Математика в архитектуре.
статья на тему

Математика в архитектуре.

Морозова В.И

Тесная связь математики и архитектуры известна давно. В древней Греции геометрия считалась одним из разделов архитектуры. Только неотступно следуя законам геометрии, архитекторы древности могли создавать свои шедевры. Архитектура триедина: она извечно сочетает в себе логику ученого, ремесло мастера и вдохновение художника. «Прочность – польза – красота» такова знаменитая формула единого архитектурного целого, выведенная два тысячелетия тому назад древнеримским теоретиком зодчества Витрувием (I век до н.э.). Люди с древних времен, возводя свои жилища, думали не только об их прочности, но и красоте. Роль математики в формировании «прочности» и «пользы» архитектуры очевидна, но третий критерий «красоту» тоже невозможно представить себе без математических понятий. Современный архитектор должен быть знать аналитическую геометрию и математический анализ, основы высшей алгебры  и теории матриц, владеть методами математического моделирования и оптимизации. Архитектура – удивительная область человеческой деятельности. Это искусственная среда человеческого обитания, созданная разумом и руками человека. Архитектура сопровождает человека в его историческом развитии, в ней отражаются мировоззрение, ценности и знания людей различных исторических эпох.

Геометрические формы. 

Прочность сооружения зависит не только от материала, но и от геометрической формы конструкции, которая используется в качестве базовой основы. Самым прочным архитектурным сооружением с древних времен считаются египетские пирамиды, которые имеют форму правильных четырехугольных пирамид, что обеспечивает наибольшую устойчивость за счет большой площади основания и уменьшения массы по мере удаления высоты над землей. Не случайно говорят, что пирамиды – немой трактат по геометрии. На смену пирамидам пришла стоечно-балочная система, сооружения, которые состоят из вертикальных стоек и покрывающих их горизонтальных балок. Первыми такими сооружениями были культовые сооружения – дольмен и кромлех. Дольмены можно увидеть на Северном Казказе, а самый знаменитый кромлех  в местечке Стоунхендж в Англии. Большинство строений и в наше время имеют стоечно-балочную конструкцию. Камень плохо работает на изгиб, но хорошо работает на сжатие. Это привело к использованию в архитектуре арок и сводов. С появлением арочно-сводчатой конструкции в архитектуру прямых линий и плоскостей, вошли окружности, круги, сферы и круговые цилиндры. Полусферический купол имеет Пантеон – храм всех Богов в Риме. Диаметр купола составляет 43м. Арочно-сводчатая конструкция позволяла древнеримским архитекторам возводить гигантские сооружения из камня. К ним относится знаменитый Колизей или амфитеатр Флавиев, а так же гигантские термы Каракаллы и Диоклетиана, вмещавшие одновременно до 3 тысяч посетителей и, конечно же, система арочных водоводов-акведуков, общая протяженность которых составляла 60 км. Следующим этапом развития архитектурных конструкций явилась каркасная система. Ярким примером таких сооружений являются известные башни:  телебашня в Шаболовке и Эйфелева башня в Париже (прародительница современного архитектурного стиля «Хай Тек»). Телебашня на Шаболовке состоит из нескольких поставленных друг на друга частей однополостных гиперболоидов. Часто геометрические формы являются комбинациями различных геометрических тел. Здание клуба имени И.В.Русакова в Москве построено в 1929 году по проекту архитектора К.Мельникова. Базовая часть здания представляет собой прямую невыпуклую призму. Призма является невыпуклой, благодаря выступам, которые заполнены вертикальными рядами окон. При этом гигантские нависающие объемы также являются призмами, только выпуклыми. Геометрическая форма сооружения иногда определяет и название здания. Так, здание военного ведомства США носит название Пентагон, так как сверху он имеет вид правильного пятиугольника. В Спасской башне Московского кремля в основании можно увидеть прямой параллелепипед, переходящий в средней части в фигуру, напоминающую цилиндр, а завершается башня пирамидой. И более мелкие детали: циферблаты курантов – круги; основание крепления рубиновой звезды – шар; арки бойниц – полукруги и т.д. Таким образом, можно говорить о различных пространственных геометрических фигурах, которые служат основой сооружения в целом или отдельных его частей, а также плоских фигурах, которые обнаруживаются на фасадах зданий. Церковь Ильи Пророка в Ярославле была построена в середине 17 века. При ее создании зодчие использовали как шатровые покрытия, так и купола в виде луковок. В готических формах широко использовались пирамиды и конусы, устремленные ввысь, поражавшие своей величественностью. Когда художником – архитектором осуществляется поиск гармонической формы, по словам Ю.С.Лебедева, «все сводится в итоге к операциям геометрическими законами». Выдающийся французский архитектор Шарль Ле Корбюзье писал: «Нужно найти такое геометрическое описание конкретного произведения, которое имеет для него особое значение, которое внесет в него стройность и определенность». По его мнению, «геометрия есть средство, с помощью которого мы воспринимаем среду и выражаем себя».  Современный архитектурный стиль, благодаря возможностям современных материалов, использует причудливые формы, которые воспринимаются нами через их сложные, изогнутые поверхности. Чтобы представить эти поверхности достаточно увидеть творчества Антонио Гауди, а так же культовый Сиднейский Оперный театр, который спроектировал датский архитектор Йорн Утэон.  Как и многие нетрадиционные дизайнеры Уэтон говорил: «Меня не волнует, сколько это стоит, меня не волнует, что это вызывает скандал, меня не волнует, сколько времени это займет, а волнует, что это – то, что я хочу». Это заняло 16 лет, причем   целых шесть лет Утэон  выводил реальную формулу геометрической модели изгибающихся треугольников на сфере, по которой была построена основа под крышу, которая выглядит сейчас как открытые паруса. Культовые здания (Небоскреб Мэри-Экс (The Gherkin) в Лондоне; Кубические дома (Kubuswoning) в Роттердаме; Собор Святого Семейства (Sagrada Familia) и Павильон Endesa в Барселоне), известные во всем мире,  были спроектированы благодаря математике, которую можно считать гением архитектуры.                                      

Симметрия.  Это слово  произошло от греческого слова symmetria  - совершенство. Симметрия воспринимается человеком как проявление закономерности, а значит внутреннего порядка. Внешне этот внутренний порядок воспринимается как красота. Наиболее ярко симметрия проявляется в античных сооружениях Древней Греции, предметах роскоши и орнаментов, украшавших их. Существует зеркальная симметрия – это тип симметрии объекта, когда объект при операции отражения переходит в себя. Это математическое понятие в оптике описывает соотношение объектов и их (мнимых) изображений при отражении в плоском зеркале. Проявляется во многих законах природы (в кристаллографии, химии, физике, биологии и т. д., а также в искусстве и искусствоведении). Центральная или  поворотная симметрия – когда переход частей в новое положение и образование исходной фигуры происходит при повороте этой фигуры на определенный угол вокруг точки, которая обычно называется центром поворота. Еще одним видом симметрии является переносная симметрия, когда части целой формы организованы таким образом, что каждая следующая повторяет предыдущую и отстоит от нее на определенный интервал в определенном направлении. Этот интервал называют шагом симметрии. В произведениях архитектурного искусства ее можно увидеть в орнаментах и решетках, которые используются для их украшения. Соблюдение симметрии является первым правилом архитектора при проектировании любого сооружения. Например, Казанский собор в Санкт-Петербурге.  Если мысленно провести вертикальную линию через шпиль на куполе и вершину фронтона, можно увидеть, что с двух сторон от нее абсолютно одинаковые части сооружения. Кроме симметрии в архитектуре можно рассматривать антисимметрию и диссиметрию. Антисимметрия  - это отсутствие симметрии, примером является Собор Василия Блаженного, где симметрия отсутствует полностью в сооружении в целом. Однако отдельные части этого Собора  симметричны и это создает гармонию. Диссиметрия – это частичное отсутствие симметрии, расстройство симметрии, выраженное в наличии одних симметричных свойств и отсутствии других. Примером диссимметрии может служить Екатерининский дворец в Царском селе под Санкт-Петербургом. В нем практически  полностью выражены все свойства симметрии за исключением одной детали. Наличие Дворцовой церкви расстраивает   симметрию здания в целом.

Золотое сечение в архитектуре. Золотое сечение или гармоническая пропорция  -  это  пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором  весь отрезок так относится к большей части, как самая большая его  часть относится к меньшей части.   Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Ярким примером этого явления в архитектуре является один из красивейших произведений древнегреческой архитектуры Рарфенон.  Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Известный русский архитектор М.Казаков в своем творчестве также широко использовал «золотое сечение»,  которое можно наблюдать в архитектуре здания сената в Кремле.                            

 Математическое моделирование, в том числе и с использованием ЭВМ, применяется для расчета поведения сложных архитектурных и градостроительных объектов  и систем во времени. Сюда относится линейное и нелинейное программирование, динамическое программирование, приемы оптимизации, методы интерполяции и аппроксимации, вероятностные методы и многое другое. Применение этих методов в архитектуре позволяет избегать ошибок при строительстве, более рационально использовать ресурсы, при минимальных затратах добиваться более значительных результатов. Необходимо также помнить и  главный принцип математики: «Нельзя объять бесконечное (время, пространство, информацию и т.д.), но можно досконально (на самом деле – с любой степенью точности) изучить строение материальных объектов и поведение процессов и явлений в малых областях». Математика предлагает архитектору ряд, так называемых, общих правил организации частей в целое, которые помогают: расположить эти части в пространстве, так, что в них появлялся порядок; установить определенное соотношение между размерами частей и задать для изменения размеров определенную единую закономерность, что обеспечивает восприятие целостности и представление о порядке; выделить определенное место в пространстве, где будет размещаться сооружение, описать его определенной математической формой, которая также позволит его выделить из других сооружений и внести в их состав, создав новую композицию, новый архитектурный ансамбль.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           Ле Корбюзье был уверен, что «произведение искусства есть тоже математика, и ученый вполне может применить к произведению искусства ее беспощадные умозаключения и неумолимые формулы». В работе «Архитектурная бионика» (под ред. Ю.С.Лебедева) М.Шарафин пишет: «Серьезно занимаюсь живописью, Ле Корбюзье создал серию картин, композиция которых подчинена определенной системе геометрического построения. С этой системы, в которой используются два математических принципа – правило вписанного прямого угла и золотое сечение, и началась разработка его Модулора», определяющего пропорции человека. Выдающийся физик современности А.Эйнштейн, давая оценку Модулару в записке к Ле Корбюзье, писал, что «это гамма пропорций, которая делает зло трудно – а добро легковыполнимым». Однако. Когда речь идет о реальном использовании математики при поиске форм в архитекруре и искусстве, то здесь возникает проблема, о которой пишет Ю.С.Лебедев6 «вся трудностть заключается в том, что мы не научились владеть математикой настолько, чтобы создавать при ее помощи в архитектуре и искусстве то, что мы себе намечаем».  До определенного момента истории математика и архитектура развивались в тесной взаимосвязи. В 17 веке инженерные науки окончательно отделились от архитектуры. Изобретение компьютера в 50-х годах прошлого столетия послужило отправной точкой для замыкания цепи и обратного проникновения математики в архитектуру. Для того, чтобы ликвидировать разрыв, необходимо было вновь ввести математические методы в архитектурное проектирование. Увеличение в архитектуре доли точных наук есть показатель того. Что она переходит из ряда ремесел в разряд профессий. На языке архитектуры можно сказать. что математика – это грандиозное мысленное сооружение, которое в свернутом, понятийном, символьном виде моделирует окружающий нас мир и происходящие в нем явления. Фундамент этого сооружения образуют неопределяемые понятия, а «тектоника» определяется теми логическими связями, которые вводятся между этими понятиями. Все сказанное говорит о том, что архитектура и математика, являясь соответствующими  проявлениями человеческой культуры, на протяжении веков активно влияли друг на друга. Они давали друг другу новые идеи и стимулы, совместно ставили и решали задачи.  Архитекторы в своей профессиональной деятельности могут и должны использовать не только вычислительный аппарат математики, но и применять ее методологию, ее доказательную строгость  и логику.