Презентация. Эллипс и его свойства.
презентация к уроку

Слайд 1

Эллипс и его свойства КГА ПОУ ДВТК Куденко В.С.

Слайд 2

А 1 А 2 = 2a большая ось эллипса (проходит через фокусы эллипса) B 1 B 2 = 2b малая ось эллипса (перпендикулярна большей оси эллипса и проходит через ее центр) F 1 и F 2 фокусы эллипсa a большая полуось b малая полуось c фокальное расстояние ( полурасстояние между фокусами) Элементы эллипс a

Слайд 3

Свойства эллипс a 1) Эллипс (1) пересекает каждую из осей координат в двух точках Для того чтобы определить координаты точек пересечения эллипса с осью Ох , нужно решить совместно их уравнения: Точка пересечения эллипса с осью Ох должна иметь ординату у = 0 и в то же время принадлежать эллипсу. Подставив у = 0 в уравнение эллипса , получим х = ± а . Итак, точками пересечения эллипса с осью Ох будут А ( а ; 0) и С(— а ; 0 ). Аналогично находим точки пересечения эллипса с осью Оу : В(0; b ) и D(0; — b ) Точки А , В , С и D называются вершинами эллипса. Отрезок АС называется большой осью эллипса, отрезок BD — малой осью . Фокусы F 1 и F 2 эллипса лежат на большой оси. Длина большой оси , очевидно, равна 2 а , малой оси — 2 b . Числа а и b называют полуосями эллипса.

Слайд 4

Свойства эллипс a 2 ) Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии . В уравнение переменные х и у входят только во второй степени . Следовательно, если координаты точки N( x; у ) удовлетворяют уравнению , то этому же уравнению также будут удовлетворять и координаты точек N 1 (— х ; у ) и N 2 ( x ; —у ). Легко видеть, что точка N 1 симметрична точке N относительно оси ординат, точка N 2 симметрична точке N относительно оси абсцисс. Таким образом, эллипс имеет две оси симметрии, они взаимно перпендикулярны. Большая и малая оси эллипса лежат на его осях симметрии . Заметим, что в частном случае, когда а = b , т. е . когда эллипс является окружностью, осью симметрии будет любая прямая, проходящая через центр окружности.

Слайд 5

Свойства эллипс a 3) Эллипс имеет центр симметрии. Если координаты точки N( x; у ) удовлетворяют уравнению то этому же уравнению удовлетворяют и координаты точки К(— х; —у ) . Точка К , очевидно , симметрична точке N относительно начала координат. Таким образом, эллипс имеет центр симметрии . Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Слайд 6

Свойства эллипс a 4) Эллипс может быть получен равномерным сжатием окружности . Рассмотрим окружность радиуса R = а с центром в начале координат . Пусть Р(Х; У) — произвольная точка этой окружности. Тогда Точке Р(Х; У) на окружности сопоставим точку Р 1 ( х; у ) такую, что x=X и y=

Слайд 7

Свойства эллипс a 4) Эллипс может быть получен равномерным сжатием окружности . Точка получается сдвигом точки P , при котором абцисса не меняется, а ордината уменьшается в отношении Координаты точки удовлетворяют уравнению эллипса. В самом деле, Следовательно, точка Pi находится на эллипсе. Таким образом, эллипс (1) можно получить из окружности (2) равномерным сжатием к оси ОХ , при котором ординаты точек уменьшаются в одном и том же отношении, равном b / a Отсюда следует, что форма эллипса зависит от значения отношения b / a ; чем меньше это отношение, тем более сжатым будет эллипс, и, наоборот , чем больше отношение b / a тем эллипс будет менее сжатым, более округлым. При значениях отношения b / a , близких к единице, эллипс будет мало отличаться от окружности. При наибольшем значении отношения b / a , т . е. при b / a = 1 , эллипc превращается в окружность. В качестве характеристики формы эллипса удобнее пользоваться не отношением b / a , а отношением c / a . Отношение полуфокусного расстояния с к большой полуоси а называется эксцентриситетом эллипса . Эксцентриситет обозначается буквой ε . Таким образом, ε = Так как 0 < с < а , то эксцентриситет эллипса удовлетворяет неравенствам 0 < ε < 1

Слайд 8

Свойства эллипс a Так как 0 < с < а , то эксцентриситет эллипса удовлетворяет неравенствам 0 < ε < 1 . Выразим эксцентриситет эллипса через отношение b / a полуосей эллипса: = откуда = Из полученной формулы видно, что меньшим значениям отношения b / a соответствуют большие значения эксцентриситета. Поэтому чем больше эксцентриситет, тем сильнее сжат эллипс. При малых значениях Эксцентриситета эллипс мало отличается от окружности. При ε = 0 эллипс превращается в окружность . Эксцентриситет окружности, таким образом , равен нулю.

Слайд 9

Свойства эллипс a 5) Эллипс (1) может быть задан параметрическими уравнениями х = a cos t , y = b sin t , 0 < t < 2 π . Координаты точек окружности радиуса R = а с центром в начале координат выражаются через величину t угла между радиус-вектором точки Р и осью Ох следующим образом : X = a cos t , Y = a sin t , 0 < t < 2 π . В предыдущем пункте было доказано, что если точка Р(Х; У) лежит на окружности радиуса R = а с центром в начале координат, то точка Р 1 ( х ; у ) , где х = X , у = b / a У , лежит на эллипсе (1) . Следовательно, координаты х и у точек эллипса выражаются через тот же параметр t уравнениями х = a cos t , y = b sin t , 0 < t < 2 π . Действительно , х = X = a cos t , у = b / a Y = b / a a sin t = b sin t , 0 < t < 2 π При a = b получаем параметрические уравнения окружности.

Слайд 10

Содержание: Элементы эллипс a Свойство эллипса #1 Свойство эллипса #2 Свойство эллипса #3 Свойство эллипса #4 Свойство эллипса #5