Векторы
методическая разработка на тему

                                                     Методическое пособие

Автор:

преподаватель математики СПБ ГБОУ СПО «Политехнический Колледж Городского Хозяйства»  Тинякова Марина Ивановна

                                                                                                                      (

                   1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными.

Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объём, температура, работа, масса.

Другие величины, например, сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие векторы называются векторными.

1. Понятие вектора

Вектор- это направленный прямолинейный отрезок, т.е. отрезок, имеющий определённую длину и определённое направление.

Вектор, заданный парой (А, В) несовпадающих точек, обозначающихся символом  

Точка А называется началом, а точка В – концом вектора.

Для обозначения векторов употребляется также строчные латинские буквы со стрелкой наверху:

Длиной или модулем вектора   называется длина отрезка  и обозначается  или |а|.

Начало вектора может совпадать с его концом. Такой вектор называется нулевым и обозначается

Длина нулевого вектора равна нулю. Понятие направления не вводится.

Итак, каждый вектор, отличный от нулевого, имеет три характеристики:

1. Начальную точку;

           2. Длину (модуль вектора)

                                                  3. Направление.

1.2. Коллинеарные вектора

Векторы  называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Записываются:

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Коллинеарные вектора  могут быть направлены одинаково или противоположно.

В первом случае векторы  называются сонаправленными  

во втором- противоположно направленными .

        Рис.2

1.3. Равенство векторов

Два вектора   называются равными

, если они одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точку пространства.

На рис. 3 векторы образуют прямоугольник.

               Справедливо равенство

Векторы - противоположны. Они имеют одинаковую длину, но противоположные по направлению

    2. ЛИНЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

2.1. Сложение векторов

Пусть - два произвольных вектора. Возьмём произвольную точку Ои построим вектор . От точки А отложим вектор .

Вектор  , соединяющий начало первого вектора с концом второго, называется суммой векторов  

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Сумма двух векторов можно построить также по правилу параллелограмма:

2.2. Вычитание векторов

Под разностью векторов  понимается вектор  такой, что

Можно вычитать векторы по правилу сложения:

, т.е.  вычитание векторов заменить сложением векторас вектором, противоположным вектору .

В параллелограмме, построенном на векторах и , одна направленная диагональ является суммой векторов и , одна направленная диагональ является суммой векторов и , другая – разность.

2.3. Умножение вектора на число

Произведением нулевого вектора  на чисто m называется вектор, имеющий направление вектора , если m > 0 и противоположное направление, если m < 0. Длина этого вектора равна произведению длины вектора   на модуль числа m.

Произведение вектора  на число m обозначается . При любых m и  векторы  и  коллинеарны и .

2.4. Угол между двумя векторами

Угол между двумя нулевыми векторами и  называется угол между равными им векторами с общим началом.

      Обозначается:

       где 0≤ φ ≤ 180.

     Частные случаи:

а) Если , то 0

б) Если , то

в) Если , то

Если угол между векторами и  равен , то векторы и  называются перпендикулярными или (ортогональными).

3. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА  КООРДИНАТ

3.1.  Угол между векторами и осью

Прямая, на которой выбрано положительное направление и задана единица измерения длины, называется осью.

Вектор , имеющий длину и направление, совпадающие с направлением оси, называется единичным вектором или ортом  этой оси.

Угол между нулевым вектором и осью l называется угол между направлениями оси и вектора

= , где 0≤  ≤ 180 (см. рис. 12).

3.2. Проекция вектора на ось

Проекцией на ось называется направленный отрезок на оси, начало которого есть проекция начала вектора, а конец- проекция его конца.

Длина этого направленного отрезка берётся со знаком плюс, если направления отрезка и оси совпадают со знаком минус, если их направления противоположны.

Проекция вектора  на ось l равна длине этого вектора, умноженной на косинус угла между осью и вектором.

Рис. 12

3.3. Прямоугольная система координат

Пусть на плоскости задана  пара единичных взаимно перпендикулярных векторов  и  отложенных от начала координат точки  О.

Такую пару векторов называют перпендикулярным базисом на плоскости

Совокупность  начала О и прямоугольного базиса  называют прямоугольной системой координат на плоскости.

Рис. 13

3.4. Координаты вектора

Если некоторый вектор  имеет начало  в точке А(хА, уА), а конец- в точку В(хв,ув), то координатами вектора  называю числа: Х= Хв- ХА                         У= УВ- УА

Координаты вектора записывают так:

(Хв-Ха; УВ-УА)

3.5. Разложение вектора по координатными осям

Любой вектор  с координатами  (х,у) можно представить в виде:

Это выражение называется разложением вектора по осям координат, где - единичный вектор по оси ОХ

- единичный вектор по оси ОУ

Если начало вектора  находится в точке А(хА, уА), а конец в точке В(хВ, уВ), то разложение вектора записывается так:

(Хв-Ха)* + (УВ-УА)*

3.6. Правила действия над векторами, заданными своими координатами

              Даны вектора:

(Х1-У1) и  b= (X2-У2)

Координаты суммы двух (и более) векторов равны:

(Х1+ Х2; У1+ У2)

Координаты разности:

(Х1- Х2; У1- У2)

Координаты произведения векторов на число:

m* = (mХ1; mУ1)

3.7. Условие коллинеарности двух векторов

1.Если соответствующие координаты двух векторов пропорциональны, то векторы коллинеарны, т.е.

2.   

Если k > 0, то векторы  – сонаправленные.

Если k < 0, то векторы  - противоположно направленные.

3.8. Длина ветора. Расстояние между точками на плоскости.

Вектор, направленный из начала координат в произвольную точку М плоскости  ХОУ, называется радиус-вектором точку М и обозначается .

Рис. 14

Его  координаты записываются так:

==(х,у)

Длина радиус-вектора =(х, у) находится по формуле:

Длина произвольного вектора с координатами

= находятся по формуле:

С помощью этой формулы вычисляем также расстояние между двумя точками на плоскости.

3.9. Скалярное произведение двух векторов. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов.

Скалярным произведение двух нулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними и обозначается:

Если векторы  заданы координатами

= и =, то

Скалярное произведение этих векторов можно выразить через их координаты по формуле:

=  ,

а угол между ними находится так:

Свойства скалярного произведения

1.Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух нулевых векторов  является равенство нулю их скалярного произведения

2.Скалярным квадратом вектора  называется скалярное произведение

2=2

3.10. Деление отрезка в данном отношении

Рассмотрим некоторое свойство векторов, часто используемых при решении геометрических задач.

Очевидно, что С  [AB] делит отрезок [АВ] в данном отношении , т.е. , тогда и только тогда, когда

                                      (1)

Если А, В  и С заданы своими радиус- векторами  относительно некоторой точки О, то из (1) следует равенство

                              (2)

Формула (2) выражает радиус-вектор искомый точки С, делящий отрезок [] в отношении  , через радиус- векторы

Заданных точек A и B. В частности, если точка C является серединой отрезка [], то

Докажем, что медианы произвольного треугольника АВС пересекаются в одной точке М такой, что:

1. Расстояние от точки М до каждой вершины треугольника равно  длины соответствующей медианы;
2. Для любой точки О справедливо соотношение

Пусть точка М пересекает  длины отрезка [AD] от точки А

Тогда

Тот же результат получается для любой другой медианы треугольника ABC. Это говорит о том, что М – общая точка всех трёх медиан.

Отсюда следует, что, если М – точка пересечения медиан треугольника АВС и О – произвольная точка пространства, то имеет место:

Задача.

На стороне АД и диагонали АС параллелограмма АВСД

Взяты точки M и N так, что

Доказать, что точки M, N и B лежат на одной прямой. В каком отношении точка N делит отрезок [MB]?

Решение:

Чтобы убедиться в том, что M, N и В лежат на одной прямой, достаточно доказать, что векторы и   коллинеарны.

По условию имеет

Тогда

=

С другой стороны,

Так как  , то из полученных равенств следует, что  .

Это означает, что точки M, N и В лежат на одной прямой.

Из равенства  следует, что = 5 , т.е. точка Nделит отрезок [MB] в отношении 5:1

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Подумай и ответь:

1. Дан вектор , отличный от нуля. Можно ли утверждать, что он равен ?
2. Известно, что вектор  равен вектору . Можно ли утверждать, что их модули равны?
3. Известны координатные векторы =(1;0) и =(0;1)

Чему равны координатные вектора -?

4. Абсолютная величина вектора  равна 5. Известны координаты вектора = (-3;4). Чему равна величина m?
5. Какому условию должны удовлетворять три вектора , чтобы из них можно было образовать треугольник?
6. В каком случае проекция вектора a на ось l равна нулю; равна абсолютной величине длине данного вектора?
7. Проверить, перпендикулярны ли векторы:

а) = (-3;2) и (4;6)

б)  и

в) =(-2;5) и =(3;1)

8. Какой знак имеет скалярное произведение векторов, если угол между ними а) острый; б) тупой; в) прямой?

9. Применяя понятие вектора доказать, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

10. Что понимают под линейными операциями над векторами?

Примеры решения задач

Задача 1.

Дано: A (1;-1); B (-1;0) C(0;1)

 =

Найти: D(х,y).

Решение:

1. Если  A (1;-1); B (-1;0), то = (-1-1;0-(-1))=(-2;1)
2. Если C(0;1), D(х,y), то  (х-0; у- 1).
3. По условию  = , тогда равны их координаты

х-0= -2          х=-2

               ⇒

у- 1= 1           у=2

      Таким образом, D(-2; 2).

Ответ: D (-2; 2).

Задача 2.

Векторы  =(1; -1) и  = (-2; -2; k) коллинеарны.

Чему равно k?

Решение:

Т.к. векторы коллинеарны по условию, их соответствующие координаты пропорциональны , k=2.  

Ответ: 2.

Задача 3.

Даны векторы  =(3; 2) и =(-2; 1)

Найти: модуль вектора  + 3.

Решение:

Для определения модуля вектора необходимо знать его координаты.

Координаты вектора = (3*2; 2*2)= (6; 4).

Координаты вектора 3= (-2*3; 1*3)= (-6; 3).

Координаты вектора + 3= (6+(-6); 4+ 3)= (0; 7)

Модуль искомого вектора:

.

Ответ: 7.

Задача 4.

Выразить через единичные векторы +  следующие векторы:

а) =(-2; 4)

б) = , если А (-2; -1);

Решение:

а) =(-2; 4)   х= -2   у=4.

По формуле =  получим

=-2+ 4.

б) = , А (-2; -1); В(4; -3)

 = =(4-(-2); -3- (- 1))=(6; -2)

=6- 2. 

Ответ: а)=-2+ 4, б) =6- 2.

Задача 5.

АВСД- ромб, = 1, ⦟ ВАД= 30.

Найти длину диагонали ромба .

Дано: АВСД- ромб АВ ⦟ ВАД= 30.

Найти:.

Решение:

1. - по построению, тогда  ==
2.     ⦟ ВАД= 30 по условию.

=

Ответ: =

Реши самостоятельно

1. В треугольнике АВС известны = a и = b.

Построить

а)               б)        в) .

2. Найти угол αмежду векторами

=(1; ) и =(-0,5; 0,5).

3. Даны векторы = (1; 0) и (1; 1).

Найти такое число m, чтобы вектор  был перпендикулярным вектору .

4. Проверить, коллинеарны ли векторы  и . Если да, то сонаправлены ли они?

Векторы соответственно заданы точками:

а) А(2;1)      В(-4;  4)       С (-1;1)      Д(7; -5)

б) А(2;1)      В(6;  5)       С (3;-1)      Д(7; -2)

в) А(1;1)      В(7;  3)       С (-4;-5)      Д(5; -2)

5. Найти длину вектора , если ,

= .

6. Даны точки: А(-2; -3)    В(2; 4)    С(5; 1)

Разложить векторы ,  и  по единичным векторам + .

7. При каких значениях х векторы (х- 1)  и 2 сонаправлены, если ?
8. При каких значениях m векторы (m2-m-2) и m3b противоположно направлены, если ?
9. В ромбе  ABCD длина стороны равна 6, а величина угла BAD        равна . На стороне ВС взята точка Е такая, что ЕС= 2. Найти расстояние от Е до центра симметрии ромба.

               10)В треугольнике АВС дано: =+ 2  и =4+ 2,

где +  – единичные взаимно перпендикулярные векторы.

Доказать, что треугольник АВС- прямоугольный и вычислить его площадь.

Ответы к разделу «Подумай и ответь»

1. Нет
2. Можно
3. (3; -2).
4. 
5. 
6. ; .
7. а)

          б)

          в)

    8. а) положительный, б) отрицательный, в) скалярное произведение равно 0

    9. Вспомнить, что в параллелограмме, построенном на векторах, одна диагональ является их суммой, а другая - разностью.

Ответы к разделу «Реши самостоятельно»

2.60

3.-1.

4. а) -векторы коллинеарны и противоположно направлены.

б) – координаты не пропорциональны, векторы не коллинеарны.

в)  векторы коллинеарны и направлены.

5. .

6.=+ 7        =+ 3     

   =-  4.

7.при х

8.при m

9.

10. кв.ед.

                                           Литература

• Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. и другие. Алгебра и начала анализа.                       Учебник для 10-11 классов средней школы. М. Просвещение, 2014г
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и другие. Геометрия. Учебник для 10-11 классов              средней школы. М. Просвещение, 2014г.
• Богомолов Н.В. Математика: учебник для ссузов. М. Дрофа,  2009г

• Богомолов Н.В. Сборник задач по математике: учебное пособие для  ссузов.                М. Дрофа,  2009г.

Дополнительные источники:

• Алгебра и начала анализа. Под редакцией Яковлева Г.Н. М. Наука, 1987г часть 1.
• Алгебра и начала анализа. Под редакцией Яковлева Г.Н.. М. Наука, 1987г часть 2.
• Геометрия. Под редакцией Яковлева Г.Н. М. Наука, 1989г.

• Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М. Наука. 2001 г.

• Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике.Ч1, ч2. М. Айрис-пресс,2006г.
• Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник для средних специальных учебных заведений. М. Академия, 2008г.

• Шипачев В.С.. Высшая математика. М. Высшая школа, 2008 г.
• Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. М. Высшая школа, 2008г.

• http://mathematics.ru/-математика.
• www.fcior.edu.ru (Информационные, тренировочные и контрольные материалы). www.school-collection.edu.ru (Единая коллекции цифровых образовательных ресурсов).