Задачи по геометрии повышенного уровня 5-9 класс (олимпиадные)
олимпиадные задания

ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ 5-6 класс

Задачи на понятие ломаной и ее длины

Задачи на разрезание и подсчет числа фигур  

Задача 1. Туристам-байдарочникам нужны восемь одинаковых   мягких ковриков для сидений длиной не менее 35 см и шириной не менее 20 см. В спортивном магазине продаются большие коврики длиной 110 см и шириной 56 см. Хватит ли большого коврика на восемь маленьких?

Решение: разрежем большой коврик на два куска размерами 110x20 и 110x36. Из первого куска можно вырезать 3маленьких коврика для сидений размером 35x20 (и даже 36x20), а из второго куска – 5,  размером 35x20 (и даже 36x22). Следует обратить внимание учащихся на тот факт, что подсчет и сравнение площадей: 110·56=6160 – площадь большого ковра, 8·(35·20)=5600 – суммарная площадь маленьких, 6160>5600 – обоснованием не является. Например, большой ковер мог быть шириной 10 см, а длиной – километр. Его площади хватило бы, однако ни одного маленького коврика из него вырезать нельзя.

Ответ. Да, хватит.

Задача 2. Разрежьте прямоугольник, длина которого 

9 см, а ширина 4 см, на две части так, чтобы можно было составить квадрат.

Ответ: разрезать, как показано на рисунке

Задача 3. Можно ли разрезать шахматную доску на прямоугольники из двух клеток, если из доски вырезали два противоположных уголка?

Решение: так как клеток 8·8-2=62; а 62 делится на 2, то есть необходимость продолжить решение. Каждый прямоугольник из двух клеток  на шахматной доске занимает одну черную клетку и одну белую. Значит, в том случае,  если ответ утвердительный, то число черных и белых клеток должно быть одинаковым, а это не так. Не имеет значения, какие два противоположных уголка вырезали – белые или черные- количество их будет не одинаково.

Ответ: нет, нельзя

Задача 4. Сосуд имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Как, не делая никаких измерений и не имея других емкостей, наполнить водой  ровно половину объема этого сосуда?

Решение:  наклонить параллелепипед так, чтобы уровень воды находился по диагональному сечению параллелепипеда.

Задача 5. Докажите, что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.

Решение: каждый из меньших треугольников не может накрывать более одной вершины большого треугольника.

Задача 6. Можно ли квадрат со стороной 20 см разрезать на 10 попарно неравных квадратов, длины сторон которых выражаются целым числом сантиметров?

Решение: используем метод площадей: 202=400 см2 – площадь данного квадрата.  Наименьшая площадь, которую могут занимать десять попарно неравных квадратов, длины сторон которых выражаются целым числом см, равна 12+22+32+42+52+62+72+82+92+102=385 см2  - это меньше площади исходного квадрата. Но следующая по величине площадь, занимаемая квадратами, равна 12+22+32+42+52+62+72+82+92+112=406 см2  - это больше площади исходного квадрата. Значит, разрезать квадрат требуемым образом нельзя.

Ответ: нельзя.

Задача 7. Найдите площадь треугольника, вершины которого заданы координатами: А(3; 6),  В(-5; 3), С(3; -1).

Решение: на координатной оси отмечаем вершины треугольника АВС. Данный треугольник можно разделить на два прямоугольных треугольника. Площадь каждого такого треугольника можно найти как площадь половины прямоугольника.

Ответ: 28 кв. ед.

Задача 8.  Какое наименьшее количество клеток квадрата 5 x 5 нужно закрасить, чтобы в любом квадрате 3 x 3, являющемся его частью, было ровно 4 закрашенных клетки?

Ответ: 7 клеток.

Задача 9. Найдите величину угла между часовой и минутной стрелкой в 19 часов 10 минут 12 января 2016 года, если температура воздуха на улице -16 0С.

Решение: угол между часовой и минутной стрелкой в 19 часов 05 минут составляет 1800, величина угла между двумя делениями на часах равна 3600:12=300.  1800+300=2100. Следует обратить внимание, что информация о дате и погодных условиях для решения задачи не нужна.

Ответ: 2100.

Задача 10. Иван Васильевич решил у себя в саду посадить 10 деревьев. А его жена требует разместить деревья в саду так, чтобы получилось 5 рядов и в каждом ряду по 4 дерева. Сможет ли Иван Васильевич справиться с заданием?

Ответ:  сможет, если догадается расположить деревья "звездой": в точках пересечения линий необходимо  садить дерево.

Фигуры.  Нахождение многоугольника с указанными свойствами или на площади и разрезания.

Задача 1.Как разрезать квадрат 5*5 на 7 прямоугольников, среди которых нет одинаковых?

Решение.

Задача 2

Разрежьте квадрат 5*5 на 10 одинаковых четырехугольников, не являющихся прямоугольниками.

Решение.

Сначала разрежем квадрат на 5 прямоугольников размером 1*5. Затем каждый такой прямоугольник разрежем по диагонали среднего квадратика.

Задача 3

Разрежьте квадрат на три части, из которых можно было бы сложить треугольник с тремя острыми углами и различными сторонами.

Решение.

Решение задачи представлено на рис., где ABCD – исходный квадрат, а AKD – полученный треугольник. Ответ: нет

Задача 4

Рост Буратино 1 метр, а длина его носа раньше была 9 сантиметров. Каждый раз, когда Буратино врал, длина его носа удваивалась. Как только нос стал длиннее самого Буратино, тот врать прекратил. Сколько раз Буратино соврал?

Ответ: Буратино соврал 4 раза.

Задача 5

Из 26 спичек длиной по 5 см сложили прямоугольник наибольшей площади. Чему равна его площадь?

Решение.

Использовать перебор, наибольшая площадь будет у прямоугольника, стороны которого состоят из 6 и 7 спичек.

Ответ: 1050 см2

Задача 6

У Коли есть фанерный прямоугольник со сторонами 3 см и 5 см и карандаш. Разрешается прикладывать прямоугольник к бумаге и обводить его (полностью или частично) карандашом. Любые другие действия (например, делать пометки на фанере) запрещены. Как Коле, не нарушая запрета, нарисовать квадрат со стороной 1 см? Опишите, что он должен делать и в каком порядке.

Решение.

Четырежды приложив шаблон, нарисуем прямоугольники размерами 5*6 и 6*5, расположенные, как показано на рис. Осталось, пользуясь стороной фанерного прямоугольника как линейкой, продолжить их стороны, чтобы в правом верхнем углу образовался квадрат со стороной 1.

Задача 7

Прямоугольный параллелепипед покрасили со всех сторон и разрезали на 24 единичных кубика. У 12 кубиков оказались покрашены по 2 грани. Каковы размеры параллелепипеда?

Решение.

Имеется 4 случая разложения числа 24 на 3 множителя: 24=2*2*6=2*3*4=2*1*12=1*1*24. Рассматривая эти случаи, получаем, что параллелепипед имеет размеры 2*3*4.

Ответ: 2 *3* 4.

Задача  8

Коробка из-под игрушки имеет форму параллелепипеда. Площадь верхней ее грани равна 6 дм2, площадь передней грани – 2,5 дм2, площадь боковой грани – 2,4 дм2. Найдите объем коробки.

Решение.

Обозначим длину коробки за a, ширину – за b, а высоту – за c. Тогда, учитывая условие, получим, что ab = 6, ac = 2,5, bc = 2,4. Перемножив эти три равенства, получим, что

a2b2c2 = 36.

Но a2b2c2 = (abc)2 – квадрат объема коробки. Поэтому объем коробки равен 6 дм3.

Ответ: 6

Задача  9

Из 18 одинаковых кубиков сложили прямоугольный параллелепипед высотой в три кубика. Найдите площадь поверхности параллелепипеда, если площадь поверхности одного кубика равна 19 см2.

Решение.

Возможны 2 варианта параллелепипеда, построенного из 18 кубиков высотой в 3 кубика: 3*3*2 и 3*6*1. Площади поверхности этих параллелепипедов будут равны 42 и 54 площадей одной грани. Учитывая, что площадь грани равна 19/6 см2, получим площади поверхности для построенных параллелепипедов: 133 см2 и 171 см2.

Ответ: 133, 171.

Задача 10

Как разделить круг тремя прямыми на 4, 5, 6, 7 частей?

Решение.

Задача  11

Тетрадный лист бумаги сложили пополам 5 раз, каждый раз меняя направление сгиба. Затем отрезали от полученного прямоугольника 4 угла и лист развернули. Сколько дырок внутри листа оказалось?

Решение.

После первого разворачивания дырок внутри не будет, после второго разворачивания окажется одна дырка в середине. Развернув третий раз, мы получим уже 3 дырки, а после четвертого – уже 9. Таким образом, развернув лист последний раз, мы получим 21 дырку.

Ответ: 21.

Задача  12

Изображенные на рис. фигуры 1, 2, 3 и 4 являются квадратами. При этом периметр первой фигуры равен 16 см. периметр второй – 24 см. Найдите периметр фигуры

Решение

Так как периметр первой фигуры равен 16 см, то сторона первого квадрата равна 4 см. Соответственно, сторона второго квадрата будет равна 6 см. Тогда сторона третьего квадрата будет 10 см, а сторона четвертого

10 + 6 = 16 (см).

А это означает, что периметр четвертой фигуры равен 64 см. Ответ: 64.

Задача  13

Диагональ делит четырехугольник с периметром  26 см на два треугольника с периметрами 22 см и 18 см. Найдите длину этой диагонали.

Решение.

Сумма периметров треугольников дает в итоге сумму периметра четырехугольника и удвоенную длину диагонали. Тогда длина диагонали равна ((22 + 18) – 26) : 2 = 7 (см).

Ответ: 7.

Задача 14

Прямоугольник состоит из двух одинаковых квадратов, имеющих общую сторону. Его периметр равен 18 см. Найдите площадь прямоугольника.

Решение.

Периметр прямоугольника складывается из 6 сторон квадрата, поэтому его сторона равна 18 : 6 = 3 (см).

Тогда площадь квадрата будет равна 9 см2, а площадь прямоугольника 18 см2.

Ответ: 18 см2

Задача  15

От каждой вершины деревянного куба отпилили по одинаковому кусочку так, что место спила имеет форму треугольника. Сколько вершин и сколько ребер у получившегося тела?

Ответ: 24 вершины и 36 ребер

Задача  16

Может ли прямая пересечь все стороны 13-угольника ровно по 1 разу (не проходя через вершины)

Решение.

Если мы будем двигаться по прямой, не проходящей через вершины, то мы войдем внутрь многоугольника столько же раз, сколько выйдем из него. Общее число пересеченных сторон будет четным. Всего сторон 13, значит, прямая пересечет не все стороны.

Ответ: не может.

6 класс

Задача 1

На рис. имеется квадрат со стороной 1. Из двух противоположных вершин квадрата проведено две дуги так, как показано на рисунке. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Решение.

Площадь четверти круга с радиусом 1 равна π/4. Тогда площадь квадрата без четверти данного круга будет равна 1 - π/4. Площадь двух таких частей равна 2 - π/2. Тогда площадь заштрихованной части равняется разности площади квадрата и площади данных двух частей, то есть

1 – (2 - π/2) = π/2 – 1.

Ответ: π/2 – 1.

Задача  2

На каждой стороне квадрата со стороной 1 построено по полуокружности, как показано на рис. Найдите площадь заштрихованной части (четырех лепестков).

Решение.

Площадь круга с радиусом, равным 1/2, будет равна π/4, а полукруга с этим же радиусом - π/8. Тогда площадь двух таких полукругов будет равна π/4. Так как площадь квадрата равна 1, то площадь двух не заштрихованных участков квадрата будет равна 1 - π/4. Значит, площадь четырех не заштрихованных участков будет равна 2 - π/2. Поэтому площадь заштрихованных участков будет равна

1 – ( 2 - π/2) = π/2 – 1.

Ответ: π/2 – 1

Задачи на свойства неопределяемых геометрических понятий

Задача 1

Точки А, В и С лежат на прямой а. Есть ли среди прямых АВ, АС и ВС различные? Объясните ответ.

Решение.

Используя аксиому прямой, делаем вывод о том, что прямые АВ, АС и ВС совпадают.

Задача 2

Начертите три прямые АВ, ВС, АС. На сколько частей разбивается этими прямыми плоскость?

Ответ: на семь частей

Задача 3

Даны а1 и а2 – различные прямые. Точка Р принадлежит а1 и а2. Точка О также принадлежит а1 и а2. Что можно сказать о точках Р и О?

Ответ: точки Р и О лежат на одной прямой.

Задача 4

Приведите пример трех прямых, каждые две из которых скрещиваются. Сколько можно построить прямых, каждые 2 из которых будут скрещиваться?

Ответ: бесконечное множество.

Задача 5

Существуют ли две параллельные прямые, каждая из которых пересекает две данные скрещивающиеся прямые?

Ответ: не существует

Задача 6

Прямые a и b параллельны. Прямая a скрещивается с прямой с. Что можно сказать о взаимном расположении прямых b и c?

Ответ: прямые b и c скрещиваются

Задача 7

Прямые a и b пересекаются. Прямая a скрещивается с прямой с. Что можно сказать о взаимном расположении прямых b и c?

Ответ: прямые b и c могут быть параллельны.

Задача 8.        

Прямая l1 не принадлежит а и пересекает плоскость а в точке Р. Прямая l2 принадлежит плоскости а, но не содержит точку Р. Может ли прямая l1 пересекать прямую l2? Объясните ваш ответ.

Ответ: прямые l1 и l2 скрещивающиеся.

Задача 9

У какого многогранника имеется наименьшее число граней (частей плоскостей)?

Ответ: у треугольной пирамиды четыре грани.

Задача 10

Может ли многогранник иметь только две параллельные грани (части плоскости)?

Ответ: может

Задача 11

Докажите, что две различные плоскости не могут иметь две и только две общие точки

Ответ: прямая, проходящая через две точки, принадлежащие к каждой из рассматриваемых плоскостей, будет целиком лежать в каждой из этих плоскостей (по аксиоме прямой к плоскости). Следовательно, если две различные плоскости имеют две общие точки, то они имеют и общую прямую, проходящую через эти точки.

Задачи на общие представления о геометрических фигурах

Задача 1

Приведите примеры одинаковых геометрических фигур которые имеют: а) только одну общую точку; б) бесконечное множество общих точек, не лежащих на одной прямой; в) только одну общую прямую (при этом фигуры не являются плоскостями); г)ровно одну общую плоскость

Ответ: а) Два одинаковых треугольника, имеющих одну общую точку (можно рассмотреть взаимное расположение треугольников в разных плоскостях); б) Пересечение двух пространственных фигур, например, двух кубов, когда пересечение происходит по граням; в) Две полуплоскости с общей границей.

Задача 2

На какое наибольшее число различных частей, не имеющих общих точек, кроме своих границ, могут разбить плоскость: а) прямая и окружность; б) три прямые; в) угол и окружность; г) три окружности?

Ответ: а) 4; б) 7; в) 6; г) 8

Задача 3

Какие n-угольники можно получить как общую часть: а)угла и полуплоскости; б)двух углов; в) двух треугольников; г) треугольника и четырехугольника?

Ответ: а) Треугольник; б) Треугольник, четырехугольник; в) Треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник; г) Треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник, семиугольник.

Задача 4

Изобразите куб, у которого видны: а) передняя, правая и верхняя грани; б) передняя, левая и верхняя грани.

Задачи на отрезки и их измерение

Задача 1

Докажите, что если две точки отрезка АВ принадлежат отрезку CD, то эти отрезки лежат на одной прямой.

Ответ: доказательство следует из аксиомы прямой.

Задача 2

Назовите ( изобразите ) многогранник, имеющий наименьшее число ребер. Сколько у него вершин? Граней?

Ответ: треугольная пирамида

Задача 3

Пусть Р, К, М – три точки некоторой прямой. Какая из этих точек лежит между двумя другими, если РК =12, РМ =7 и КМ =5? Обоснуйте вывод.

Ответ: точка М лежит между точками Р и К.

Задача 4

Иванов мчался на своей машине по шоссе с постоянной скоростью. Рядом с ним сидела его дочь. «Ты заметила,- спросил он,- что деревья вдоль шоссе посажены на одинаковом расстоянии друг от друга? Хотелось бы знать, на каком именно?»

Дочь посмотрела на часы и сосчитала, сколько деревьев промелькнуло за окном в течение одной минуты.

«Какое странное совпадение! – воскликнул Иванов. – Если это число умножить на 10, то получится в точности численное значение скорости нашей машины в километрах в час.

Предположим, что скорость машины постоянна, деревья посажены через одинаковые промежутки, а минута, отмеренная дочкой, начинается и кончается в моменты, когда машина находится как раз посреди расстояния, отдаляющего одно дерево от другого. Спрашивается, чему равно это расстояние?

Решение.

Самое интересное в задаче то, что для ответа не нужно знать скорость машины.

Пусть х- число деревьев, промелькнувших в течение одной минуты.

За час машина проедет мимо 60х деревьев.

Скорость машины, как известно из условия задачи, равна 10х км/ч.

Проезжая расстояние в 10х км, машина проедет мимо 60х деревьев, следовательно, на расстоянии 1 км она проедет мимо 60х/10х, или 6 деревьев.

Это и означает, что расстояние между деревьями равно 1/6 км.

Ответ: 1/6 км.

Задача 5

На расстоянии 5м друг от друга посажены в один ряд 5 деревьев. Чему равно расстояние между крайними деревьями? Толщину деревьев не учитывать.

Ответ: 20 м.

Задача 6

Петя живет на 16 этаже, а Коля - на четвертом. Во сколько раз больше, чем Коле, необходимо пройти ступенек Пете?

Решение.

Чтобы подняться на четвертый этаж, надо пройти 3 этажа.

Чтобы подняться на шестнадцатый этаж, надо пройти 15 этажей.

В 5 раз надо пройти Пете больше, чем Коле.

Ответ: в 5 раз.

Задача 7

Пете необходимо пройти в 4 раза больше ступенек, чем Коле. Коля живет на третьем этаже. На каком этаже живет Петя?

Решение.

Поскольку Пете необходимо пройти в 4 раза больше ступенек, значит, ему нужно пройти: 4*3 = 12 этажей.

Первые три этажа мы учли дважды, значит, 12 этажей – 3 этажа = 9 этажей.

Ответ: 9.

Задачи на понятие ломаной и ее длины

Задача  1

Сможете ли вы сделать из гибкой проволоки замкнутую пятизвенную ломаную, имеющую:

Одну точку самопересечения

Две точки самопересечения

Три точки пересечения

Четыре точки пересечения

Пять точек пересечения?

Ответ: а-в) Да; г) нет; д) да.

Задача 2

Какое наибольшее число точек самопересечения может быть у замкнутой ломаной из 5 звеньев? Из 7 звеньев? из любого нечетного числа звеньев? А если ломаная будет незамкнутой, изменится ли результат? Попробуйте решить задачу для ломаной у которой четное число звеньев.

Решение.

У замкнутой ломаной из 5 звеньев будет 5 точек самопересечения, у семизвенной ломаной -14 точек, у ломаной с четным числом звеньев -2п. Если она замкнутая, то точек самопересечения будет столько же, что и для незамкнутой ломаной с числом звеньев 2п-1 (последнее звено данных точек не дает); для незамкнутой ломаной число точек определяется тем же способом, что и раньше.

Задача 3

Какое максимальное количество точек самопересечения может иметь замкнутая п-звенная плоская ломаная, если: а) п нечетно; б) п четно? (Предполагается, что никакие три вершины не лежат на одной прямой и что никакие три звена не пересекаются в одной точке.)

Ответ: а) п*(п-3); б) п*(п-4) + 1.

Задача 1. Кот Леопольд решил построить новый дом для своих друзей-мышат. Он хочет, чтобы дом был в форме правильного треугольника, чтобы каждому из трех мышат было уютно и комфортно. Леопольд уже выбрал место для строительства и определил, что площадь дома должна составлять 36 квадратных метров для достаточного пространства. Однако, чтобы сделать дом особенно привлекательным, Леопольд хочет украсить каждую из трех сторон дома лентой так, чтобы общая длина ленты была минимальной, но при этом достаточной для украшения. Помогите Леопольду вычислить длину стороны дома и общую длину ленты, необходимой для украшения.

Решение:

Поскольку дом должен иметь форму правильного треугольника, все его стороны равны, а площадь S такого треугольника можно вычислить по формуле: S= 

где a - длина стороны треугольника. По условию задачи, площадь S равна 36 квадратных метров. Подставим это значение в формулу и решим уравнение относительно  a:

36 =  ,  =  = 48 ;   а ≈ 9,12

Теперь, чтобы найти общую длину ленты, необходимой для украшения всех трех сторон дома, умножим длину одной стороны на 3:  

Общая  длина ленты  равна 3a ≈ 3 *9,12 ≈27,36

Ответ:

Длина каждой стороны дома составляет примерно 9,12 метра, а общая длина ленты, необходимой для украшения, составляет примерно 27,36 метров.

Задача 2. Незнайка решил построить дом в форме прямоугольного параллелепипеда для себя и своих друзей из Солнечного города. Он хочет, чтобы длина дома была в два раза больше его ширины, а высота - в три раза меньше длины. Незнайка уже выбрал для дома место, где площадь основания не должна превышать 72 квадратных метра, чтобы оставить место для сада и огорода. Каковы максимально возможные размеры дома Незнайки, чтобы они соответствовали всем условиям? И каков будет объем дома в этих условиях?

Решение:

Пусть ширина дома (меньшая сторона основания) будет  x  метров, тогда длина дома (большая сторона основания) будет  2x метров, а высота дома будет    метров, согласно условиям задачи.

Площадь основания  S прямоугольного параллелепипеда (дома) будет равна произведению его длины и ширины:

 S = x * 2x = 2

По условию, площадь основания не должна превышать 72 квадратных метра:

2.

Решая это неравенство, находим:  ,  х ≤  6

Таким образом, максимальная ширина дома может быть 6 метров, длина – 6*2=12 метров, а высота – 12:3=4 метра.

Теперь, используя найденные размеры, рассчитаем объем дома  V:

V = длина * ширина *высота = 12 *6 * 4 = 288

 Ответ:

Максимально возможные размеры дома Незнайки, чтобы они соответствовали всем условиям: ширина - 6 метров, длина - 12 метров, высота - 4 метра. Объем такого дома составит 288 кубических метров.

Задача 3.  В круге даны две взаимно перпендикулярные хорды; каждая из них делится другой на два отрезка: 3 см и 7 см. Найдите расстояние от каждой хорды до центра. 

Решение 1: Хорда АВ перпендикулярна хорде СD.  АЕ=DЕ=3, ЕС=ЕВ=7,точка О центр, треугольники АОВ и СОD - равнобедренные, АО=ВО=СО=DО=радиусу, ОН - перпендикуляр на АВ, ОН - медиана, АН=НВ=(АЕ+ЕВ)/2=(3+7)/2=5

ОМ  перпендикуляр на СD, ОМ = медиане, СМ=МD=(СЕ+ЕD)/2=(3+7)/2=5

ЕН=ОМ = АН-АE=5-3=2

ОН=ЕМ=СМ-СЕ=5-3=2

Решение 2: Из центра проводим отрезки перпендикулярные хордам, делят хорды они пополам

Если диаметр перпендикулярен хорде, то хорда делится пополам,

полученный прямоугольник квадрат, все стороны равны отрезки, ходы=3+7=10

половина хорды=10/2=5, отрезки=7-5=2

расстояние от центра до хорды = 2

Задача 4 . Через точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные его сторонам. Эти прямые разбивают треугольник на шесть частей, три из которых – треугольники с площадями . Найдите площадь треугольника. 

Подсказка. При решении учесть, что отношение площадей подобных треугольников равна коэффициенту подобия.

Задача 5. Основание         равностороннего         треугольника         служит диаметром окружности. На какие части делятся стороны треугольника полуокружностью и полуокружность  - сторонами треугольника? 

Решение: Отрезок, соединяющий конец диаметра полуокружности и точку её пересечения с противоположной стороной треугольника, есть высота, а следовательно, медиана треугольника. Кроме того, этот отрезок образует угол 30∘  с диаметром. Поэтому соответствующая дуга равна 60∘

Задача 6. Определите высоту дерева, используя представленную схему. Расстояние между фигурами 10 метров, рост измерителей равен 1 м 60 см. Величины углов:

α=300, β=450.

  Ответ: 6,6+5

Задача 7. Найдите углы треугольника, если известно, что медиана, биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, делят соответствующий угол на четыре равных угла. 

Задача 8. Марине приснился треугольник со сторонами 9 и 4 и биссектрисой, выходящей из угла, образованного этими сторонами, длиной 6. Сможет ли Марина воплотить сон в реальность?

Задача 9.

Задача 10. В  треугольнике ∆KNM угол ∠N – прямой. На сторонах KMи NM выбраны точки S и P соответственно ∠KMN=35°, ∠SKP=10°,∠SNP=20°. Найдите величину угла ∠PSM.

Решение:

Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°.

⇒ Угол МКN=90°-35°=55°

∠SKN=55°-10°=45°. ,∠KSN=90°-45°=45° ⇒ ∆ KNS — равнобедренный. КN=SN.

С другой стороны, в ∆ PNK угол РNK=∠SNK-∠SNP=90°-20°=70°. Отсюда ∠КРN=180°-70°-55°=55°, ⇒ ∆ PNK –равнобедренный. PN=NK. Но NK=NS ⇒ NS=NP и ∆ SNP равнобедренный. ∠NSP=∠NPS =(180°-20°):2=80°

Смежный углу NSP искомый угол PSM=180°-80°=100°.

Задача 11.  Двое по очереди проводят на плоскости прямые, причем дважды одну прямую проводить нельзя. Выигрывает тот, после хода которого число кусков, на которые плоскость разбита проведенными прямыми, впервые разделится на 5. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто ходит первым, или его партнер, и как ему для этого надо играть?

Ответ. Второй.
Решение 1. Второй своим первым ходом проводит прямую, параллельную той, которую провёл первый. Если своим вторым ходом первый проведёт прямую, параллельную двум уже проведённым, после его хода плоскость разобьётся на 4 части. Тогда второй проводит прямую, параллельную трём проведённым, и побеждает: частей получается ровно 5. Если же своим вторым ходом первый проведёт прямую, пересекающую две уже проведённые, после его хода плоскость разобьётся на 6 частей. Тогда второй проводит прямую, пересекающую три уже проведённые в трёх различных точках, и тоже побеждает, потому что частей получается 10.

Решение 2. Второй своим первым ходом проводит прямую, пересекающую ту, которую провёл первый. Если своим вторым ходом первый проведёт прямую, параллельную одной из двух проведённых или проходящую через точку их пересечения, после его хода плоскость разобьётся на 6 частей. Тогда второй проводит прямую, пересекающую три уже проведённые в трёх различных точках, и побеждает, потому что частей получается 10. Если же своим вторым ходом первый проведёт прямую, пересекающую обе проведённые в двух различных точках, плоскость разобьётся на 7 частей. Тогда второй проведёт прямую, параллельную одной из проведённых и не проходящую через точки их пересечения, и частей снова получится 10.

Задача 12. В прямоугольном треугольнике ABC биссектриса прямого угла B пересекает гипотенузу AC в точке M.

Найдите площадь треугольника ABC, если расстояние от точки M до катета BC равно 4, а  AM = 5.

Решение:

Пусть P и Q — проекции точки M на катеты AB и BC.

По свойству биссектрисы PM = MQ = 4.

Из прямоугольного треугольника APM находим, что AP² = AM² – PM² = 9.

Из подобия треугольников MQC и APM находим, что QC = PM/AP·MQ = 16/3.

Следовательно, SABC = ½ AB·BC = ½·(3 + 4)(4 + 16/3) = 98/3.

Ответ: 98/3.

Задача 13. Разрежьте квадрат на 5 прямоугольников так, чтобы два прямоугольника не имели бы более одной общей вершины

Задача 14. В  прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4 см проведены высота прямого угла и медиана большего из острых углов. В каком отношении высота делит медиану?

 
Ответ: 9:8, считая от основания.
Решение. Проведем отрезок DF, параллельный высоте АЕ. По теореме Фалеса, он разделит отрезок BE пополам. По теореме Пифагора, гипотенуза треугольника АВС равна 5 см. Кроме этого  , и  . Отсюда:  . Отсюда  . То есть ВЕ=3,2, FE=1,6, EC=1,8. Из параллельности отрезков DF и GE следует, что  .

Задача 15. Дан равнобедренный треугольник ABC, AB =BC.   В окружности Ω,   описанной около треугольника ABC,   проведен диаметр CC ′.   Прямая, проходящая через точку C ′  параллельно BC,   пересекает отрезки AB   и AC   в точках M   и P   соответственно. Докажите, что M   — середина отрезка C′P.  

Решение: Так как CC′  диаметр Ω,   имеем ∠C ′AC = 90∘.   Поскольку MP∥BC,   получаем ∠MPA =∠BCA  =∠BAC.   Значит, треугольник AMP   — равнобедренный, и поэтому его высота MD   является и медианой. Так как AD = DP   и AC′∥DM,   по теореме Фалеса получаем, что C′M = MP.  

Задача 16. Дан прямоугольный треугольник ABC   с прямым углом C.   Пусть BK   — биссектриса этого треугольника. Окружность, описанная около треугольника AKB,   пересекает вторично сторону BC   в точке L.   Докажите, что CB + CL= AB.  

Решение 1.

Отложим на продолжении BCза точку C отрезок CN =LC. Тогда CB+CL=NB,   и нам надо доказать, что AB = NB.  Так как четырёхугольник ABLK   вписан, имеем ∠CKB  =180∘− ∠AKB = 180∘ − ∠ALB = ∠ALC

С другой стороны, прямоугольные треугольники ACL   и ACN   равны по двум катетам, так что ∠ANC = ∠ALC = ∠CKB = 90∘− ∠B∕2.   Тогда из треугольника ABN   имеем

∠BAN = 180 − ∠B − ∠ANB = 180 − ∠B − (90 − ∠B∕2)=90 − ∠B∕2= ∠ANB

Из полученного равенства ∠ANB = ∠BAN   и следует, что AB = NB.  

Решение 2.

Опустим из точки K   перпендикуляр KH   на гипотенузу AB.   Прямоугольные треугольники KCB   и KHB   равны по гипотенузе и острому углу ( ∠KBC  = ∠KBH ).   Значит, CB = HB   и KC  =KH.   Далее, в окружности, описанной около AKLB,   на хорды AK   и KL   опираются равные углы, поэтому AK = KL.   Значит, прямоугольные треугольники KHA   и KCL равны по катету и гипотенузе, откуда HA = CL. Итак, CB+CL=HB+HA=AB,   что и требовалось доказать.

Задача 17. Прямая PA   касается описанной окружности треугольника ABC  . Пусть  и    – основания перпендикуляров, опущенных из P   на прямые AB  , AC  . Докажите, что BC ⊥ .

Точка пересечения BC и . Пусть ∟ABC=α ⇒ ∟PAB=α. ∟PAB= (по свойству касательной, угол между касательной и хордой), ∟AСB=(вписанный угол). ∟PA= и ∟PA= (из условия). ∟PA+∟PA=. Значит,  PA вписанный в окружность, ∟P=∟PA= α (опираются на P). ∟А=- α, тогда в ∆ТС, ∟ТС=-(- α)- α=

Задача 18. Две окружности и  пересекаются в точках P   и Q  . Прямая пересекает последовательно окружности ,,  в точках A,B,C,D   соответственно. Докажите, что ∠APB = ∠CQD.  

Подсказка 1

Когда есть пересекающиеся окружности -- немедленно стоит провести общую хорду! Так можно будет поработать с углами: поперекидывать вписанные углы из одной окружности через общую хорду в другую окружность

Подсказка 2

Осталось учесть теорему о внешнем угле треугольника и аккуратно выразить нужные углы

Вписанные в левую окружность углы, опирающиеся на дугу AQ,   равны:

∠APQ = ∠ACQ

Так как ∠ACQ   — внешний угол треугольника CDQ,   то

∠ACQ = ∠CQD + ∠BDQ

Вписанные в правую окружность углы, опирающиеся на дугу BQ,   равны:

∠BDQ  = ∠BPQ

Угол APQ   равен сумме углов AP B   и BP Q,   таким образом,

∠AP B +∠BP Q =∠AP Q =∠ACQ  =∠CQD  +∠BDQ  = ∠CQD + ∠BPQ

Получаем

∠APB + ∠BPQ = ∠CQD + ∠BPQ   ⇒  ∠AP B =∠CQD

Задача 19. Окружность S   c центром O   и окружность S′  пересекаются в точках A   и B  . На дуге окружности S, лежащей внутри S′ , взята точка C. Точки пересечения AC   и BC   с  S′, отличные от A   и B  , обозначим E   и D   соответственно. Докажите, что прямые DE   и OC   перпендикулярны.

Подсказка 1

Когда есть пересекающиеся окружности -- немедленно стоит провести общую хорду! Так можно будет поработать с углами: поперекидывать вписанные углы из одной окружности через общую хорду в другую окружность

Подсказка 2

Раз нужно что-то понимать про точку О, то стоит провести радиусы и посчитать углы через центральный-вписанный и получившийся равнобедренный треугольник

Подсказка 3

Осталось явно ввести угол альфа и доказать, что другой угол в нужном треугольнике дополняет его до 90 градусов. То есть посчитать углы с учётом плана выше

Первое решение.

Пусть ∠AED = ∠ABD = α   (равны как вписанные). Тогда ∠AOC = 2∠ABC = 2α   и в силу равенства OA =OC   выполнено

∠OAC = ∠ACO = 90 − α

Пусть ED   и OC   пересекаются в точке T  , отсюда

∠TCE = ∠OCA = 90∘ − α

∠CT E = 180∘− α − (90∘− α )=90∘

Второе решение.

Пусть касательная к окружности S  , проведённая через точку C  , пересекает окружность S′  в точке M  , лежащей на дуге AD  , не содержащей точки E  . Тогда ∠ACM  =∠ABC  =∠AED  . Поэтому CM ∥DE  , а так как OC ⊥ CM   как радиус, проведённый в точку касания, то OC ⊥ DE  .

Задача 20. В треугольнике ABC, в котором AB = BC, на стороне AB   выбрана точка D, и вокруг треугольников ADC и BDC  описаны окружности     и   соответственно. Касательная, проведенная к  в точке D,   пересекает второй раз  в точке M.   Докажите, что BM  ∥AC.  

Подсказка 1

Не стоит рисовать окружность -- они будут только захламлять чертёж и мешать работать с углами. Работайте с углами - Вам дана касательная и даны четыре точки на окружности S2

Подсказка 2

Отмечаем (вводим буквой альфа!) угол между касательной и хордой. Отмечаем (вводим букву бетта!) вписанные углы. Не забываем условие про равнобедренный треугольник - равные углы при основании

Подсказка 3

Теперь всё должно получиться -- проверьте, почему равны накрест лежащие углы при искомых прямых (выражаем их через альфа и бетта!)

Пусть DM  ∩AC = T.   Тогда ∠MDB  =∠T DA =∠DCA   по свойствам касательной. Далее из вписанности ∠BCD  =∠BMD.   Для доказательства параллельности достаточно равенства ∠DT A= ∠BMD. Заметим, что ∠BAC = ∠BCA   является суммой одной и двух дужек и внешним для △DAT,   откуда и следует ∠DTA = ∠BCD = ∠BMD,   что и требовалось.

Задача 21.  В окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды AC и BD. Найдите радиус окружности, если известно, что AB  =  3, CD  =  4.

Решение.

Если отразить C относительно серединного перпендикуляpa к BD, получим точку C′ на окружности такую, что поэтому и

 Ответ: 5/2

В помощь теория….

Теорема Фалеса: Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных между собой отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

 Если стороны угла пересечь параллельными прямыми, то отношения отрезков на одной стороне угла будет равно отношению отрезков на другой стороне угла.

Теорема 1: Если точка X делит сторону AB треугольника ABC в отношении p:q, то отрезок CX делит треугольник на части, отношение площадей которых также равно p : q , т. е. S1 : S2 = p : q.

Другая формулировка этой теоремы в учебнике звучит так: если треугольники имеют общую высоту, то их площади относятся как основания.

Теорема 2: Если на сторонах AB и AC треугольника ABC расположены точки X и Y так, что отсекаемые отрезки составляют p-ю и r-ю долю соответствующих сторон, то площадь отрезаемого треугольника AXY составляет (pr)-ю долю площади ABC. SАХY = pr SАВС .

Теорема 3: Если четырехугольник ABCD разрезан диагональю AC на два треугольника: ABC площадью S1 и ADC площадью S2 , то эти площади относятся друг к другу так же, как куски второй диагонали d1 и d2 , содержащиеся внутри этих треугольников: S1 : S2 = d1 : d2 .

ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ

Фигуры.  Нахождение многоугольника с указанными свойствами или на площади и разрезания.

Задача 1. Туристам-байдарочникам нужны восемь одинаковых   мягких ковриков для сидений длиной не менее 35 см и шириной не менее 20 см. В спортивном магазине продаются большие коврики длиной 110 см и шириной 56 см. Хватит ли большого коврика на восемь маленьких?

Задача 2. Разрежьте прямоугольник, длина которого 

9 см, а ширина 4 см, на две части так, чтобы можно было составить квадрат.

Задача 3. Можно ли разрезать шахматную доску на прямоугольники из двух клеток, если из доски вырезали два противоположных уголка?

Задача 4. Сосуд имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Как, не делая никаких измерений и не имея других емкостей, наполнить водой  ровно половину объема этого сосуда?

Задача 6. Можно ли квадрат со стороной 20 см разрезать на 10 попарно неравных квадратов, длины сторон которых выражаются целым числом сантиметров?

Решение: используем метод площадей: 202=400 см2 – площадь данного квадрата.  Наименьшая площадь, которую могут занимать десять попарно неравных квадратов, длины сторон которых выражаются целым числом см, равна 12+22+32+42+52+62+72+82+92+102=385 см2  - это меньше площади исходного квадрата. Но следующая по величине площадь, занимаемая квадратами, равна 12+22+32+42+52+62+72+82+92+112=406 см2  - это больше площади исходного квадрата. Значит, разрезать квадрат требуемым образом нельзя.

Задача 5. Докажите, что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.

Задача 7. Найдите площадь треугольника, вершины которого заданы координатами: А(3; 6),  В(-5; 3), С(3; -1).

Задача 8.  Какое наименьшее количество клеток квадрата 5 x 5 нужно закрасить, чтобы в любом квадрате 3 x 3, являющемся его частью, было ровно 4 закрашенных клетки?

Задача 9. Найдите величину угла между часовой и минутной стрелкой в 19 часов 10 минут 12 января 2016 года, если температура воздуха на улице -16 0С.

Задача 10. Иван Васильевич решил у себя в саду посадить 10 деревьев. А его жена требует разместить деревья в саду так, чтобы получилось 5 рядов и в каждом ряду по 4 дерева. Сможет ли Иван Васильевич справиться с заданием?

Задачи на разрезание и подсчет числа фигур2.

Задача 1.Как разрезать квадрат 5*5 на 7 прямоугольников, среди которых нет одинаковых?

Задача 2. Разрежьте квадрат 5*5 на 10 одинаковых четырехугольников, не являющихся прямоугольниками.

Задача 3.Разрежьте квадрат на три части, из которых можно было бы сложить треугольник с тремя острыми углами и различными сторонами.

Задача 4.Рост Буратино 1 метр, а длина его носа раньше была 9 сантиметров. Каждый раз, когда Буратино врал, длина его носа удваивалась. Как только нос стал длиннее самого Буратино, тот врать прекратил. Сколько раз Буратино соврал?

Задача 5.

Из 26 спичек длиной по 5 см сложили прямоугольник наибольшей площади. Чему равна его площадь?

Задача 6. У Коли есть фанерный прямоугольник со сторонами 3 см и 5 см и карандаш. Разрешается прикладывать прямоугольник к бумаге и обводить его (полностью или частично) карандашом. Любые другие действия (например, делать пометки на фанере) запрещены. Как Коле, не нарушая запрета, нарисовать квадрат со стороной 1 см? Опишите, что он должен делать и в каком порядке.

Задача 7. Прямоугольный параллелепипед покрасили со всех сторон и разрезали на 24 единичных кубика. У 12 кубиков оказались покрашены по 2 грани. Каковы размеры параллелепипеда?

Задача  8. Коробка из-под игрушки имеет форму параллелепипеда. Площадь верхней ее грани равна 6 дм2, площадь передней грани – 2,5 дм2, площадь боковой грани – 2,4 дм2. Найдите объем коробки.

Задача  9. Из 18 одинаковых кубиков сложили прямоугольный параллелепипед высотой в три кубика. Найдите площадь поверхности параллелепипеда, если площадь поверхности одного кубика равна 19 см2.

Задача 10.Как разделить круг тремя прямыми на 4, 5, 6, 7 частей?

Задача  11.Тетрадный лист бумаги сложили пополам 5 раз, каждый раз меняя направление сгиба. Затем отрезали от полученного прямоугольника 4 угла и лист развернули. Сколько дырок внутри листа оказалось?

Задача  12.Изображенные на рис. фигуры 1, 2, 3 и 4 являются квадратами. При этом периметр первой фигуры равен 16 см. периметр второй – 24 см. Найдите периметр фигуры

Задача  13

Диагональ делит четырехугольник с периметром  26 см на два треугольника с периметрами 22 см и 18 см. Найдите длину этой диагонали.

Задача 14. Прямоугольник состоит из двух одинаковых квадратов, имеющих общую сторону. Его периметр равен 18 см. Найдите площадь прямоугольника.

Задача  15. От каждой вершины деревянного куба отпилили по одинаковому кусочку так, что место спила имеет форму треугольника. Сколько вершин и сколько ребер у получившегося тела?

Задача  16. Может ли прямая пересечь все стороны 13-угольника ровно по 1 разу (не проходя через вершины)

Задача 1. На рис. имеется квадрат со стороной 1. Из двух противоположных вершин квадрата проведено две дуги так, как показано на рисунке. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Задача  2. На каждой стороне квадрата со стороной 1 построено по полуокружности, как показано на рис. Найдите площадь заштрихованной части (четырех лепестков).

Задачи на свойства неопределяемых геометрических понятий

Задача 1. Точки А, В и С лежат на прямой а. Есть ли среди прямых АВ, АС и ВС различные? Объясните ответ.

Задача 2. Начертите три прямые АВ, ВС, АС. На сколько частей разбивается этими прямыми плоскость?

Задача 3. Даны а1 и а2 – различные прямые. Точка Р принадлежит а1 и а2. Точка О также принадлежит а1 и а2. Что можно сказать о точках Р и О?

Задача 4. Приведите пример трех прямых, каждые две из которых скрещиваются. Сколько можно построить прямых, каждые 2 из которых будут скрещиваться?

Задача 5. Существуют ли две параллельные прямые, каждая из которых пересекает две данные скрещивающиеся прямые?

Задача 6. Прямые a и b параллельны. Прямая a скрещивается с прямой с. Что можно сказать о взаимном расположении прямых b и c?

Задача 7. Прямые a и b пересекаются. Прямая a скрещивается с прямой с. Что можно сказать о взаимном расположении прямых b и c?

Задача 8.         Прямая l1 не принадлежит а и пересекает плоскость а в точке Р. Прямая l2 принадлежит плоскости а, но не содержит точку Р. Может ли прямая l1 пересекать прямую l2? Объясните ваш ответ.

Задача 9. У какого многогранника имеется наименьшее число граней (частей плоскостей)?

Задача 10. Может ли многогранник иметь только две параллельные грани (части плоскости)?

Задача 11.Докажите, что две различные плоскости не могут иметь две и только две общие точки.

Задачи на общие представления о геометрических фигурах

Задача 1. Приведите примеры одинаковых геометрических фигур которые имеют: а) только одну общую точку; б) бесконечное множество общих точек, не лежащих на одной прямой; в) только одну общую прямую (при этом фигуры не являются плоскостями); г)ровно одну общую плоскость

Задача 2. На какое наибольшее число различных частей, не имеющих общих точек, кроме своих границ, могут разбить плоскость: а) прямая и окружность; б) три прямые; в) угол и окружность; г) три окружности?

Задача 3.  Какие n-угольники можно получить как общую часть: а)угла и полуплоскости; б)двух углов; в) двух треугольников; г) треугольника и четырехугольника?

Задача 4. Изобразите куб, у которого видны: а) передняя, правая и верхняя грани; б) передняя, левая и верхняя грани.

Задачи на отрезки и их измерение

Задача 1. Докажите, что если две точки отрезка АВ принадлежат отрезку CD, то эти отрезки лежат на одной прямой.

Задача 2.

Назовите ( изобразите ) многогранник, имеющий наименьшее число ребер. Сколько у него вершин? Граней?

Задача 3.Пусть Р, К, М – три точки некоторой прямой. Какая из этих точек лежит между двумя другими, если РК =12, РМ =7 и КМ =5? Обоснуйте вывод.

Задача 4. Иванов мчался на своей машине по шоссе с постоянной скоростью. Рядом с ним сидела его дочь. «Ты заметила,- спросил он,- что деревья вдоль шоссе посажены на одинаковом расстоянии друг от друга? Хотелось бы знать, на каком именно?»

Дочь посмотрела на часы и сосчитала, сколько деревьев промелькнуло за окном в течение одной минуты.

«Какое странное совпадение! – воскликнул Иванов. – Если это число умножить на 10, то получится в точности численное значение скорости нашей машины в километрах в час.

Предположим, что скорость машины постоянна, деревья посажены через одинаковые промежутки, а минута, отмеренная дочкой, начинается и кончается в моменты, когда машина находится как раз посреди расстояния, отдаляющего одно дерево от другого. Спрашивается, чему равно это расстояние?

Задача 5.На расстоянии 5м друг от друга посажены в один ряд 5 деревьев. Чему равно расстояние между крайними деревьями? Толщину деревьев не учитывать.

Задача 6. Петя живет на 16 этаже, а Коля - на четвертом. Во сколько раз больше, чем Коле, необходимо пройти ступенек Пете?

Задача 7.Пете необходимо пройти в 4 раза больше ступенек, чем Коле. Коля живет на третьем этаже. На каком этаже живет Петя?

Задачи на понятие ломаной и ее длины

Задача  1. Сможете ли вы сделать из гибкой проволоки замкнутую пятизвенную ломаную, имеющую:

- Одну точку самопересечения

- Две точки самопересечения

- Три точки пересечения

- Четыре точки пересечения

- Пять точек пересечения?

Задача 2. Какое наибольшее число точек самопересечения может быть у замкнутой ломаной из 5 звеньев? Из 7 звеньев? из любого нечетного числа звеньев? А если ломаная будет незамкнутой, изменится ли результат? Попробуйте решить задачу для ломаной у которой четное число звеньев.

Задача 3. Какое максимальное количество точек самопересечения может иметь замкнутая п-звенная плоская ломаная, если: а) п нечетно; б) п четно? (Предполагается, что никакие три вершины не лежат на одной прямой и что никакие три звена не пересекаются в одной точке.)

Задача 1. Кот Леопольд решил построить новый дом для своих друзей-мышат. Он хочет, чтобы дом был в форме правильного треугольника, чтобы каждому из трех мышат было уютно и комфортно. Леопольд уже выбрал место для строительства и определил, что площадь дома должна составлять 36 квадратных метров для достаточного пространства. Однако, чтобы сделать дом особенно привлекательным, Леопольд хочет украсить каждую из трех сторон дома лентой так, чтобы общая длина ленты была минимальной, но при этом достаточной для украшения. Помогите Леопольду вычислить длину стороны дома и общую длину ленты, необходимой для украшения.

Задача 2. Незнайка решил построить дом в форме прямоугольного параллелепипеда для себя и своих друзей из Солнечного города. Он хочет, чтобы длина дома была в два раза больше его ширины, а высота - в три раза меньше длины. Незнайка уже выбрал для дома место, где площадь основания не должна превышать 72 квадратных метра, чтобы оставить место для сада и огорода. Каковы максимально возможные размеры дома Незнайки, чтобы они соответствовали всем условиям? И каков будет объем дома в этих условиях

Задача 3.  В круге даны две взаимно перпендикулярные хорды; каждая из них делится другой на два отрезка: 3 см и 7 см. Найдите расстояние от каждой хорды до центра. 

Задача 4. Через точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные его сторонам. Эти прямые разбивают треугольник на шесть частей, три из которых – треугольники с площадями . Найдите площадь треугольника. 

Задача 5. Основание  равностороннего треугольника         служит  диаметром окружности.  На какие части делятся стороны  треугольника полуокружностью и полуокружность  - сторонами треугольника? 

Задача 6. Определите высоту дерева, используя представленную схему. Расстояние между фигурами 10 метров, рост измерителей равен 1 м 60 см. Величины углов:

α=300, β=450.

Задача 7. Найдите углы треугольника, если известно, что медиана, биссектриса и высота, проведенные из одной вершины, делят соответствующий угол на четыре равных угла. 

Задача 8. Марине приснился треугольник со сторонами 9 и 4 и биссектрисой, выходящей из угла, образованного этими сторонами, длиной 6. Сможет ли Марина воплотить сон в реальность?

Задача 9. В правильном шестиугольнике меньшая диагональ равна  2  Найти периметр шестиугольника.

Задача 10. В  треугольнике ∆KNM угол ∠N – прямой. На сторонах KMи NM выбраны точки S и P соответственно ∠KMN=35°, ∠SKP=10°,∠SNP=20°. Найдите величину угла ∠PSM.

Задача 11. Двое по очереди проводят на плоскости прямые, причем дважды одну прямую проводить нельзя. Выигрывает тот, после хода которого число кусков, на которые плоскость разбита проведенными прямыми, впервые разделится на 5. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто ходит первым, или его партнер, и как ему для этого надо играть?

Задача 12. В прямоугольном треугольнике ABC биссектриса прямого угла B пересекает гипотенузу AC в точке M.

Найдите площадь треугольника ABC, если расстояние от точки M до катета BC равно 4, а  AM = 5.

Задача 13. Разрежьте квадрат на 5 прямоугольников так, чтобы два прямоугольника не имели бы более одной общей вершины

Задача 14. В  прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4 см проведены высота прямого угла и медиана большего из острых углов. В каком отношении высота делит медиану?

Задача 15. Дан равнобедренный треугольник ABC, AB =BC.   В окружности Ω,   описанной около треугольника ABC,   проведен диаметр CC ′.   Прямая, проходящая через точку C ′  параллельно BC,   пересекает отрезки AB   и AC   в точках M   и P   соответственно. Докажите, что M   — середина отрезка C′P.  

Задача 16. Дан прямоугольный треугольник ABC   с прямым углом C.   Пусть BK   — биссектриса этого треугольника. Окружность, описанная около треугольника AKB,   пересекает вторично сторону BC   в точке L.   Докажите, что CB + CL= AB.  

Задача 17. Прямая PA   касается описанной окружности треугольника ABC  . Пусть  и    – основания перпендикуляров, опущенных из P   на прямые AB  , AC  . Докажите, что BC ⊥ .

Задача 18. Две окружности и  пересекаются в точках P   и Q  . Прямая пересекает последовательно окружности ,,  в точках A,B,C,D   соответственно. Докажите, что ∠APB = ∠CQD.  

Задача 19. Окружность S   c центром O   и окружность S′  пересекаются в точках A   и B  . На дуге окружности S, лежащей внутри S′ , взята точка C. Точки пересечения AC   и BC   с  S′, отличные от A   и B  , обозначим E   и D   соответственно. Докажите, что прямые DE   и OC   перпендикулярны.

Задача 20. В треугольнике ABC, в котором AB = BC, на стороне AB   выбрана точка D, и вокруг треугольников ADC и BDC  описаны окружности     и   соответственно. Касательная, проведенная к  в точке D,   пересекает второй раз  в точке M.   Докажите, что BM  ∥AC.  

Задача 21.  В окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды AC и BD. Найдите радиус окружности, если известно, что AB  =  3, CD  =  4.