 0, делится на 5.

Например, число 3570 делится на 5, т.к. его можно представить в виде произведения: 3570 = 357 ∙ 10. Второй множитель 10 делится на 5, значит, число 3570 делится на 5.

Любое число, например, трёхзначное, которое оканчивается цифрой 5, можно представить в виде  100∙а + 10∙b + 5 ,

где а – число сотен,

       b – число десятков.

Первое слагаемое 100∙а делится на 5, т.к. множитель 100 делится на 5. Второе слагаемое 10∙b  делится на 5, т.к. множитель 10 делится на 5. Третье слагаемое делится на 5, т.к. 5 делится на 5. По свойству делимости чисел мы знаем, что, если каждое слагаемое делится на какое-либо число, то и сумма делится на это число. У нас все слагаемые делятся на 5. Значит, число, которое оканчивается цифрой 5, делится на 5.

 Например, число 745 можно записать в виде: 745 = 100∙7 + 10∙4 + 5. Все слагаемые делятся на 5, значит, число 745 делится на 5.

Например, число 743 можно записать в виде: 743 = 100∙7 + 10∙4 + 3. Первые два слагаемых  делятся на 5, третье слагаемое не делится на 5. Значит, число 743 не делится на 5.

Признак делимости на 9: если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.

Любое число, например, трёхзначное, можно представить в виде  100∙а + 10∙b + с,

где а – число сотен,

       b – число десятков,

       с – число единиц.

100∙а + 10∙b + с = (99 + 1) ∙а + (9 + 1) ∙b + с = 99∙а +  а + 9∙b + b + с = (99∙а + 9∙b) +

+ ( а + b + с)

Сумма в первых скобках всегда делится на 9, т.к. каждое слагаемое делится на 9. Для того, чтобы число делилось на 9, надо, чтобы сумма во вторых скобках тоже делилась на 9. А сумма во вторых скобках является суммой цифр числа. Значит, число делится на 9, если сумма цифр числа делится на 9.

Например, число 576 делится на 9, т.к. 5 + 7 + 6 = 18. А число 18 делится на 9.

Число 535 не делится на 9, т.к. 5 + 3 +5 = 13. А число 13 на 9 не делится.

Признак делимости на 10: если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10.

Любое число, которое оканчивается цифрой 0, можно представить в виде произведения двух чисел, одним из которых будет число 10. По свойству делимости чисел мы знаем, что, если один из множителей делится на какое-либо число, то и произведение делится на это число.  У нас одним из множителей обязательно будет число 10. А 10 делится на 10. Значит, число, которое оканчивается на цифру 0, делится на 10.

Например, число 2370 делится на 10, т.к. это число можно представить в виде произведения

2370 = 237 ∙ 10.

Один из множителей делится на 10, значит, число 2370 делится на 10.

Число 2378 не делится на 10, т.к. это число нельзя представить в виде произведения двух чисел, одним из которых было бы число 10.

4. Признаки делимости чисел, не изучаемые в школе.

Признак делимости на 4: число делится на 4 тогда, когда две последние цифры этого числа представляют собой  число, делящееся на 4.

Любое трёхзначное число можно представить в виде

100∙а + 10∙b + с = 100∙а + (10∙b + с),

где а – число сотен, b– число десятков, с – число единиц. 

По свойству делимости мы знаем, что, если каждое из двух чисел делится на какое-либо число, то их сумма тоже делится на это число, т.е. если первое слагаемое 100∙а делится на 4 и второе слагаемое (10∙b + с) тоже делится на 4, то и всё число делится на 4.

Первое слагаемое 100∙а делится на 4, т.к. одним из множителей является число 100, которое делится на 4. Значит, 100∙а тоже делится на 4.

Второе слагаемое (10∙b + с) тоже должно делиться на 4. А оно будет делиться на 4 в том случае, если будет представлять собой число, которое делится на 4. В то же время второе слагаемое (10∙b + с) является двумя последними цифрами числа.

Отсюда получаем, что, если две последние цифры числа представляют собой  число, делящееся на 4, то и всё число делится на 4.

Например, 632 = 600 + 30 + 2 = 100∙6 + 10∙3 + 2 = 100∙6 + (10∙3 + 2).

 (10∙3 + 2) представляет собой число 32, а это число делится на 4. Значит, и число 632 делится на 4.

Число 422 = 100∙4 + (10∙2 + 2).

(10∙2 + 2) представляет собой число 22, а это число не делится на 4. Значит, число 422 не делится на 4.

Признак делимости на 11: число делится на 11 тогда, когда разность между суммой цифр, стоящих на чётных местах, и суммой цифр, стоящих на нечётных местах, делится на 11.

Любое четырёхзначное число можно представить в виде суммы:

1000∙а + 100∙b + 10∙с + d,

где а – число тысяч,

       b – число сотен,

 с – число десятков,

 d – число единиц.

    В то же время

1000∙a = 1001∙a – a;

100∙b = 99∙b + b;

10∙c = 11∙c – c.

Отсюда получаем:

1000∙а + 100∙b + 10∙с + d = 1001∙a – a + 99∙b + b +11∙c – c +d = (1001∙a + 99∙b + + 11∙c) + (b + d – a – c).

Рассмотрим первые скобки: (1001∙a + 99∙b +11∙c).

Первое слагаемое 1001а  делится на 11, т.к. по свойству делимости мы знаем, что, если один из множителей делится на какое-либо число, то произведение делится на это число.

По этому же свойству второе и третье слагаемые делятся на 11.

По свойству делимости мы знаем, что, если каждое из слагаемых делится на какое-либо число, то сумма делится на это число.

Значит, сумма в первых скобках делится на 11.

Рассмотрим вторые скобки: b + d – a – c = (b +d) – (a + c). Здесь сумма в первых скобках представляет собой чётные цифры числа, а сумма во вторых скобках -  нечётные цифры числа.

Значит, чтобы число делилось на 11, надо, чтобы разность суммы цифр числа, стоящих на чётных местах, и суммы цифр числа, стоящих на нечётных местах, делилась на 11.

Например, число 1738. В этом числе разность суммы цифр числа, стоящих на чётных местах, и суммы цифр числа, стоящих на нечётных местах, равна (7 + 8)- –(1 + 3) = 11. Полученное число11 делится на 11, значит, число 1738 делится на 11.

Число 2899. В этом числе разность между суммой цифр числа, стоящих на чётных местах, и суммой цифр числа, стоящих на нечётных местах, равна (8 + 9) – - (2 + 9) = 6. Полученное число 6 не делится на 11, значит, число 2899 не делится на 11.

Признак делимости на 25: число делится на 25 тогда, когда две последние цифры этого числа представляют собой  число, делящееся на 25.

Любое трёхзначное число можно представить в виде

100∙а + 10∙b + с = 100∙а + (10∙b + с),

где  а – число сотен,

       b – число десятков,

       с – число единиц. 

По свойству делимости мы знаем, что, если каждое из двух чисел делится на какое-либо число, то их сумма тоже делится на это число, т.е. если первое слагаемое 100∙а делится на 25 и второе слагаемое (10∙b+ с) тоже делится на 25, то и всё число делится на 25.

Первое слагаемое 100∙а делится на 25, т.к. одним из множителей является число 100, которое делится на 25. Значит, 100∙а тоже делится на 25.

Второе слагаемое (10∙b + с) тоже должно делиться на 25. А оно будет делиться на 25 в том случае, если будет представлять собой число, которое делится на 25. Второе слагаемое (10∙b + с) является двумя последними цифрами числа.

Значит, если две последние цифры числа представляют собой  число, делящееся на 25, то и всё число делится на 25.

Например, 675 = 600 + 70 + 5  = 100∙6 + 10∙7 + 5 = 100∙6 + (10∙7 + 5).

 (10∙7 + 5) представляет собой число 75, а это число делится на 25. Значит, и число 675 делится на 25.

Число 827 = 100∙8 + (10∙2 + 7).

(10∙2 + 7) представляет собой число 27, а это число не делится на 25. Значит, число 827 не делится на 25.

Сформулируем ещё несколько признаков делимости чисел

Признак делимости на 15: для того чтобы число делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 5 и на 3, т.е. чтобы оно оканчивалось нулем или пятеркой и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3.

Признак делимости на 6: для того чтобы число делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 3, т.е. чтобы его последняя цифра была четной и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3.

Признак делимости на 13: число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры делится на 13.

Например, 858 делится на 13 так как    делится на 13.

Признак делимости на 19: число делится на 19 без остатка тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Например; число 1026 делится  на 19.

Применим последовательно признак делимости. Число десятков  в признаке надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе.

1 0  2  6

    1  2

 1 1  4

    8

 1 9  

В результате выполнения последовательных двух шагов мы получили число 19, которое делится на 19, следовательно,  число 1026 делится на 19.

Используя разложение делителей  на простые множители  можно проверять делимость чисел на 12, 14, 15.

Число   будет делиться на  12, тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и 4 (без остатка).

Число   будет делиться на  14, тогда и только тогда, когда оно делится на 4 и 7(без остатка).

Число   будет делиться на  15, тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и 5(без остатка).

IV. Задачи для самостоятельного решения.

1. Делится ли на 9 тридцатизначное число, у которого первая цифра 1, последняя 8, а остальные цифры равны нулю?
2. Делится ли на 81 число, записанное 81 единицей?
3. При делении на 2 число дает в остатке 1, а при делении на 3 – остаток 2. Какой остаток дает число при делении на 6?
4. Цифры трехзначного числа записали в обратном порядке и из большего вычли меньшее. Докажите, что разность делится на 9 и на 11.
5. Выписали подряд все цифры от 1 до 9 включительно, а затем от 9 до 1. Будет ли полученное число делиться на 9?
6. Выписали подряд натуральные числа, начиная с 1 и заканчивая числом 11. будет ли полученное число кратно 9?
7. К числу 43 припишите справа и слева по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45.
8. Какие из данных чисел 384123, 108675, 138963, 903150, ,  делятся на: 3; на 4; на 9; на 25?
9. Сократите дробь:  
10.  Вместо звёздочек поставьте некоторые числа так, чтобы число 5*4* делилось на 9 и на 4. Найдите все возможные решения.
11.  Какие из данных чисел 7194, 18456, 36735, 17214, 781120 делятся: на 6; на 15; на 12?
12.  На сколько равных частей можно разделить пачку бумаги, содержащую 5025 листов?
13.  В записи *131* замените звездочки цифрами так, чтобы полученное пятизначное число делилось на 15. Рассмотрите все возможные случаи.
14.  Подберите, если возможно, цифру а так, чтобы  из цифр 1, 3, 7, а можно было бы составить четырехзначное число: а) кратное числу 6; б) кратное числу 18.
15.  Найдите, если возможно, такую цифру, приписав которую слева и справа к числу 1832 получим шестизначное число: а) кратное 75; б) кратное 12.
16.  Можно ли разместить 718 человек в четырехместные и восьмиместные каюты так, чтобы в каютах не оставалось свободных мест?
17.  Ученик токаря принес заготовки для обтачивания деталей. Заготовки были разложены в ящики по 12 штук и по 16 штук, причем ящики были наполнены полностью. Ученик подсчитал, что всего он принес 1074 заготовки. Докажите, что он ошибся.  

V.  Заключение.

В данной работе мной рассмотрено понятие делимости чисел, некоторых его свойств, признаков делимости и задачи, решение которых связано с ними.

При написании данной творческой работы я изучила большое количество дополнительной научной литературы по теме «Признаки делимости»,  расширила и углубила свои знания по данному вопросу, овладела простейшими и более сложными признаками делимости чисел.

Рассмотрев различные признаки делимости чисел, мы убедились, что знание этих признаков существенно поможет при вынесении общего множителя за скобки, упрощении варажений, сокращении дробей, а так же значительно сэкономит время в  получении  ответа  на вопрос, об определении делимости  числа не прибегая к самому действию деления.

Работа имеет практическое применение. Ее могут использовать учителя, как при проведении уроков по математике, так и на факультативных курсах и дополнительных занятиях на повторение. Данная работа будет полезна и для учащихся при самостоятельной подготовке к экзаменам по математике и для учеников, целью которых стали высокие места на олимпиадах.

VI. Список литературы

1.  И.Я. Депман и Н.Я. Виленкин.  За страницами учебника математики. М.,

     Просвещение, 1989 г.

2. Л.М. Фридман. Изучаем математику. Кн. для учащихся 5-6 кл.-М.: Просвещение, 1995.-255 с.
3. С.М. Никольский. Арифметика: 5 класс: учебник для общеобразовательных школ.-М.: Издат. отдел УНЦ ДО МГУ, 1996.-304 с.
4. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. Алгебра: дополнительные главы к школьному учебнику 8 класс: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М: Просвещение, 1998.-208 с.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное

учреждение «Лицей №18 г. Орла»

Творческая работа

по математике 

«Золотое сечение

 в природе и искусстве»

группа учащихся

9 «А» класса

руководитель

Дамм Е.Ю.

План.

1. Вступление.
2. Что такое золотая пропорция.
3. Золотые фигуры.
4. Вездесущий филлотаксис.
5. Загадки египетских пирамид.
6. Золотая пропорция в искусстве Древней Греции.
7. Ритмы сердца и мозга.
8. Алгебра музыки.
9. Музыка стихов.
10. Заключение.
11. Список литературы.

Геометрия владеет двумя сокровищами:

одно из них – теорема Пифагора, другое-

деление отрезка в среднем и крайнем от-

ношении.

И. Кеплер

        Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

Самым известным из всех иррациональных чисел, то есть чисел, десятичные разложения которых бесконечны и непериодичны, следует считать число  – отношение длины окружности к ее диаметру. Иррациональное число  («фи») известно не столь широко, но оно выражает фундаментальное отношение, имеющее почти такой же универсальный характер, как и число . Сходство между числами  и   этим не исчерпывается: подобно ,  обладает свойством возникать в самых неожиданных местах .

Что такое золотая пропорция.

Пусть длина некоторого отрезка равна А (рис.1) , длина его большей части равна Х, тогда (А – Х) – длина меньшей части отрезка. Пусть отношение всего отрезка к большей его части равно отношению большей части к меньшей. Составим отношение согласно допущению: .                (1)        

Такое деление отрезка и называется со времен древних греков делением отрезка в крайнем и среднем отношении.

        От пропорции (1) перейдем к равенству A(A-X)=X2 . Получаем квадратное уравнение . Длина отрезка X выражается положительным числом, поэтому из двух корней выбираем положительный: .

        Число  обозначается буквой  или буквой  («тау») в серьезной математике. Не менее важное значение имеет число , обратное , которое обозначается Ф. Число  - единственное положительное число, которое обращается в обратное себе при прибавлении единицы.

=1/

        Обратим внимание на удивительную инвариантность золотой пропорции:

Такие значительные преобразования, как возведение в степень, не смогли уничтожить сущность этой уникальной пропорции, ее «душу». Следующие соотношения еще раз демонстрируют инвариантность золотой пропорции:

   и т.д.

 Подобно числу  ,Ф можно представить в виде суммы бесконечного ряда многими способами. Предельная простота следующих двух примеров еще раз подчеркивает фундаментальный характер Ф :

Ф =lim 1+

Ф = lim

        С золотой пропорцией тесно связан ряд чисел Фибоначчи 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89 и т.д. В этом ряду каждое последующее число является суммой двух предыдущих чисел. Спустя четыре столетия после открытия Фибоначчи ряда чисел И.Кеплер установил, что отношение рядом стоящих чисел в пределе стремится к золотой пропорции Ф. Это свойство присуще не только числам Фибоначчи. Начав с любых двух чисел и построив аддитивный ряд, в котором каждый член равен сумме двух предыдущих (например, ряд 7, 2, 9, 11, 20, …), мы обнаружили, что отношение двух последовательных членов такого ряда также стремится к числу : чем дальше мы будем продвигаться от начала ряда, тем лучше будет приближение.        

 В дальнейшем увидим, что числа Фибоначчи часто появляются в самых неожиданных местах, при этом неотступно сопровождая золотую пропорцию.

Золотые фигуры.

В геометрии существуют различные способы построения золотой пропорции, причем характерно, что для построения достаточно взять самые простые геометрические фигуры – квадрат или прямоугольный треугольник с соотношением катетов 1:2. Если с середины стороны квадрата провести окружность радиусом, равным диагонали  полуквадрата, то на ее пересечении с продолженной стороной квадрата получим отрезок, который меньше стороны квадрата в соответствии с золотой пропорцией.

Еще проще построение золотой пропорции в прямоугольном треугольнике 1:2: . Достаточно провести две дуги окружности, пересекающиеся в одной точке на гипотенузе, и большой катет будет разделен в соответствии с золотой пропорцией.

        Золотое сечение можно увидеть и в пентаграмме - так называли греки звездчатый многоугольник.

Он служит символом Пифагорейского союза – религиозной секты и научной школы во главе с Пифагором, которая проповедовала братскую любовь к друг другу, отречение от внешнего мира, общность имущества и т.д. На подобных устоях основывались очень многие секты. Но Пифагорийский союз отличало от других то, что пифагорейцы считали возможным добиться очищения духа при помощи математики. По их теории, в основу мирового порядка положены числа. Мир, считали они, состоит из противоположностей, а гармония приводит противоположности к единству. Гармония же заключается в числовых отношениях. Пифагорейцы приписывали числам различные свойства. Так, четные числа они называли женскими, нечетные (кроме 1) – мужскими. Число 5 – как сумма первого женского числа (2) и первого мужского (3) – считалось символом любви. Отсюда такое внимание к пентаграмме, имеющей 5 углов.

        Благоговейное отношение к пентаграмме было характерно и для средневековых мистиков, которые многое заимствовали у пифагорейцев. В средние века считалось, что пентаграмма служит охранным знаком от сатаны. Вспомним, например, как описывает Гете проникновение дьявола Мефистофеля в келью доктора Фауста, на которой была начертана  пентаграмма. Мефистофель сначала послал черного пуделя отгрызть кончик двери с частью пентаграммы. Только после этого он смог предстать перед Фаустом.

        Интересно, что стороны пентаграммы, пресекаясь, образуют  правильный пятиугольник, в котором пресечение диагоналей дает нам новую пентаграмму, а в пересечении ее сторон мы снова видим правильный пятиугольник, открывающий возможность построения новой пентаграммы. И так далее до бесконечности.

        Пентаграмма представляет собой вместилище золотых пропорций. Среди отрезков  HJ, EH, EJ, EB отношение каждого последующего к предыдущему равно золотой пропорции.         Пентаграмма также содержит золотые треугольники –остроугольные с углами ,, и тупоугольные с углами , и . Видно, что остроугольный треугольник АВС разбивается на три треугольника золотой пропорции. В них стороны равны:AD=1, DB=Ф,BC=AB=Ф+1=Ф2,AC=AE=Ф.

Интересен еще один замечательный треугольник, в котором проявляется золотая пропорция. В этом треугольнике углы равны,  и , а их отношение составляет 5:3:2. В нем отношение большого катета к гипотенузе равно половине золотой пропорции Ф/2. Это отношение отвечает равенству Ф/2 = cos . Отсюда вытекает формула , связывающая золотую пропорцию с числом  :   Ф= .                                                                        

Эта простая и по-своему красивая формула связывает число «пи» с золотой пропорцией. Не свидетельствует ли это о фундаментальности золотой пропорции, о ее родстве с таким универсальным числом, как «пи»? Характерно, что в рассмотренном треугольнике отношение углов отвечает отношению небольших целых чисел 5, 3  и 2, а отношения сторон несоизмеримы.

Множество «золотых» фигур дополняет золотой прямоугольник, отношение  сторон которого равно числу Ф.

        Золотой прямоугольник обладает многими необычными свойствами. Отрезав от него  квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, мы снова получим золотой прямоугольник меньших размеров. Продолжая отрезать квадраты, мы будем получать все меньшие и меньшие золотые прямоугольники.        Тем самым будет построен пример совершенного квадрируемого прямоугольника бесконечного порядка. Точки, делящие стороны прямоугольников в среднем и крайнем отношении, лежат на логарифмической спирали, закручивающейся внутрь. Полюс спирали лежит на пересечении пунктирных диагоналей.  Разумеется, «вращающиеся квадраты», как их принято называть, могут не только закручивать, но и раскручивать спираль. Для этого лишь требуется строить не уменьшающиеся, а все увеличивающиеся квадраты. Логарифмическая спираль – единственный тип спирали, не меняющей своей формы при увеличении размеров. Если в логарифмической спирали из центра О провести прямую, то образующиеся отрезки ОА, ОВ, ОС, ОD и т. д., полученные при пересечении прямой с витками спирали, образуют геометрическую прогрессию, то есть ОА/ОВ=ОВ/ОС=ОС/OD=…= m, где m – постоянное число.

        Отрезки радиуса, заключенного между последовательными витками спирали, также образуют прогрессию с отношением АВ/ВС=ВС/СD=…=n. Частным случаем спирали является такая, которая отвечает значению n, равному Ф, т. е. золотой пропорции. Такая спираль называется «кривой гармонического возрастания».

Вездесущий филлотаксис.

        Характерной чертой строения растений и их развития является спиральность. Еще Гете, который был не только великим поэтом, но и естествоиспытателем, считал спиральность одним из характерных признаков всех организмов, проявлением самой сокровенной сущности жизни. Спирально закручиваются усики растений, по спирали происходит рост ткани в стволах деревьев, по спирали расположены семечки в подсолнечнике, спиральные движения (нутации) наблюдаются при росте корней и побегов. Очевидно, в этом проявляется наследственность организации растений, а ее корни следует искать на клеточном и молекулярном уровнях.

        Исследования показали, что движение протоплазмы в клетке часто спиральное. Рост клеток также может быть спиральным, как показал ученый Кастл. В жидкой среде клетки встречаются спиральные нити волокон – цитонем. И, наконец, носители информации – молекулы ДНК – также скручены в спираль. Следует отметить, что термин «спираль» не отражает точно строение молекул ДНК; более правильно говорить о винтовом расположении полипептидных  цепей в этой молекуле. Во многих других случаях, рассмотренных в ботанике, речь также идет, по существу, не о спирали, а о винтовом расположении элементов структуры; к сожалению, термины часто смешивают.

        Нет сомнений, что наследственная спиральность является одним из основных свойств организмов, она отражает один из существенных признаков живого. На первый взгляд кажется, что в кристаллах неорганических веществ спиральность или винтовая структура отсутствуют. Однако более глубокие исследования показали, что винтовое расположение атомов наблюдается и в некоторых кристаллах и выражается в образовании так называемых винтовых дислокаций. Такие кристаллы состоят из единственной винтообразной изогнутой атомной плоскости. При каждом обороте вокруг оси эта плоскость поднимается на один шаг винта, равный межатомному расстоянию. Следует добавить, что кристаллы с такой винтовой структурой обладают сверхпрочностью. От винтовой структуры молекул ДНК до закручивания усиков растений – таковы формы проявления спиральности на различных уровнях организации растений. Отчетливо проявляется эта особенность организации растений в закономерностях  листорасположения.

        Существует несколько способов листорасположения. В первом  листья побега располагаются строго один под другим, образуя вертикальные ряды – ортостихи. Условная спираль, соединяющая места расположения листьев на побеге, называется генетической, или основной спиралью, точнее, винтовой линией и делится на ряд листовых циклов. Генетическим этот винт называется потому, что расположение листьев в нем отвечает порядку появления в нем листьев. Проекция на плоскость листорасположения позволяет в долях окружности выразить угол расхождения листьев.

        Винтовое расположение листьев выражают дробью, числитель которой равен числу оборотов по стеблю воображаемого винта одного листового цикла, а знаменатель-  числу листьев в данном цикле, совпадающему с числом ортостих на стебле. Эта дробь позволяет рассчитать и угол расхождения листьев.

        Оказалось, что каждое растение  характеризуется своим листорасположением. Так, у липы, вяза, бука, злаков листорасположение описывается формулой 1/2, у дуба и вишни – 2/5, у малины, груши, тополя, барбариса – 3/8, у миндаля, облепихи – 5/13 и т.д. Нетрудно видеть, что в формулах листорасположения встречаются числа Фибоначчи, расположенные через одно.

        Посмотрим на сосновую шишку. Чешуйки на ее поверхности расположены строго закономерно -  по двум спиралям, которые пересекаются приблизительно под прямым углом. Число таких спиралей у сосновых шишек равно 8 и 13  или 13 и 21 . Такие же спирали видны в поперечных разрезах почек; здесь числа спиралей относятся

как  числа 3/5, 5/8, 8/13. В корзинках подсолнечника семена также расположены по  двум спиралям, их число составляет обычно 34 и 55, 55 и 89. Здесь вновь мы видим закономерное сочетание чисел Фибоначчи, расположенных рядом: 2/3, 3/5, 5/8, 13/21 и т.д. Их отношение в пределе стремится к числу  = 0,61803…

        Рассмотренную закономерность расположения листьев, чешуек, семян называют филлотаксисом.

        При изменении формулы листорасположения изменяется и угол расхождения листьев. Формула 1/2  характеризует двурядное расположение листьев под углом друг от друга. При формуле 1/3 угол между листьями будет , а при формуле 2/5 -  и т.д. В предельном случае, когда отношение чисел в формуле будет отвечать золотой пропорции -  0,38196… угол расхождения листьев станет равным , который был назван «идеальным» углом, или углом золотой пропорции ( =Ф2). Установлено, что при расположении листьев под идеальным углом ни один лист не будет располагаться точно над другим, чем создаются лучшие условия для фотосинтеза.

Загадки египетских пирамид.

Все на свете страшится времени

А время страшится пирамид.

Арабская пословица

        О египетских пирамидах с восхищением писал греческий историк Геродот. Первым европейцем, спустившимся в глубь пирамиды, был римский ученый Плиний Старший. Согласно многим описаниям, эти гигантские монолиты имели совсем иной вид, чем в наше время. Они сияли на солнце белой глазурью отполированных известняковых плит на фоне многоколонных прилегающих храмов. Рядом с царскими пирамидами стояли малые пирамиды жен и членов семьи фараонов.

Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает великая пирамида фараона Хеопса. Она самая крупная и наиболее хорошо изученная. Чего только не находили в ее пропорциях! Число «пи» и золотую пропорцию, число дней в году, расстояние до Солнца, диаметр Земли и т.п. Однако при расчете этих величин получались неточности, возникали недоразумения, в результате чего подвергались сомнению даже простейшие пропорции в размерах пирамиды и все сообщения о скрытых в геометрии пирамиды математических сведениях объявлялись выдумкой.

Правильная четырехгранная пирамида является одной из хорошо изученных геометрических фигур, символизирующих простоту и гармонию формы, олицетворяющую устойчивость, надежность, устремление вверх.

Очевидно, размеры пирамиды: площадь ее основания и высота         - не были выбраны случайно, а должны нести какие-то геометрические, математические идеи, информацию об уровне знаний египетских жрецов. Причем следует напомнить, что эти знания составляли тайну и были доступны лишь ограниченному числу лиц, поэтому и в геометрии пирамиды они должны быть воплощены не в явной, а в скрытой форме.

Методической ошибкой многих исследователей является то, что они использовали размеры пирамид, выраженные в метрической системе мер. Но ведь египтяне пользовались другой системой мер! Из этой системы и следует исходить при анализе размерных отношений в пирамидах.

Прежде чем приступить к анализу формы и размеров пирамиды Хеопса, следует учесть уровень знаний тех времен, психологию создателей пирамиды. У египтян было три единицы длины: локоть (466 мм), равнявшийся семи ладоням (66,5 мм), которая, в свою очередь, равнялась четырем пальцам (16,6 мм).

Трудно допустить, что строители пирамиды пользовались исходными размерами, выраженными в долях локтя; более очевидно, что основные исходные размеры были определены в целых единицах длины – локтях.

Рассмотрим размеры пирамиды Хеопса. Длина стороны основания

пирамиды (L) принята равной 233,16 м. Эта величина отвечает почти точно 500 локтям. Очевидно, размер основания пирамиды при ее строительстве и был определен в 500 локтей.

Высота  пирамиды (H)  оценивается  исследователями различно от 146,6 до 148,2 м. И в зависимости от принятой высоты пирамиды изменяются и все отношения ее геометрических элементов. Поэтому на этой величине следует остановиться особо.            Одним из чудес великой пирамиды является очень точная подгонка ее каменных блоков и плит; между ними буквально нигде не просунешь лезвия бритвы (0,1 мм). Но никакого чуда здесь не оказалось. В процессе строительства каменные блоки не могли быть изготовлены столь точно: для этого у древних египтян просто не было средств – ни обрабатывающих, ни измерительных. Но за длительное время под воздействием колоссального давления (достигающего 500 тонн на 1 м2 нижней поверхности) произошла «усадка» конструкции, пластическая деформация строительных блоков, вследствие чего они и оказались так тесно подогнанными. В результате усадки высота пирамиды стала меньше, чем она была в период завершения строительства. Какой же она была первоначально? Ее можно воссоздать, если найти основную «геометрическую идею», положенную в основу сооружения.

Угол наклона граней пирамиды еще в 1837 году определил английский полковник Г.Вайз: он равен . Указанному значению угла отвечает тангенс, равный 1,272. Эта величина, отвечающая отношению высот пирамиды к половине ее основания, очень близка к корню квадратному из золотой пропорции = 1,27202 и является иррациональной величиной. Поэтому, скорее всего, в основу треугольника OMN пирамиды Хеопса и было заложено отношение OM/MN, равное .          

Итак, примем отношение катетов, т.е. высоты пирамиды H  к половине ее основания, равным 1,272. При этом высота пирамиды Хеопса будет равна точно 318 локтей, или 148,28 м. Такую высоту, очевидно, имела пирамида Хеопса при завершении ее сооружения ( или должна была иметь по проекту).

Таким образом, основные элементы конструкции пирамиды имели следующие размеры: сторона основания – 500 локтей, высота – 318 локтей. Отсюда следует, что апофема боковой грани ON равна 404,5 локтя.

А теперь посмотрим, какие интересные соотношения следуют из этих геометрических размеров. Отношения сторон в треугольнике OMN пирамиды равно: OM/MN=ON/OM=1,272=; ON/MN=Ф.

Рассмотрим теперь поверхность пирамиды. Она состоит из четырех треугольников и квадрата основания. Основание треугольника BOC равно 500 локтям, высота его равна 404,5 локтя. По теореме Пифагора можно рассчитать длину боковых ребер OB и OC . Они равны 475,5 локтя.

Площадь основания пирамиды равна 250000 кв. локтей, площадь боковой грани 101125 кв. локтей, а площадь четырех граней пирамиды равна 404500 кв. локтей. Отношение поверхности граней к площади основания также равно золотой пропорции.

Еще Геродот, основываясь на рассказах египетских жрецов, писал, что площадь квадрата, построенного на высоте пирамиды, равна площади каждой из его боковых граней. По нашим расчетам, квадрат высоты равен 3182 = 101127 кв. локтей, что почти точно отвечает площади боковой грани (101125 кв. локтей).

Многие исследователи указывают, что отношение удвоенной стороны основания 2L к высоте пирамиды H отвечает числу «пи». Однако в связи с тем, что высота пирамиды принималась равной современной и не всегда однозначной, число «пи» получалось разным: 3,16-3,18. На почве этого возникали сомнения, предпринимались различные подгонки, стали говорить даже о некоем «египетском », равном 3,16. Если принять высоту пирамиды равной 318 локтям, то отношение 2L/H=1000/318 будет равно 3,144. Эта величина очень близка к современному значению числа «пи» (3,14159…).

Интересно сравнить два основных отношения, установленных нами при изучении геометрических пропорций пирамиды: 2H/L= и 2L/H=. Отсюда получаем простую и красивую формулу, связывающую число «пи» и золотую пропорцию: 4/=.

Гениальные создатели пирамиды Хеопса стремились поразить далеких потомков глубиной своих знаний, и они достигли этого. Следует лишь удивляться высокому знанию и искусству древних математиков и архитекторов Египта, которые смогли воплотить в пирамиде две иррациональные (т.е. неизмеримые) величины –  и Ф со столь поразительной точностью, оперируя исходными отношениями целых чисел – стороной основания и высотой пирамиды, выраженных в локтях.  

Золотая пропорция в искусстве Древней Греции.

Великолепные памятники архитектуры оставили нам зодчие Древней Греции. И среди них первое место по праву принадлежит Парфенону. 

        Всю вторую половину V в. до н.э. на Акрополе шло строительство храмов, пропилей (преддверий), алтаря и статуи Афины Воительницы. В 447 году начались работы над храмом Афины – Парфеноном и продолжались до 434 года до н.э. Для создания гармонической композиции на холме его строители даже увеличили холм в южной части, соорудив для этого мощную насыпь.

        Как указывает исследователь Г. И. Соколов, протяженность холма перед Парфеноном, длины храма Афины и участка Акрополя за Парфеноном относятся как отрезки золотой пропорции. При взгляде на Парфенон от места расположения пропилей отношения массива скалы и храма также соответствуют золотой пропорции. Таким образом, золотая пропорция была использована уже при создании композиции храмов на священном холме.

 Размеры Парфенона хорошо изучены, но приводимые замеры не всегда однозначны. Следует учесть, о чем сказано ниже, что геометрия архитектуры храма очень непростая – в ней почти отсутствуют прямые линии, поэтому определение размеров затруднено. Известно, что фасад Парфенона вписан в прямоугольник со сторонами 1 : 2 , а план образует прямоугольник со сторонами 1 и . Известно, что диагональ прямоугольника 1:2 имеет размер , следовательно, прямоугольник фасада и является исходным в построении геометрии Парфенона.

Ширина Парфенона оценена в 100 греческих футов (3089 см), а размер высоты несколько варьирует у различных авторов. Так, по данным Н. Бруно, высота Парфенона 61,8  , высота трех ступеней основания и колонны – 38,2  , высота перекрытия и фронтона – 23,6 футов. Указанные размеры образуют ряд золотой пропорции: 100 : 61,8 = 61,8 : 38,2 = 38,2 :23,6 = Ф.

Многие исследователи, стремившиеся раскрыть секрет гармонии Парфенона, искали и находили в соотношениях его частей золотую пропорцию. В работе   В.Смоляка, посвященной изучению пропорций Парфенона, установлен закономерный ряд золотых пропорций. Приняв за единицу ширину торцового фасада храма, Смоляк получил прогрессию, состоящую из 8 членов ряда:  1: : 2: 3: 4: 5: 6. Указанным членам ряда отвечают основные пропорции фасада  Парфенона (рис.8).

В некоторых сооружениях древнего мира золотая пропорция выражена не в пропорциях формы зданий, а в деталях внутренней композиции, даже в числе мест для зрителей. Интересные данные приводит Э.Сороко. Построенный Поликлетом-младшим театр был рассчитан на 15 тысяч зрителей. Места для зрителей (театроп) имели 2 яруса : первый- 34 ряда мест, а второй – 21 ряд (числа Фибоначчи). Раствор угла , охватывающего пространство между театропом и скемой (пристройка для переодевания актеров и хранения  реквизита), делит окружность основания амфитеатра –8-

в отношении : , что равно 1: 1,618…. Это соотношение углов реализовано практически во всех античных театрах. Театр Диониса в Афинах трехъярусный. Первый ярус имеет 13 секторов, второй – 21 сектор.  

Древние скульпторы знали и использовали золотую пропорцию как критерий гармонии, канон красоты, корни которой лежат в пропорциях  человеческого тела. “Человеческое тело – лучшая красота на земле”, - утверждал Н.Чернышевский. Эталонами красоты человеческого тела, образцами гармонического телосложения издавна и по праву считаются великие творения греческих скульпторов: Фидия, Поликлета, Мирона, Праксителя. В создании своих творений греческие мастера использовали принцип золотой пропорции. Центр золотой пропорции строения человеческого тела располагался точно на месте пупка. И не случайно  величину золотой пропорции принято обозначать буквой Ф; это сделано в честь Фидия – творца бессмертных скульптурных произведений.

Одним из высших достижений классического греческого искусства может служить статуя “Дорифор”, изваянная Поликлетом. Фигура юноши выражает единство прекрасного и доблестного, лежащих в основе греческих принципов искусства. Широкие плечи почти равны высоте туловища, высота головы восемь раз укладывается в высоте тела , а золотой пропорции отвечает положение пупка на теле атлета.

        Но проанализируем другие пропорции знаменитой статуи.  Расстояние от подошвы копьеносца до его колена равна 3,  высота шеи вместе с головой - 4, длина шеи до уха - 5, а расстояние от уха до макушки - 6  . Таким  образом, в этой статуе мы видим геометрическую прогрессию со знаменателем : 1, , 2, 3, 4, 5, 6. (рис.9).

        Таким образом, золотое сечение – один из основополагающих принципов в искусстве античной Греции.

Ритмы сердца и мозга.

        Равномерно бьется сердце человека – около 60 ударов в минуту в состоянии покоя. Сердце как поршень сжимает , а затем выталкивает кровь и гонит ее по телу. Предсердия выполняют роль резервуара, принимающего кровь из вен, а желудочки -  насоса, ритмически перекачивающего кровь в артерии. Давление крови изменяется в процессе работы сердца. Наибольшей величины оно достигает в левом желудочке в момент его сжатия (систолы) . В артериях во время систолы желудочков кровяное давление достигает максимальной величины, равной 115-125 мм рт.ст. у здорового молодого человека. В момент расслабления сердечной мышцы (диастолы) давление снижается до 70-80 мм рт.ст. Отношение максимального (систолического ) к минимальному (диастолическому) давлению равно в среднем 1,6 ,т.е. близко к золотой пропорции.

        Сердце бьется непрерывно – от рождения человека до его смерти. Его работа должна быть оптимальной, обусловленной законами самоорганизации биологических систем. Отклонения от оптимального режима вызывают различные заболевания. А так как золотая пропорция является одним из критериев самоорганизации в живой природе, естественно предположить, что и в работе сердца возможно проявление этого критерия. Нужны были глубокие исследования, и они были проведены советским ученым В.Д.Цветковым.

При работе сердца возникает электрический ток, который можно уловить специальным прибором и получить кривую – электрокардиограмму (ЭКГ) с характерными зубцами, отражающими различные циклы работы сердца. На ЭКГ человека выделяются два участка различной длительности, соответствующие систолической и диастолической деятельности сердца. В.Цветков установил, что у человека и у других млекопитающих имеется оптимальная («золотая») частота сердцебиения, при которой длительности систолы, диастолы и полного сердечного цикла соотносятся между собой в пропорции 0,382 : 0,618 : 1 , т.е. в полном соответствии с золотой пропорцией. Так, например, для человека эта частота равна 63 ударам в минуту, для собак – 94 , что отвечает реальной частоте сердцебиения в состоянии покоя.

Далее В.Цветков обнаружил, что систолическое давление крови в аорте равно 0,382  , а диастолическое – 0,618 от среднего давления крови в аорте. Доля объема левого желудочка при ударном выбросе крови по отношению к конечнодиастолическому объему у десяти видов млекопитающих в состоянии покоя составляет 0,37-0,4   , что в среднем также отвечает золотой пропорции. Таким образом, работа сердца в отношении временных циклов, изменения давления крови и объемов желудочков оптимизировано по одному и тому же принципу – по правилу золотой пропорции.

Мозг человека представляет собой сложнейшую самонастраивающуюся систему, основным назначение которой является регуляция деятельности различных органов человеческого тела, осуществление связи человека с окружающей средой. В составе мозга  различают серое и белое вещества. Серое вещество представляет собой скопление нервных клеток, белое – нервных волокон, отростков этих клеток. Нервная клетка с отростком называется нейроном. Нейроны мозга образуют разнообразные сети, взаимодействующие с помощью электрических сигналов.

Конфигурации нейронных сетей представляют собой колебательные электрические цепи. Различным состояниям мозга соответствуют электрические колебания с разными частотами.

Многочисленные исследования показали, что в мозгу взрослого человека при различных его состояниях преобладают электрические колебания определенных частот. Изменение  активации мозга происходит не непрерывно, а только дискретно, скачками от одного уровня к другому. Каждому состоянию мозга соответствуют свои специфические волны электрических колебаний.

Состоянию спокойного бодрствования отвечает наиболее устойчивый - ритм с частотами колебаний преимущественно от 8 до 13 герц. Это основной ритм электрических колебаний мозга, он появляется в детском возрасте и постепенно с возрастом увеличивается с 2-3  до 8-13 гц в возрасте 8-16 лет. Наиболее медленные колебания с частотой 0,5 –4 гц у - ритма, характерно для состояния глубокого сна. Для  - ритма верхняя граничная частота достаточно стабильна и равна 3-4 гц, а пределы нижней граничной частоты изменяются от 0,2 до 1,5 гц.

При появлении неприятности или опасности в мозгу доминирует  - ритм с частотами от 4-7 до 6-8 (по данным различных авторов). Советские ученые-братья    Я.и А. Соколовы считают, что наиболее устойчивы для    - ритма граничные частоты колебаний 4 - 7 гц.  Умственной  работе  отвечает  - ритм  с  граничными  частотами 14-35гц. (по другим данным, диапазон частот этого ритма более широк – от 14 до 100гц). Эмоциональному возбуждению мозга соответствует - ритм с граничными частотами 35-55 гц. Нетрудно заметить, что граничные частоты ритмов почти точно отвечают числам Фибоначчи. Отклонения граничных частот от чисел Фибоначчи находятся в пределах точности эксперимента. Соколовы считают, что существуют еще не обнаруженные опытами - ритм и - ритм. Расчеты показали, что у - ритма пограничные частоты 118 и 225 гц, а у - ритма -  55 и 118 гц. И здесь очевидна близость чисел Фибоначчи.

Исследования в этой области только начинаются, впереди -  открытие самых сокровенных тайн организации и работы мозга человека, закономерности его эволюции.

Алгебра музыки.

        В композиции многих музыкальных произведений отмечается наличие некоторого «кульминационного взлета», высшей точки, причем такое построение характерно не только для произведения в целом, но и для его отдельных частей. Такая высшая точка крайне редко расположена в центре произведения или его композиционной части, обычно она смещена, асимметрична. Изучая восьмитактные мелодии Бетховена, Шопена, Скрябина, советский музыковед Л.Мазель установил, что во многих из них вершина, или высшая точка, приходится на сильную долю шестого такта или на последнюю мелкую долю пятого такта, т.е. находится в точке золотого сечения. По мнению Л.Мазеля, число подобных восьмитактов, где подъем мелодии занимает пять тактов, а последующий спуск – три, необычайно велико. Их можно без труда найти почти у каждого автора, сочинявшего музыку в гармоническом стиле.

        Очевидно, такое расположение кульминационных моментов музыкальной мелодии является важным элементом ее гармонической композиции, придающим художественную выразительность и эстетическую эмоциональность мелодии.

        Характерно, что в некоторых случаях авторы музыкальных произведений смещали их вершину от точки золотого сечения, что придавало мелодиям неустойчивый характер. По мнению Л.Мазеля,  это входило в намерения авторов, например, при сочинении скерцо, рондообразных финалов.

        Наиболее обширное исследование проявлений золотого сечения в музыке было предпринято Л.Сабанеевым. Им было изучено две тысячи произведений различных композиторов. По его мнению, временное протяжение музыкального произведения делится «некоторыми вехами», которые выделяются при восприятии музыки и облегчают созерцание формы целого. Все эти музыкальные вехи делят целое на части, как правило, по закону золотого сечения. По наблюдениям Л.Сабанеева, в музыкальных произведениях различных композиторов обычно констатируется не одно золотое сечение, а целая серия подобных сечений. Каждое такое сечение отражает свое музыкальное событие, качественный скачок в развитии музыкальной темы. В изученных им 1770 сочинениях 42 композиторов наблюдалось 3275 золотых сечений. Количество произведений, в которых наблюдалось хотя бы одно золотое сечение, составило 1338. Наибольшее количество музыкальных произведений, в которых имеется золотое сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Скрябина (90%), Шопена (92%), Шуберта (91%).

        Наиболее детально были изучены все 27 этюдов Шопена. В них обнаружено 154 золотых сечения; всего в трех этюдах золотое сечение отсутствовало. В некоторых случаях строение музыкального произведения сочетало в себе симметричность и золотое сечение одновременно; в этих случаях оно делилось на несколько симметричных частей, в каждой из которых проявляется золотое сечение. У Бетховена также сочинения делятся на две симметричные части, а внутри каждой из них наблюдаются проявления золотой пропорции.

        Характерно, что наиболее часто золотое сечение обнаруживается в произведениях высокохудожественных, принадлежащих гениальным авторам. Может быть, частота проявлений золотой пропорции является одним из объективных критериев оценки гениальности музыкальных произведений и их авторов?

        Итак, можно признать, что золотая пропорция является критерием гармонии композиции музыкального произведения.

Музыка стихов.

Многое в структуре произведений поэзии роднит этот вид искусства с музыкой. Каждый стих обладает своей музыкальной формой – своей ритмикой и мелодией. Можно ожидать, что в строении стихотворений проявятся некоторые черты музыкальных композиций, закономерности музыкальной гармонии, а следовательно, и золотая пропорция, и числа Фибоначчи.

Исследования поэтических произведений с этих позиций только начинаются. И начинать нужно с поэзии А.С.Пушкина. Ведь его произведения -  образец наиболее выдающихся творений русской культуры, образец высочайшего уровня гармонии. С поэзии А.С.Пушкина мы и начнем  поиски золотой пропорции – мерила гармонии и красоты.

Для анализа метрики стихотворений А.С.Пушкина рассмотрены его произведения периода 1829-1836 г.г., периода создания наиболее совершенных стихов. Сюда вошло 109 стихов. Число строк в стихотворениях этого периода изменялось от 4 до 116. Однако большие стихотворные формы встречаются редко; число стихотворений с количеством строк более 60 составило всего 9 штук. Средний размер этих стихотворений составил 88 строк.

Казалось бы, величина стихотворения, определяемая числом строк, может изменяться произвольно и непрерывно от самой малой в четыре строки до самых больших. Однако оказалось, что это не так. Размеры стихов распределены совсем не равномерно; выделяются предпочтительные и редко встречающиеся размеры. На графике распределения стихотворений А.С.Пушкина по числу строк в них отчетливо выделяется  несколько максимумов - наиболее встречающихся размеров (рис.10). Они явно тяготеют к числам 5, 8, 13, 21, 34. Проявляется вполне закономерная тенденция в творческой манере поэта – он явно предпочитает стихотворения, размер которых близок к числам ряда Фибоначчи.

Только ли стихотворения А.С. Пушкина тяготеют в своих размерах к числам Фибоначчи? Конечно, нет. И у других поэтов проявляется тяготение размера стихов к 8,13,21 строчкам, но ни у одного из русских поэтов эта тенденция не выражена так отчетливо, как у А.С.Пушкина. Стихотворения В.Брюсова отличаются совершенством своих форм. И неудивительно, что в их размерности также проявляются числа Фибоначчи. Было проанализировано 360 стихотворений поэта из его двухтомника; эти стихи охватывали период от 1882 до 1912 года. Только в трех стихотворениях число строк составило 70, 85, 90 (что в среднем близко к числу Фибоначчи 89). Остальные стихотворения содержали значительно меньше строк – от 8 до 36 и крайне редко несколько больше.

Среди рассмотренных стихотворений В.Брюсова явно преобладают те, в которых число строчек равно или близко к числам Фибоначчи. Они распределены следующим образом:

стихотворения с числом строк          8                        25 шт.        7%

                -  *  -                                    131                        77 шт.         21,5%                                -  *  -                                211                        70 шт. 19,6%                                 -  *  -                                342                        36 шт. 10,0%        

Общее число этих стихотворений составило 208 шт. или 58%. К остальным относятся стихотворения с числом строчек 10, 14, 16, 18, 24, 26, 28, 31 , 32 и т.д. Поэт явно предпочитал стихотворения с числом строк 8, 131, 211 как наиболее оптимальные для выражения мыслей и чувств.

        Обратимся вновь к произведениям А.С.Пушкина. Рассмотрим  композицию «Пиковой дамы». В этой повести кульминационным моментом является сцена в спальне графини, куда проник Германн в надежде узнать тайну трех карт, сцена, которая оканчивается смертью графини в повести 853 строки. Кульминационный момент повести – это смерть графини. Ему отвечает 535 –я строка. Эта строка расположена в повести почти точно в месте золотого сечения, т.к. 853:535=1,6 .

        Повесть «Пиковая дама» состоит из шести глав. Посмотрим, не проявляется ли в композиции глав золотая пропорция? В первой главе золотому сечению отвечает 68 строчка (всего в главе 110 строк). Но ведь это же узловая точка повествования, в ней переломный момент всей главы: откроет ли Сен - Жермен свою тайну графине!

        Вторая глава повести содержит 219 строк. Золотое сечение здесь приходится на 135 строку. Но ведь это кульминационный момент главы, Лиза увидела в окне стоящего на улице Германна! Отсюда начался для нее новый отсчет времени, начались события, определившие всю ее дальнейшую судьбу. А.С.Пушкин совершенно точно определил это место во второй главе: ведь 219:135 = 1,62.

        Третья глава повести описывает усилия Германна попасть в дом старой графини, выведать у нее тайну трех карт. Это место начинает новый отсчет времени для Германна. Эта ситуация приходится на 131 строку третьей главы, а всего в ней 212 строк. Разделив 212 на 131, мы получим точно золотую пропорцию 1,618!

        В четвертой главе размером 113 строк золотая пропорция приходится на 70 строку. Это также переломный, трагический момент в жизни Лизы.

        В пятой главе описано посещение Германна похорон графини. 46 строка пятой главы разделила повествование на две части: первая - похороны графини и вторая – сон Германна. Эта 46 строка также отвечает золотой пропорции, ведь всего в этой главе 75 строк (75:46=1,63).

        В последней главе повести золотая пропорция приходится на 77 строчку, которая завершает описание первого дня игры Германна в карты и первого его выигрыша. Как видим, и в композиции последней главы повести присутствует золотая пропорция.

        Золотая пропорция присутствует и в композиции других произведений Пушкина. В рассказе «Станционный смотритель» 377 строк. Кульминационный момент рассказа – это известие о том, что дочь смотрителя уехала с гусаром. Этот момент отражен во фразе, которая является 214 строкой. Здесь почти точное соответствие золотой пропорции.

        В маленьком рассказе «Гробовщик» всего 229 строк. Со 139 строки начинается описание страшного сна гробовщика. И здесь переломный момент рассказа приходится почти точно на золотую пропорцию (229:1,618=141 строка).

Совпадение кульминационных моментов в произведениях А.С.Пушкина с золотой пропорцией удивительно близкое, в пределах 1-3 строк. Чувство гармонии у него было развито необыкновенно, что объективно подтверждает гениальность великого поэта и писателя.

Заключение.

        Рациональные  и иррациональные числа являются своеобразными противоположностями. Но природа едина, и ее противоположности не только находятся в противодействии, борьбе, но и в единстве. И не удивительно, что многие иррациональные числа выражаются через совокупность целых чисел. Все три числа:, e и Ф – связаны между собой простыми отношениями и могут быть выражены в виде пределов бесконечных дробей. Кроме того, на примере золотой пропорции показано, что целые числа натурального ряда : 1, 2, 3, … могут быть выражены через иррациональное число Ф. Кроме того, число Ф с любой степенью точности может быть выражено через отношение целых чисел. Разве эти примеры не свидетельствуют о единстве рационального и иррационального в природе?!

        Мы так часто говорим о единстве и борьбе противоположностей, что это понятие стало тривиальным, само собой разумеющимся и не требующим исследования. Может быть, поэтому этот фундаментальный закон природы так мало исследован и углублен и, что характерно, почти совершенно не математизирован. А между тем он достоин самого  пристального изучения и развития – ведь это один из основных, наиболее общих законов мироздания.

Список литературы:

1. Н. Васютинский “Золотая пропорция” –М.,”Молодая гвардия”, 1990
2. А. Азевич “Двадцать уроков гармонии” –М., “Школа-Пресс”, 1998
3. М. Гарднер “Математические головоломки и развлечения” –М., “Мир”, 1971
4. Д.  Пидоу “Геометрия и искусство” – М., “Мир”, 1989
5. Энциклопедический словарь юного математика –М.,1989
6. Журнал “Квант”, 1973, № 8
7. Журнал “Математика в школе”, 1994, № 2, № 3

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Лицей № 18 г. Орла»

Творческая работа

     по математике на тему

   «Задачи на проценты»

                                                                            Выполнил

                                                                            учащийся 6 «А» класса

                                                                                Карпачев Николай

                                                                                 Руководитель

                                                         Дамм Е.Ю.

Содержание

I.   Вступление……………………………………………………………………… … 2                   

II.  Из истории процентов……………………………………………………………3

III. Основные понятия

        п.1  Понятие процента………………………………………………………....4

        п.2   Нахождение процентов от числа……………………………………...4

        п.3   Нахождение числа по его процентам ...……………………………... 4-5

        п.4   Нахождение процентного отношения чисел……………………….. 5

        п.5   Процентные расчеты……………………………………………………. 6-8

        п.6  Сложные проценты……………………………………………………….. 9

IV. Задачи на проценты

        п.1  Банковские вклады………………………………………………………….10

        п.2   Изменение стоимости товара………………………………………….10-12

        п.3   Работа……………………………………………………………………….12-13

        п.4   Растворы, смеси, сплавы…………………………………………………13-15

        п.5   Разные задачи……………………………………………………………….16

V. Задачи для самостоятельного решения………………………………………..17-18

VI. Заключение…………………………………………………………………………..19

VII. Список литературы………………………………………………………………20

I. Вступление

Проценты  в  мире  появились  из  практической необходимости, при решении определенных задач.  Первая  потребность  процентов  была  экономическая. Она возникла ещё в древности, когда появилось понятие долга, и нужно было начислять выплаты по закладным и займам. Затем проценты стали универсальной  величиной  измерения разных величин и  объектов. Они проникли, практически, во все отросли знаний.  Их широко  применяли  в  различных  отраслях  и  науках: математике, химии, физике и т. д.. И  в  наше  время  проценты  приобрели  широкое распространение. Можно заметить, что проценты применяют даже там, где на  первый  взгляд  они не применимы. Так, например, человек  на  вопрос «Как  у  него  здоровье?», может ответить, что здоров процентов на семьдесят.  Отсюда  видно,  что  проценты можно применять при измерении не только  точных  величин,  как  килограммы, рубли и.т.д.. В настоящей повседневной жизни проценты применяются очень широко: выполнение планов, выработка продукции, рост производительности труда и т. д. обычно выражаются в процентах. Их используют и в различных денежных расчетах. Вот почему полезно овладеть простейшими и более сложными процентными расчетами. Именно поэтому для творческой работы  мной выбрана тема «Задачи на проценты».

В связи с этим, при написании данной работы я ставлю перед собой  следующие  цели и задачи:

• Изучить научную литературу по теме «Проценты», расширить и углубить свои знания по этой теме.
• Овладеть простейшими и более сложными процентными расчетами.
• Рассмотреть способы решения задач на сложные проценты, задач связанных  с  такими понятиями, как «концентрация» и  «процентное  содержание», задач на смеси и сплавы.

II. Из истории процентов.

Слово процент произошло от латинского слова pro centum, что буквально  означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно  в  одних  и тех  же  долях,  вызванная  практическими  соображениями,  родилась  еще   в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных  табличек  посвящен  исчислению процентов,  однако  вавилонские  ростовщики  считали  не  «со  ста»,  а   «с шестидесяти». Проценты были особенно распространены в Древнем Риме.  Римляне называли процентами деньги, которые  платил  должник  заимодавцу  за  каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы.  Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или  убыток  на каждые сто рублей. Они применялись только в  торговых  и  денежных  сделках. Затем  область   их   применения   расширилась,   проценты   стали встречаться   в хозяйственных и финансовых  расчетах,  статистике,  науке  и  технике.  Ныне процент  –  это  частный  вид   десятичных   дробей,   сотая   доля   целого (принимаемого за единицу).

Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто),  которое в  процентных  расчетах  часто  писалось  сокращенно   cto.   Отсюда   путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t  превратилась  в  наклонную  черту (/), возник современный символ для обозначения процента. Есть еще  одна  достаточно  любопытная  версия возникновения знака %. Существует мнение, что этот знак  произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В  1685 г.  в  Париже была опубликована  книга-руководство  по  коммерческой  арифметике,  где  по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

III. Основные понятия.

п. 1   Понятие процента

Процент – это одна сотая часть.

Пример. Ежемесячно рабочий с зарплаты отчисляет 1% в пенсионный фонд. Какую сумму он отчисляет ежемесячно, если его зарплата составляет 2500 рублей?

Решение.        2500 : 100 = 25 (руб)

Ответ.  25 рублей.

п. 2 Нахождение процентов от данного числа.

Если нужно найти p% от числа а, то надо число а разделить на 100 и полученное частное умножить на p.

Это правило можно записать в виде формулы:

p% от а равны (а : 100) · p =           (*)

Пример. Учреждение вносит в страховую кассу за каждого сотрудника 4% от его зарплаты. Сколько должно внести учреждение в страхкассу за сотрудника, если его зарплата 2400р.?

Решение этой задачи можно записать так:

4% от 2400 равны (2400:100)·4 = 24·4=96 (р.)

п. 3  Нахождение числа по его процентам.

Чтобы найти число  а по его процентам, надо известную величину процентов b разделить на число процентов p и полученное частное умножить на 100.

Это правило можно записать в виде следующей формулы:

а=(b:p)·100 =                          (**)

Однако иногда удобней пользоваться не формулами (*) и (**), а выражать проценты в виде десятичной дроби или обыкновеной дроби и использовать правила нахождения части числа и числа по его части .

Пример. Фермер засеял овсом 47,36 га земли, что составляет 37% всей площади. Определить всю площадь.

Решение. Обозначим искомую площадь через x га. Тогда по условию имеем, что 37% от x равны 47,36 га. Так как 37%=0,37, то получаем 0,37 от x равны 47,36. По правилу нахождения числа по его части получаем

 x=47,36 : 0,37=128 (га).  

п. 4  Нахождение процентного отношения чисел.

Вы знаете, что неравенство двух чисел можно охарактеризовать с помощью их разностного или кратного отношения. Так, имея числа 2 и 5, можно сказать, что 5 больше 2 на 3 или 2 меньше 5 на 3. Можно найти и кратное отношение этих чисел, но в данном случае оно дробное и не очень удобно говорить: «5 больше 2 в 2,5 раза» (хотя иногда так говорят). Более удобно в этом случае найти процентное отношение этих чисел, т.е. узнать, сколько процентов составляет одно число от другого. Для этого находим их частное и выражаем это частное в процентах: 2:5=0,4=0,40=40%. Значит, 2 составляет 40% от 5. Или: 5:2=2,5=2,50=250%. Значит, 5 составляет 250% от 2.  

Чтобы найти процентное отношение чисел а и b, надо частное выразить в процентах.

Пример. Из винтовки сделано 50 выстрелов, при этом в цель попало 45 пуль. Узнать процент попадания.

Решение. Процент попадания - это отношение числа попаданий к общему числу выстрелов, выраженное в процентах. Находим отношение

45 : 50 = 0,90 = 90%

Значит, процент попаданий равен 90%.

п.5  Процентные расчеты

Рассмотрим  несколько задач на процентные расчеты.

1. Число А больше числа В. Определите, на сколько процентов число А больше, чем число В?

Из контекста задачи следует, что В-первоначальное число, А - новое число. С помощью пропорции найдем, сколько процентов составляет новое число А от первоначальног числа В:

В – 100%

А –     Х%

Х = ·100%.

Далее находим искомую процентную разность данных чисел:

·100% - 100% = ·100%

(разность чисел надо поделить на первоначальное число, и результат перевести в проценты).

Пример. Заводу надо изготовить 24 машины, но завод изготовил 27 машин. На сколько процентов изготовлено машин больше, чем намечено?

Решение.      · 100% = 12,5%

2. Число А больше числа В. Определите, на сколько процентов число В меньше, чем число А?

Из контекста задачи следует, что А – первоначальное число, В – новое число. С помощью пропорции найдем, сколько процентов составляет новое число В от первоначального числа А:

А – 100%

В –     Х%

Х = ·100%.

Далее находим искомую процентную разность данных чисел:

100% - ·100% = ·100%

(разность чисел надо поделить на первоначальное число, и результат перевести в проценты)

 Пример. Один и тот же товар в одном магазине стоит 10 руб., а в другом – 8 руб.. На сколько процентов этот товар во втором магазине дешевле, чем в первом?

Решение.        · 100% = 20%

Для решения более сложных задач на проценты полезно освоить «свернутое» увеличение и уменьшение числа на заданное число процентов.

3. Число А увеличили на р%. Чему равен результат?

Сначала найдем р% от числа А: ·р

Далее находим новое число:   А+·р = А·(1+)

Пример. Новейшие разработки конструкторского бюро позволят увеличить предельную скорость автомобиля на 30%. Какой будет эта скорость, если сейчас она составляет 180 км/час?

Решение.    180+180·0,3 = 180·1,3 = 234 (км/час)

4. Число В уменьшили на р%. Чему равен результат?

Сначала найдем р% от числа В: ·р

Далее находим новое число:  В- ·р = В·(1-)

Пример.  Во время новогодней распродажи магазин снижает цены на все товары на 25%. Сколько будут стоить во время распродажи сапоги по цене 2000 руб.?

Решение.    2000-2000·0,25 = 2000·0,75 = 1500 (руб)

5. Число А сначала увеличили на р%, а затем уменьшили на р%. Чему равен результат?

Используя предыдущие рассуждения, получим:  А·(1+)·(1-)

Пример.  Цену товара повысили на 60%, затем полученную цену понизили на 60%. Как в итоге изменилась цена по сравнению с первоначальной? На сколько процентов?

Решение.    Пусть первоначальная цена товара х, тогда после двукратного изменения новая цена составит х·1,6·0,4 = 0,64х. Видим, что новая цена меньше первоначальной (так как 0,64х<х). Теперь определим на сколько процентов число 0,64х меньше числа х:  ·100% = 36%

Ответ: цена уменьшилась на 36%.

6. Число А сначала уменьшили на р%, а затем увеличили на р%. Чему равен результат?

Аналогично предыдущей задаче получим:   А·(1-)·(1+)

Заметим, что результат в этой и в предыдущей задаче одинаков.

Пример.  Цену товара понизили на 60%, затем полученную цену повысили на 60%. Как в итоге изменилась цена по сравнению с первоначальной? На сколько процентов?

Решение.  Решение данного примера совпадает с решением предыдущего с точностью до перестановки мест второго и третьего множителей при выполнении первого действия:

1). х·0,4·1,6 = 0,64х.

2). ·100% = 36%

Ответ: цена уменьшилась на 36%.

п.6  Сложные проценты.

1. Число А увеличили на р%,  затем полученное число снова увеличили          на р% и так далее (всего n раз). Чему равен результат?

Используя рассуждения задачи 3 из п.5 , получим:

          А·(1+)·(1+)· …·(1+) = А ·(1+)n 

             ________________________

                                     n  множителей

Пример.  Банк начисляет 10% годовых. Какова будет сумма на счету у вкладчика через три года, если он внесет 1000 рублей?

Решение. Применяя полученную формулу для случая А = 1000, р = 10, n = 3, получим:

               1000 · (1+0,1)3 =1331 (руб.)

Ответ.  1331 руб.

2. Число В уменьшили на р%,  затем полученное число снова уменьшили на р% и так далее (всего n раз). Чему равен результат?

Используя рассуждения задачи 4 из п.5, получим:

                 В·(1-)·(1-) ·…· (1-)= В·(1-)n

                                __________________________________

                                                    n  множителей

Пример.  Находясь на диете, человек терял ежемесячно 5% своего веса. Каким стал его вес через два месяца, если в начале он составлял 60 кг?

Решение. Применяя полученную формулу для случая В = 60, р = 5, n = 2, получим:

             60 · ( 1 – 0,05 )2 = 54,15 (кг)

Ответ.  54 кг 150 г.

4. Задачи на проценты.

п.1  Банковские вклады.

Пример 1. Вкладчик положил в банк деньги под 20% годовых. Через год он добавил к сумме, имеющейся у него на счету, такую же сумму, что вкладывал первоначально. Еще через год на его счету оказалось 396 рублей. Сколько рублей было вложено первоначально?

Решение. Пусть первоначально было вложено х руб., тогда через год на счету стаю 1,2х руб., а после добавления первоначальной суммы  х+1,2х=2,2х (руб). Ещё через год полученная сумма увеличится на 20% и составит 2,2х·1,2 = =2,64х (руб). По условию задачи имеем уравнение 2,64х=396, из которого находим  

х =150.

Ответ:  150 руб.

Пример 2. Вкладчик взял из банка 20% своих денег, потом 60% оставшихся и еще 1400 рублей. Каков был исходный вклад, если после этого у него в банке осталось 22% от исходной суммы?

 Решение. Пусть исходный вклад составлял х руб., тогда после первого снятия денег со счёта останется х - 0,2х = 0,8х (руб). После второго снятия денег со счёта останется 0,8х - О,8х·0.6 = 0,8х·О,4 = 0,32х (руб). Вычитая теперь из найденной суммы 1400 руб., получим 0,22х (руб): 0,32х-1400=0,22х. Решая это уравнение, находим х = 14000.

Ответ: 14000 руб.

п.2  Изменение стоимости товара.

Пример 1. Цена товара 1200 руб. Ее повысили на 30%. На сколько процентов следует понизить полученную цену, чтобы получить первоначальную?      

 Решение. После повышения цена товара станет 1200·1,3 = 1560(руб). Теперь нужно определить., на сколько процентов первоначальная цена товара меньше новой:

=23%

Ответ:  23%.

Пример 2.   На сколько процентов понизили цену товара, если теперь за ту же
сумму можно купить на 25% товара больше, чем до понижения цены?
Решение.        Затраченная на покупку товара сумма равна произведению цены товара на его количество.

Пусть первоначально цена товара равна с, а количество товара равно n. Тогда
затраченная при этом сумма составит (сn). В другом случае за ту же сумму (сn)
можно купить количество товара, равное 1,25n, следовательно, его цена соста
вит         = 0,8с. Таким образом, цену товара понизили на 20%.

Свои рассуждения можно было оформить в виде таблицы.

Теперь найдем искомую величину: =20%

Ответ:  на 20%.

Пример 3.   Магазин продал на прошлой неделе некоторый товар. На этой неделе запланировано продать того же товара на 10 % меньше, но по цене на 10 % больше. Большую или меньшую сумму выручит магазин от продажи товара на этой неделе и на сколько процентов?

Решение.  Пусть на прошлой неделе магазин продал х едениц товара по цене у рублей, тогда на этой неделе будет продано 0,9х товара по цене 1,1у рублей.

Значит, на прошлой неделе было продано товара на сумму ху рублей, а на этой неделе на сумму 0,9х·1,1у=0,99ху рублей. Поэтому на этой неделе магазин выручит товара на сумму, меньшую на 1-0,99=0,01 или на 1%.

Ответ:  на 1%.

Пример 4.   Комиссионный магазин продал сданную на продажу вещь со скидкой 12 % от первоначально назначенной цены и получил при этом 10 % прибыли. Сколько процентов прибыли первоначально предполагал получить магазин?

Решение.  Пусть х рублей – первоначальная цена, у рублей – сумма, подлежащая выплате клиенту магазина. Когда первоначальная цена была снижена на 12% и составила 0,88х рублей, магазин получил прибыль 0,88х-у рублей или  процентов прибыли, что по условию задачи равно 10%. Составим и решим уравнение: ;  . Таким образом, магазин предполагал получить 25% прибыли.

Ответ: 25 %.

п.3  Работа.

Пример 1.  Рабочий повысил производительность труда на 15 %, а его зарплата увеличилась на 10,4 %. На сколько процентов уменьшился расход на оплату труда в расчете на единицу продукции?

Решение. _        Пусть за х деталей рабочий должен получить у рублей, тогда на 1 деталь приходится рублей. Фактически рабочий сделал 1,15х деталей и получил за них 1, 104у рублей (= 0,96 рублей за 1 деталь). Значит, расход на оплату труда в расчете на еденицу продукции уменьшился на 1- 0,96 = 0,04 или на 4%.

Ответ:  на 4%.

Пример 2.  В первый день рабочий перевыполнил дневное задание на 2 %, во второй день он перевыполнил дневное задание на 4 %. На сколько процентов рабочий перевыполнил задание двух дней?

Решение. Не на 6 %! Обозначим дневное задание через а, тогда за два дня рабочий выполнил 1,02a + 1,04a = 2,06a вместо 2a, что составило  = 1,03, или 103 % задания двух дней. Значит задание перевыполнено на 3 %.

Ответ:  на 3%.

Пример 3.  Мастер и ученик изготовили в первый день 100 деталей. Во второй день мастер изготовил на 20% больше, а ученик на 10% больше, чем в первый день. Всего во второй день мастер и ученик изготовили 116 деталей. Сколько деталей изготовил мастер и сколько изготовил ученик в первый день?

Решение.  Пусть х деталей изготовил в первый день мастер, а (100-х) деталей изготовил в первый день ученик. Тогда во второй день мастер изготовил 1,2х деталей, а ученик 1,1(100-х) деталей. По условию задачи во второй день они вместе изготовили 116 деталей.

Составим и решим уравнение: 1,2х+1,1(100-х)=116, отсюда х=60. Значит, мастер изготовил 60 деталей, а ученик 40 деталей.

Ответ:  60 деталей, 40 деталей.

Пример 4.  Для перевозки грузов используются автомобили двух типов: А и В. Работая вместе , они перевезут груз за 5 рейсов. Если будет работать только один автомобиль типа В, то он перевезёт 75% груза за 15 рейсов. Найдите отношение грузоподъёмностей автомобилей А и В.

Решение.  Пусть а и b – грузоподъёмности соответственно автомобилей типов А и В, тогда весь груз равен 5(а+b). Из второго условия задачи следует, что 15b=5(а+d)·0,75; 3b=а; =3.

Ответ:  грузоподъёмность автомобилей типа А в 3 раза больше.

п.4  Растворы, смеси, сплавы.

Пример 1. Свежая трава содержит 70% влаги, а высушенная - 20%. Сколько килограммов травы необходимо накосить, чтобы получить 150 кг сена?

Решение. Траву можно условно разделить на два компонента - воду и сухое вещество. В процессе сушки количество воды уменьшается, а количество сухого вещества остаётся неизменным.

Пусть искомая масса свежей травы х кг, тогда в ней содержится О,3х кг (30%) сухого вещества. В 150 кг сена содержится 150·0,8 = 120 (кг) (80%) сухого вещества. Из уравнения 0,3х=120 находим х=400.

Ответ: 400 кг.

Пример 2. Из молока, жирность которого 5%, делают творог жирностью 15,5%, при этом остается сыворотка жирностью 0,5%. Сколько творога получится из 1 т молока?

Решение. Как и в предыдущей задаче, молоко разделим условно на две составляющие — воду и сухое вещество (жиры, белки и др.). Составим таблицу по условию задачи:

Составим и решим уравнение: 0,155х + 0,005(100-х) = 50. Отсюда находим х=300.

Ответ: 300 кг.

Пример 3.  Из 40 т руды выплавили 20 т металла, содержащего 6% примесей. Сколько процентов примесей в руде?

Решение. В металле 20·0,06 = 1,2 т примесей, в руде 40-20+1,2 = 21,2 т примесей, что составляет 21,2:40 = 0,53 или 53% массы руды.

Ответ:  53%.

Пример 4.  При смешении 30%-ного раствора серной кислоты с 10%-ным раствором серной кислоты получилоь 400г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора (30%-ного и 10%-ного) было взято?

Решение.  Пусть было взято х грамм 30%-ного раствора и (400-х) грамм 10%-ного раствора. По условию задачи после их смешения получили 400г 15%-ного раствора. Составим и решим уравнение: 0,3х+0,1(400-х)=0,15·400. Отсюда х=100. Значит, было взято 100г 30%-ного раствора и 300г 10%-ного раствора.

Ответ:  100г, 300г.

Пример 5. В 2 литра 10%-ного раствора уксусной кислоты добавили 8 литров чистой воды. Определите процентное содержание уксусной кислоты в полученном растворе.

Решение.  В 2 литрах 10%-ой уксусной кислоты содержится 0,2 л кислоты и 1,8 л воды. После добавления воды уксусной кислоты осталось 0,2 л, а воды стало 1,8+8=9,8 л. Поэтому процентное содержание уксусной кислоты в полученном растворе =2%.

Ответ:  2%.

Пример 6.  Сколько килограммов воды нужно добавить к 30 кг пятипроцентного раствора соли в воде, чтобы получить полуторапроцентный раствор?

Решение.  В 30 кг пятипроцентного раствора содержится 30·0,05=1,5 (кг) соли. Если количество добавленной воды обозначить за х (кг), то получим уравнение:

(х+30)·0,015+1,5. Отсюда получаем х=70. Значит надо добавить 70 кг воды.

Ответ:  70 кг.

Пример 7. Имеются два сплава чугуна с никелем с содержанием никеля 5% и 40% соответственно. Сколько нужно взять металла каждого из этих двух сортов, чтобы получить 140 т нового сплава с содержанием 30% никеля?

Решение.  Пусть надо взять х т первого сплава, тогда второго сплава (140-х) т. Составим и решим уравнение: 0,05х+0,4·(140-х)=0,3·140;  х=40. Надо взять 40 т первого сплава и 100 т второго сплава.

Ответ:  40т и 100т.

п.5  Разные задачи.

Пример 1.  Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 10 %. На сколько процентов увеличилась его площадь? Зависит ли результат от того, какую пару сторон увеличили на 10 %?

Решение.  Если соседние стороны прямоугольника а и b, тогда площадь ab. После увеличения одной пары противоположных сторон (все равно какой) на 10 % площадь будет равна 1,1ab. Это больше аb на 0,1аb или на 10 %.

Ответ:  на 10%. Не зависит.

Пример 2.  Длину прямоугольника уменьшили на 20 %. На сколько процентов надо увеличить ширину прямоугольника, чтобы его площадь не изменилась?

Решение.  Пусть длина прямоугольника а, ширина b. Длина стала 0,8a =4/5 а. Чтобы площадь аb не изменилась, надо длину 4/5 a умножить на ширину 5/4b = =1,25b, то есть надо увеличить ширину на 1/4b или на 25 %.

Ответ:  на 25%.

Пример 3.  В спортивной секции девочки составляют 60 % числа мальчиков. Сколько процентов числа всех участников секции составляют девочки?

Решение.    Пусть в спортивной секции х мальчиков, тогда 0,6х девочек. Значит, девочки составляют ·100%=37,5% всех участников.

Ответ:  37,5%.

Пример 4.  В некотором царстве, в некотором государстве школьники стали изучать математику не 6, а 5 уроков в неделю. Кроме того, урок у них стал длиться не 45, а 40 минут. Сколько процентов учебного времени потеряли школьники? Ответ округлите до десятых.

Решение.    Было учебное время 6·45=270 мин, стало 5·40=200 мин. Значит, школьники потеряли (1 - )·100% 25,9% учебного времени.

Ответ:  25,9%.

V. Задачи для самостоятельного решения.

1. 1) Число увеличили на 10 %, потом еще на 10 %. На сколько процентов увеличили число за два раза?

     2) Число увеличили на 10 %, результат уменьшили на 10 %. Какое получилось число — больше или меньше первоначального? На сколько процентов?

2. Женя за весну похудел на 20 %, потом поправился зале-то на 30 %, за осень  опять похудел на 20 % и за зиму прибавил в весе 10 %. Остался ли за этот год его нес прежним?
3. Все стороны прямоугольника увеличили на 10%. Нa сколько процентов увеличилась его площадь?
4. Каждую сторону квадрата увеличили па 20 %. На сколько процентов увеличилась его площадь?

5. Две противоположные стороны прямоугольника увеличили па 20 %, две другие уменьшили на 20 %. Как изменилась площадь прямоугольника?

6. Две противоположные стороны прямоугольника увеличили на 20 %, две другие уменьшили на 10 %. На сколько процентов увеличилась площадь прямоугольника?

7.  На некотором участке пути машинист уменьшил скорость поезда на 25 %. На сколько процентов увеличится время движения на этом участке?

8.  трое изобретателей получили за свое изобретение премию в размере 1410 тыс. рублей, причем второй получил 33% того, что получил первый, и еще 60 тыс. рублей, а третий получил 33% денег второго и еще 30 тыс. рублей. Какую премию получил каждый?

9. Определить сколько килограммов сухарей с влажностью 15% можно получить из 255 кг хлеба с влажностью 45%?
10. В свежих яблоках 80% воды, а в сушеных 20%. На сколько процентовуменьшается масса яблок при сушке?
11.  Из 38 тонн руды, содержащей 25% примесей, после переплавки получили 30 тонн металла. Сколько процентов примесей содержит полученный металл?
12. Компания Х  выплачивает доход по своим акциям ежегодно из расчета 140 % годовых. Компания Y выплачивает доход по акциям 1 раз в полгода из того же расчета. В акции какой компании выгоднее вложить деньги на 1 год?

13. С 1 октября 1993 г. за хранение денег на срочном депозите в течение года Сбербанк выплачивал доход ил расчета 150 % от вложенной суммы; в течение полугода 130 % годовых, в течение трех месяцев - 120 % годовых. Каким образом за год на условиях Сбербанка можно было получить наибольший доход на 100 000 р.? Каков этот наибольший доход?

14. Имеется 500 г 40 %-го раствора кислоты. Сколько воды требуется добавить, чтобы получить 25 %-й раствор кислоты?

15. Деньги, вложенные в акции известной фирмы, приносят ежегодно 20 % дохода. За сколько лет вложенная сумма удвоится?

16. Для получения томат-пасты протертую массу томатов выпаривают в специальных машинах. Сколько томат-пасты, содержащей 30 % воды, получится из 28 т протертой массы томатов, содержащей 95 % воды?

17. На коробке вермишели написано: «Масса нетто 500 г при влажности 13 %». Какова масса вермишели, если она хранится при влажности 25 %?

18. а) Сколько граммов воды нужно добавить к 600 г раствора, содержащего 15 % соли, чтобы получить 10 %-й раствор соли? б) Сколько граммов воды нужно добавить к 120 г раствора, содержащего 30 % сахара, чтобы получить раствор, содержащий 20 % сахара?

19. Арбуз массой 20 кг содержал 99 % воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98 %. Какова теперь масса арбуза?

20. Вася прочитал в газете, что за последние 3 месяца цены на продукты питания росли в среднем на 10 % за каждый месяц. На сколько процентов выросли цены за 3 месяца?

4. Заключение.

При написании данной творческой работы я изучил большое количество дополнительной научной литературы по теме «Проценты»,  расширил и углубил свои знания по данному вопросу, овладел простейшими и более сложными процентными расчетами. В ходе написания работы мной рассмотрены различные способы решения задач на проценты. Особый интерес у меня вызвало решение задач, связанных с таким понятием, как «концентрация раствора», а так же задачи на смеси и сплавы. Мною было рассмотренно несколько интересных задач, которые могут встретиться учащимся  и вызвать  у них затруднения. Например, на банковские вклады или изменение стоимости товара. Кроме того, в работе есть раздел «Задачи для самостоятельного решения», которые позволят учащимся проверить свои знания и навыки по теме «Проценты». При написании работы я узнал много полезного и интересного и, думаю, что эти знания в дальнейшем мне очень пригодятся не только в учебе, но и в повседневной жизни.  

Хочется ещё раз обратить внимание на актуальность темы данной работы, особенно в  наше  время,  когда  на  первое  место  в  отношениях выходит экономика, а проценты приобрели широкое распространение  в  нашей жизни. Поэтому считаю, что материалы данной работы могут пригодиться не только учащимся средних школ, но и учителям, студентам и даже людям, которые не имеют непосредственного отношения к математике.  

VII. Список литературы.

1.  И.Я. Депман и Н.Я. Виленкин.  За страницами учебника математики. М.,

     Просвещение, 1989 г.

2. Л.М. Фридман. Изучаем математику. Кн. Для учащихся 5-6 кл.-М.: Просвещение, 1995.-255 с.

3.  С.К. Кожухов, С.А. Кожухова. Задачи на проценты.- Орел: ОИУУ, 2001.-28 с.  

4. С.М. Никольский. Арифметика: 6 класс: учебник для общеобразовательных школ.-М.: Издат. Отдел УНЦ ДО МГУ, 1997.-312 с.

5.  А.С. Зеленский. Сборник конкурсных задач по математике 1992-1995 годов.-2-е изд.-М.: Научно-технический центр «Университетский»: АСТ-ПРЕСС, 1996.-336.