Векторы на плоскости. Теоретическая часть к выполнению практической работы
методическая разработка по теме

Векторы на плоскости

Теоретическая часть к практической работе

Вектор – направленный отрезок.

а) Координаты вектора

б) Разложение вектора по координатным осям.

Действия над векторами

Длина вектора АВ

Длина вектора а {x; y}

Скалярное произведение двух векторов

а)

б)

Угол между векторами

Общее уравнение прямой

Ax + By + C=0

Частные случаи общего уравнения прямой

Векторное уравнение прямой

Пусть l – прямая плоскости XOY

(.) M0 (x0; y0)           (.) M (x; y)

Вектор  - нормальный вектор

Скалярноепроизведение

Векторное произведение в координатной форме

Каноническое уравнение прямой

Направляющий вектор  (m; n)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

(.) A (X1; Y1)    (.) B (X2; Y2)

Условие параллельности двух прямых

 Прямые заданы уравнением    

k1 = k2

  Прямые заданы координатами  точек

(.) A (X1; Y1)    (.) B (X2; Y2

;  

,

Условие перпендикулярности двух прямых

k1·k2 = -1              m1m2 + n1n2 = 0

Образец решения практической работы

Задание 1.

Дано: (.) А (4; 0) (.) B (7; 4) (.) C (-4; 6)

а) Найти Р треугольника АВС

б) Найти cosA;  угол А

в) Написать уравнение медианы, проходящей через (.) А

г) Уравнение высоты AN

д) Составить каноническое уравнение прямой ВС

е) Составить уравнение прямой, проходящей через (.) B || AC

Решение

а)  Найти периметр  треугольника  АВС  с заданными координатами

б)   Найдем  косинус  угла    

Угол А = 90°

в)       Составим  уравнение   медианы    АМ :

           точка М – середина ВС

           координаты  точки   найдем    по  формуле

 Координаты  точки   А (4;0) ;   координаты  точки   M (; 5)

Составим  уравнение  прямой, проходящей  через  точки  А  и  М

;  решая  его, найдем уравнение

y = -2 (x - 4) = -2x + 8

y= -2x + 8  уравнение прямой  АМ

) Уравнение высоты AN:

Дано: (.) А (4; 0) (.) B (7; 4) (.) C (-4; 6)

Построим треугольник и проведем  высоту из вершины А

найдем координаты  вектора  АN.Для этого выпишем координаты

точки А (4; 0) и точки N (х; у)

Найдем координаты вектора  АN

Решая  уравнение  получаем  y= 5,5x – 22  - уравнение  высоты

д) Составить каноническое уравнение прямой ВС

   (.) В (7; 4)    (.) C (-4; 6)

е)  Составить уравнение прямой, проходящей через (.) B || AC

  - направляющий вектор

     (.) В (7; 4)

Векторы в пространстве

Координаты вектора

1°   Правило  сложения векторов , умножение вектора  на число.

2°  Координаты середины  отрезка

3°  Формула для нахождения длины вектора, заданного своими координатами.

4° Формула для нахождения длины вектора, заданного координатами  точек.

  координаты  точек

5°Скалярное произведение двух векторов.

6°    Скалярное произведение двух векторов, заданных  своими координатами

7°    Угол  между векторами

8° Деление отрезка в данном отношении

Отрезок  АВ делится точкой  С  в отношении АС: СВ = ƛ;

координаты  точки  С найдем по формуле

9° Направляющие косинусы

Направление вектора  определяется углами , образованными им с осями координат Ox; Oy; Oz.

  Пусть  вектор  задан  своими координатами    

  Длина вектора      

  Формула для нахождения направляющих косинусов

Если: вектор  d задан  координатами точек А (x1; y1; z1)  и  B (x2; y2; z2)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

Образец решения практической работы

Задание 1

На прямой М1М2 найти (.) М, деляющую ММ1 в отношении 1:3

  (.) М1 (2; 4; -2)    (.) М2 (-2; 4; 2)

Решение

  Координаты  точки  (.) М (-1; 4; 1)

Задание 2

 На оси ОХ, найти (.) равноудаленную от (.) А (1; 4; 2)   (.) B (-2; 4; -4)

Решение

(.) N искомая точка, тогда

|AN| = |NB|, координаты (.) N (X; 0; 0)

(x – 1)2 + 20 = (x + 2)2 + 32

x2 – 2x + 1 + 20 = x2 + 2·2x + 4 + 32

2x = -15

x = -7,5

(.) N (-7,5; 0; 0)

Задание 3

Найти длину  и его направляющие косинусы

Задание 4

Найти скалярное произведение векторов

Задание 5

Даны векторы

При каких  р  - векторы перпендикулярны

Решение

Вектор , если

-2p + 12p + 24 = 0

10p = -24

5p = -12

p = -2,4

Задание 6

Найти (3a – 2b) · (5a – 6b), если a = 4; b = 6; °

Решение

(3a – 2b) · (5a – 6b) = 15a2 – 18ab + 10ab + 12b2 = 15a2 – 8ab + 12b2

15 · 42 – 8 · 4 · 6 · cos 60° + 12 · 62 = -8 · 24 · 1\2 = -96