Учебный и дидактический материал по теме «ПЛОЩАДЬ»
методическая разработка на тему

Учебный и дидактический материал по теме «ПЛОЩАДЬ».

(Разработан Садохой Г.К.

Данный продукт представляет собой  обобщение материала по теме, включает в себя значительное дополнение учебных пособий не только набором интересных задач, но и новыми методами и приёмами. В конце разработки подобраны контрольные задания, которые рекомендовано включать в контрольные работы по теме «Площадь». Здесь так же подготовлено электронное сопровождение (презентация) и методические указания к ней.

1. Историческое введение. Метод разрезаний и складываний. Основные формулы.

Измерение площадей - одна из самых первых математических задач, возникших в глубокой древности. Среди самых старых древневавилонских клинописных табличек, смысл которых удалось расшифровать, - а их возраст составляет более четырех тысяч лет, - нашлись таблички с расчетами количества зерна, которое требуется для посева в зависимости от площади поля (при заданных расстояниях между рядами и зернами в ряду). Такие расчеты тогда не казались простыми из-за громоздкого способа обозначений больших чисел, в котором особую роль играли числа 6, 10, 60 (от этой “шестидесятеричной” системы до наших дней сохранился обычай делить окружность на 360 частей и измерять углы в градусах).

Долгое время, начиная с формирования математики как науки в Древней Греции, геометрия (“землемерие”) была основным языком математики. Операции над числами – длинами отрезков – выражались геометрическими образами, в частности, произведение двух отрезков a и b – площадью прямоугольника, a · b; произведение числа самого на себя с тех пор так и называется: “квадрат”. Следуя этой древнегреческой традиции, автор знаменитых учебников по арифметике и алгебре Мухаммед Аль-Хорезми (“из Хорезма”) пояснял методы решения квадратных уравнений рисунками, в которых все члены уравнения рассматривались как площади.

Например, на рисунке, объясняющем решение уравнения x2 + 10x = 39 методом “добавления до полного квадрата”, к квадрату  x*x и двум прямоугольникам 5*x (здесь 5 – половина от 10) добавляется квадрат 5*5 – получается квадрат площади 39 + 25 = 64; его сторона равна 8, поэтому x = 3.

(Кстати, как раз по учебникам Аль-Хорезми, написанным в Багдаде в начале IX века, европейские математики познакомились с индийской десятичной системой записи чисел и многими забытыми в Европе математическими правилами.)

С задачами подсчета площадей криволинейных фигур произвольной формы связано развитие одного из основных понятий математического анализа-понятия интеграла.

Мы займемся только самыми простыми фигурами - многоугольниками, и будем в основном говорить о геометрических приемах рассуждений: разберем ряд характерных задач на подсчет и сравнение площадей, а также на использование площади как инструмента в геометрических доказательствах. Среди упражнений и задач немало трудных, требующих длительных размышлений; некоторые интересные факты и формулы, которые в них требуется доказать, открыты сравнительно недавно - в  этом веке или в конце прошлого.

Вначале, не обсуждая тонкости, связанные с определением самого понятия “площадь фигуры”, перечислим его основные свойства и некоторые полезные формулы.

Основные свойства площади

В геометрии и физике мы встречаемся с разными характеристиками, выражающими величину предметов; для них выполняется такое общее свойство: при разбиении на части величина целого равна сумме величин частей. Это свойство называют аддитивностью (от латинского additio – “складываю”). Примеры аддитивных величин: длина отрезка, длина дуги, величина угла, объем, масса, заряд, энергия; свойством аддитивности обладает и площадь фигуры на плоскости. Любую из этих величин можно измерить, т.е. выразить (неотрицательным) числом при условии, что задан “эталон” – единица измерения.

Все формулы  и способы  подсчета площадей можно вывести из небольшого числа основных свойств.

Перечислим эти основные свойства площади. Дальше речь идет только о площадях многоугольников, и мы формулируем эти свойства лишь для многоугольников – фигур, ограниченных ломаными линиями.

А-0. Площадь каждого многоугольника – положительное число.

А-1. Площади равных многоугольников равны.

А-2. Если многоугольник разрезать (отрезками или ломаными) на несколько частей, то его площадь будет равна сумме площадей этих частей. (Свойство аддитивности площади.)

А-3.Площадь квадрата со стороной длины 1 равна 1.

Из основных свойств А-0 – А-3 выводится формула для площади прямоугольника со сторонами a и b:

S◻=ab (1)

- основа для получения всех других формул. Прежде всего из (1) с помощью свойства А-2 (аддитивности) – путем “разрезания” и “складывания” – выводятся формулы для площади параллелограмма и, затем, треугольника

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:

S◻=ah. (2)

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту:

S∆=ah/2. (3)

По поводу последнего правила заметим следующее. Поскольку любую сторону треугольника можно принять за основание, то его площадь можно вычислить тремя способами:

S∆=aha/2=bhb/2=chc/2

(где ha, hb, hc – высоты, опушенные опущенные на стороны a, b, c). Таким образом, из рассмотрения площадей мы получим равенства aha = bhb = chc, в которых площадь уже не участвует. К этому приёму - использованию площади как вспомогательного инструмента для доказательства геометрических соотношений мы вернемся позже.

Используя определение синуса угла, соотношения (2) и (3) можно записать в виде формул, выражающих площадь параллелограмма и треугольника через стороны a, b и угол  между ними:

S◻= absin,                                (2`)

S∆=ab sin/2.                                         (3`)

Любой многоугольник можно (причем разными способами) разрезать на треугольники, поэтому правила вычисления площади  треугольника дают возможность найти площадь любого многоугольника. Приведем ещё три удобные формулы.

Площадь трапеции равна произведению полу суммы её оснований a и b (то есть её средней линии (a+b)/2) на высоту h.

        Два простых доказательства можно восстановить по рисункам (на первом заштрихованный треугольник равновелик трапеции).

        Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей d1, d2 на синус угла  между ними.

Для доказательства достаточно заметить, что sin=sin(1800 - φ), и сложить площади четырёх треугольников, на которых четырёхугольник разрезается диагоналями - рис. 5.

Площадь многоугольника, описанного около окружности радиуса r, равна

Половине произведения радиуса окружности на периметр P:

S=Pr/2.

Часто, особенно для треугольника, периметр обозначают как 2p; тогда формула записывается так:

S=pr,       где p – полупериметр.

Для доказательства достаточно разрезать многоугольник на треугольники с общей вершиной в центре вписанной окружности.

 Все рассмотренные формулы выводятся без вычислений, проведя простые геометрические построения и используя только простейшие свойства площади (A-1 и A-2).

Так, например, если удаётся разбить два многоугольника на одинаковые части, то отсюда вытекает, что их площади равны (то есть эти многоугольники равновелики); иногда проще дополнить фигуры некоторыми одинаковыми кусками, чтобы убедиться, что они равновелики.

На практике поиск изящного, простого разрезания (или дополнения) требует определённой изобретательности. Задачи “на разрезание”, в том числе и очень трудные, часто встречаются в сборниках головоломок. Мы разберём здесь лишь несколько примеров. В первом из них можно увидеть вариант рисунка, с помощью которого древние иллюстрировали формулу (a+b)2=a2+2ab+b2.

Теорема Пифагора (метод разрезания и складывания).

Пусть дан квадрат со стороной a+b. Разрезав его сначала так, как показано на рисунке а), мы получим два квадрата со сторонами a и b и четыре треугольника с катетами a, b и гипотенузой с.

Затем, разрезав тот же квадрат так, как показано на рисунке б), мы получим те же четыре треугольника и квадрат со стороной с (доказать, что это действительно квадрат, можно, повернув рисунок на 900!).

Поскольку площади незаштрихованных частей на рисунках равны, получаем

а2 +b2 =c2.

Задача 1. Через точку, взятую на диагонали AC параллелограмма ABCD, проведены прямые, параллельные его сторонам. Данный параллелограмм делится им на четыре параллелограмма. Два из них пересекаются диагональю AC. Докажите, что два других равновелики.

Решение. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Поэтому:

SABC=SADC, S1=S2, S=S4

(каждый из отрезков AC, AK и KC – диагональ параллелограмма, делящая его на две равные части). Вычитая из первого равенства двух других, получаем, что площади заштрихованных параллелограммов равны.

Задача 2. Через каждую вершину выпуклого четырёхугольника проведена прямая, параллельная его диагонали. Докажите, что полученный параллелограмм по площади вдвое больше четырёхугольника.

Задача 3. Докажите, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению наибольшей и наименьшей из его диагоналей.

Задача 4. В параллелограмме ABCD проведены четыре отрезка – вершина A соединена с серединой стороны BC, вершина B – с серединами сторон DA и AB. Докажите, что четырёхугольник, образуемый этими четырьмя отрезками, - параллелограмм и что его площадь в пять раз меньше данного параллелограмма.

Указание. Прямые BN и DL параллельны, так как BLDN – параллелограмм. Аналогично доказывается параллельность прямых AK и CM. Поэтому четырёхугольник, образованный этими прямыми – параллелограмм. Проведя дополнительное построение, получим “крест”, выделенный на рисунке, он состоит из 5 равных параллелограммов. Треугольники, соединенные стрелками, симметричны относительно середин сторон параллелограмма. Поэтому площадь «креста» и исходного параллелограмма одинаковы.

Можно доказать, что метод «разрезания и складывания» в принципе годится для любых равных по площади многоугольников: всегда можно разрезать один из них на части так, что после перекладывания получится другой.

Но, конечно, для доказательства равенства площадей метод «разрезания» далеко не всегда удобен. В следующих пунктах мы рассмотрим другие способы сравнения площадей.

Упражнения.

1. Докажите, что если K и L – середины сторон AB и BC треугольника ABC, M- любая точка стороны AC, то площадь четырёхугольника KBLM равна половине площади треугольника ABC.

2. Докажите равенство 1/h1 + 1/h2 + 1/h3 = 1/r, где h1, h2, h3 – высоты, r – радиус вписанной окружности.

3. K и L - такие точки на сторонах AB и CD параллелограмма ABCD, что AK = DL. Во сколько раз площадь четырехугольника, являющегося пересечением треугольников ALB и CKD, меньше площади исходного параллелограмма?

4. Отрезки, соединяющие центр окружности с вершинами произвольного описанного шестиугольника, делят его на 6 треугольников, раскрашенных попеременно в черный и белый цвет. Докажите, что суммы площадей черных и белых треугольников равны.

2. Отношение площадей треугольников. Площади подобных фигур.

Во многих задачах используется формула (3) площади треугольника S=ah/2 и ее простые следствия. Перечислим некоторые из них.

С-1. Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то его площадь при этом не меняется.

(На рисунке треугольники ABC, ABD,ABE, ABF имеют общее основание AB и равные высоты,  опущенные на это основание.)

Именно это обстоятельство использовано в классическом доказательстве теоремы Пифагора в «Началах» Евклида. Приведем его.

Пусть в треугольнике ABC угол С – прямой. Докажем, что АС2 + BC2 =AB2.

Разобьем квадрат ABML, построенный на гипотенузе AB, продолжением высоты CH на два прямоугольника, AHKL и BHKM.

Докажем, что площадь первого из них равна площади квадрата ACED, построенного на катете AC, то есть AH*AL=AC2.

Применяя С – 1 к треугольникам ADC и ADB, получаем, что треугольник ADB равновелик половине квадрата ACED; точно так же, применяя С – 1 к треугольникам ACL и AHL, получаем, что треугольник ACL равновелик половине прямоугольника AHKL. Но два заштрихованные треугольника равны (ACL получается из ADB поворотом на 900). Отсюда следует, что квадрат ACED и прямоугольник AHKL равновелики.

Точно так же можно доказать, что площадь второго прямоугольника BHKM равна площади квадрата, построенного на катете BC. Отсюда и следует теорема Пифагора: квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.

Заметим, что теорема Пифагора можно доказать, используя лишь разрезание и складывание.

Почему же Евклид предпочел более хитрое доказательство (использующее «передвигание вершин» С-1)? Возможно, потому, что из него заодно получается полезный промежуточный результат: АС2=АВ*АН (катет есть «среднее геометрическое» между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу; это дает простой способ построения отрезка
b =  по данным отрезкам c и d с помощью циркуля и линейки). Но не исключено, что просто это доказательство казалось Евклиду наиболее поучительным: прием, который в нем употреблен, используется в других случаях.

Методом Евклида можно a) доказать, что для любого треугольника со сторонами a, b, c (у которого оба угла, прилежащие к стороне а, острые) площадь квадрата а * а равна сумме площадей двух прямоугольников b * ab и c * ас, где аb и ас –проекции стороны а на прямые, содержащие b и c соответственно; б) вывести отсюда формулу

a2 = b2 + c – 2bc cos,

где  – угол между ними b и c (“теорему косинусов”).

Вернемся к формуле (2) площади треугольника. Если зафиксировать в формуле S =ah / 2 одну из величин a или h, то его площадь будет пропорциональна другой величине. Отсюда получаем такие утверждения.

С-2. Если треугольники имеют одинаковые основания, то отношения их площадей равно отношению высот, опущенных на эти основания.

С-3. Если треугольники имеют одинаковые высоты, то отношения их площадей равно отношению оснований (сторон, на которые опущены эти высоты).

Из С-3 можно вывести более общее соотношение:

С-4. Если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих этот угол.

Конечно, утверждение С-4 сразу следует также из формулы S= 1/2ab sin для площади треугольника со сторонами a, b и углом  между ними.

Упражнения.

5.  Пусть диагонали выпуклого четырехугольника делят его на четыре треугольника, площади которых равны S1, S2, S3,S4. Докажите, что S1S3=S2S4.

Решение. Согласно свойству С-3, имеем: , откуда S1S3= S2S4.

 Этот результат часто используется при решении различных геометрических задач.

6.  Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей трапеции с её основаниями, равны S1 и S2. Найдите площадь трапеции.

Ответ:

Решение. SABO=SCDO (см. «полезный материал», св-во 7); обозначим эту площадь через S. Из предыдущей задачи  следует: S2=S1 S2, откуда S=. Поэтому SABCD=S1+S2+2.

7. Докажите, что площадь прямоугольного треугольника равна произведению отрезков, на которые делит гипотенузу точка касания вписанной окружности.

8. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О. Найдите его площадь, если SAOB=2, SABC=5, SABD=6.

Площади подобных фигур.

Если разделить стороны треугольника пополам и провести средние линии, то площадь каждого из получившихся меньших треугольников в 4 раза меньше, чем исходного . Вообще, если на лучах АВ и АС отложить отрезки АВ1С 1, согласно свойству С-4, будет в k2 раз больше площади треугольника АВС. Заметим, что треугольник АВ1С1 подобен треугольнику АВС с коэффициентом k: отношения соответствующих друг другу сторон этих треугольников равно k (и углы равны). Итак, отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Такая же теорема верна и для подобных многоугольников. (Напомним, что два многоугольника и вообще две фигуры называются подобными, если каждой точке первого можно поставить в соответствие точку второго так, что расстояние между любыми двумя точками второго отличается в k раз от расстояния между точками первого, которым они соответствуют; k - коэффициент подобия.) В самом деле, подобные многоугольники можно одинаковым образом разрезать на треугольники, причём соответствующие треугольники будут подобны с тем же коэффициентом подобия k. Пользуясь аддитивностью площади, представим площадь каждого многоугольника как сумму площадей составляющих его треугольников: если площадь первого равна S1 + S2+ …= S, то площадь подобного ему (с коэффициентом k) равна k2S1+k2S2+…=k2S.

Теорему о площадях подобных фигур можно сформулировать в таком виде:

площади подобных фигур относятся как квадраты их линейных размеров.

При этом найти ''отношение линейных размеров'' (коэффициент подобия) можно, взяв любые отрезки двух фигур, соответствующие друг другу: стороны или (для треугольника) высоты, радиусы описанных кругов и т.п.  

Соображениями подобия объясняется, почему при изменении единицы  масштаба -  эталона длины – в k раз численное значение площади изменяется в k2 раз: в одном квадратном километре (1000)2 ,т.е. миллион квадратных метров, в квадратном метре – 10000 квадратных сантиметров и т.п.

Те же соображения подобия (или  «соображения размерности») позволяют контролировать формулы для площади: выражение для площади всегда является «однородной функцией степени 2» от линейных размеров фигуры: если все линейные размеры умножить на k, то площадь должна умножиться на k2 .Например, «формулы» для площади треугольника

S = p(p-a)(p-b)(p-c), S = abc / R2 (где a, b, c –стороны, p – половина параметра, R – радиус описанного круга) явно неверны: в первой справа стоит выражение четвертой степени, во второй – первой степени. Правильные формулы:

a) S = p(p-a)(p-b)(p-c)      (формула Герона),

б) S = abc/4R

Задача 1. Докажите эти формулы.

Указания. а) Можно, опустив высоту h на сторону a, найти x, y и h и соотношений x2 + h2 = b2, y2 + h2 = c2 (Теорема Пифагора) и x + y = a

б) При данном R длина c связана с величиной вписанного угла γ, который опирается на хорду c, формулой c=2R sin γ.

Задача 2.

Через точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные его сторонам. Эти прямые делят треугольник на 6 частей, три из которых – треугольники с площадями S1, S2, S3.

Ответ:  ()2

Решение.

Все три треугольника с площадями S1, S2, S3 подобны исходному треугольнику площади S.

Рассмотрим параллельные (скажем, горизонтальные) стороны всех треугольников. Мы видим, что из трех сторон меньших треугольников можно сложить сторону большего, значит, сумма коэффициентов подобия этих треугольников равна 1. Коэффициенты подобия равны,, , поэтому ++=, откуда получаем ответ.

А вот ещё одно доказательство теоремы Пифагора, используя подобие. Треугольники, на которые разрезается прямоугольный треугольник высотой, опущенной на гипотенузу, подобны исходному. Если a,b и c-катеты и гипотенузы исходного треугольника, то коэффициенты подобия меньших треугольников по отношению к большему равны a/c и b/c (это - отношения их к гипотенуз); тем самым отношения их площадей к площади большего равны соответственно (a/c)2 и (b/c)2.Поэтому a2/c2+b2/c2=1, откуда a2+b2=c2.

Упражнения.

9. В треугольнике ABC с углом 0 проведены высоты BK и CL. Во сколько раз площадь SAKL треугольника AKL меньше SABC?

10. От каждой вершины квадрата со стороной 1 отрезается уголок - равнобедренный треугольник с катетом x. Найдите площадь S(x) оставшейся части. При каком значении x оставшаяся часть будет правильным восьмиугольником?

3. Подсчеты с помощью площадей.

Мы видели выше, как с помощью площадей можно доказывать теоремы и решать задачи. Рассмотрим еще несколько примеров, где площадь используется как вспомогательное средство для доказательства геометрических факторов. В этих примерах основную роль играют формулы площади треугольника и следствия С-1 – С4.

Выразив двумя способами площадь треугольника со сторонами а, b, c и углами α, β (против сторон a, b) по формуле(3’) получаем:

ac sin β =  bc sin α,

=.

Это – хорошо известная теорема синусов.

А вот замечательное доказательство теоремы Птолемея:

во всяком вписанном четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство. Пусть a, b, c, d - стороны вписанного четырехугольника ABCD; 2α, 2β, 2γ, 2δ - стягиваемыми ими дуги окружности; m = AC и n = BD – диагонали четырехугольника. Угол ϕ между диагоналями равен полусумме двух дуг, заключенных между его сторонами. Для дальнейшего неважно, какой из двух смежных углов между диагоналями AC и BD мы назовем ϕ - пусть, скажем, ϕ = β + δ, тогда 180° - ϕ = α + γ;

важно лишь, что sin ϕ = sin (180° - ϕ).

Заменим треугольник ABC симметричным ему CB’ A относительно диаметра, перпендикулярного хорде AC. Площади четырехугольников ABCD и AB’CD равны. По формулам (5) и (3’) получаем:

sin ϕ = SAB’D  + SCB’D  = sin ϕ + sin ϕ,

Откуда mn = ac + bd (ведь sin ϕ не равен 0).

Очень просто доказывается с помощью площадей и теорема о том, что биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Пусть ВL – биссектриса треугольника АВС. Поскольку расстояния от точки L до сторон АВ и АС – высоты ∆ АВL и ∆CDL – равны, то

Последнее равенство, а также свойство C-2 можно обобщить следующим образом.

Лемма. Пусть точка L лежит на стороне АС треугольника АВС, М – произвольная точка отрезка BL. Тогда

.

Доказательство. Согласно свойству С-2, имеем

 и

По известному свойству пропорций отсюда получаем:

что и требовалось доказать.

С помощью этой леммы сразу получается такая важная

теорема Чевы.  Пусть точка А1 лежит на стороне BC треугольника ABC, точка B1-на стороне AC, точка С1-на стороне AB. Отрезки AA1,BB1 и CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда 

            (8)

Доказательство.

I. Пусть отрезки AA1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке Р. Согласно лемме,

,,.

Перемножив эти равенства, получим

.

После сокращения в правой части равенства получаем 1, что и требовалось.

II. Пусть, обратно, точки А1, В1 и С1 таковы, что равенство выполнено. Докажем, что отрезки АА1, ВВ1 , и СС1 пересекаются в одной точке. Предположим, что отрезки АА1, ВВ1 пересекаются  в точке Q (а отрезок СС1 через точку Q, быть может и не проходит). Тогда, согласно I, выполняется равенство, аналогичное (8), где С1 заменено на Х – точку пересечения луча СQ со стороной АВ. Но из этого равенства отношение АХ : ХВ находится однозначно, поэтому Х совпадает с С1.

Упражнения.

11. Докажите, что в равнобедренном треугольнике сумма расстояний от любой точки основания до боковых сторон равна высоте треугольника, опущенной на его боковую сторону.

Решение. Пусть боковая сторона данного треугольника равна b, высота, опущенная на неё – h, расстояния от некоторой точки M на основании до боковых сторон – h1 и h2. Соединим точку М с вершиной треугольника. При этом он разобьется на два треугольника, площади которых равны bh/2, то есть bh1 + bh2 = bh откуда h 1 + h2 = h.

12. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки, лежащей внутри правильного треугольника или на его границе, до его сторон равна высоте треугольника.

13. Отрезки АА1, ВВ1 и СС1, проведены из вершин треугольника АВС к точкам на противоположных сторонах, пересекаются в точке Р внутри треугольника. (такие три отрезка называют иногда чевианами этого треугольника).

а) Известно, что АС1/С1В = 2, СА1/А1В = 1/3. Найдите  АВ1/В1С.

б) Известно, что РА1/АА1 = ½, РВ1/ВВ1 = 1/5. Найдите  РС1/СС1.

14. Расстояния от точки D окружности, описанной около правильного треугольника АВС, до вершин А и В  равны 2 и 3. Чему может равняться DC? (Можно использовать  теорему Птолемея).

15. Где внутри правильного треугольника АВС расположены точки, расстояние от каждой из которых до одной из сторон равно сумме расстояний до двух других?

Сопоставляя разные способы подсчёта площадей, можно получать (геометрически!) алгебраические тождества. Вот примеры красивых формул суммирования, связанных с теоремой об отношении площадей подобных фигур.

Разобьём треугольник прямыми, параллельными сторонами, на равные треугольники так, что стороны разбиты на n равных частей (рис.). Подсчитаем общее число полученных треугольников двумя способами. Поскольку площадь большего треугольника в n2 раз больше каждого из маленьких (1/n-коэффициент подобия), то это число равно n2.

С  другой стороны, треугольники расположены рядами, причём в верхнем ряду их один, в каждом следующем- на два больше, а в нижнем их 2n-1.Итак:

                        1+3+5…+ (2n-1) =n2.

Более известную формулу   1+2+ … + (n-1) = n(n-1)/2  

нетрудно объяснить с помощью следующего рисунка.

На третьем рисунке к четырём квадратикам 1*1 приложена каемка из квадратиков 2*2;к полученному квадрату со стороной 3*2-каемка из 4*3=12 квадратиков 3*3; к полученному квадрату со стороной 4*3 (разбив его сторону на три части по 4 единицы) можно приложить каемку из 4*4=16 квадратиков 4*4, к нему- каемку из 4*5 квадратиков 5*5 и т.д., вплоть до каемки из 4n квадратов n*n. В результате получается квадрат со стороной n(n+1). Подсчитаем его площадь, суммируя  площади квадратов:

4+4*2*22+4*3*32+…+4n*n2=n2(n+1)2.

Отсюда получим:

13+23+…+n3=.

Сравнение площадей.

Существует множество геометрических задач о площадях многоугольников, связанных с оценками и неравенствами. Очевидное свойство площади, которое при этом используется, можно назвать «монотонностью»:

Если фигура площади S1 содержится в фигуре площади S2,  то S1 ≤ S2.

(Это свойство можно вывести из «аксиом» А-1 и А-2).

Задача 1.  Проведите через данную точку К внутри данного угла прямую, отсекающую от него треугольник наименьшей площади.

Решение. Докажем, что искомая прямая пересекает стороны угла в таких точках M и N, что MK=KN. (Заметим, что такая прямая существует и притом одна: чтобы найти нужную точку M на стороне m угла, достаточно провести прямую, симметричную другой стороне n относительно K.(рис а))

Пусть M1N1-некоторый отличный от MA отрезок с концами на сторонах угла, проходящий через точку K. Отражая треугольник KNN1 симметрично относительно точки K и сравнивая его площадь с площадью треугольника KMM1, мы видим, что разность Sдобавленного – Sотрезанного в обоих случаях, показанных  на рисунках б) и в), положительна: в первом случае  SKMM1 < SKNN1, а во втором SKMM1 > SKNN1. 

4.  Геометрические решения алгебраических задач.

1) Из условий x2+y2=9, y2+z2=16, y2=x*z  для положительных x,y и z, не вычисляя их значений, указать значение выражения xy+yz.

Решение. Привычное задание решить систему уравнений.

Однако в данном случае нужно, не решая систему, ответить на вопрос, чему равно значение выражения xy+yz. Можно обратить внимание, что x, y и z положительны по условию и, таким образом, возникает подсказка, что задачу можно решить геометрически.

По теореме, обратной теореме Пифагора, числа x, y и z являются соответственно длинами катетов и гипотенузы треугольника ABD с прямым углом D. А рассмотрев второе уравнение системы, можно сделать вывод, что y, z и 4 также есть соответственно длины катетов и гипотенузы треугольника BCD с прямым углом D. Третье уравнение системы разрешает утверждать, что число y есть среднее пропорциональное чисел x и z, и по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике, угол ABC – прямой.

Теперь рассмотрим выражение xy + yz.

xy+ yz =(x+ z)*y =2SABC =3*4=12.

Примечание. Для данной системы уравнений задания могут быть и другие. Например, найти значение выражения x+y+z или в каком отношении находятся числа x и y; z и y; x+z и y.

2) Вычислите  значение y(+ ),если y>0,x+y2=7,25,y2-z=2 и y2=*.

Решение. Во-первых, заметим, что x1 и z2. Действительно, если x= 1 или z=2, то y=0.

Во-вторых, для x>1 и z<2 условия x+y2=7.25 и y2-z=2 можно трансформировать соответственно в уравнения

()2+y2=6.25 и y2+()2=4.

Рассуждая так же, как и в предыдущей задаче, получаем: y(+) =2SABC=2,5*2=5.

3) Для положительных x, y и z из условий x2 +xy +=169, y2+z2=50, x2+xz+=144, не находя  значения x, y и z, вычислите значение выражения xy + yz + zx.

                         +xy +=169

+=25

x2 + xz +=144

По теореме, обратной теореме Пифагора, числа  и 5 являются длинами соответственно катетов и гипотенузы треугольника AOC с прямым углом AOC. Числа x,  и 13 есть длины сторон треугольника AOB с углом AOB, равным 1350. Этот вывод можно сделать, используя теорему, обратную теореме косинусов. Аналогично, x, и 12 есть длины сторон треугольника BOC с углом BOC, равным 1350. Поскольку 52 + 122 = 132 , то в треугольнике ABC угол ACB = 900.

Теперь найдем площади треугольников AOB, AOC, BOC, ABC.

SAOB  = sin 1350 = xy

SAOC =

SBOC =  ° =

SABC =

 Видно, что значение выражения xy + yz + zx равно учетверенной площади треугольника ABC.

Итак,  xz + yz + zx = 120.

4) Для положительных x, y и z, не вычисляя их значения из системы уравнений

+ xy +  , z2 +xz + x2 = 16, определите величину xy + 2yz +3xz.

Рассуждая так же, как и в задаче 3, получаем:

Так как площадь треугольника ABC равна 6, то

5) Имеет ли система уравнений

Решения для x>0, y>0, и z>0?

Допустим, что есть такая тройка положительных чисел x, y, z, удовлетворяющая каждому уравнению данной системы. Тогда возможна её геометрическая интерпретация, как в задаче 3.

Но такого треугольника ABC не может быть, так как не выполняется неравенство треугольника. Значит, система не имеет решений.        

6) Решите систему уравнений:

y =48

x + y +=24

Решение. Нетрудно убедиться, что x и y положительны. Поскольку y2  + ()2=x2 , то числа y,  и x являются длинами соответственно катетов и гипотенузы треугольника ABC с прямым углом ACB.

Площадь этого треугольника 24 кв.ед., а его периметр 24 ед. Поэтому радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен 2.Так как длина гипотенузы AB равна сумме длин катетов AC и BC без удвоенной длины радиуса вписанной в треугольник окружности, то x = у + - 4. Из второго уравнения системы получаем x=10. Значит, у=6 или у=8.

Ответ:(10;6), (10;8).

7) (районная олимпиада 2001г. 11 клacc.)

Пусть x, y, z –положительные числа. Доказать, что справедливо хотя бы одно из следующих неравенств:

16xyz( x + y + z ) ≤ 3( x + z )2( x + y )2

16xyz( x + y + z ) ≤ 3( y + x )2( y + z )2

16xyz( x + y + z ) ≤ 3( z + x )2( z + y )2

Решение: Пусть a=x+y, b=y+z, C=z+x.

Тогда a+b-c=2y>0, b+c-a=2z>0, c+a-b=2x>0 и из отрезков с длинами a, b, c можно составить треугольник, площадь S которого будет равна (по формуле Герона)

С другой стороны, хотя бы один из углов треугольника не превосходит 600 и, следовательно, справедливо хотя бы одно из неравенств:

S≤, S≤, S≤.

Контрольные  задачи

1. Докажите, что площадь трапеции равна произведению одной их боковых сторон боковых сторон на длину перпендикуляра, опущенного на неё из середины другой боковой стороны.

2. Докажите, что: площадь выпуклого четырёхугольника вдвое больше площади параллелограмма с вершинами в серединах его сторон.

3. На основаниях AB и CD трапеции ABCD взяты точки K и L.пусть E – точка пересечения отрезков AL и DK; F- точка пересечения отрезков BL и CK.Докажите равенство SAED + SBFC = SKELF.

4. Дан треугольник KMN. Продолжим его сторону MK за вершину K отрезком KA таким, что KA = MK, NM - за вершину M отрезком МВ таким, что, KN – за вершину

N отрезком NC = KN. Во сколько раз площадь треугольника ABC больше площади

треугольника KMN?

5. В каком отношении прямая, параллельная основанию треугольника и делящая его площадь пополам, делит его высоту?

6. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если известны радиусы r1и r2 окружностей, вписанных в два треугольника, на которые высота, проведенная из вершины прямого угла, делит этот треугольник.

7. Докажем для любой точки M внутри параллелограмма ABCD равенство SAMB + SCMD=SBMC+SDMA. 

8. Пусть прямая, параллельная диагонали AC выпуклого четырехугольника ABCD и

проходящая через его середину диагональ BD, пересекает сторону AD в точке E. Докажите, что прямая EC делит площадь четырехугольника ABCD пополам.

9. В трапеции ABCD (AB ׀׀ CD) на диагонали AC взята точка P и через нее проведена прямая MN, параллельно прямой AB (точка M лежит на прямой AD, точка N – BC. Где на прямой AC надо взять точку P, чтобы сумма площадей треугольников APM и CPN была наименьшей?

10. Докажите, что если каждая диагональ делит площадь четырехугольника пополам,

то этот четырехугольник – параллелограмм.

11. Выразить xy+yz+zx через a,b,c.

Методические рекомендации использования электронного приложения.

При направляющей роли учителя школьники могут самостоятельно сформулировать новые для них факты и даже доказывать их. Всё располагает к самостоятельному поиску и повышать интерес к изучению предмета. Предоставляя возможность осмыслить материал, учитель развивает геометрическую интуицию. Ученику необходимо давать время на размышления, учить рассуждать, выдвигать гипотезу. Задачи, предлагаемые в данном курсе интересны и часто не просты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся и проверить свои способности к математике. Вместе с тем, содержание курса позволяет ученику любого уровня активно включаться в учебно–познавательный процесс и максимально проявить себя.

Начать занятия следует с истории. В качестве вступления демонстрируется применение площадей при доказательстве формулы сокращённого умножения и решении квадратного уравнения в древности.

Затем, не обсуждая тонкости, связанные с определением понятия площади фигуры, перечислить основные формулы. Обратить внимание, что полезно не только знать формулы, но и уметь вывести, поэтому большинство из них доказываются по ходу презентации (оставить пока без доказательства формулу Герона).

На следующем этапе решать нетрудные, но важные  задачи, которые затем использовать как «ключевые задачи».

Разбирая I тему курса «Метод разрезаний и складываний», обратить внимание, что этим методом доказывается большинство формул, разобранных выше, продемонстрировать эффектное доказательство теоремы Пифагора. Затем предложить решить ряд задач, на которых продолжается отработка этого приёма.

Предложенные в презентации задачи сопровождаются необходимой анимацией, кнопками перехода на соответствующие разделы «Основные формулы», «ключевые задачи». По усмотрению учителя часть задач 1 – 4 можно предложить для домашней или самостоятельной работы с последующим разбором.

Название II раздела  как и предыдущего соответствует методу,  который используется в решении задач и доказательстве теорем «Отношение площадей треугольников. Площади подобных фигур». Здесь нужно повторить свойства 4 – 7 из «ключевые задачи» и решать задачи 5 – 10.

На следующем этапе разобрать доказательство теоремы Пифагора, изложенное в «Началах Евклида», познакомить учащихся с приёмом, который в последствии используется для установления свойств                                   и доказательства теоремы косинусов.

Затем обратить внимание, что рассмотренные теоремы используют площадь только как средство для доказательства (а не цель) – таким образом, происходит переход к III разделу « Подсчёты с помощью площадей». Здесь в задачах и теоремах площадь вводится как вспомогательный инструмент, учащиеся овладевают красивым приёмом решения задач, причём не только геометрических (методом площадей). Теорема Птолемея, теорема синусов, свойство биссектрисы треугольника, теорема Чевы и ряд задач демонстрируют метод.

Кульминацией раздела можно считать доказательство алгебраических формул методом площадей (обычно они доказываются с помощью математической индукции).

                         - завершение презентации.

служат как справочный материал, переход к ним и возврат – по кнопкам.

Презентация составлена не на весь материал: в IV разделе «Геометрические решения алгебраических задач» и некоторых задачах предыдущих разделов целесообразнее использовать обычную доску. Многие алгебраические задачи (решение систем уравнений) своими средствами не решаются или решаются очень сложно, а применение метода площадей даёт короткое решение. Задачи такого плана – пример удачной интеграции алгебры и геометрии, возможность продемонстрировать красивый метод решения олимпиадных задач. С сильной группой учащихся можно рассмотреть сравнение площадей.