Методология моделирования квантово-механических процессов.
методическая разработка по теме

Методология моделирования квантово-механических процессов.

Монова Н.Д. преподаватель физики

 СПб.ГБПОУ колледж отраслевых технологий «Краснодеревец»,

ФГБОУ ВПО “Российский Государственный Педагогический Университет  им. А.И.Герцена”

Аннотация

       В данной статье приведена методология  моделирования  квантово-механических процессов, широко используемых при изучении пространственных и временных эхо  процессов, а также  атомной и ядерной физики. Опыт показывает, что у студентов технических специальностей уравнение Шрёдингера и решение связанных с ним задач  вызывает трудности. Поэтому необходимо закрепление навыков в решении квантово-механических задач. Интересен вывод о существовании нулевых колебаний вблизи абсолютного нуля.

          Практикум по решению физических задач на тему квантовые и волновые процессы, является одной из основных  частей курса общей физики, занимает важное место в системе университетской подготовки специалистов и играет важную роль в ознакомлении студентов с теоретическими основами фундаментальных законов и явлений физике.        

          В развитие идеи де Бройля о волновых свойствах вещества Шрёдингер получил в 1926 г. своё знаменитое уравнение [2]. Положение частицы в пространстве в данный момент времени определяется в квантовой механике заданием волновой функции :

Вид функции получается из решения уравнения Шрёдингера:

                  (1)

 m- масса частицы

 i  - мнимая единица

- оператор Лапласа

 U – потенциальная энергия частицы

 F -  сила, действующая на частицу

           Уравнение Шрёдингера является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики.  Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, то функция   U  не зависит явно  от времени и имеет смысл потенциальной энергии.  В этом случае решение уравнение Шрёдингера распадается на два множителя, один из которых зависит только от координат, другой только от времени:

     (2)

E  -  полная энергия частицы, которая в случае стационарного поля остается постоянной.

Чтобы убедиться в справедливости  выражения (2) подставим его в исходное уравнение (1). В результате получим уравнение Шрёдингера для стационарных состояний, определяющего волновую функцию координат:

                                                      (3)

Рассмотрим  свободно движущуюся частицу. Согласно идее де Бройля ей можно сопоставить плоскую волну

                                                                 (4)

Введем обозначения

 - энергия фотона

 -  импульс фотона, тогда

Запишем уравнение Шрёдингера в операторном виде

,                                                                             (5) 

 где  

             Правильную интерпретацию волновых функций дал Борн в 1926г. Согласно Борну квадрат модуля волновой функции определяет вероятность того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV

                                         (6)

А - коэффициент пропорциональности.

Интеграл от выражения  (5), взятый по всему  объему, должен равняться  единице:

   (7)

Действительно, этот интеграл дает вероятность того, что частица находится водной из точек пространства, т.е. вероятность достоверного события, которая равна единице.

 - условие нормировки. Функции, удовлетворяющие этому условию, называются нормированными. Квадрат модуля волновой функции  волновой функции дает плотность вероятности (вероятность, отнесенную к единице объема) нахождения частицы в соответствующем месте пространства.

            Уравнение Шрёдингера позволяет найти волновую функцию данного состояния и,  следовательно, определить вероятность нахождения частицы в различных точках пространства. Однако этим далеко не исчерпывается значение указанного уравнения. Из уравнения  (5) и условий, налагаемых на волновую функцию, непосредственно вытекают, во-первых, правила квантования энергии. Во-вторых, в соответствии со своим смыслом волновая функция должна быть однозначной, непрерывной и конечной (за исключением, может быть, особых точек). В-третьих, она должна иметь конечную и непрерывную производную. Совокупность перечисленных требований носит название  стандартных условий.

             В уравнение Шрёдингера входит в качестве параметра полная энергия частицы Е. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что  уравнения вида (5) имеют решения, удовлетворяющие стандартным условиям, не при любых значения параметра (т.е. энергии  Е), а лишь при  некоторых избранных значениях [3]. Эти значения называются собственными значениями соответствующей величины (в нашем случае энергии). Решения, соответствующие собственным значения , называются собственными функциями задачи . Таким образом, квантование энергии получается  из основных положений квантовой механики.

             Рассмотрим несколько задач на нахождение волновой функции, определения собственных значений и собственных функций оператора Гамильтона, рассчитанных на студентов, начинающих специализироваться по теоретической физике, с целью выработки у них профессиональных навыков.

             Задача 1.

Найти волновые функции и значения энергии частицы массы m, находящейся  в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме шириной  а .

Предположим, что частица может двигаться только вдоль оси х. Пусть движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками:  х=0 и х=а. Потенциальная энергия  U=0 при   и обращается  в бесконечность при  х  0  и х  а. Потенциальная энергия U имеет вид

Рис 1

          Рассмотрим уравнение Шрёдингера (3). Волновая функция зависит от одной координаты  x. Тогда уравнение можно преобразовать к виду:

  (8)

         За пределы потенциальной ямы частица попасть не может. Поэтому вероятность обнаружить частицы вне ямы равна нулю. Соответственно и волновая функция  за пределами ямы равна нулю. Из условия непрерывности следует, что  должна быть равна нулю и на границах ямы, т.е. что

=0

Это и есть то условие, которому должны удовлетворять решения уравнения (8). В области, где  не равна тождественно нулю, уравнение  (8) имеет вид

  (9)

(в этой области  U=0). Введем обозначение

,

и уравнение примет хорошо известный вид в теории колебаний:

             (10)

Решение этого уравнение имеет вид

  (11)

Граничным условиям можно удовлетворить соответствующим выбором постоянных  k и . Прежде всего из условия получаем

,

Откуда следует, что =0. Далее должно выполняться условие

  ,        

                     (12)

Исключив k из уравнений найдем собственные значения энергии частицы:

         (13)

Спектр энергии оказался дискретным. На рисунке 1 б изображена схема энергетических уровней. Оценим расстояния между соседними уровнями для различных  значений частицы массы m и ширины ямы a. Разность энергий двух соседних уровней равна

                   (14 )

Если взять    -   порядка массы молекулы, а -  порядка 0,1 м    (молекулы газа в сосуде), получается

Столь густо расположенные энергетические уровни будут практически восприниматься как сплошной спектр энергии, так что хотя квантование энергии в принципе будет иметь место, но на характере движения молекул сказываться не будет.

             Однако совсем иной результат получается для электрона, если область, в пределах которой он движется, будет порядка атомных размеров

. В этом случае

,

Так что дискретность энергетических уровней будет весьма заметной.

Подставив в (11) значение k, получающееся из условия (12) найдем собственные функции задачи:

Для нахождения коэффициента А воспользуемся  условием нормировки:

.

В результате получим    . Таким образом, собственные функции имеют вид

Графики собственных функций изображены на рис2а. На рисунке 2б изображена плотность вероятности  обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы. Из графиков, например, следует, что в состоянии n=2 частица не может быть обнаружена в середине ямы и вместе с тем одинаково  часто бывает как в левой , так и в правой1 половине ямы. Такое поведение частицы, очевидно, несовместимо с представлением о траекториях. Отметим, что все положения частицы в потенциальной яме равновероятны.

Рис 2

Задача 2

Задана волновая функция частицы . Написать выражение для вероятности Р того, что частица будет обнаружена в области объема V.

Ответ:              

Задача 3

Чем обусловлено требование конечности волновой функции уравнения Шрёдингера.

Задача 4

Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике шириной L. Вычислить вероятность того, что электрон, находящийся возбужденном состоянии (n=2), будет обнаружен в средней трети ящика.

Задача 5

На узкую щель шириной а=1мкм направлен параллельный пучок электронов, имеющих скорость v=3,65 Мм/с. Учитывая волновые свойства электронов, определить расстояние x между двумя максимумами интенсивности первого порядка в дифракционной картине, полученной на экране, отстоящем на  L=10 см от щели.

Задача 6

Определить длины волн спектральных линий, возникающих при переходе возбужденных атомов лития из  состояния 3S в основное состояние 3S. Поправки Ридберга для S и P- термов равны: -0,41 и -0,04.

Задача 7

Написать решение уравнения Шрёдингера  частицы с энергией Е, движущейся в положительном направлении оси х в областях I, II, III, если на границах этих областей имеется прямоугольный потенциальный барьер высотой и шириной  l. Определить коэффициенты отражения и  прохождения (коэффициент прозрачности).

Задача достаточно сложна и требует подробного решения.

         Пусть частица, движущаяся слева направо, встречает на своем пути потенциальный барьер высотой и шириной l рис 3.

Рис 3

Согласно классическим представлениям механическое движение частицы имеет следующий вид:

1. если энергия частицы больше высоты потенциального барьера, то частица беспрепятственно проходит над барьером  (на участке лишь уменьшается скорость частицы, но затем при x>l  снова примет первоначальное значение)

2.если же энергия частицы  меньше высоты барьера (как показано на рисунке), то частица отражается от барьера и летит в обратную сторону; сквозь барьер частица приникнуть не может.

              Совершенно иначе выглядит поведение частицы согласно квантовой механике. Во-первых, при Е> имеется отличная от нуля вероятность того, что частица отразится от барьера и полетит в обратную сторону. Во-вторых, при Е<имеется отличная от нуля вероятность  того, что  частица проникает сквозь барьер и окажется в области, где x>l . Такое, совершенно невозможное с классической точки зрения,  поведение микрочастицы вытекает непосредственно из уравнения Шрёдингера.

               Рассмотрим случай Е<. В этом случае уравнение Шрёдингера имеет вид

         (15)

для областей I и III и

   (16)

для области II, причем < 0.

Будем искать решение уравнения (15) в виде  . Подстановка этой формулы в уравнение (15) приводит к характеристическому уравнению

      (17)

Отсюда , где .

Таким образом, общее решение уравнения (15) имеет вид

      для области I,

     для области III.

Для области II аналогичным образом получим общее решение уравнения в виде

, где    

В области  III имеется только волна, прошедшая через барьер и распространяющаяся слева направо. Поэтому коэффициент  следует положить равным нулю. Для того чтобы  была непрерывна во всей области изменения  х,  должны выполняться условия

и .

Второе условие

 и  

Из этих условий получается система уравнений [1]. Решая ее можно определить:

- отношение квадратов модулей амплитуд отраженной и падающей волн, которая определяет вероятность отражения частицы от потенциального барьера, называемого коэффициентом отражения

.

-   отношение квадратов модулей амплитуд прошедшей и падающей волн, определяемое вероятность прохождения частицы через барьер

       и может быть названо коэффициентом прохождения (или коэффициентом прозрачности).  Коэффициенты связаны очевидным соотношением  R+D=1.

;    ;

                          (18)

Из приведенного выражения следует, что вероятность  прохождения частицы через потенциальный барьер сильно зависит от ширины барьера и от его  превышения над E, т.е. от  . Если при ширине барьера коэффициент прохождения D равен, допустим, 0,01, то при увеличении ширины  в два раза D*0,01=0,0001, т.е уменьшается в 100 раз. Тот же эффект в этом случае вызвало бы возрастание в четыре  раза величины . Коэффициент прохождения резко уменьшается  при  увеличении массы частицы m.

          Соответствующий расчет дает, что в случае потенциального барьера произвольной формы рис 4 предыдущая формула должна быть заменена более общей

, где .

Рис 4

            При преодолении потенциального барьера частица как бы проходит через “туннель” в этом барьере (заштрихованная область на рисунке), в связи с чем рассмотренное явление называется  туннельным эффектом.

            С классической точки зрения туннельный эффект представляется абсурдным, так как частица, “ находящаяся в туннеле” должна бы обладать отрицательной кинетической энергией  (в туннеле Е

принципу неопределенности. Действительно, тот факт, что частица обладает определенной кинетической энергией, был бы равнозначен тому, что частица имеет определенный импульс.

Задача 8

Написать уравнение  Шредингера для линейного гармонического осциллятора. Учесть, что сила, возвращающая частицу в положение равновесия,  F= - kx (где k- коэффициент пропорциональности, х-смещение).

Для потенциального поля сила связана с потенциальной энергией следующим соотношением

   , тогда              (19)

где      , m – масса частицы.

Уравнение Шрёдингера для осциллятора выглядит следующим образом:

                                                (20)

где E- полная энергия осциллятора.

Решения этого уравнения – собственные (волновые) функции линейного гармонического осциллятора

,   где n=0,1,2,…- квантовое число

- полином Эрмита n-го порядка

Собственные функции для n=0,1,2:

                                                                  (21)

Собственные значения энергии линейного гармонического осциллятора

, (n=0,1,2,…) ,  где - собственная циклическая частота, представляющая  собой савокупность равноотстоящих друг от друга энергетических уровней, изображенных на рисунке 5.

                                                         Рис 6

              Для наглядности уровни вписаны в кривую потенциальной энергии. Уровни энергии гармонического осциллятора являются эквидистантными, т.е. отстоящими друг от друга на одинаковое расстояние. Наименьшее возможное значение энергии равно . Это значение называется нулевой энергией, указывающей на то, что и при абсолютном нуле колебания атомов в кристаллической решетке не прекращаются. Квантовая механика позволяет вычислить вероятности различных переходов квантовой системы из одного состояния в другое. Подобные вычисления показывают, что для гармонического осциллятора возможны лишь переходы между соседними уровнями. При таких переходах квантовое число  n изменяется на единицу.

                       (22)

Условия, накладываемые на изменение квантовых чисел при переходах системы из одного состояния в другое, называются правилами отбора. Из правил отбора следует, что энергия гармонического осциллятора может изменяться только порциями. Согласно квантово-механическим представлениям нулевая энергия  является характерным признаком  любой системы частиц. При температурах, близких  к абсолютному нулю, вещество находится в конденсированном состоянии и его атомы (молекулы или ионы) рассматриваются как колеблющиеся осцилляторы [4]. Нулевая энергия является наименьшей энергией, которой должен обладать квантовый осциллятор в наинизшем энергетическом состоянии (при n=0).

Литература

1.Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика. М. :ФИЗМАТЛИТ, 2001.-304с.

2.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Курс теоретической физики: Т 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория), М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008.-800с.

3. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.3, М.: КРОНУС, 2009-368 с.

4.Яворский Б.М. Детлаф А.А. Справочник по физике .- М.: Наука. Физматлит, 1996.-624с.