Электронный учебник по математике раздел «Тригонометрия»
учебно-методический материал на тему
Электронный учебник по математике раздел «Тригонометрия»
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 arhiv_zip_-_winrar.zip | 2.88 МБ |
Подписи к слайдам:
Пояснительная записка Для изучения этой большой, сложной темы необходимо: знать : понятия тригонометрических функций для острого угла прямоугольного треугольника; значения тригонометрических функций для углов 30 , 45 и 60 ; основные тригонометрические тождества ; у меть: использовать понятия, определения и формулы тригонометрии при упрощении и вычислении выражений с тригонометрическими функциями; знать и уметь: определять обратные тригонометрические функции; уметь решать тригонометрические уравнения и неравенства;
Ну, что начнем изучение этой сложной темы! Что такое тригонометрия? ТРИГОНОМетрия – (от греч . trigwnon – треугольник и metrew – измеряю) – математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами треугольников и тригонометрических функций.
Длина окружности вычисляется по формуле С = 2 π R Длина полуокружности равна π R Повторение.
Центральный угол, опирающийся на дугу , длина которой равна радиусу окружности, называется углом в 1 радиан. 0 R R R 1 рад Длина дуги равна R → угол 1 рад Длина дуги равна π R → угол π рад Развёрнутый угол равен π рад π R 180 º = π рад 360 º = 2 π рад 1 радиан = 1 º =
Если угол содержит α радиан, то его градусная мера равна Если угол содержит α градусов, то его радианная мера равна
Выразите угол в радианах с помощью π : 45 ° = 150 ° = 90 ° = 360 ° = 30 ° = 270 ° = 135 ° = 60 ° = 180 ° = - 210 ° = - 720 ° =
Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна: 18 ° 72 ° 540 ° 300 ° 108 °
А С В c a b Повторение cos sin = B A s in cos = B A tg tg = B A 1 ctg tg = B A
Можно найти множество способов для вычисления элементов прямоугольного треугольника, в котором опущена высота на гипотенузу. C A B H c b a h b c a c Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и проекции катета на гипотенузу. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для проекций катетов на гипотенузу. или или или
Повторение 1 cos sin 2 2 = + A A 1 tg 2 = + A 1 cos 2 A co s 2 A : sin 2 A : 1 ctg 2 = + A 1 s in 2 A ctg = A tg A 1 tg = A s in A cos A ctg = A s in A cos A ctg = A tg A 1
В треугольнике ABC АС=ВС, AB= 20 , sinBAC =0,7. Найдите высоту AH . 1. C A B H 20 ?
C A B H 6 ? В треугольнике ABC А B =ВС , AC= 6, sinACB = . Найдите высоту С H . 2 .
Формулы Тригонометрии
Тригонометрическая окружность 0 x y R=1 (0;1) (–1;0) (0;–1) (1;0)
0 x y + - Р(1;0) М М 1 Тригонометрическая окружность
0 x y 0 0 1 1 –1 –1 90 ° 180 ° 270 ° 360 ° Тригонометрическая окружность
0 x y + Градусы и радианы
- 0 x y Градусы и радианы
0 x y 0 0 1 1 –1 –1 90 ° 180 ° 270 ° 360 ° Тригонометрическая окружность
0 x y 0 0 1 1 –1 –1 Тригонометрическая окружность
Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для некоторых углов. 1 1 -1 -1 0 1 -1 -1
y x 1 π /3 5 π / 6 - π / 4 4 π / 3 - π / 2 7 π / 6 -3 π / 4 13 π / 6 -4 π / 3 - π - π /6 2 π 3 π /4 - π /3 π /2 9 π /4 Тригонометр : отметь точку на единичной окружности
y x 1 Тригонометр укажи угол поворота π /3 3 π /4 -2 π/ 3 - π - π /6 5 π /6 -5 π /6 -7 π /6
Об измерении углов на практике В качестве единицы измерения плоских углов Международной системой единиц (СИ) принят радиан - угол между двумя радиусами круга, вырезающими на его окружности дугу, длина которой равна радиусу данного круга. Измерение углов в радианах на практике связано с значительными трудностями, так как ни один из современных угломерных приборов не имеет градуировки в радианах. По этой причине в машиностроении для угловых измерений в основном применяются внесистемные единицы: градус, минута и секунда. Эти единицы связаны между собой следующими соотношениями: 1 рад = 57°17׳45״ = 206 265″ 1° = π/180 рад = 1,745329 × 10 -2 рад; 1‘ = π /10800 рад = 2,908882 × 10 -1 рад; 1” = π/648000 рад = 4,848137 × 10 -6 рад.
x y A B M Определение синуса и косинуса
х у 0 Окружность радиуса 1 с центром в начале координат, на которой задана точка М — начало отсчета для измерения углов, и направление положительного обхода, называется единичной (тригонометрической) окружностью Синусом угла α называется ордината (у) точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол α М ( x ; y ) 1 -1 1 ̶ 1 α М ( 1 ; 0 ) + Косинусом угла α называется абсцисса ( х ) точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол α Для любого угла α существует: 1) синус этого угла и притом единственный; 2) косинус этого угла и притом единственный Значит, есть функции sin α и cos α ̶ sin α = у cos α = x Ось синусов Ось косинусов
x y 1 -1 1 -1 90 o 180 o π 360 o 2 π 0 0 o 270 o — 0 ( 1 ; 0 ) ( 0 ; 1 ) ( ̶ 1 ; 0 ) ( 0 ; ̶ 1 ) Используя точку, соответствующую углу α , запишите синус и косинус угла, cos α = x sin α = у + sin 0 0 = 0 cos 0 0 = 1 sin 90 0 = 1 cos 90 0 = 0 cos 180 0 = –1 sin 180 0 = 0 cos 270 0 = 0 sin 270 0 = –1
M C K Определение тангенса Тангенсом угла α называется отношение синуса угла α к его косинусу.
M D N Определение котангенса Котангенсом угла α называется отношение косинуса угла α к его синусу .
30 ° 45 ° 60 ° Значения синуса и косинуса
30 ° 45 ° 60 ° 1 Значения тангенса
30 ° 45 ° 60 ° 1 Значения котангенса
1 1 -1 - 1 0 Значения тригонометрических функций для некоторых углов
Значения тригонометрических функций для некоторых углов 1 1 -1 -1 0
Значения тригонометрических функций для некоторых углов 1 1 -1 - 1 0
М 1 М 7 М 2 С А В 0 D М 4 М 5 М 8 М 6 М 3 Числовая окружность разделена точками на 12 равных частей Обход окружности совершается в положительном направлении ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y x Назовите числа t , соответствующее точкам числовой окружности:
y > 0 - - y < 0 sin α = у Знаки синуса и косинуса по четвертям + + III II IV I
Знаки синуса и косинуса по четвертям cos α = x + + - - x > 0 x < 0 III II IV I
I II III IV sin α > 0 cos α > 0 sin α > 0 cos α < 0 sin α < 0 cos α < 0 sin α < 0 cos α > 0 Знаки синуса и косинуса по четвертям tg α > 0 с tg α > 0 tg α > 0 с tg α > 0 tg α 0 с tg α 0 tg α 0 с tg α 0
+ + – – ctg a sin a – + + + + + + – – – – – cos a tg a x 1 –1 1 –1 Знаки тригонометрических функций
х у 0 A ( x ; y ) 1 -1 1 ̶ 1 α х 2 + у 2 = 1 ̶ ур - е окружности с центром в начале координат sin α = у cos α = x cos 2 α + sin 2 α = 1 или sin 2 α + cos 2 α =1 Это основное тригонометрическое тождество sin 2 α =1 ̶ cos 2 α cos 2 α =1 ̶ sin 2 α Для любого угла α справедливы неравенства ̶ 1 ≤ cos α ≤ 1 ̶ 1 ≤ sin α ≤ 1 или | sin α | ≤ 1 | cos α | ≤ 1
Справедливы формулы sin 2 α + cos 2 α =1
Посчитаем устно! Устный счет – «ум в порядок приводит»! cos 30 0 cos 180 0 sin 45 0 cos 90 0 tg 30 0 tg 0 0 cos 270 0 sin 360 0 cos 300 0 sin 150 0 tg 120 0
Дано: sin α = /3 α четверти 3 ? cos α = /3 tg α = / ctg α = / √2 √2 √7 √7 √2 √7 √7 √2 По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций: А, слабо решить задачу?
x y O Функция нечетная Синус углов и –
x y O Функция четная Косинус углов и –
Тангенсы противоположных углов - противоположны tg ( ̶ α ) = – tg α Свойство нечетности тангенса с tg ( ̶ α ) = – с tg α
Функция нечетная Синус, косинус, тангенс и котангенс углов и – : Функция четная
Формулы приведения Изменяют наименовании функции: Не изменяют наименовании функции. Примеры: : Знак и четверть определяем по той функции , которая была дана изначально.
Правило Приведение через «рабочие» углы: Приведение через «спящие» углы: Название функции Меняется на конфункцию Не меняется Знак Определяется по знаку функции в левой части формулы 0 У Х
x y -4 -3 -1 1 2 3 4 5 IIIIIIIIIIIII – 2 – 3 3 2 А теперь подумай! Функция у = f(x) задана графиком. Укажите промежуток возрастания этой функции. IIIIIIIII
x y -4 -3 -1 1 2 3 4 5 IIIIIIIIIIIIIIIII – 2 – 3 3 2 Функция у = f(x) задана графиком. Укажите промежуток убывания этой функции.
x 0 O x y - 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Функция у = f(x) задана графиком. Найдите значения х , при которых у ≥ 0
O a y - 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b Функция у = f(x) задана графиком. Найдите значения х, при которых у < 0 x 0
Четная функция х у f( – x) = f(x) -x x f(-x) = – f(x) х у -x x Нечетная функция А теперь четность и нечетность!
2 На одном из следующих рисунков изображен график четной функции. Укажите этот график. х у х у х у х у Это нечетная функция! Верно! График симметричен относительно оси Оу ПОДУМАЙ! 1 ПОДУМАЙ! 4 3
На одном из следующих рисунков изображен график нечетной функции. Укажите этот график. 3 4 2 1 ПОДУМАЙ! у х х х х у у Это четная функция! у ПОДУМАЙ! Верно! График симметричен относительно точки О
Функция называется периодической , если существует такое число Т 0, что для любого х из области определения этой функции выполняется равенство: число T называют периодом функции y = f ( x ) f (x – T) = f(x) = f (x + T) Свойства функции
I I I I I I I O x y - 1 1 график периодической функции y = f(x) T T – период функции f (x) = y
Периодичность sina , cosa , tga и ctga .
Формулы сложения
cos 240 ° = cos (180° + 60°)= 240° = cos180°cos60 ° - sin180°sin60°= =(-1)· − 0· = = 0 Вычислить: cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
cos 3 α cos α – sin α sin3 α = cos x cos y – sin x sin y = cos ( x + y ) = cos ( 3 α + α ) = cos 4 α . cos x cos y + sin x sin y = cos ( x − y ) − 1 Упростить выражение:
Формулы двойного аргумента
Формулы преобразования произведения функций в сумму и обратно
Формулы преобразования суммы функций в произведение и обратно
Уравнение есть равенство, которое еще не является истинным, но которое стремятся сделать истинным, не будучи уверенными, что этого можно достичь. А Фуше А теперь тригонометрические уравнения! Вспомним, что изучали ранее. Тригонометр , то есть отметим точку на тригонометрической окружности и укажем угол поворота.
y x 1 Тригонометр укажи угол поворота π /3 3 π /4 -2 π/ 3 - π - π /6 5 π /6 -5 π /6 -7 π /6
Вы в курсе, что тригонометрические уравнения могут быть моделями задач физики, астрономии, сейсмологии, архитектуры, экономики, компьютерной графики и многих других сфер жизни и деятельности человека. Учимся решать как элементарные, так и достаточно сложные тригонометрические уравнения.
4) знать понятие арксинуса, арккосинуса, арктангенса , арккотангенса и уметь отмечать их на числовой окружности. 1) уметь отмечать точки на числовой окружности ; 3) знать свойства основных тригонометрических функций ; Чтобы успешно решать простейшие тригонометрические уравнения, необходимо: 2) уметь определять значения синуса, косинуса , тангенса и котангенса для точек числовой окружности ;
y x 1 Решение уравнения вида cos t = a a Ответ: Cos t
3 2 1 π /3 - π /3 ½ Решим уравнение: x = 2 n , n Z Решений нет x 1 = π /3 +2 n , n Z x 2 =– π /3 +2 n , n Z cos x = 1,5 cos x = 1 cos x = 0,5
у х 0 π 0 arccos а а arccos (-a)= π - arccos a – а π – arccos a Определение: Арккосинусом числа а [-1;1 ] называют такое число х из промежутка [0; π ], косинус которого равен а
0 1 Решения уравнения cos х = a удобно иллюстрировать с помощью единичной окружности Рассмотрим частные случаи Если a > 1 или a < ̶ 1 , то решений нет 1 ) cos х = 1, тогда х = 2 π n, n ϵ Z 2 ) cos х = 0, тогда х = π / 2 + π n, n ϵ Z 3 ) cos х = − 1, тогда х = π + 2 π n, n ϵ Z y x ̶ 1 2 π
Вы должны знать: 1) Если │ а │ > 1 , то решений нет. 2) Частные случаи: 3) Общая формула для
3 2 1 π /6 5 π /6 ½ x = π /2 +2 n , n Z Решений нет x 1 = π /6 +2 n , n Z x 2 =5 π /6 +2 n , n Z Решим уравнение: sin x = 1,5 sin x = 1 sin x = 0,5
у х 0 1 -1 arcsin а а arcsin (-a)= – arcsin a -а -arcsin а Арксинусом числа а [-1;1 ] называют такое число х из промежутка [– π /2; π /2], синус которого равен а Определение:
1) Если a > 1 или a < ̶ 1 , то y x 1 -1 решений нет 2) Если а = 1, то Рассмотрим частные случаи Решения уравнения sin х = a удобно иллюстрировать с помощью единичной окружности х = π ̸ 2 + 2 π n, n ϵ Z 3 ) Если а = ̶ 1, то х = ̶ π ̸ 2 + 2 π n, n ϵ Z 4 ) Если а = 0 , то х = π n, n ϵ Z 0
y x 1 -1 Это две формулы, которые дают все решения уравнения Их записывают так: Решения уравнения sin х = a, если ̶ 1< a < 1 х= (–1) n arcsin а + n , n Z arcsin а – arcsin а
1) Если │ а │ > 1 , то решений нет. 2) Частные случаи: 3) Общая формула для А это стоит запомнить !
Потренируемся в решении уравнений?
Решим при помощи числовой окружности уравнение tg х= 3 tg х= 3 х 1 = /3 + 2 n , n Z 3 х 2 = 4 /3 + 2 n , n Z х= /3 + n , n Z
arctg (–a)= – arctg a Арктангенсом числа а R называют такое число х из промежутка (– π /2; π /2), тангенс которого равен а Определение: у х 0 1 -1 arctg a а -а - arctg a
Это две формулы, которые дают все решения уравнения Их записывают так: Запомним!Решения уравнения tg х = a, если a R х= arc tg а + n , n Z а arctg a
Арккотангенсом числа а R называют такое число х из промежутка (0; π ), котангенс которого равен а Определение: π у х 0 1 0 -а arcctg a а π – arcctg a arcc tg (-a)= π-arcctg a
Арксинус,арккосинус, арктангенс и арккотангенс. 0 0 -1 1 -1 1 ctgx
Это две формулы, которые дают все решения уравнения Их записывают так: Решения уравнения с tg х = a, если a R х= arсc tg а + n , n Z сtg х= а arcctg a а
Потренируемся?
Укажите на единичной окружности все точки с данной ординатой и запишите все числа, соответствующие этим точкам:
Укажите на единичной окружности все точки с данной ординатой и запишите все числа, соответствующие этим точкам:
Решить уравнение: В ответе запишите наибольший отрицательный корень 1 В ответе запишите наибольший отрицательный корень 2 В ответе запишите наибольший отрицательный корень 3
На Оу отмечаем значение и соответствующие точки на окружности Выделяем нижнюю часть окружности (обход совершаем против часовой стрелки). Подписываем полученные точки. Обязательно учитываем, что начало дуги – меньшее значение. Ответ : k Z Решение тригонометрических неравенств
Решение тригонометрических неравенств 96 На Оу отмечаем значение и соответствующие точки на окружности Выделяем верхнюю часть окружности (обход совершаем против часовой стрелки). Подписываем полученные точки. Обязательно учитываем, что начало дуги – меньшее значение. Ответ : k Z
Решение тригонометрических неравенств На Ох отмечаем значение и соответствующие точки на окружности Выделяем правую часть окружности (обход совершаем против часовой стрелки). Подписываем полученные точки. Обязательно учитываем, что начало дуги – меньшее значение. Ответ : k Z
Решение тригонометрических неравенств k Z На Ох отмечаем значение и соответствующие точки на окружности Выделяем левую часть окружности (обход совершаем против часовой стрелки). Подписываем полученные точки. Обязательно учитываем, что начало дуги – меньшее значение. Ответ :
k Z Ответ : На линии тангенсов отмечаем значение Выделяем нижнюю часть линии тангенсов, поскольку решаем неравенство со знаком ≤ Выделяем соответствующую часть окружности (обход совершаем против часовой стрелки). Подписываем полученные точки. Обязательно учитываем, что начало дуги – меньшее значение. Решение тригонометрических неравенств
Решение тригонометрических неравенств k Z Ответ : На линии тангенсов отмечаем значение 1. Выделяем верхнюю часть линии тангенсов, поскольку решаем неравенство со знаком ≥ Выделяем соответствующую часть окружности (обход совершаем против часовой стрелки). Подписываем полученные точки. Обязательно учитываем, что начало дуги – меньшее значение.
Основные методы решения тригонометрических уравнений Метод введения новой переменной Метод разложения на множители Функционально - графический
Тригонометрические уравнения, приводимые к алгебраическим уравнениям относительно одной тригонометрической функции
Тригонометрические уравнения, решаемые путем преобразований тригонометрическими формулами
Тригонометрические уравнения, решаемые путем понижения степени уравнения
Решение однородных тригонометрических уравнений Определение: Тригонометрическое уравнение называется однородным, если показатели степени слагаемых равны.
Ну, а теперь – графики! На первый взгляд сложные и непонятные графики тригонометрических функций. Знакомьтесь! График функции синус!
х у 0 0 2 π 1 -1 D (у) = (- ∞ ; + ∞ ) Е(у)= [ -1; 1 ] Область определения. Область значений функции. Область определения функции синус ̶ любое действительное число, т. е. 2) Область значений функции синус ̶ отрезок от -1 до 1, т. е.
sin ( − х ) = − sin х , т. е. f ( − х )= − f ( х ) функция нечетная f ( х +Т) = f ( х –Т) = f ( х ) Функция периодическая , T = 2 π – наименьший положительный период Периодичность sin (x + 2 n ) = sin х , n ϵ Z Чётность, нечётность x y 0 0 M y 2 - y x - x
Наибольшее и наименьшее значение функции y > 0 при 0 < x < π y > 0 при х ϵ (2 π n; π +2 π n), n ϵ Z y < 0 при - π < x < 0 y < 0 при х ϵ ( - π + 2 π n; 2 π n), n ϵ Z при x = у - π /2 3 π /2 2 π х 0 - π 0 π π /2 при х = при х = - 1 -1 у наиб .= 1 + 2 n , n ϵ Z у наим .= -1 + 2 n , n ϵ Z у = 0 π n , n ϵ Z 0 + Промежутки знакопостоянства Нули функции
Промежутки монотонности у 2 π х 0 0 π - π - 2 π π 2 3 у 1 у 2 М 1 М 2 Функция возрастает на - /2 + 2 n ; /2 + 2 n , n Функция убывает на /2 + 2 n ; 3 /2 + 2 n , n Z Z х 1 х 2 I . х 1 х 2 IV х 1 х 2 sin х 1 sin х 2 II . х 1 х 2 sin х 1 sin х 2 III . х 1 х 2 sin х 1 sin х 2 sin х 1 sin х 2
Построение графика функции y = sin x .
Построение графика функции y = sin x .
Построение графика функции y = sin x .
I I I I I I O x y - 1 1 1/2 Найти все корни уравнения sin x = 1/2 принадлежащих промежутку – π ≤ х ≤ 3 π ∕ 2 . y = sin x . Ответ: х = π /6; х = 5 π /6 Пример №1
I I I I I I O x y - 1 1 1/2 Найти все решения неравенства sin x ≥ 1/2 принадлежащих промежутку –3 π /2 ≤ х ≤ π . y = sin x . Ответ: Пример №2
y x 1 -1 cos = x y Построение графика функции:
y x 1 -1 Свойства функции y = cos x :
y x 1 -1 Свойства функции y = cos x :
Построение графика функции y = tg x . x y = tg x 0 0 π ∕ 6 3 ∕ 3 π ∕ 4 1 π ∕ 3 3 π ∕ 2 Не сущ. y x 1 - 1 у= tg x
y x 1 - 1 у= tg x Построение графика функции y = tg x .
y x 1 - 1 Найти все корни уравнения tg x = 1 принадлежащих промежутку – π ≤ х ≤ 3 π ∕ 2 . –3 π /4 π /4 5 π /4 Ответ: х = –3 π / 4 ; х = π / 4 ; х = 5 π / 4 Пример №1
y x 1 - 1 –3 π /4 π /4 5 π /4 Ответ: Найти все решения неравенства tg x ≥ 1 принадлежащих промежутку –3π/2 ≤ х ≤ π . Пример №2
Проверь себя в знании формул!
Ох, уж эта тригонометрия! Опять ЕГЭ! Решаем задания из ЕГЭ! ! ! ! По мнению многих учеников, запись « n € Z » - избыточная . А как думаете, Вы?
Учимся решать!
Тригонометрия на ЕГЭ Задания В5 Решите уравнение . В ответе напишите наибольший отрицательный корень .
Задания В7 Найдите значение выражения .
Задания В7 Найдите
Задания В14 Найдите точку минимума функции , принадлежащую промежутку . у' у 0,5 0 - +
Тригонометрия на ЕГЭ Задания В14 Найдите наибольшее значение функции на отрезке .
Проработали весь материал? М о л о д ц ы ! ! !
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Электронный учебник по немецкому языку для специальностей электротехнического отделения.
Данный электронный учебник был создан для специальностей электротехнического отделения 3 курс Белгородского индустриального колледжа....
Электронный учебник по "электротехнике и электронике"
Краткий курс по электротехнике для специальностей ТО и ремонта автомобилей....
электронный учебник по текстовому процессору MicrosoftWord
Данный электронный учебник разработан для обеспечения изучения дисциплины «Информатика и ИКТ», а так же может быть использован для повторения при изучении дисциплины «Информационные технологии в профе...
«ТЕХНОЛОГИИ МЕХАНИЗИРОВАННЫХ РАБОТ В СЕЛЬСКОМ ХОЗЯЙСТВЕ» Автономный электронный учебник
Аннотация Настоящий электронный учебник "Технологии механизированных работ в сельском хозяйстве" разработан для подготовки в Мухоршибирском фи...
электронный учебник по операционной системе Winsows xp
Данный электронный учебник разработан в рамках изучения дисциплины «Информатика и ИКТ», а так же повторении при изучении дисциплины «Информационные технологии в профессиональной деятельности». Структу...
Электронный учебник как средство самообразования (на примере электронного учебника MS-Excel)
Постоянное увеличение объема информации и ограниченность учебного времени обуславливают необходимость интенсификации обучения, разработки и внедрения нетрадиционных технологий, базирующихся на использ...