основы тригонометрии задания
методическая разработка на тему

Тригонометрические функции числового аргумента.

Радианное измерение углов и дуг.

Пример 1: Выразить в радианной мере углы 120; 320.

Ответ: Так как , то , .

Для перевода меры угла из градусной в радианную и обратно существуют таблицы (см., например, В. М. Брадис, Четырехзначные математические таблицы).

Приведем таблицу для углов и дуг, которые встречаются часто.

Упражнение 1: Найти радианную меру угла, выраженного в градусах: 1) 40°; 2) 120°; 3) 150°;

4) 75°; 5) 32°; 6) 140°.

Упражнение 2: Найти градусную меру угла, выраженного в радианах: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 2;

5) 3; 6) 0,36.

Радианная мера угла удобна для вычисления длины дуги окружности. Так как угол в 1 рад стягивает дугу, длина которой равна радиусу R, то угол в α рад стягивает дугу длиной

l = α ∙R

Пример 2: Конец минутной стрелки кремлёвских курантов движется по окружности радиуса R≈3,06 м. Какой путь l проходит конец стрелки за 15 мин?

Ответ: За 15 мин стрелка поворачивается на угол, равный  рад. По формуле l = α ∙R при α =  находим .

Упражнение 3: (Устно.) Определить градусную и радианную меру углов: а) равностороннего треугольника; б) равнобедренного прямоугольного треугольника; в) квадрата; г) правильного шестиугольника.

Упражнение 4: Вычислить радиус окружности, если дуге длиной 0,36 м соответствует центральный угол в 0,9 рад.

Упражнение 5: Найти радианную меру угла, который соответствует дуге окружности длиной 3 см, если радиус окружности равен 1,5 см.

Особенно простой вид формула l = α ∙R  имеет в случае, когда радиус окружности R = 1. Тогда длина дуги равна величине центрального угла, стягиваемого этой дугой, в радианах, т. е. l = α. Этим объясняется удобство применения радианной меры в математике, физике, механике и т. д.

Пример 3: Доказать, что площадь кругового сектора радиуса R, образованного углом в α рад, равна , где .

Решение: Площадь кругового сектора в π рад (полукруга) равна . Поэтому площадь сектора в 1 рад в π раз меньше, т.е. равна . Следовательно, площадь сектора в α рад равна .

Упражнение 6: Дуге кругового сектора соответствует угол в  рад. Найти площадь сектора, если радиус круга равен 1 см.

Упражнение 7: Заполните таблицы:

Тригонометрические функции числового аргумента.

Пример 1: Найти синус числа .                                                

Решение: Так как , то этому соответствует та же точка М, что и числу . Опустим из точки М перпендикуляр MP на ось Ох (рис. 4), имеем |РМ| = у. В прямоугольном треугольнике РОМ длина гипотенузы ОМ равна 1 (так как окружность единичная), длина катета РМ равна  (как катет, лежащий против угла в 30º). Следовательно, ордината точки М равна числу 0,5, т. е. у = 0,5.

Ответ: .

Пример 2: Найти sin 1,17.

Решение: См. «Четырехзначные математические таблицы» В. М. Брадиса, стр. 62,

sin 1,17 ≈ 0,9208.

Пример 3. Найти tg  и ctg .

Решение. Числу  на числовой окружности соответствует точка М, которая является концом дуги в 135°. Опустим из точки М перпендикуляр на ось Ох. Треугольник OMN прямоугольный и равнобедренный (рис. 5). Координаты точки М будут , . Следовательно,

tg = ; ctg = .

Ответ: tg = ; ctg = .

                Рис. 5.

Упражнение 1: Сравнить значения выражений: 1) sin 0,7 и sin 4;         2) cos 1,3 и cos 2,3.

Упражнение 2: Используя таблицу Брадиса, проверить равенство:

1) sin 60° ≈ 0,866;        2) cos 45° ≈ 0,707;          3) cos  ≈ 0,996;        4) sin  0,225.

Периодичность тригонометрических функций.

Пример 4: Найти sin 2672° = sin (7·360° + 152°)= sin 152°

Далее находим по таблице Брадиса или выражаем в радианах.

Знаки тригонометрических функций.

Пример 5: Найти знак sin 2735°

Ответ: 2735° = 7 · 360° + 215°. Так как 360° = 2π, а синус есть периодическая функция с периодом 2π, то знак синуса зависит только от величины угла 215°, который расположен в третьей четверти, где синус отрицателен. Следовательно, sin 2735º = sin 215º   < 0.

Пример 6: Определить знак следующего выражения sin 300° · cos 200°.

Ответ: sin 300° < 0, cos 200° < 0. Следовательно, sin 300° · cos 200° > 0.

Упражнение 3: Определить знак числа sin α, если:

1) α = ;        2) α = ;                3) α =;                4) α = – 0,1π;        5) α = 5,1;        6) α = – 470º.

Упражнение 4: Определить знак числа cos α, если:

1) α = ;        2) α = ;                3) α =;                4) α = – 5,3;        5) α = 4,6;        6) α = – 150º.

Упражнение 5: Определить знак числа tg α, если:

1) α = ;        2) α = ;                3) α =;                4) α = – 1,3;        5) α = 3,7;        6) α = 283º.

Упражнение 6: Определить знаки чисел sin α, cos α, tg α, если:

1);        2) ;                3);                4) .

Упражнение 7: Определить знаки чисел sin α, cos α, tg α, если:

1) α = 1;                 2) α = 3;                 3) α = –3,4;                 4) α = – 1,3.

Четность и нечетность тригонометрических функций.

Пример 7:

Пример 8:

Основное тригонометрическое тождество.

Пример 9: Найдите значения cos α, tg α, ctg α, если sin α = .

Ответ: Так как , то .

Используя соотношения  и  имеем:  и .

См. р.

Тригонометрические формулы.

Формулы приведения.

Пример 1: Найти значение cos 315°.

cos 315° = cos (270° + 45°) =. По таблице находим, что .

Следовательно, получаем, что .

Пример 2: Привести к тригонометрической функции острого угла

sin 162° = sin (90° + 72°) =  sin ( + 72°) =  cos 72°.

cos 830° =  cos (2 · 360° + 110°) = cos l10° = cos (90° + 20°)= cos ( + 20°) = – sin 20°.

ctg 2281° =ctg (6 · 360° + 121°)= ctg l21° = ctg (90° + 31°) = ctg ( + 31°) = – tg 31°.

См. р.2.

См. р. 3

Тригонометрические функции половинного аргумента.

Пример: Найти , если

Ответ: 

Пример: Упростите выражение

Ответ: Используя формулу, получим . Для преобразования используем формулу двойного угла . Тогда

Доказать тождества 1 – 11.

Упражнение 1: .

Упражнение 2: .

Упражнение 3: .

Упражнение 4: .

Упражнение 5: .

Упражнение 6: .

Упражнение 7: .

Упражнение 8: .

Упражнение 9: .

Упражнение 10: .

Упражнение 11: .

См. р 3.

Т.

Тригонометрические уравнения.

Пример 1: Решить уравнение .

Ответ: По формуле получаем 

х = (-1)п arcsin  + πп, п  Z;

Пример 2: Решить уравнения: .

Ответ: По формуле получаем  и .

Пример 3: Решить уравнения:  

Пример 4: Решить уравнения:

Пример 5: Решить уравнения:        

Пример 6: Решить уравнение

Ответ:

Пример 7: Решить уравнение вида .

Ответ: Приведем к виду .

Найдем общий знаменатель и преобразуем  

Так как , то

.

Используем основное тригонометрическое тождество , получим

, делаем замену  

sin x = t и решаем полученное квадратное уравнение.

Получаем следующие значения:

 и .

Решив эту уравнения, найдем

 и .

См. р.

Т.

Тригонометрические неравенства.

Пример 1: Решить неравенство .

Ответ: Все точки единичной окружности при значении t, удовлетворяющих данному неравенству, имеют ординату, большую или равную . Множество всех таких точек дуга l. Обход выполняется против часовой стрелки. t1 < t2.

Решением

Учитывая, что sin x функция периодическая (период 2π), то

Пример 2: Решить неравенство .

Ответ: Все точки единичной окружности при значении t, удовлетворяющих данному неравенству, имеют ординату, меньшую . Множество всех таких точек дуга l. Обход по часовой стрелки. t2 < t1.

Учитывая, что sin x функция периодическая (период 2π), то

Пример 3: Решить неравенство .

Ответ: Множество точек единичной окружности, абсциссы  которых меньше , лежат левее прямой . Обход выполняется против часовой стрелки. t1 < t2.

Учитывая, что cos x функция периодическая (период 2π), то

Пример 4: Решить неравенство

Ответ:

Учитывая, что cos x функция периодическая (период 2π), то

Пример 5: Решить неравенство

Ответ: Найдем решение на промежутке , а затем воспользуемся периодичностью. Условие, при котором значения будут принадлежать промежутку , tg t1 = 1, следовательно, . Значит, t должно удовлетворять условию .

Учитывая периодичность, имеем: .

См. р.

Основное формулы.

Тригонометрические неравенства.

Тригонометрическим неравенством называется неравенство, в котором неизвестное входит под знак тригонометрических функций непосредственно или в виде линейной функции неизвестного, причем над тригонометрическими функциями выполняются только алгебраические действия.

К простейшим тригонометрическим неравенствам относятся:

1. Неравенство sin x > а. 

Если а < - 1, то решением неравенства будет любое действительное число.

Если -1 < а < 1, то решениями неравенства будут  arcsin а + 2kπ < х < π – arcsin a + 2kπ,

Если а > 1, то неравенство решений не имеет.

2. Неравенство sin х < а. 

Если а < - 1, то неравенство решений не имеет.

Если -1 < а < 1, то решениями неравенства будут π -arcsin а + 2nπ < х <2π + arcsin а + 2nπ, .

Если а > 1, то неравенство верно при всех действительных значениях х.

3.Неравенство cos x > а. 

Если а < - 1, то неравенство верно при всех действительных значениях х.

Если -1 < а < 1, то решениями неравенства будут - arccos а + 2kπ < x < arccos a + 2kπ, .

Если a > 1, то неравенство решений не имеет.

4. Неравенство cos x < а. 

Если а < - 1, то неравенство решений не имеет.

Если -1 < а < 1, то решениями неравенства будут arccos а + 2nπ < х < 2π - arccos a + 2nπ, .

Если а > 1, то неравенство верно при всех значениях х.

5. Неравенство tg х > а. 

Это неравенство имеет решения при любых действительных значениях а, причем

.

6. Неравенство tg х < а. Это неравенство имеет решения при любых действительных значениях а, причем .

        7. Неравенство ctg х > а. Это неравенство имеет решения при любых действительных значениях а, причем

        8. Неравенство ctg x < а. Это неравенство имеет решения при любых действительных значениях а, причем

В случае нестрогих неравенств к решениям присоединяются соответствующие концы интервалов.

Тригонометрические уравнения.

Тригонометрическим называется уравнение, в котором неизвестное входит только под знак тригонометрических функций непосредственно или в виде линейной функции неизвестного, причем над тригонометрическими функциями выполняются только алгебраические действия.

Рассмотрим решение простейших тригонометрических уравнений.

1. sin х = т. 

Если |m| ≤ 1, то решения данного уравнения определяются формулой

х = (-1)п arcsin m + πп, п  Z.                        (5)

Если |m| > 1, то уравнение (1) решений не имеет.

2. cos х = т. 

Если |m| ≤ 1, то решения этого уравнения определяются формулой

х = ± arccos m + 2πп, п  Z.                              (6)

Если |m| > 1, то уравнение (2) решений не имеет.

3. tg x = т. 

При любом действительном т х = arctg m + πп, п  Z.                           (7)

4. ctg x = т. 

При любом действительном т х = arcctg m + πп, п  Z.                          (8)

В частных случаях при т = - 1, т = 0, т = 1 получаются следующие формулы:

Тригонометрические уравнения вида:

sin (ах + b) = т,                 cos (ax + b) = m,                 tg (ax + b) = t,                 ctg (ax + b) = t,

где ax + b – линейная функция, |m| < 1, а ≠ 0, x, b —любые действительные числа, также относятся к простейшим и приводятся к уравнениям (1) - (4) заменой ах + b = у.

Уравнения, рациональные относительно выражений

sin x ± cos x и sin х · cos x:

Если левая часть тригонометрического уравнения f(х) = 0 содержит лишь одно из выражений

sin х + cos х или sin х · cos х и функцию sin 2х (или произведение sin х · cos х), то, ввод я новое неизвестное t = sin х + cos х или t = sin х · cos х и учитывая, что sin 2x = (sin х + cos х)2 -1,

sin 2х = 1 – (sin х - cos х)2, приходим к уравнению относительно t.