Методические указания для выполнения контрольных работ.
консультация

Краевое государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение  

«Хорский агропромышленный техникум»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

 по выполнению контрольных работ № 1, 2,

  по дисциплине «Математика: алгебра, начала математического анализа и геометрия» для студентов всех специальностей

Хор 2016г.

Введение

Основная задача предмета «Математика» для средних специальных заведений состоит в том, чтобы развить логическое мышление студентов, дать им на комплексе математических навыков и знаний, необходимых для изучения и условия других дисциплин.

Методические указания по выполнению контрольных работ составлены для студентов всех специальностей заочного отделения Хорского агропромышленного техникума. Курс обучения рассчитан на 4 семестра (два года обучения). В каждом семестре студент должен выполнить одну контрольную работу и сдать экзамен. 

Общие указания по выполнению контрольных работ.

Каждый вариант работы состоит из нескольких задач. Обучающийся должен решить задачи по варианту, номер которого укажет преподаватель.

При выполнении контрольных работ надо придерживаться следующих правил:

1. Контрольную работу следует выполнять в тетради чернилами черного или синего цвета, оставляя поля.
2. На обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия обучающегося, его инициалы, номер специальности, название дисциплины, номер группы.
3. В заголовке работы должны быть указаны номер контрольной работы, тема контрольной работы, номер варианта.
4. В работу должны быть включены задачи, указанные в контрольной работе, строго по предложенному варианту.
5. Перед решением каждой задачи надо выписать полностью ее условие.
6. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые рисунки.

7. После получения проверенной работы, студент должен исправить все отмеченные ошибки.

Контрольная работа №1

Геометрия

Методические указания и задания.

Раздел 1 Многогранники.

1.1 Нахождение основных элементов призм и пирамид.

Теоретическая справка

Нахождение основных элементов призм и пирамид сводится к нахождению элементов в прямоугольном треугольнике.

Возьмём прямоугольный треугольник АВС, у которого : с - гипотенуза, а - катет, лежащий против угла α (противолежащий катет); b - катет (прилежащий катет) (Рис. 3.1).

Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике

Задания для контрольной работы

ВАРИАНТ 1 - 3. Начертите указанные в задачах фигуры и выполните расчеты, используя данные из таблицы.

1. По стороне основания а и боковому ребру b найдите высоту правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
2. По стороне основания а и высоте h найдите апофему правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
3. По стороне основания и высоте h найдите боковое ребро правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
4. Вычислите длину диагонали прямоугольного параллелепипеда с измерениями a, b, m.
5. В правильной четырехугольной призме диагональ длины а наклонена к плоскости основания под углом α. Вычислите сторону основания и боковое ребро призмы.

1.2 Нахождение площади поверхности и объема призм и пирамид.

Теоретическая справка

Раздел 1 Тела вращения.

1.1 Нахождение основных элементов тел вращения.

Теоретическая справка

Задания для контрольной работы.

1.Высота цилиндра на 10 см больше радиуса основания, площадь полной поверхности равна 144π см2. Определить объем цилиндра.

2.В цилиндре радиус основания r = 2 см, а высота h = 7 см. Определить радиус круга, равновеликого площади полной поверхности этого цилиндра.

3.Один цилиндр имеет высоту 2.4 м и диаметр основания 1 м; другой цилиндр имеет высоту  1.2 м и диаметр основания 0.5 м. Сравнить между собой объемы обоих цилиндров.

4.Площадь боковой поверхности цилиндра S, а длина окружности основания равна С. Найти объем цилиндра.

5.Из равностороннего цилиндра, диаметр основания которого равен 20 см, выточен наибольший шар. Найти объем и площадь поверхности шара.

6.Диагональ d осевого сечения цилиндра наклонена к плоскости основания под углом α. Вычислить объем и площадь боковой поверхности цилиндра, если d = 6.4 см, α = 57°20′.

7. Диагональ прямоугольника составляет с одной из сторон угол α. Вычислить отношение объемов цилиндров, образованных вращением прямоугольника около каждой из смежных сторон.

8.Образующая конуса, равная 4 дм, составляет с плоскостью его основания угол 30°. Найти объем конуса и площадь боковой поверхности.

9.Через вершину конуса под углом ϕ к основанию проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу а. Найти объем конуса, если расстояние от плоскости до центра основания равно а и вычислить его, если α = 120°, a = 4.2 см.

10.Угол при вершине в осевом сечении конуса равен 120°. Определить полную поверхность и объем конуса, образующая которого равна 12 см.

11.Угол при вершине осевого сечения конуса 2ϕ, радиус основания r. Найти  длины радиусов шаров, вписанного в конус и описанного около него и вычислить их, если  r = 6.2 см, ϕ = 38°20′.

12. Высота и образующая конуса относятся как 4:5; объем конуса равен 96π см3. Найти площадь полной поверхности конуса.

13.Радиус основания конуса 9 м, его высота 17.1 м. Какое количество краски потребуется для покрытия боковой поверхности конуса, если на 1 м2 расходуется 0.5 кг.

14.Угол между образующей и осью конуса равен 45°, образующая равна 13 м. Найти объем и площадь боковой поверхности конуса.

15.Радиусы оснований усеченного конуса равны 11 и 7 см, высота его 3 см. Определить площадь боковой поверхности усеченного конуса и его объем.

16.В усеченном конусе радиусы оснований равны 27 см и 11 см; образующая относится к высоте, как 17:15. Найти объем усеченного конуса.

17.Образующая усеченного конуса равна l и наклонена к плоскости основания под углом ϕ. Определить объем усеченного конуса, если отношение площадей его оснований равно 4.

18.В усеченном конусе отношение площадей оснований равно 4, образующая имеет длину l и наклонена к плоскости основания под углом α. Вычислить объем усеченного конуса при α = 51°20′, l = 8.4 см.

19.Образующая усеченного конуса равна l и наклонена под углом α. Радиусы оснований относятся, как m : n (m > n). Вычислить площадь боковой поверхности конуса.

20.Вокруг сферы радиуса 6 см описан усеченный конус, радиусы оснований которого относятся, как 4 : 9. Вычислить площадь боковой поверхности усеченного конуса.

21.В усеченный конус вписана сфера радиуса r. Из центра сферы диаметр большего основания виден под углом α. Вычислить площадь боковой поверхности усеченного конуса.

22.Вычислите высоту усеченного конуса, если площадь его боковой поверхности равновелика сумме площадей оснований, а радиусы оснований равны R и r.

23.В усеченном конусе диагонали осевого сечения взаимно перпендикулярны, а образующая составляет с плоскостью нижнего основания угол α и равна l. Вычислить площадь полной поверхности усеченного конуса при l = 12.2 см, α = 46°12′.

24.Радиусы оснований усеченного конуса равны R и r, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 60°. Вычислить площадь боковой поверхности конуса.

25.Радиусы оснований усеченного конуса R и r, образующая наклонена к основанию под углом α. Найти объем усеченного конуса, если R = 12.4 см, r = 7.2 см, α = 50°18′.

26.Цилиндр пересечен плоскостью параллельно оси. Эта плоскость отсекает от окружности основания дугу α. Диагональ сечения равна l и составляет с основанием угол ϕ. Вычислить объем цилиндра, при l = 18.2 см, ϕ = 61°20′, α = 90°.

27.В основание конуса вписан квадрат, сторона которого равна а. Плоскость, проходящая через вершину конуса и одну из сторон этого квадрата, образует в сечении с поверхностью конуса треугольник, угол при вершине которого равен α. Вычислить объем конуса.

28.Осевым сечением конуса является треугольник, угол при вершине которого равен α. Радиус окружности, описанной около этого треугольника, равен R. Вычислить объем конуса, при R = 4.8 см, α = 69°40′

29.Усеченный конус, высота которого равна 12 см, а радиусы оснований 6 см и 9 см, пересечен двумя плоскостями, параллельными основаниям и делящими высоту на три равные части. Вычислить объем средней части конуса.

30.Хорда окружности основания конуса, удаленная от центра основания на d, стягивает дугу в 120°. Плоскость, проходящая через эту хорду и вершину конуса, составляет с плоскостью его основания угол β. Найти площадь полной поверхности  конуса и вычислить при β = 49°2′, d = 2.8 см.

31.Определить объем конуса, если в его основании хорда α, высота конуса с образующей составляет угол β. Вычислить объем, если d = 3.4 см, α = 37°16′, β = 18°1′.

32.Угол, составленный образующей конуса с его осью, равен α; длина образующей равна а. Определить площадь полной поверхности и объем конуса. Вычислить при а = 36.2 м, α = 18°46′.

33.Образующая конуса наклонена к плоскости его основания под углом α, радиус основания равен R. Определить площадь полной поверхности и объем конуса и вычислить их, если R = 3.9 см, α = 54°17′.

34.По площади боковой поверхности S и площади основания K конуса определить угол ϕ, составляемый образующей конуса с его осью.

35.Определить площадь полной поверхности конуса, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом β = 58°18′, а в основание вписан треугольник, имеющий одну из сторон а = 12.6 дм и угол, ей противоположный, α = 41°46′.

36.Определить площадь боковой поверхности усеченного конуса, радиусы оснований которого равны R = 7.2 дм и r = 3.6 дм, угол наклона ϕ образующей к плоскости большего основания равен 53°15′.

37.Высота усеченного конуса h = 2.5 см, является средней арифметической между радиусами оснований этого конуса. Вычислить объем усеченного конуса, зная, что образующая наклонена к плоскости большего основания под углом ϕ = 46°2′.

38.Диаметры трех шаров равны 6 см, 8 см и 10 см. Найти диаметр шара, объем которого равен сумме объемов этих шаров.

39.Радиус основания шарового сегмента равен 8 см, дуга осевого сечения содержит 60°. Вычислить объем сегмента.

40.Радиус основания шарового сегмента равен 8 см, его высота 4 см. Вычислить объем сегмента.

41.Радиус шара равен R, угол в осевом сечении шарового сектора 120°. Вычислить объем шарового сектора.

42.Радиус окружности основания шарового сектора равен 60 см, радиус шара 75 см. Вычислить объем шарового сектора.

43.Радиус шара равен R, дуга в осевом сечении шарового сектора α. Найти объем шарового сектора.

44.Дуга в осевом сечении шарового сектора равна α, высота сектора h. Найти объем шарового сектора.

45.Радиусы параллельных сечений  шара равны 20 см и 24 см, а радиус шара 25 см. Вычислить объем части шара, заключенной между этими сечениями (рассмотреть два случая).

46.Радиусы оснований сферического пояса равны 10 см и 12 см, его высота 11 см. Вычислить площадь поверхности сферического пояса.

47.Чему равен объем сферического сектора, если радиус окружности соответствующего сегмента 6 см, а радиус шара 7.5 см.

48. Определить площадь сферической поверхности шарового сегмента по его высоте, равной 3 см, и радиусу основания, равному 4 см.

49.Диаметр основания шарового сегмента равен 8 см, дуга осевого сечения содержит 60°. Определить площадь поверхности этого сегмента и его объем.

50.Радиусы оснований шарового пояса, расположенного в одной полусфере, равны 20 и 24 лин. ед., а радиус шара содержит 25 таких же единиц.  Определить площадь поверхности пояса и его объем.

51.В конусе образующая равна l и составляет с высотой конуса угол α. Вычислить площадь поверхности вписанной сферы, при l = 12.4 см, α = 37°40′.

52.В равносторонний конус, образующая которого равна 2 м, вписан шар. Определить поверхность и объем шара.

53.Радиусы оснований усеченного конуса равны 24 см и 15 см, высота равна 27 см. Найти площадь поверхности описанной сферы.

54.Около шара радиуса r описан усеченный конус, в котором образующая составляет с основанием угол α. Найти площадь боковой поверхности этого конуса.

Контрольная работа №2

Алгебра, начала математического анализа.

Методические указания.

Прежде чем приступить к изучению математики, необходимо повторить материал неполной средней школы, уделив особое внимание правилам действий над дробями (обыкновенными и десятичными), пропорциям, процентам, преобразованию алгебраических выражений, разложению на множители, формулам сокращенного умножения и т. д. Для повторения рекомендуем Школьные учебники 6 – 11 кл. «Алгебра»  любых авторов.

Контрольная работа имеет 9 вариантов. Вариант контрольной работы выбирается по двум последним цифрам личного дела студента. Номера задач для контрольной работы  указаны в таблице.

Раздел 1 Степенная функция

1. Степенная функция ее свойства и график.

Определение

Функция вида где p – заданное действительное число называется степенной функцией.

Заполни таблицу:

2. Иррациональные уравнения

Теоретическая справка

Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными.

При решении иррациональных уравнений следует учитывать, что:

1. подкоренное выражение корня четной степени должно быть неотрицательным и значение корня неотрицательно;
2. все корни нечетной степени определены при любом действительном значении подкоренного выражения;
3. используются два основных метода – возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень и введение новой переменной;
4. при возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней, поэтому проверка является составной частью решения.

Указания к выполнению контрольной работы:

ПРИМЕР 1. Решите уравнение .

РЕШЕНИЕ. Уединим радикал и затем возведем обе части в квадрат

Проверка показывает, что х1 = 0 – посторонний корень.

ОТВЕТ: 9.    

ПРИМЕР 2. Решите уравнение .

РЕШЕНИЕ. Введем новую переменную . Тогда  и уравнение примет вид

 или  - не подходит по смыслу.

Далее

.ОТВЕТ: - 5; 2.

Раздел 2 Показательная функция

2.1 Показательные уравнения.

Теоретическая справка

Показательным называют уравнение, содержащее переменную в показателе степени. ;   Показательные уравнения приводят к виду  (где левая и правая части уравнения есть степени с одинаковым основанием).

Так как  показательная функция  при a>1 монотонно возрастает на всей области определения ( при 0 < a < 1монотонно убывает), то  каждое свое значение она принимает только один раз при одном значении аргумента. Т. Е. из равенства следует равенство x = y.

2.2 Показательные неравенства.

Решение показательных неравенств часто сводится к решению неравенств

 или

Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции: для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее значение аргумента, а для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

Решить неравенство ; y =

Поэтому решениями неравенства  являются числа x<3.

Ответ: x<3.

Решить неравенство( >4;  y=( - убывающая функция, то

Ответ: x<-2

Раздел 3  Логарифмическая функция

3.1 Логарифмические уравнения

, причем

1.   Уравнение вида

     Решить равносильное уравнение ;

2.   Уравнение вида

     а) найти ОДЗ: ;

     б) решить уравнение ;

     в) выбрать из корней уравнения .

3. Уравнение вида

Решить уравнение относительно переменной, входящей

в выражение с переменной.

При решении логарифмических уравнений полезно помнить

некоторые свойства логарифмов:

     - основное логарифмическое тождество

    ;                                  ;    

    ;     ;      

   ;                  ;                    

   ;                   ;  

     - формула перехода к новому основанию

    Замечание: десятичный логарифм (по основанию 10)

                         натуральный логарифм (по основанию )

При решении логарифмических уравнений применяются также методы логарифмирования и потенцирования.

3.2 Логарифмические неравенства

Обычный способ решения логарифмических неравенств заключается в переходе от них к более простому неравенству или систем неравенств, имеющей то же самое множество решений, т. е. к равносильному неравенству или к равносильной системе неравенств.

Решить неравенство

Решение: правая часть данного неравенства имеет смысл при всех значениях x, а левая часть  - при x+1>0, откуда x>-1, т. е. x>-1 – область определения неравенства.

Исходное неравенство запишем так:

. Так как 10>1, то x+1<100, откуда x<99 Учитывая область определения исходного неравенства, получаем -1<x<99.

Раздел 3

Тригонометрические функции

3.1 Тригонометрические формулы

Опорный чертеж

На рисунке совмещены декартова система координат и окружность единичного радиуса. Окружность «эквивалентна» понятию координатной прямой (начало отсчета – точка пересечения окружности с положительной частью оси Ох, положительное направление – против часовой стрелки, единичный отрезок выражен через число ). На окружности отмечены точки, полученные при повороте радиуса окружности, совпадающего с

положительной частью оси Ox, на различные углы . Абсциссы этих точек − , ординаты − . Дополнительно проведены две касательные к окружности (линии тангенса и котангенса).

Основное тригонометрическое тождество  выполняется при любых значениях .

Тангенсом угла  называется отношение синуса угла  к его косинусу.

Из определения тангенса и котангенса следует: .

Соотношение между тангенсом и косинусом одного и того же угла          .

Формула  не имеет смысла при α=.

Формулы приведения

1. Знаки тригонометрических функций:

                   y                                     y

              II+          + I                     II -        +   I

                                      x                                     x

                  _ 0      _                            +   0  -

             III            IV                     III          IV

           знаки синуса                  знаки тангенса

2. Четность и нечетность тригонометрических функций: .

;

            Вывод: четной функцией является функция y=

3. Тригонометрические функции углов вида  могут быть выражены через функции угла  с помощью формул приведения:

Формулы сложения

1. Для любых  справедливы равенства: а) ;      

б) ;             в) .

Формулы двойного угла

1. .
2. .

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

1. Формула суммы синусов двух углов: .
2. Формула разности косинусов двух углов: .
3. Формула суммы тангенсов двух углов: .

1. Вычислите: .

Решение:

=.

3.2 Тригонометрические уравнения

1. Решите уравнение: .

Решение.

По формуле частного случая: .

2. Решите уравнение: .

Решение.

Разделим левую и правую части уравнения на 2: .

По формуле  получаем: .

Разделим левую и правую части уравнения на 3: .

3. . Решите уравнение: .

Решение.

Выразим : .

По формуле  получаем: .

Разделим левую и правую части уравнения на : .

4. Решите уравнение: .

Решение. Применив основное тригонометрическое тождество: , получим:

,

,

.

Это уравнение является квадратным относительно . Обозначим , тогда . Полученное уравнение имеет решения

.

Составим два простейших уравнения:

      и      .

Первое уравнение решений не имеет, так как . Второе уравнение имеет решение:

,

.

               Ответ:

5. Решите уравнение: .

Решение.

Так как по формуле приведения , а  по формуле двойного угла, то

.

При помощи основного тригонометрического тождества заменим 2 на  и получим:

,

откуда

.

Это уравнение является однородным относительно  и . Разделив обе части полученного уравнения на , получим

.

Это уравнение является квадратным относительно . Обозначим , тогда . Полученное квадратное уравнение имеет корни . Из уравнения  получаем

,

.

Из уравнения  получаем

.

                  Ответ:

6. Решите уравнение: .

Решение.

Запишем данное уравнение иначе:

.

По формуле разности косинусов  получаем:

.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому если , то ; если , то .

Можно заметить, что вторая серия решений содержится в первой и иначе записать ответ.

                  Ответ: .

7. Решите уравнение: .

Решение.

В правой части применим формулу приведения

,

,

.

Применим формулу разности синусов , тогда

.

Вынесем за скобки общий множитель:

.

Если , то ; если , то , значит, .

        Ответ: .

Раздел 4 Производная

4.1 Производная

Основные правила и формулы дифференцирования функций

1. y = u + v,   y’=u’ + v’.
2. y = u  v,   y’ = u’  v + u v’.
3. y =  ,   y’ =
4. y = c,   y’ = 0 (здесь с – постоянная величина).
5. y = ,   y’ = n  .
6. y = ,   y’ =  lna.
7. y = ,   y’ = .
8. y = log,  x ,   y’ = .
9. y = ln x,   y’ .
10. y = sin x,   y’ =  cos x.
11. y = cos x,   y’ =- sin x.
12. y = tg x,   y’ =
13. y = ctg x,   y’ = -  .
14. y = arcsin x,   y’ =  .
15. y = arcos x,   y’ = -
16. y = arctg x,   y’ =
17. y = arcctg x,   y’ =-

4.2 Применение производной

Теоретическая справка:

Общая схема исследования функций с помощью производной

1.  Нахождение области определения функции.

2.  Проверка  того,  является  ли  функция  четной,  нечетной,

периодической или эта функция – функция общего вида.

3.  Определение точек пересечения с осями координат.

4.  Нахождение критических точек

( точек, в которых производная равна нулю или не существует).

5.  Определение промежутков знакопостоянства функции.

6.  Определение промежутков возрастания и убывания функции

(промежутков,  на  которых  производная  положительна  или

отрицательна).

7.  Определение экстремумов функции.

8.  Исследование  функции  на  выпуклость,  вогнутость,  определение

точек  перегиба  (исследование  проводится  по  второй  производной

функции).

9.  Нахождение асимптот функции.

10. Уточнение графика функции по точкам (произвести окончательное

уточнение графика, в особенности на участках, где информация о нем

недостаточна).

В  зависимости  от  конкретных  особенностей  функции,  в  схеме  можно

переставлять отдельные этапы или опускать их, или  добавлять.

Задания контрольной работы 2

Решить линейные уравнения:

1.                   13.  
2.                   14.                   
3.               15.
4.               16.  
5.                        17. ;
6.                     18.  
7.                           19.   ;                
8.                                   20.                   
9.                                 21.  
10.                               22.  
11.   ;              23.  
12.           24.  

       25.  

Квадратные уравнения.

    26.Составить квадратное уравнение по его корням

;

27. Сократить дробь  

28. Решить уравнение  

29. Решить уравнение  

30.Решить уравнение  

31.

32. Сократить дробь  

33. Сократить дробь  

     34. Составить квадратное уравнение по его корням

;

35. .  Решить уравнение    

     36.  Решить уравнение

      37. Решить уравнение

      38. Найти сумму и произведение  корней уравнения              

      39.  Найти сумму квадратов корней уравнения

       40.  Один из корней уравнения   равен -1.

             Найти его второй корень.

        41. Определить какое из чисел -2; 0; 1;   является корнем квадратного трёхчлена  

        42.  Найти координату вершины параболы

        43. Найти наименьшее значение квадратного трехчлена

       44. Найти наибольшее значение квадратного трехчлена

       45.  Упростить выражение  

        46.   Упростить выражение  

        47.  Разложить на множители .

        48. Разложить на множители .

        49.  Разложить на множители .

        50. Разложить на множители .

Решение неравенств

Решить неравенства:

51.  ;                                                      64.  

52.  ;                                                      65.  

53.  ;                                                        66.  

54.  ;                                                        67.  

55.                                                  68.  

56.                                                  69.

57.                               70.  

58.                                               71.  

59.                                     72.  

60.                                   73.  

61.                                    74.

62.                                           75.  

63.  

Иррациональные уравнения.

Решить уравнения:

76.                               89.  

77.                   90.  

78.                               91.  

79.                                              92.  

80.                    93.  

81.                               94.  

82.                                           95.  

83.                                96.  

84.                                 97.  

85.                             98.  

86.                             99.  

87.                               100.  

88.  

Действия со степенями с рациональными показателями.

Выполнить действия;

101. а) ;

б )  ;                    г )  

102.  а)   ;

б )  ;                    г )  ;

103.  а) ;

б )  ;                    г )  ;

104.  а) ;

б )  ;                    г )  ;

105. a )

б )  ;                    г )  ;

106.  a )  

б )  ;                    г )  ;

107.   a )   ;     б )  ;         г )  ;

108.     a )   ;     б )  ;         г )  ;

109.   a )   ;     б )  ;      г )  ;

110.  а) ;  б )  ;      г )  ;

111.  а) ;  б )  ;      г )  ;

112.  а) ;  б )  ;      г )  ;

113.  а)   ;

                   б )  ;      г )  ;

114.   а)   ;

                                б )  ;      г )  ;

115.  а) ;

б )  ;                    г )  ;

116.  а) ;

      б )  ;                    г )  ;

117.    б )  ;          г )  ;

118.    б )  ;                                             г )  ;

119.  а)   ;  б )  ;   г )  ;

120.   а)   ;

                                б )  ;    г )  ;

121.     б )  ;        

   г )  ;

122.    б )  ;          г )  ;

123.  a)  

    б )  ;          г )  ;

124.  a)      б )   г )  ;

125.  а) ;   б )  ;   г )   ;                                            

Вычисление значений показательных и логарифмических выражений     

Вычислить:

126.  a)  

127.  a)  

128.  a)  

129.  a)  

130.  a)  

131.  a)  

132.  a)  

133.  a)  

134.  a)  

135.  a)  

136.  a)  

137.  a)  

138.  a)  

140.  a)  

141.  a) Прологарифмировать выражение  

          b) Найти х, если

          с)

142.  a) Прологарифмировать выражение  

          b) Найти х, если

          с)

143.   a) Прологарифмировать выражение  

          b) Найти х, если

          с)

145.  a) Прологарифмировать выражение  

          b) Найти х, если

          с)

146. a) Прологарифмировать выражение  

          b) Найти х, если

          с)

147.  a) Прологарифмировать выражение  

          b) Найти х, если

          с)

148.  a) Прологарифмировать выражение  

          b) Найти х, если

          с)

149.  a) Прологарифмировать выражение  

          b) Найти х, если

          с)

150.  a) Прологарифмировать выражение  

          b) Найти х, если

          с)

Решение простейших показательных, логарифмических уравнений и неравенств

   Решить уравнение и неравенство.

151.   a)  64   b)

152. a)  

153.  

154.  

155.  a)  

156.  a)  

157. a)

158. ;       

159.     

160.  

161. a)      

162.  

     с)  найти область определения функции:  

163.     c)  Выяснить при каких значениях х существует логарифм:

164.  

     с)  найти область определения функции:  

165.    с)  При каких значениях х существует

166.     

        c)  

167.                 ;                                                         c)

168.     

  c)  

169.       

170.  a)     b)    

Тригонометрические функции

 Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента.  Знаки значений тригонометрических функций.  Формулы приведения.  Четность, периодичность тригонометрических функций.

171.  Вычислить значения  , если  

172.  Вычислить значения  , если  

173.  Вычислить значения  , если  

174.  Вычислить значения  , если  

175.  Вычислить значения  , если  

176.  Определить знак выражения  ;

177.  Определить знак выражения  ;

178.  Определить знак выражения  ;

179.  Определить знак выражения  ;

180.  Упростить выражение:  ;

181.  Упростить выражение:  ;

182.  Упростить выражение: ;

183.  Упростить выражение: ;

184.  Разложить на множители:  

185.  Доказать тождество:;

186. Доказать тождество:  

187.  Доказать тождество:  

188. Доказать тождество:    

189.  Доказать тождество:                                                                                  

190.  Доказать тождество:  

191.  Упростить выражение:

192.  Упростить выражение:

193.  Упростить выражение:  

194.  Вычислить:

195.  Вычислить:

Теоремы сложения.  Тригонометрические функции удвоенного и половинного аргументов.

196.  Вычислить  если  

197.  Вычислить  если  

198.  Вычислить  если  

199.  Вычислить  если  

200.  Вычислить  если  

201.  Вычислить:  

202.  Вычислить:   

203.  Вычислить:   

204.  Вычислить:   

205.  Вычислить:  

206.    Упростить выражение        ;

207.  Упростить выражение        ;

208.  Упростить выражение        ;

209.  Упростить выражение        ;

210.  Упростить выражение        ;

211.  Доказать тождество:  

212.  Доказать тождество:  -

213.  Доказать тождество:  

214.  Доказать тождество:   ;

215.  Доказать тождество:   ;

216.  Доказать тождество:   ;

217.  Доказать тождество:   ;

218.  Доказать тождество:   ;

219.  Доказать тождество:   ;

220.  Доказать тождество:   ;

Обратные тригонометрические функции.  Тригонометрические уравнения и неравенства.

221.  Вычислить:  ;

         b)  Решить уравнение и неравенство:  

222.   Вычислить:  ;

         b)  Решить уравнение и неравенство:  

223.   Вычислить:  ;

         b)  Решить уравнение и неравенство:  

224.   Вычислить:  ;

         b)  Решить уравнение и неравенство:  

225.   Вычислить:  ;

         b)  Решить уравнение и неравенство:  

226.   Вычислить:  ;

         b)  Решить уравнение и неравенство:  ;

227.   Вычислить:  ;

         b)  Решить уравнение и неравенство:  

228.   Вычислить:  ;

         b)  Решить уравнение и неравенство:  

229.   Вычислить:  ;

         b)  Решить уравнение и неравенство:  

230.   Вычислить:  ;

         b)  Решить уравнение и неравенство:  

231.   Вычислить:  ;

         b)  Решить уравнение и неравенство:  

232.   Вычислить:  ;

         b)  Решить уравнение и неравенство:                                                          

233.   Вычислить:  ;

         b)  Решить уравнение и неравенство:  

     
234.   Вычислить:  ;

         b)  Решить уравнение и неравенство:  

235.   Вычислить:  ;

         b)  Решить уравнение и неравенство:  

236.   Вычислить:  ;

         b)  Решить уравнение и неравенство:  

237.   Вычислить:  ;

         b)  Решить уравнение и неравенство:  

238.   Вычислить:  ;

         b)  Решить уравнение и неравенство:  

239.   Вычислить:  ;

         b)  Решить уравнение и неравенство:  

240.   Вычислить:  ;

         b)  Решить уравнение и неравенство:  

241.   Вычислить:  ;

         b)  Решить уравнение и неравенство:  

242.   Что больше:   arctg1,5 или   arctg4?

         b)  Решить уравнение и неравенство:  

243.   Что больше:      или   ?

         b)  Решить уравнение и неравенство:  

      ;

244.   Что больше:      или   ?

         b)  Решить уравнение и неравенство:  

      ;

245.   Вычислить:  ;

b)  Решить уравнение и неравенство:  

Производная и её приложения

Найти производные функций:

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

259.  Найти , если ;

;

260.  Найти , если ;

262 Найти , если ;

263. Найти , если ;

;

;

267. Найти , если ;
268. Найти , если ;
269. Найти , если ;

;

271. Найти , если ;

. Вычислить скорость движения в конце пятой секунды.

. Вычислить ускорение движения в конце второй секунды.

. В какой момент времени скорость движения будет равна нулю?

275  Скорости движения тел заданы уравнением  и . В какой момент времени ускорения движения тел будут равны?

276  Путь задан уравнением . Вычислить ускорение движения в конце второй секунды.

. Вычислить скорость движения в конце третьей секунды.

278  Вычислить ускорение движения в момент времени , если тело движется по закону .

279  Вычислить ускорение движения в момент времени , если тело движется по закону .

. В какой момент времени ускорение движения тела будет равно нулю?

. В какой момент времени скорость движения тела будет равна 2 м/с?

. В какой момент времени ускорение движения тела будет равно нулю?

283  Вычислить скорость движения тела в конце первой секунды, если .

. В какой момент времени скорость движения тела будет равна 16 м/с ?

285  Высота , которую достигает за  секунд тело, брошенное вертикально вверх, определяется уравнением . Вычислить скорость движения тела в конце третьей секунды.

. В какой момент ускорение движения будет равно нулю?

287  Тело движется по закону . Найти скорость движения тела в конце второй секунды.

. Вычислить ускорение движения в конце третьей секунды.

 и . В какой момент времени ускорение движения второго тела будет в два раза меньше, чем ускорение первого тела?

290  Вычислить скорость движения тела в конце пятой секунды, если путь задан уравнением .

. Вычислить скорость движения тела в конце шестой секунды.

 и . В какой момент времени скорости движения тел будут равны?

293  Вычислить скорость движения тела в конце второй секунды, если .

294  . Вычислить скорость движения в конце третьей секунды.

295  . Вычислить ускорение движения в конце второй секунды.

 и . В какой момент времени скорости движения тел будут равны?

297  Касательная, проведенная к кривой , образует с положительным направлением оси  угол . Вычислить координаты точки касания.

298  Вычислить угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой , в точке, абсцисса которой 4.

299  В какой точке кривой  проведена касательная, угловой коэффициент которой равен -3?

300  Через точку, лежащую на кривой , проведена к ней касательная, образующая с осью абсцисс угол 45o. Найти точку касания.

301  Доказать, что кривые  и  имеют общую касательную в точке (2;9).

302  Точка, двигаясь по кривой , сорвалась с нее в тот момент, когда оказалась на прямой . Под каким углом к оси абсцисс продолжала движение точка?

303  К кривой  проведена касательная, параллельная оси абсцисс. Найти координаты точки касания.

304  Найти координаты точки касания касательной к кривой , если касательная перпендикулярна оси ординат.

305  Вычислить угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой , в точке пересечения ее с осью абсцисс.

306  К кривой  в точке, абсцисса которой равна 4, проведена касательная. Вычислить ее угловой коэффициент.

307  К кривой  в точке пересечения ее с осью ординат проведена касательная. Вычислить угловой коэффициент касательной.

308  К кривой  в точке, абсцисса которой равна , проведена касательная. Вычислить угловой коэффициент касательной.

309  Угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой , равен -3. Вычислить координаты точки касания.

310  Угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой , равен 4. Вычислить координаты точки касания.

311  К кривой  в точке (1;1) проведена касательная. Вычислить ее угловой коэффициент.

312  Касательная, проведена к кривой , образует с положительным направлением оси  угол в 135˚. Вычислить координаты точки касания.

313  Вычислить угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой , в точке, абсцисса которой равна 1.

314  В какой точке кривой  проведена касательная, угловой коэффициент которой равен 0,5.

315  Вычислить угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой , в точке, абсцисса которой равна 1.

316  В какой точке кривой  проведена касательная, если ее угловой коэффициент равен -2?

317  Угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой , равен 7. Вычислить координаты точки касания.

318  К кривой  в точке, абсцисса корой равна -1, проведена касательная. Вычислить ее угловой коэффициент.

319  Вычислить угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой , в точке, ордината которой равна 7.

320  К кривой  в точке, ордината которой равна 10, проведена касательная. Вычислить ее угловой коэффициент.

321. Вычислить угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой , в точке, ордината которой равна 6.

Построить графики функции:

321. ;
322. ;
323. ;
324. ;
325. ;
326. ;
327. ;
328. ;
329. ;
330. ;
331. ;
332. ;
333. ;
334. ;

ЛИТЕРАТУРА

1. Ш.А. Алимов и др. Алгебра и начала математического анализа. Москва, «Просвещение» 2010г.
2. С.М. Никольский  Алгебра и начала математического анализа. Москва, «Просвещение» 2005г.
3. Н.В. Богомолов  Математика. Москва 2005г
4. Л.С.  Атанасян  Геометрия. Москва, «Просвещение» 2004г.