Статья на тему: "Формирование умений решать тригонометрические уравнения у учащихся 1 курса СПО"
статья

Формирование умений решать тригонометрические уравнения у учащихся 1 курса СПО

В настоящее время приоритетной задачей математического образования становится реализация развивающей функции обучения, означающей выдвижение на первый план задачи интеллектуального развития личности, развитие учебно-познавательной деятельности учащихся.

Неотъемлемой составляющей курса алгебры являются тригонометрические уравнения и неравенства, которые традиционно занимают одно из центральных мест среди других математических разделов.

Теоретическое и практическое содержание учебного материала, а также способы учебно-познавательной деятельности, заложенные в данном разделе, являются важными и обязательными предпосылками при формировании умений решать задачи теоретического и прикладного характера либо на более высоком уровне, либо в направлении развития других тем курса математики.

Вместе с тем, задачи по тригонометрии постоянно предлагались на устных и письменных вступительных экзаменах в вузы, а тригонометрические уравнения, неравенства и их системы традиционно являются неотъемлемой составляющей различных математических конкурсов, предметных олимпиад.

Задания из раздела тригонометрии включены в контрольно–измерительные материалы Единого государственного экзамена по математике, что также предопределяет необходимость пристального внимания к проблеме усвоения учащимися понятийного аппарата раздела тригонометрии и формирования у учащихся умений и навыков решения тригонометрических уравнений и неравенств.

Решение тригонометрических уравнений и неравенств закрепляет знания учащихся о свойствах тригонометрических функций. Они дают богатый материал для применения всех тригонометрических формул, создают возможность для развития творческой деятельности учащихся, находят широкое применение в прикладных задачах.

Основополагающим положением при решении тригонометрических уравнений является то, что если оно имеет решение, то их бесконечное множество. В этом состоит основное отличие их от алгебраических уравнений. Учащихся, проявляющих повышенный интерес к изучению математики, можно ознакомить с обратными тригонометрическими функциями, их свойствами и графиками.

Тригонометрия традиционно является одной из важнейших составных частей курса математики. И этот курс предполагает задачи, решить которые, как правило, можно, пройдя целенаправленную специальную подготовку.

Анализ учебников по математике в полной степени определяет место тригонометрических уравнений и неравенств в линии изучения уравнений и линии изучения неравенств.

Изучению темы «Решение тригонометрических уравнений» часто предшествует изучение таких тем как «Преобразование тригонометрических выражений» и «Основные свойства и графики тригонометрических функций». В разделе «Решение тригонометрических уравнений и неравенств» мы знакомим учащихся с понятиями арксинус, арккосинус, арктангенс.

Опыт преподавания математики показывает, что осознание важности изучаемого материала приходит к ученикам не в процессе его изучения, а в процессе его применения при решении других заданий, т.е. тогда когда он становится средством для решения других задач [3, с. 28].

Так, например, решение уравнения , сводится к простейшему уравнению , причём частному виду простейшего, после элементарного преобразования выражения, стоящего в левой части уравнения по формулам сложения косинуса.

Пример. Решить уравнение .

Решение:;;;.

Ответ: , где  [26].

Мы видим, что именно здесь учащиеся могут наблюдать пользу от изучения формул тригонометрии. С их помощью нерешаемое на первый взгляд уравнение или неравенство принимает достаточно простой и, главное знакомый вид. Примерно то же самое происходит и при решении тригонометрических неравенств [2, с. 64].

Основная идея решения тригонометрического уравнений – сведение его к одному или нескольким простейшим уравнениям, т.е. уравнениям вида , , , . Каждое из этих уравнений легко решается с помощью единичной окружности, на которой изображаются соответствующие точки, после чего с учетом периодичности тригонометрических функций записывается ответ.

С определенной степенью условности любое стандартное тригонометрическое уравнение можно отнести к одному из основных типов: уравнения, сводимые к простейшим с помощью тех или иных тригонометрических преобразований (понижение степени, преобразование суммы тригонометрических функций в произведение, введение вспомогательного угла и др.), и уравнения, вначале сводимые к алгебраическим с помощью той или иной замены переменной, а затем с помощью обратной замены приводимые к одному или нескольким простейшим [7, с. 38].

Традиционно процесс формирования умений решать тригонометрические уравнения включает три этапа:

первый этап – подготовительный;

второй этап предполагает формирование умений решать простейшие тригонометрические уравнения;

третий этап – введение тригонометрических уравнений других видов и изучение методов их решения [30].

На первом этапе предполагается формирование у учащихся умения использовать тригонометрический круг или график функции для решения уравнения и обоснования полученного ответа. Далее происходит знакомство учащихся со свойствами тригонометрических функций и особенностями их применения для решения простейших уравнений вида , , .

На данном этапе необходимо акцентировать внимание учащихся на использовании различных приемов преобразований выражений при решении тригонометрических уравнений, а реализацию этапа рекомендуется проводить в процессе систематизации знаний школьников о свойствах тригонометрических функций.

Примеры заданий, которые целесообразно использовать на первом этапе [1, с. 37]:

1) найти все числа отрезка [–], для которых верно .

2) отметить на единичной окружности точки Pс, для которых значения с удовлетворяют равенству .

3) указать множество чисел, для которых верно , используя график функции .

4) решить уравнения: а) , б) ,                     в) , г)

Следует специально обратить внимание учащихся на цель преобразований тригонометрических выражений при решении предложенных уравнений: замена данного выражения, тождественно ему равным и зависящим от одной тригонометрической функции, либо преобразование выражения в произведение линейных множителей относительно тригонометрических функций [2, с. 56].

Последующее формирование у учащихся умений решать простейшие тригонометрические уравнения осуществляется в основном в процессе самостоятельного решения школьниками уравнений, среди которых – уравнения, приводящиеся к простейшим или их совокупностям после выполнения преобразований тригонометрических выражений.

В список предлагаемых учащимся уравнений рекомендуется включить такие, которые сводятся к виду: и т.п.

Список использованных источников

1. Башмаков, М. И., Алгебра и начала анализа. 10–11 : учеб. пособие для 10 – 11 кл. средней школы / М. И. Башмаков ̶ М. : Просвещение, 1998. – 335 с.
2. Борисова, П. В. Особенности познавательной активности старшеклассников в образовательном процессе : учеб. пособие / П. В. Борисова. – Санкт–Петербург, 2004. – 206 с.
3. Зайкин, М. И. Развивающий потенциал математики и его реализация в обучении / М. И. Зайкин.  ̶  М. :2002. – 334с.
4. Зандер, В. К. О блочном изучении математики на примере изучения темы «Решение тригонометрических уравнений и неравенств» / В. К. Зандер // Математика в школе – № 4. – 1991. – С.38–42.
5. Капкаева, Л. С. Лекции по теории и методике обучения математике : частная методика: учеб. Пособие для студентов в 2 ч. Ч.1 / Л. С. Капкаева. – Саранск Мордов. гос. пед. ин-т., 2009. – 262 с.
6. Решетников, Н. Н. Тригонометрия в школе / Н. Н. Немов. ̶ М. Педагогический университет «Первое сентября», 2006.
7.  Родионов, М. А. Мотивация учения математике и пути ее формиро–вания : монография / М. А. Родионов. : Саранск : МордГПИ, 2001.–252 с
8.  Саранцев, Г. И. Общая методика преподавания математики : учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и университетов / Г. И. Саранцев. Саранск : Тип. «Красный Октябрь», 1999. – 208 с.
9. Якимовская, И. С. Знания и мышление школьников : учеб. пособие / И. С. Якимовская. – М. : Просвещение, 1976.