МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АРХАНГЕЛЬСКОЙ ОБЛАСТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ АРХАНГЕЛЬСКОЙ ОБЛАСТИ

«НЯНДОМСКИЙ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫЙ КОЛЛЕДЖ»

МЕТОДИЧЕКСИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ:

 «МАТЕМАТИКА»

НЯНДОМА, 2017

Методические указания составлены в соответствии с примерной программой по дисциплине «Математика» для специальностей:

23.02.01 «Организация перевозок и управление на транспорте» (на железнодорожном транспорте);

23.02.06 «Техническая эксплуатация подвижного состава железных дорог».

Разработчик: Гоголевская Е.С- преподаватель математики, информатики ГАПОУ АО «НЖК»

Рассмотрена и рекомендована на заседании МК:

Протокол № 9 от «22»июня» 2017 г.

Методист: ______________________/Чужакова О.В./

СОДЕРЖАНИЕ

АННОТАЦИЯ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИКА»

Рабочая программа учебной дисциплины «математика» разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и примерной программы учебной дисциплины «математика» для всех специальностей среднего профессионального образования.

Рабочая программа учебной дисциплины является частью основной профессиональной образовательной программы в соответствии с ФГОС по специальностям СПО:

23.02.01 «Организация перевозок и управление на транспорте» (на железнодорожном транспорте);

23.02.06 «Техническая эксплуатация подвижного состава железных дорог».

В результате освоения дисциплины обучающийся должен уметь:

• применять математические методы дифференциального и интегрального исчисления для решения профессиональных задач;
• применять основные положения теории вероятностей и математической статистики в профессиональной деятельности;
• использовать приёмы и методы математического анализа и синтеза в различных профессиональных ситуациях.

      В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать:

• основные понятия и методы математическо-логического синтеза и анализа логических устройств.

Объем учебной дисциплины и виды учебной работы

Тематический план учебной дисциплины «Математика»

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Основные источники:

Учебные пособия:

1.  Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования /С.Г.Григорьев, С.В. Иволгина; под ред. В.А.Гусева. – 9-е изд., стер. - М.: Издательский центр «Академия», 2013. – 416 с.

Дополнительные источники:

Дополнительная учебная литература:

1.  Богомолов Н.В. Математика: Учебник для ССУЗов. М.: Дрофа, 2010.
2. Богомолов Н.В. Сборник дидактических заданий по математике: Учебное пособие для ССУЗов. М.: Дрофа, 2010.
3. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике: Учебное пособие для ССУЗов. М.: Дрофа, 2012.
4. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для ССУЗов. М.: Дрофа, 2007.
5. Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. пособие. – 2-е изд., перераб и доп. – М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. Лит., 1990 -576 с.: ил.

Интернет-ресурсы:

1. Сайт: http:// shool-collection.edu.ru
2. «Математика»: учебно-методический журнал, издательский дом «Первое сентября».
3. «Квант»: журнал. Форма доступа: www.kvant.mirror1.mccme.ru
4. Электронная библиотека. Форма доступа: www.math.ru/lib

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

Введение

1. Математика и научно-технический прогресс
2. Понятие о математическом моделировании
3. Роль математики в подготовке специалистов среднего звена железнодорожного транспорта и формировании общих и профессиональных компетенций

Раздел 1. Математический анализ

Тема 1.1 Дифференциальное и интегральное исчисление

1. Какие величины называются постоянными? Переменными?
2. Сформулируйте определение функции.
3. Что называется областью определения функции? Областью изменения функции?
4. Назовите способы задания функциональной зависимости.
5. Перечислите основные элементарные функции.
6. Дайте определение предела и перечислите свойства пределов.
7. Какие величины называются бесконечно малыми, бесконечно большими?
8. Запишите формулы первого и второго замечательных пределов.
9. Какая функция называется непрерывной в точке, на отрезке?
10. Дайте определение производной.
11.  В чём заключается геометрический смысл производной? Физический смысл?
12. Напишите правила её вычисления и приведите примеры производных некоторых функций.
13. Как найти производную сложной функции?
14. Как найти производную второго, третьего, … порядка?
15. Какая функция называется возрастающей, убывающей?
16. Какие точки функции называются критическими?
17. Какая кривая называется выпуклой, вогнутой?
18. Как найти интервалы выпуклости, вогнутости?
19. Что называется точкой перегиба?
20. Назовите схему исследования функции для построения графика.
21. Сформулируйте определение функции двух независимых переменных.
22. Сформулируйте определение предела функции двух переменных.
23. Что называется частными производными первого порядка  функции двух переменных?
24. Как найти производные второго порядка функции двух переменных?
25. Какая функция является первообразной для данной функции?
26. Что называется интегралом от данной функции?
27. Назовите свойства неопределённого интеграла.
28. Напишите табличные формулы неопределённых интегралов.
29. Расскажите о методе непосредственного интегрирования.
30. Расскажите методе вычисления интеграла через замену переменной.
31. Напишите формулу интегрирования по частям.
32. Что называется определённым интегралом?
33. Как вычислить определённый интеграл.
34. Каков геометрический смысл определённого интеграла?
35. Назовите свойства определенного интеграла.
36. Напишите формулу Ньютона – Лейбница.

Тема 1.2 Обыкновенные дифференциальные уравнения

1. Какие уравнения называются дифференциальными?
2. Какие уравнения называются обыкновенными дифференциальными?
3. Что является решением дифференциального уравнения?
4. Какое решение дифференциального уравнения называется общим, частным?
5. Дайте определение обыкновенного дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
6. Дайте определение однородного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.
7. Дайте определение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Тема 1.3 Ряды

1. Дайте определение числового ряда.
2. Каким образом можно задать числовой ряд?
3. Какой ряд называется сходящимся, расходящимся?
4. Сформулируйте необходимый признак сходимости числового ряда с положительными членами.
5. Перечислите достаточные признаки сходимости числовых рядов.
6. Сформулируйте признак Даламбера.
7. Сформулируйте интегральный признак Коши.
8. Дайте определение знакопеременного числового ряда.
9. Сформулируйте признак Лейбница сходимости знакопеременного ряда.
10. Какой знакопеременный ряд называется сходящимся абсолютно, условно?
11. Дайте определение функционального ряда.
12. Дайте определение степенного ряда.
13. Дайте определение ряда Фурье. Какие функции можно разложить в ряд Фурье?

Раздел 2. Основы дискретной математики

Тема 2.1 Основы теории множеств

1. Что понимают под понятием «множество»?
2. Как называют объекты, составляющие множество?
3. Как задать множество?
4. Какое множество называется конечным, бесконечным?
5. Какое множество называется числовым, приведите примеры числовых множеств.
6. Какие множества называют равными?
7. Дайте определение подмножества.
8. Какое множество называется пустым?
9. Какое множество называется универсальным? Что представляет собой и для чего применяется диаграмма Эйлера – Венна?
10. Дайте определения каждой из операций, поясните их на диаграмме.
11. Перечислите основные свойства операций над множествами и поясните их на диаграммах.
12. Отображение множеств. Понятие функции и способы её задания; композиция функций.

Тема 2.2 Основы теории графов

1. Дайте определения понятия «граф» и его элементов, изобразите.
2. Какие графы называются полными, неполными (поясните на рисунке)?
3. Какие графы называются связными (поясните на рисунке)?
4. Какой граф называют деревом, кустом, лесом (поясните на рисунке)?
5. Что такое цикл (поясните на рисунке)?
6. Какой граф называется ориентированным (поясните на рисунке)?
7. Где применяются графы?

Раздел 3. Основы теории вероятности и математической статистики

Тема 3.1 Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей

1. Что называется событием и вероятностью события? Приведите примеры событий.
2. Какие события называются достоверными, невозможными, случайными? Какому числу равна вероятность каждого из них.
3. Какие события называются совместными, несовместными? Приведите примеры.
4. Сформулируйте классическое определение вероятности события. Укажите возможные пределы вероятности.
5. Что понимается под суммой двух событий? Приведите примеры.
6. Сформулируйте теорему сложения вероятностей для несовместных событий.
7. Что понимается под полной группой событий? Какому числу равна сумма вероятностей событий, составляющих полную группу?
8. Какие события называются противоположными? Какому числу равна сумма вероятностей противоположных событий?
9. Какие события называются зависимыми, независимыми? Приведите примеры.
10. Что называется условной вероятностью события?
11. Что понимается под произведением двух событий? Приведите примеры.
12. Сформулируйте теорему умножения вероятностей для независимых и зависимых событий.
13. Сформулируйте теорему сложения вероятностей для совместных событий.

Тема 3.2 Случайная величина, её функция распределения.

1. Сформулируйте определение случайной величины.
2. Какие случайные величины называются дискретными, непрерывными? Приведите примеры.
3. Дайте определение закона распределения случайной величины.
4. Что называется рядом распределения случайной величины?

Тема 3.3 Математическое ожидание и дисперсия случайной величины

1. Дайте определение математического ожидания случайной величины.
2. Что характеризует математическое ожидание?
3. Перечислите основные свойства математического ожидания.
4. Дайте определение дисперсии случайной величины.
5. Что характеризует дисперсия?
6. Перечислите основные свойства дисперсии.
7. Дайте определение среднего квадратического отклонения случайной величины.

Раздел 4. Основные численные методы

Тема 4.1 Численное интегрирование 

Понятие о численном интегрировании. Формулы прямоугольников. Формула трапеций. Формула Симпсона. Абсолютная погрешность при численном интегрировании.

Тема 4.2 Численное дифференцирование 

Численное дифференцирование. Формулы приближённого дифференцирования, основанные на интерполяционных формулах Ньютона. Погрешность в определении производной.

Тема 4.3 Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Построение интегральной кривой. Метод Эйлера.

ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Рефераты и контрольные работы относятся к индивидуальным заданиям, которые рассматриваются как самостоятельный вид письменной работы. Индивидуальные задания по отдельным дисциплинам выполняются студентами самостоятельно под руководством преподавателя, и содержат 8- 15 страниц машинописного текста.  Тематика индивидуальных заданий должна отвечать задачам учебной дисциплине. Индивидуальные задания выполняются с целью закрепления и углубления знаний, полученных студентами. Необходимо отметить, что при заочной форме обучения контрольные работы являются основной формой контроля знаний студентов.

Основная цель контрольной работы – это контроль усвоения студентами учебного материала по данной дисциплине.

1. Требования к выполнению контрольных работ

К выполнению контрольных работ предъявляются следующие требования:

- контрольная работа должна быть выполнена самостоятельно, как собственное рассуждение автора на основе информации, полученной из различных источников;

-  содержание контрольной работы должно быть изложено от имени автора и соответствовать теме задания, отображать состояние проблемы;

-  цель и задачи контрольной работы должны быть четкими и отображать суть исследуемой проблемы;

-  при разработке индивидуального задания должны быть использованы не менее 3 различных источников;

-  работа должна содержать обобщенные выводы и рекомендации.

2. Требования к структуре рефератов и контрольных работ

Структура рефератов и контрольных работ должна содержать:

-  Титульный лист (титульный лист является первой страницей реферата или контрольной работы);

-  Содержание (содержание включает: введение; наименования всех разделов, подразделов, пунктов и подпунктов основной части задания; выводы; список источников информации);

-   Введение (во введении кратко формулируется проблема, указывается цель и задачи реферата или контрольной работы);

-   Основная часть (состоит из нескольких разделов, в которых излагается суть реферата или контрольной работы);

-  Выводы или Заключение (в выводах приводят оценку полученных результатов работы, предлагаются рекомендации);

-  Список источников информации (содержит перечень источников, на которые ссылаются в основной части реферата или контрольной работы).

3. Требования к оформлению контрольных работ

К оформлению контрольных работ предъявляются следующие требования:

-  контрольные работы оформляют на листах формата А4 (210х297), текст печатается  на одной стороне листа через полтора интервала;

-  параметры шрифта: гарнитура шрифта - Times New Roman, начертание - обычный, кегль шрифта - 14 пунктов, цвет текста – авто (черный);

-  параметры абзаца: выравнивание текста – по ширине страницы, отступ первой строки -12,5 мм, межстрочный интервал - Полуторный;

-  поля страницы для титульного листа: верхнее и нижнее поля – 20 мм; правое и левое поля – 15 мм;

-  поля всех остальных страниц: верхнее и нижнее поля – 20 мм, размер левого поля 30 мм, правого – 15 мм;

-  на титульном листе указывается название образовательного учреждения, тема реферата, название учебного курса, номер группы, форма и курс обучения, Ф.И.О. автора, Ф.И.О. научного руководителя (проверяющего), место и год выполнения работы;

-  каждую структурную часть необходимо начинать с нового раздела со следующей страницы (Вставка/Разрыв/Новый раздел, со следующей страницы);

-  страницы нумеруют арабскими цифрами, соблюдая сквозную нумерацию по всему тексту. Порядковый номер ставят вверху страницы, справа;

-  нумерация страниц начинается с титульного листа, но на титульном листе и на странице «Содержание» номер страницы не указывается,  нумерация указывается с цифры 3 (с третьей страницы);

-  текст основной части индивидуальных заданий разбивают на разделы, подразделы, пункты и подпункты;

-   разделы, подразделы, пункты, подпункты нумеруют арабскими цифрами;

-  разделы должны иметь порядковую нумерацию в пределах излагаемого материала и обозначаться арабскими цифрами, в конце номера раздела точку не ставят (например, 1);

-  подразделы нумеруют в пределах каждого раздела. Номер подраздела состоит из номера раздела и порядкового номера подраздела, разделенных точкой. В конце номера подраздела точку не ставят, например: «1.1»;

-  заголовки (заголовки 1 уровня) каждой структурной части индивидуального задания (например, содержание, введение и т.д.) и заголовки разделов основной части следует располагать в середине строки и печатать без подчеркивания и без точки в конце;

-  заголовки подразделов, пунктов и подпунктов следует начинать с абзацного отступа и печатать строчными буквами, кроме первой. Точка в конце заголовка не ставится

-  иллюстрации (рисунки, схемы, графики) и таблицы, которые размещаются на отдельных страницах, включают в общую нумерацию страниц;

-  иллюстрации необходимо помещать непосредственно после первого упоминания о них в тексте или на следующей странице;

-  графические материалы рекомендуется сохранять в форматах: .bmp, dib, .tif, .gif;

-  таблица располагается непосредственно после текста, в котором она упоминается в первый раз или на следующей странице;

-  таблицы нумеруют арабскими цифрами по порядку в пределах раздела;

-   примечания помещают в тексте при необходимости пояснения содержания текста, таблицы или иллюстрации;

-  пояснения к отдельным данным, приведенным в тексте или таблицах, допускается оформлять сносками;

-   формулы и уравнения располагают непосредственно после их упоминания в тексте, посередине страницы;

-  в контрольной работе могут быть указаны ссылки на используемую литературу;

-  ссылки на источники следует указывать в квадратных скобках, например: [1 – 3], где 1 - 3 порядковый номер источников, указанных в  списке источников информации;

-  список источников информации можно размещать в порядке появления источника в тексте, в алфавитном порядке фамилий авторов или заголовков и в хронологическом порядке.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АРХАНГЕЛЬСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

АРХАНГЕЛЬСКОЙ ОБЛАСТИ

«НЯНДОМСКИЙ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫЙ КОЛЛЕДЖ»

Контрольная  работа

по дисциплине:

_____________________________________

_____________________________________

тема/вариант

____________________________

Выполнил: студент __ курса заочной формы обучения  группы № ___; специальность

____________________________

Проверил: преподаватель

____________________________

Няндома

2017

3. Правила оформления названий списка использованных источников. Расположение источников в списке происходит по следующей схеме:

1. Нормативные акты, по мере юридической силы и территории правового воздействия, а именно: Конституция РФ, Федеральные конституционные законы, Кодексы, Федеральные законы, Законы субъектов федерации, Указы Президента РФ, Постановления Правительства РФ, министерств и ведомств РФ, Постановления исполнительных органов власти суъектов федерации и муниципальных образований.

Например:

1. Российская Федерация. Конституция (1993). Конституция Российской Федерации [Текст]: офиц. текст. - М.: Маркетинг, 2001. - 39, [1] с.; 20 см. - 10000 экз. - ISBN 5-94462-025-0.
2. Российская Федерация. Законы. О воинской обязанности и военной службе [Текст]: федер. закон: [принят Гос. Думой 6 марта 1998 г.: одобр. Советом Федерации 12 марта 1998 г.]. - [4-е изд.]. - М.: Ось-89, [2001?]. - 46, [1] с.; 21 см. - (Актуальный закон). - ISBN 5-86894-528-Х.
3. Российская Федерация. Законы. Семейный кодекс Российской Федерации [Текст]: [федер. закон: принят Гос. Думой 8 дек. 1995 г.: по состоянию на 3 янв. 2001 г.]. - СПб.: Victory: Стаун-кантри, 2001. - 94, [1] с.; 20 см. - На тит. л.: Проф. юрид. системы «Кодекс». - 5000 экз. - ISBN 5-7931-0142-Х.
4. Конституция Российской Федерации [Текст]. - М.: Приор, [2001?]. - 32, [1] с.; 21 см. - 3000 экз. - ISBN 5-85572-122-3.
5. Гражданский процессуальный кодекс РСФСР [Текст]: [принят третьей сес. Верхов. Совета РСФСР шестого созыва 11 июня 1964 г.]: офиц. текст: по состоянию на 15 нояб. 2001 г. / М-во юстиции Рос. Федерации. - М: Маркетинг, 2001. - 159, [1] с.; 21 см. - 3000 экз. - ISBN 5-94462-191-5.

2. Документальные источники (документы, судебные дела, статистические сборники, архивные материалы судов и государственных органов).

1. Архив федерального суда общей юрисдикции Калининского района г. Новосибирска, гражданское дело №1-222 за 2003 год.

2. Архив мирового судьи 2-го судебного участка Ленинского района г. Новосибирска Шишикиной А.П., гражданское дело №2-395 за 2003 г.

3. Научная литература (монографии, журнальные статьи, учебные пособия, научные журналы и т.п.).

В данном разделе списка источников и использованной литературы список составляется в алфавитном порядке, в зависимости от первой буквы фамилии автора.

Например:

Однотомные издания

1. Семенов, В.В. Философия: итог тысячелетий. Философская психология [Текст] / В.В. Семенов, Рос. акад. наук, Пущин. науч. центр, Ин-т биофизики клетки. Акад. проблем сохранения жизни. - Пущино: ПНЦ РАН, 2000. - 64, [3] с.; 22 см. - Рез.: англ. - Библиогр.: с. 60 - 65. - 200 экз. - ISBN 5-201-14433-0.
2. Мюссе, Л. Варварские нашествия на Западную Европу [Текст]: вторая волна / Люсьен Мюссе; перевод с фр. А. Тополева; [примеч. А.Ю. Карчинского]. - СПб.: Евразия, 2001. - 344, [7] с.: ил.; 21 см.- (Barbaricum). - Загл. пер. и корешка: Варварские нашествия на Европу. - Библиогр.: с. 304 - 327. - Указ. имен., геогр. назв.: с. 328 - 337. - Перевод изд.: Les invasions: le second assaut contre l¢Europe Chretienne / Lucien Musset. Paris, 1965. - 2000 экз. - ISBN 5-8071-0087-5 (в пер.).
3. Владимир (Котляров В.С.) Обитель северной столицы [Текст]: Св.-Троиц. Сергиева пустынь: ист. очерк / митр. Санкт-Петербургский и Ладожский Владимир; [послесл. игум. Николая и др.]. - СПб.: Сатисъ: Домострой, 2002. - 222, [1] с., [17] л. ил.: портр.; 24 см. - Библиогр.: с. 207 - 208, библиогр. в примеч.: с. 158 - 185. - 3000 экз. - ISBN 5-7373-0233-4 (в пер.).

Многотомные издания

Документ в целом

1. Гиппиус, З.Н. Сочинения [Текст]: в 2 т. / Зинаида Гиппиус; [вступ. ст.,

подгот. текста и коммент. Т.Г. Юрченко; Рос. акад. наук, Ин-т науч. информ. по обществ. наукам]. - М.: Лаком-книга: Габестро, 2001. - 22 см. - (Золотая проза серебряного века). - На пер. только авт. и загл. сер. - 3500 экз. - ISBN 5-85647-056-7 (в пер.).

2. Т. 1: Романы. - 367 с. - Библиогр. в примеч.: с. 360 - 366. - Содерж.: Без

талисмана; Победители; Сумерки духа. - В прил.: З.Н. Гиппиус / В. Брюсов. - ISBN 5-85647-057-5.

3. Т. 2: Романы. - 415 с. - Содерж.: Чертова кукла; Жизнеописание в 33 гл.;

Роман-царевич: история одного начинания; Чужая любовь. - ISBN 5-85647-058-3.

Газета

1. Академия здоровья [Текст]: науч.-попул. газ. о здоровом образе жизни: прил. к журн. «Аквапарк» / учредитель «Фирма «Вивана». - 2001, июнь - . - М., 2001- . - 8 полос. - Еженед. 2001, № 1 - 24. - 10000 экз.; 2002, № 1 (25) - 52 (77). - 15000 экз.

Журнал

1. Актуальные проблемы современной науки [Текст]: информ.-аналит. журн. / учредитель ООО «Компания «Спутник +». - 2001, июнь - . - М.: Спутник +, 2001- . - Двухмес. - ISSN 1680-2721. 2001, № 1 - 3. - 2000 экз.

Электронные ресурсы

1. Художественная энциклопедия зарубежного классического искусства [Электронный ресурс]. - Электрон, текстовые, граф., зв. дан. и прикладная прогр. (546 Мб). - М.: Большая Рос. энцикл. [и др.], 1996. - 1 электрон. опт. диск (CD-ROM): зв., цв.; 12 см + рук. пользователя (1 л.) + открытка (1 л.). - (Интерактивный мир). - Систем. требования: ПК 486 или выше; 8 Мб ОЗУ; Windows 3.1 или Windows 95; SVGA 32768 и более цв.; 640´480; 4х CD-ROM

ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

Все задания  на домашние контрольные работы составлены в 10 вариантах.  Вариант контрольной работы определяется последней цифрой шифра студента.

Задачи №№ 1 – 10

Вычислите пределы:

Задачи №№ 11 – 20

      Исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики. При исследовании функции следует найти её интервалы возрастания, убывания, точки экстремума. Интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции:

Задачи №№ 21 – 30

      Вычислить неопределённые интегралы и результаты проверить дифференцированием:

Задачи №№ 31 – 40

     Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертёж.

Задачи №№ 41 – 50

Построить ряд распределения случайной величины. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины, заданной законом распределения.

ПРИМЕР РАСЧЕТА ЗАДАЧ В КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

Задачи №№ 1 – 10

Вычислите пределы:

Решение:

• Для вычисления предела подставим вместо х число 3 и вычислим:
• Предел имеет неопределённость вида , поэтому разложим числитель и знаменатель на множители и сократим дробь:

      , чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители используем формулу:

• Предел имеет неопределённость вида , поэтому вынесем множитель за скобку и сократим дробь:

Ответ:

Задачи №№ 11– 20

      Исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и построить их графики. При исследовании функции следует найти её интервалы возрастания, убывания, точки экстремума. Интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции: 

Исследуем функцию по следующему плану:

1. Найти область определения функции
2. Найти точки пересечения с осями координат
3. Найти асимптоты к графику функции
4. Исследовать функцию на чётность, нечётность, периодичность
5. Вычислить производную и определить промежутки монотонности и точки экстремума функции
6. Вычислить вторую производную и определить промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции
7. Вычислить значения функции в дополнительных точках и построить график

Для вычисления производных применим формулу:  и правила вычисления производных:  ,                 .

Решение:

1. Область определения функции:
2. Точки пересечения с осями координат найдём из условия:

• ;
• 

, ,

3. Асимптоты к графику функции могут быть вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Вертикальных асимптот нет, так как нет ограничений по области определения функции.

Горизонтальные асимптоты найдём из условия: , так как предел не равен конкретному числу, то горизонтальных асимптот нет.

Наклонные асимптоты найдём из условия: , так как предел не равен конкретному числу, то наклонных асимптот нет.

4. Чётность, нечётность определим, подставив вместо х в функцию –х:  

Так как , то функция не является чётной.

Так как , то функция не является нечётной.

Функция не является периодической, так как не содержит тригонометрических функций.

5. Вычислим производную:

 ,    

найдём критические точки из условия:

определим промежутки монотонности и точки экстремума функции

Таким образом, функция возрастает на промежутках: ; убывает на промежутке: ; экстремумы функции:

6. Вычислим вторую производную:  

Решим уравнение: ,

определим промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба функции:                                    

Таким образом,  функция выпукла вверх на промежутке: , выпукла вниз на промежутке: .

7. Вычислим значения функции в дополнительных точках и построим график функции:

Задачи №№ 21 – 30

      Вычислить неопределённые интегралы и результаты проверить дифференцированием:

 Решение:

• Для вычисления интеграла применим метод непосредственного интегрирования, используем таблицу интегралов и правила интегрирования:

Проверка (для выполнения проверки используем таблицу производных и правила дифференцирования): 

• Для вычисления интеграла применим метод замены переменной и таблицу интегралов, сделаем замену  , тогда :

Проверка (для выполнения проверки используем таблицу производных и правила дифференцирования):

• Для вычисления интеграла применим метод интегрирования по частям: .  Обозначим через , тогда

Проверка (для выполнения проверки используем таблицу производных и правила дифференцирования):

Ответ:

Задачи №№ 31 – 40

     Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями: . Сделать чертёж.

Решение:

1. Вычислим точки пересечения графиков функций:

2. Сделаем рисунок:

- графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, вершина находится в точке , так как , . Таблица значений функции:

 - графиком является прямая, чтобы её построить нужно две точки:

Построим оба графика и выделим площадь фигуры штриховкой:

3. Вычислим площадь фигуры по формуле: .

 - это левая граница фигуры,  - это правая граница фигуры,

 - это верхняя граница фигуры,  - это нижняя граница фигуры , тогда:

Ответ:  ед2.

Задачи №№ 41 – 50

Построить ряд распределения случайной величины. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины, заданной законом распределения.

Составить закон распределения числа выпавших гербов при трёх бросаниях монеты.

Решение: Рассмотрим какие варианты возможны при трёх бросаниях монеты:

При трёх бросаниях монеты герб может выпасть 0 раз, 1 раз, 2 раза, 3 раза.

Вычислим вероятность каждого из случаев:

• герб выпадет 0 раз (1 случай из восьми):
• герб выпадет 1 раз (3 случая из восьми):
• герб выпадет 2 раза (3 случая из восьми):
• герб выпадет 3 раза (1 случай из восьми):

Построим ряд распределения:

Вычислим математическое ожидание: 

Вычислим дисперсию: 

Вычислим среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины: 

Ответ:   ,        ,  .