Методические рекомендации по выполнению практических работ по дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика"
учебно-методический материал

Методические рекомендации

по выполнению практических работ

 по ЕН.03  Теория вероятностей и математическая статистика

Для студентов очной формы обучения

по специальности 09.02.07 «Информационные системы и программирование» 

Наименования профиля: технический

Сургут, 2023

Пояснительная записка

Методические указания предназначены для проведения практических работ по дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика" для студентов второго курса специальности 09.02.07 «Информационные системы и программирование».

Практические  занятия  служат  связующим  звеном  между  теорией  и  практикой. Они необходимы для закрепления теоретических знаний, полученных на занятиях теоретического обучения, а так же для получения практических знаний.  Практические задания выполняются студентом, с применением знаний и умений, полученных на занятиях, а так же с использованием необходимых пояснений,  полученных от преподавателя. К практическому занятию от студента требуется предварительная подготовка, которую он должен провести перед  занятием. Список литературы и вопросы, необходимые при подготовке, студент получает перед занятием из методических рекомендаций к практическому занятию.

Практические задания разработаны в соответствии с рабочей программой.  

Содержание практических работ позволяет освоить:

• основные понятия комбинаторики;
• основы теории вероятностей и математической статистики;
• основные понятия теории графов.

В методических указаниях к выполнению практических работ содержится инструкция с четким алгоритмом хода работы. Каждая практическая работа включает краткий теоретический материал, примеры задач и набор заданий.

Методические указания могут быть использованы для самостоятельной работы студентов.

Ход выполнения практической работы

Практические работы необходимо выполнять в специальных тетрадях с указанием номера, темы, целей работы.

Ход работы:

1. Познакомиться с теоретическим материалом
2. Сделать краткий конспект теоретического материала в рабочих тетрадях (основные понятия, определения, формулы, примеры)
3. В тетрадях для практических работ выполнить самостоятельную работу или решить номера, которые указаны в работе.
4.  Сдать преподавателю тетради для практических работ.

Критерии оценивания практических работ

Оценка «5» ставится, если верно и рационально решено 90%-100% предлагаемых заданий, допустим 1 недочет, неискажающий сути решения.

Оценка «4» ставится при  безошибочном решении 80% предлагаемых заданий.

Оценка «3» ставится, если выполнено 70% предлагаемых заданий, допустим 1 недочет.

Оценка «2» - решено мене 70% предлагаемых заданий.

На выполнение практической работы  рабочей программой дисциплины "Теория вероятностей и математическая статистика" отводится 14 часов.

Перечень практических работ

Практическая работа №1

«Элементы комбинаторики»

Цель работы: научиться определять тип комбинаторного объекта и рассчитывать количество выборок заданного типа.

Для выполнения работы необходимо знать: основные комбинаторные объекты (типы выборок), формулы и правила расчёта количества выборок; необходимо уметь: определять тип комбинаторного объекта (тип выборки), рассчитывать количество выборок заданного типа в заданных условиях.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Все комбинаторные формулы можно вывести из двух основных утверждений, касающихся конечных множеств – правило суммы и правило произведения. Эти два важных правила часто применяются при решении комбинаторных задач.

Основными понятиями комбинаторики являются размещения, перестановки и сочетания.

1. Размещением из n элементов по m называется любое упорядоченное подмножество, состоящее из m различных элементов данного множества.

1. Число размещений (без повторений) из n элементов по m элементам равно

Пример 1. Сколькими способами можно выбрать председателя, заместителя и профорга из 9 человек?

Решение. n = 9, m = 3.

2. Число размещений (с повторением) из n элементов по m равно .

Пример 2. Сколькими способами можно рассадить 7 человек по 9 вагонам?

        Решение. Так как в один вагон могут сесть несколько человек, и рассадка зависит от того кто в каком вагоне находится, то используем формулу размещения с повторениями:

2. Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n элементам.

1. Число перестановок n различных элементов (без повторений) равно Рn=n!

Пример 3. В соревнованиях по фигурному катанию принимали участие россияне, итальянцы, украинцы, немцы, китайцы и французы. Сколькими способами могут распределиться места по окончании соревнований?

Решение. Используем формулу перестановки без повторения для n = 6:

Р6=6! = 1*2*3*4*5*6 = 720

2. Число перестановок (с повторениями) равно

Пример 4. Сколько перестановок можно получить из букв слова КОЛОКОЛА?

Решение. Так как буквы в слове повторяются, то используем формулу перестановок с повторениями.

i1 = 2 (количество букв «к»)

i2 = 3 (количество букв «о»)

i3 = 2 (количество букв «л»)

i4 = 1 (количество букв «а»)

k = i1 + i2 + i3+ i4 = 2+3+2+1 = 8

3. Сочетанием из n элементов по m называется любое подмножество, состоящее из m различных элементов данного множества

1. Число сочетаний из n элементов по m(без повторений) равно

Пример 5. Из учащихся 25 человек нужно выбрать троих дежурных. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. n = 25, m = 3.

2. Число сочетаний с повторениями равно

Пример 6. Сколькими способами можно купить 6 пирожных, если имеются 2 сорта пирожных по 5 в каждом?

Решение. Поскольку при покупке пирожных порядок их расположения не важен, то используем для подсчета формулу сочетаний с повторениями, при этом n = 5 +5 =10, m = 6.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Охарактеризуйте основные комбинаторные объекты.
2. Составьте схему для определения типа комбинаторного объекта.

Практическая работа №2

«Классическое определение вероятности»

Цель работы: научиться вычислять вероятность события по классической формуле определения вероятности с использованием формул комбинаторики.

Для выполнения работы необходимо знать основы теории вероятностей; необходимо уметь вычислять вероятность событий с использованием элементов комбинаторики.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Согласно классическому определению вероятности вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Вероятность события А определяется формулой:

Р(А) = m/n,

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А;

n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Пример 1. В ящике имеется 10 красных и 8 синих шаров.  Наудачу вынимают один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется синим.

Решение.

Пример 2. Бросаются два игральных кубика. Какова вероятность, что сумма выпавших очков равна 5.

Решение.

Пример 3. В мешочке имеется 6 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о, р, ф, а, ь, н.Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных в одну линию кубиках можно будет прочесть слово «фонарь».

Решение.

Пример 4.В группе 25 студентов. Из них 12 юношей и 13 девушек. Известно, что к доске должны быть вызваны двое учащихся. Какова вероятность, что это юноши?

Решение.

Для решения задач следующего типа:

В партии из N деталей имеется п стандартных. Наудачу отобраны т деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно k стандартных.

можно использовать формулу:

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Используя классическое определение вероятности, докажите свойства вероятности:

1. Вероятность достоверного события равна 1.
2. Вероятность невозможного события равна 0.

2. При каких условиях применима классическая формула определения вероятности?
3. Какая сумма числа очков наиболее вероятна при бросании двух кубиков?

Практическая работа №3

«Вычисление вероятностей событий по формуле Байеса»

Цель работы: научиться вычислять вероятности событий с помощью формул Байеса.

Для выполнения работы необходимо знать основы теории вероятностей; необходимо уметь вычислять вероятность событий с использованием элементов комбинаторики.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Современные методы управления различными процессами в экономике, экологии, медицине и других областях науки и производства непременно используют анализ окружающей действительности посредством математических методов, к которым относятся и вероятностные методы. Имея предварительные, априорные значения вероятностей интересующих исследователя событий, он проводит опыт или отбор данных из источников информации, таких как выборки, отчеты и т.д., получая при этом дополнительную информацию об интересующем его событии.

Имея эту новую информацию, можно уточнить, пересчитать значения априорных вероятностей. Новые значения вероятностей для тех же интересующих нас событии будут уже апостериорными (послеопытными) вероятностями. Теорема Байеса дает нам правило для вычисления таких вероятностей.

Если событие А может наступить только вместе с одной из гипотез , образующих полную группу событий, и известны априорные вероятности каждой гипотезы и условные вероятности наступления события   А совместно с каждой из гипотез:  , то, проведя опыт или эксперимент, можно восстановить апостериорные вероятности гипотез, при условии, что события А произошло.

Для определения   апостериорных   условных   вероятностей гипотез используется формула Байеса:

где  вычисляется по формуле полной вероятности.

По формуле Байеса вычисляется вероятность наступления i-той гипотезы, если событие А уже произошло: вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на отвечающую ей условную вероятность события А, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события А.

В настоящее время формулы Байеса находят широкое применение при решении проблем управления, связанных с принятием административных решений, когда приходится сталкиваться  с недостаточной информацией о закономерностях в экономике и промышленности. По мере накопление дополнительной  информации производится корректировка решений.  Например, одной из таких  проблем  является принятие окончательного решения при входном контроле партии деталей. При этом возможны следующие варианты решений:

1. принять всю партию, запустив ее в производство;
2. проконтролировать каждое изделие в партии, заменяя или исправляя при этом дефектные изделия;
3. забраковать всю партию.

Использование формул Байеса позволяет принять наилучшее решение.

Пример 1. На химическом заводе установлена система аварийной сигнализации. Когда возникает аварийная ситуация, звуковой сигнал срабатывает с вероятностью 0,950. Звуковой сигнал может сработать случайно и без аварийной ситуации с  вероятностью 0,02. Реальная вероятность аварийной ситуации равна 0,004. Предположим, что звуковой сигнал сработал. Чему равна вероятность реальной аварийной ситуации?

Решение: обозначим   событие А — звуковой сигнал сработал;    Н1 — гипотеза, состоящая в том, что авария произошла,  Н2 — гипотеза, состоящая в том, что аварии нет.

По условию задачи:    Р(Н1) = 0,004;       Р(Н2) = 1- 0,004 = 0,996;

По формуле полной вероятности рассчитаем вероятность события А:

                                 Р(А) = 0,004 • 0,95 + 0,996 • 0,02 = 0,02372.

Определим вероятность реальной аварийной ситуации, если звуковой сигнал прозвучал РА(Н1) по формуле Байеса:

Пример 2. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй - 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

Решение: обозначим через А событие - деталь отличного качества. Можно сделать два предположения (гипотезы): B1- деталь произведена первым автоматом, причем (поскольку первый автомат производит вдвое больше деталей, чем второй) P(B1) = 2/3; В2 - деталь произведена вторым автоматом, причем P(B2) = 1/3. Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом, PB1(A) = 0,6.  Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена вторым автоматом, PB2(A) = 0,84.  Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна

        Р(А) = Р (В1) РB1(А) + Р(В2) Рв2(А) =  0,6 +0,84 = 0,68.

Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Бейеса равна

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

Вариант 1

1.  На сборку  поступают детали с трех автоматов. Первый дает в среднем 0,2 % брака, второй – 0,1 % брака, , продукция, поступающая с третьего автомата, не содержит бракованных изделий. На сборку поступило 2000 изделий с первого автомата, 3000 деталей со второго автомата и 5000 изделий с третьего автомата.  Какова вероятность того, что деталь,  выбранная наугад из данных деталей, поступила с первого автомата, если известно, что она является не бракованной?

2.  Из первой урны, содержащей 8 белых и 4 черных шара, наугад переложили один шар во вторую урну, содержащую 2  белых и 3 черных шара. Затем из второй урны наугад извлекли один шар.   Шар, извлеченный из второй урны,  оказался белым.  Вычислить вероятность того, что из первой урны во вторую  был переложен белый шар.

3. В специализированную клинику  поступают в среднем 50% больных  с заболеванием К, 30% - с заболеванием Д, 20% - с заболеванием М. Вероятность полного излечения  болезни  К равна  0,7, для болезней Д и М соответственно равны  0,8 и 0,9.  Больной, поступивший в клинику, был выписан  здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.

Вариант 2

1. В специализированную клинику поступают больные с одним из заболеваний А, В  и С: в среднем 50% больные с заболеванием А, 30%  с заболеванием В и 20 % с заболеванием С, Вероятности полного излечения от этих заболеваний равны соответственно 0,95,   0,90  и 0,85.

      Больной, поступивший в клинику, был полностью вылечен. Какова вероятность, что он  страдал заболеванием В?

2.  Из первой урны, содержащей 5 белых и 3 черных шара, наугад переложили один шар во  вторую урну,  содержащую 2 белых и 6 черных шаров.  Затем из этой урны извлекли один шар.  Шар, извлеченный из второй урны, оказался белым.  Вычислите вероятность того, что из первой урны во вторую был переложен шар белого цвета.

3. Две перфораторщицы набили на разных перфораторах по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что  первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0,05, для второй перфораторщицы эта вероятность равна 0,1. При сверке  перфокарт  была обнаружена ошибка, Найти вероятность того, что , что ошиблась первая перфораторщица.

Вариант 3

1. В двух цехах изготавливается однотипная продукция. Производительность первого цеха вдвое выше, чем производительность второго цеха. Изделия высшего качества составляют в среднем для первого цеха 92%, для второго 87%. Из общей продукции этих цехов наугад берется одно изделие. Какова вероятность того, что выбранное изделие изготовлено во втором цехе, если известно, что оно оказалось изделием высшего качества

2.  В двух ящиках имеются  электрические лампочки. В первом ящике их 12 штук, среди них 1  нестандартная, во втором ящике 10 лампочек, из которых 1 нестандартная. Из первого ящиканаугад взята лампочка и переложена во второй ящик.  Наудачу извлеченная лампочка оказалась нестандартной. Найти вероятность того, что из первого ящика во второй была переложена стандартная лампочка?

3.  Изделие проверяется на стандартность  одним из двух товароведов.. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55., а ко второму - 0,45. Вероятность того, что изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым - 0,98. Изделие при проверке было признано стандартным . Найти вероятность того, что  это изделие было проверено  вторым товароведом.

Вариант 4

1. Легковых автомобилей у бензоколонки проезжает вчетверо больше, чем грузовых машин. Вероятность того, что проезжающая машина подъедет на заправку, составляет для грузовой машины 0,05, для легковой  - 0,15.  Только что от бензоколонки отъехала заправленная машина. Какова вероятность того, что это был грузовик?

2.  В ящик, содержащий 3 детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу     извлечена одна деталь. Извлеченная наугад деталь оказалась стандартной. Какова вероятность     того, что изначально  в ящике были две стандартные детали?

3. Электронный прибор содержит две микросхемы. Вероятность выхода из строя первой микросхемы в течение определенного  (достаточно большого) времени - равна - 0,2, а второй -  0,1. Известно, что из строя вышла одна микросхема. Какова вероятность того, что эта первая микросхема.

Контрольные вопросы

1.  Какие вероятности вычисляются по формуле Байеса?

2. Почему вероятности, вычисленные по формуле Байеса, называются

апостериорными?

3. Приведите примеры использования апостериорных вероятностей.

Практическая работа №4

«Вычисление вероятностей событий в схеме Бернулли»

Цель работы: научиться вычислять вероятности событий с помощью формул Бернулли.

Для выполнения работы необходимо знать основы теории вероятностей; необходимо уметь вычислять вероятность событий с использованием элементов комбинаторики.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Формула Бернулли позволяет рассчитать вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно k раз. Формулой Бернулли удобно пользоваться, когда n и k<10.

Если n и k велики, то для нахождения вероятности появления события k раз в n испытаниях используется локальная теорема Муавра-Лапласа или асимптотическая формула Лапласа.

Если n велико, k мало и p<0,1,  то для нахождения вероятности появления события k раз в n испытаниях удобно пользоваться формулой Пуассона.

Пример 1. В классе 10 компьютеров. Для каждого компьютера вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность, что в данный момент: а) включено 4 компьютера; б) включены все компьютеры; в) включено менее 3 компьютеров; г) включено не менее 3 компьютеров.

Решение

а) n = 10; k = 4; p = 0,8; q = 0,2

По формуле Бернулли: Р10(4) =

б) n = 10; k = 10; p = 0,8; q = 0,2

По формуле Бернулли: Р10(10) =

в) Р10(k<3) = Р10(0) + Р10(1) + Р10(2)

Р10(0)=

Р10(1)=

Р10(2)=

Р10(<3) =

г) Т.к. события «включено менее 3 компьютеров» и «включено не менее трех компьютеров» являются противоположными, то

Р10(k≥3) = 1 - Р10(<3) = 1 – 0,000078 = 0,9999 = 99, 99%

Ответ: Р10(4) = 0,55%; Р10(10) = 10,7%; Р10(k<3) = ; Р10(k≥3) = 99,99%

Пример 2. Найти приближенно вероятность того, что при 400 испытаниях событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2.

Дано:

n = 400; k = 104; p = 0,2; q = 0,8

Решение

Т.к. n и k велики, то используем локальную теорему Муавра-Лапласа:

 → По таблице

Ответ:

Пример 3. Вероятность повреждения товара равна 0,02. Найти вероятность того, что из ста единиц товара испортится ровно 3.

Дано:

n= 100; k = 3; p = 0,02

Решение

Ответ: Р100(3) = 0,173

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

I вариант

1. Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого из них за сутки равна 0,2. Найти вероятность того, что откажут: а) три элементы; б) не менее 4 элементов; в) менее 4 элементов.
2. По результатам ежегодной проверки Портнадзором судов, было установлено: вероятность того что суда имеют нарушения правил Морского Регистра равна 0,4. Найти вероятность того, что из 2400 судов, заходивших в порт в течение этого периода, имеют нарушения правил 960 судов.
3. Пусть вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных.

II вариант

1. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 6 телевизоров: а) 2 телевизора потребуют ремонта; б) не более одного потребует ремонта; б) более одного потребует ремонта.
2. Вероятность найти белый гриб среди прочих равна 0,25. Какова вероятность того, что среди 300 грибов белых будет 75?
3. С базы в магазин отправлено 4000 тщательно упакованных доброкачественных изделий. Вероятность того, что изделие повредится в пути, равна 0.0005. Найти вероятность того, что из 4000 изделий в магазин прибудут 3 испорченных изделия.

III вариант

1. Монету бросают 6 раз. Выпадение герба и решки равновероятно. Найти вероятность того, что: а) герб выпадет три раза; б) герб выпадет менее трех раз; в) герб выпадет во всех испытаниях.
2. На заводе изготавливается в среднем 75% деталей отличного качества. За час было изготовлено 400 деталей. Найти вероятность того, что среди них ровно 280 деталей отличного качества.
3. Среди шариковых авторучек в среднем при упаковке, отгрузке и доставке в магазин повреждаются 0,02%. Найти вероятность того, что среди 5000 авторучек окажутся поврежденными не более 3 ручек.

IV вариант

1. Производится залп из 5 орудий по некоторому объекту. Вероятность попадания в объект из каждого орудия равна 0,7. Найти вероятность попадания в объект: а) трех орудий; б) более трех орудий; в) менее трех орудий.
2. Вероятность получения с конвейера изделия первого сорта равна 0,8. Определить вероятность того, что из взятых на проверку 400 изделий 315 будут первого сорта.
3. Вероятность рождения белого тигра равна 0,02. Найти вероятность того, что среди 100 рождённых тигрят окажется 3 белых.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. При каких условиях удобнее пользоваться формулой Бернулли, при каких – формулой Лапласа, а при каких – формулой Пуассона?

Практическая работа №5

«Построение закона распределения и функция распределения ДСВ. Вычисление основных числовых характеристик ДСВ»

Цель работы: научиться составлять для дискретных случайных величин законы распределения, вычислять основные характеристики ДСВ

Для выполнения работы необходимо знать виды случайных величин и их характеристики; необходимо уметь определять функцию распределения и плотность распределения непрерывных случайных величин.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Для задания дискретной случайной величины необходимо перечислить все возможные ее значения и указать их вероятности.

Законом распределения дискретной случайной величины называет соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Его можно задать таблично, аналитически в виде функции распределения и графически с помощью многоугольника распределения.

Пример 1. Возможные значения случайной величины таковы: х1 = 2, х2 = 5, х3 = 8. Известны вероятности первых двух возможных значений: р1 = 0,4; р2 = 0,15. Найти вероятность х3.

Решение. Так как в одном испытании случайная величина принимает одно и только возможное значения, то события х1, х2, х3 образуют полную группу; следовательно сумма вероятностей этих событий равна единице: p1+ p2+ p3=1

рз = 1 – р1 – р2 = 1 – 0,4 – 0,15 = 0,45

Пример 2. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 500 и десять выигрышей по 10 рублей. Найти закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение.

1. Возможные значения выигрыша: х1 = 500, х2 = 10, х3 = 0.
2. Вероятности возможных значений:

р1 = 1/100 = 0,01 (количество выигрышей в 500 рублей делится на общее количество билетов);

р2 = 10/100 = 0,1 (количество выигрышей в 10 рублей делится на общее количество билетов);

р3 = 1 – (0,01 + 0,1) = 0,89.

Закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета:

Пример 3. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения. Построить многоугольник распределения.

Решение. Для построения многоугольника распределения в прямоугольной системе координат построим точки (хi, pi), а затем соединим их отрезками прямых.

Функция распределения случайной величины Х – это функция F(x), которая при каждом значении своего аргумента х численно равна вероятности того, что случайная величина Х кажется меньше, чем значение аргумента х: F(x) = P{X

Пример 4. Дан ряд распределения дискретной случайной величины:

Построить функцию распределения этой случайной величины и ее график.

Решение

1. Если значение аргумента x≤2, то F(x) = P (X
2. Если значение аргумента 2
3. Если значение аргумента 3
4. Если значение аргумента 5
5. Если значение аргумента 6
6. Если значение аргумента x>8, то F(x) = P (X

При нахождении закона распределения дискретной случайной величины часто необходимо использовать сложение и умножение вероятностей.

Пример 5. Два орудия стреляют по цели; вероятности попадания в цель при одном выстреле для них равны соответственно 0,7 и 0,8. Для случайной величины Х (числа попаданий в мишень при одном залпе) составить ряд распределения.

Решение. 

1. Возможные значения случайной величины: х1 = 0, х2 = 1, х3 = 2.
2. Вероятности возможных значений:

1. х1=0, если оба орудия не попали в цель → Р(х1=0) = (1-0,7)(1-0,8)= 0,06.
2. х2=1, если в цель попало ровно 1 орудие → 

Р(х2=1) = 0,7∙(1 - 0,8) + (1 – 0,7)∙0,8 = 0,14 + 0,24 = 0,38

3. х2=2, если оба орудия попали в цель → Р(Х=2)= 0,7⋅0,8 = 0,56.

Составляем ряд распределения.

Числовые характеристики дискретной случайной величины

Закон распределения дискретной случайной величины полностью ее характеризует. Однако часто закон распределения неизвестен, и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно; такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К числу важных числовых характеристик относятся математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Оно определяет среднее ожидаемое значение дискретной случайной величины.

Если дискретная случайная величина X задана рядом распределения и принимает значения с соответствующими вероятностями , то математическое ожидание вычисляется по формуле:

                                 .                                                      (3)

Математическое ожидание дискретной случайной величины обладает свойствами, которые вытекают из его определения.

            1. Математическое ожидание постоянной величины С есть постоянная величина

                                                                            (4)

            2. Математическое ожидание дискретной случайной величины X, умноженной на постоянную величину С, равно произведению математического ожидания М(Х) на С. То есть постоянный множитель можно выносить за знак суммирования

                                                                                    (5)

            3. Математическое ожидание суммы дискретных случайных величин X и У равно сумме их математических ожиданий.

                                                                        (6)

            4. Математическое ожидание произведения независимых дискретных случайных величин X и Y равно произведению их математических ожиданий

       независимы                               (7)

Иногда математическое ожидание плохо характеризует случайную величину. Это происходит в тех случаях, когда значения случайной величины значительно отклоняются от среднего ожидаемого. Для того чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания, пользуются числовой характеристикой, которую называют дисперсией.

Дисперсией дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

                                                                  (8)        

Для вычисления дисперсии иногда бывает удобно пользоваться следующей формулой:

                   (9)

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Чем дискретные случайные величины отличаются от непрерывных?
2. Перечислите способы задания дискретной случайной величины.

   ---

Практическая работа №6

«Вычисление числовых характеристик НСВ. Построение функции плотности и интегральной функции распределения»

Цель работы: научиться составлять для непрерывных случайных величин функции плотности и интегральной функции распределения , вычислять основные характеристики НСВ.

Для выполнения работы необходимо знать виды случайных величин и их характеристики; необходимо уметь определять функцию распределения и плотность распределения непрерывных случайных величин.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x).

Пример 1. Дана функция распределения непрерывной случайной величины X. Найти плотность рапределения f(x).

Решение. Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:

Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале [а,b), можно найти, используя функцию распределения и плотность распределения.

При вычислении такой вероятности по функции распределения, используется формула P(aX.

Пример 2 Случайная величина X задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, принадлежащее интервалу [0,2):

Решение. Так как по условию (вторая строка) на интервале [0,2) F (x) = x/4+1/4, то

P (0≤X<2) = F (2) – F (0).

F(2) –F(0) = (2/4+1/4)-(0/4+1/4)=1/2.

Получим P (0≤X<2)=1/2.

Для нахождения вероятности попадания случайной величины в интервал  по плотности распределения, используется формула P(aX.

Пример 3. Задана плотность вероятности случайной величины X. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, принадлежащее интервалу [0,5; 1).

                    f 

Решение. Искомая вероятность

P (0,5≤X<1)=

Зная плотность распределения можно найти функцию распределения по формуле:

F(x) =

Пример 4. Случайная величина задана плотностью распределения. Найти:  функцию распределения.

Решение 

1. Если -0, то F(x) = =0.
2. Если 0,то

F(x) =

3. Если x>

F(x) = .

Ответ:     

Пример 5. Плотность распределения непрерывной случайной величины X в интервале

(-π/2, π/2) равна f(x)=a*cos(x); вне этого интервала f(x)=0. Найти постоянный параметр a.

Решение.

Если функция f(x) представляет собой плотность распредеения вероятностей непрерывной случайной величины, заданной на интервале (a, b), то выполняется условие  =1

Найдем

Приравнем результат к единице: 2a = 1. Таким образом, искомый параметр .

Числовые характеристики дискретной случайной величины

Для непрерывной случайной величины можно определить следующие числовые характеристики:

• Математическое ожидание – средневзвешенное по вероятностям значение случайной величины.

M(X) =  - если возможные значения Х принадлежат всей числовой прямой.

• Мода – наиболее вероятное значение случайной величины Х.
• Дисперсия – характеризует разброс случайной величины вокруг ее математического ожидания.

D(X) =  - если возможные значения X принадлежат интервалу [a, b]

D(X) = M(x2)-(M(x))2

• Среднее квадратичное отклонение -.

Пример 6. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения. Найти математическое ожидание.

f(x) =

Решение

M(X) =

Пример 7. Случайная величина X задана плотностью распределения.

f(x) =

Найти математическое ожидание и моду.

Решение

1. Математическое ожидание:

M(X) =  = 0,5.

Для нахождения интеграла используем формулу интегрирование по частям.

U = x                         dU = dx                                

dV = sinxdx                V = -cosx                

M(X) = 0,5.        

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какими формулами связаны функция распределения и плотность распределения непрерывной случайно величины?
2. По каким формулам можно найти вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал [а,b)?

   ---

Практическая работа №7

«Построение эмпирической функции распределения. Вычисление числовых характеристик выборки. Точечные и интервальные оценки»

Цель работы: научиться строить статические распределения и графически их изображать; научиться определять числовые характеристики выборок и определять точечные оценки.

Для выполнения работы необходимо знать виды числовых характеристик выборок и формулы для их определения, интервальные оценки; необходимо уметь определять числовые характеристики выборок и интервальные оценки.

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ И МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Ранжирование предполагает упорядочение данных выборки. В результате ранжирования по возрастанию получается вариационный ряд.  Проранжированные данные удобнее записать в виде таблицы, в которой указывается перечень вариант и их частот (относительных частот). Такая таблица называется таблицей частот (относительных частот) или статистическим распределением. Статистические распределения можно также записывать в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот.

Для наглядности строятся графики статистического распределения: полигон и гистограмму.

Полигоном частот (относительных частот) называется ломаная, отрезки которой соединяют точки с абсциссами равными вариантам и ординатами, равными частотам (относительным частотам) соответствующих вариантов.

Гистограммой частот (относительных частот) называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых случат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению n/h (W/h).

Пример 1. Дан статистический ряд: 2 2 3 3 3 3 4 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 4 3 2 2 3 2 4 5 2 3 3 2 4 3 2 3 4 3 3 2 3 5 3.

а) построить для него вариационный ряд; б) построить статистическое распределение для частот и относительных частот; в) дополнить статистическое распределение накопленными частотами;

г) построить полигон частот и относительных частот.

Решение

а) Для получения вариационного ряда сгруппируем одинаковые значения исходного ряда и запишем их в порядке возрастания: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2   3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3  4 4 4 4 4  5 5.

б) Подсчитав частоты каждой варианты, построим статистическое распределение. Для нахождения относительных частот используем формулу: Wi = ni/n (где n – объем выборки). В нашем примере n = 40.

в) Накопленная частота Si показывает, какая доля чисел статистического ряда не превышает данного значения. Накопленные частоты получаются из относительных частот накопительным суммированием.  

 г) Построим полигон частот, отложив по оси абсцисс значения xi, а по оси ординат - ni. Аналогично построим полигон относительных частот.

Пример 2. На школьниках 1-го «А» класса было проведено исследование для выяснения того, сколько весит портфель первоклассника. В результате взвешиваний был получен следующий статистический ряд (масса каждого портфеля в кг): 2,1; 2,45; 1,9; 2,6; 3,1; 1,95; 3,4; 4,3; 1,15; 2,7; 2,2; 3,2; 2,4; 2,2; 1,8; 1,5; 2,4; 2,25; 2,6; 1,75.

а) постройте статистический ряд в виде интервальной таблицы частот, определите относительные частоты на каждом интервале.

б) постройте гистограмму частот и относительных частот.

Решение:

а) Для построения статистического ряда данных в виде интервальной таблицы частот разобьем все значения выборки на равные промежутки по 1 кг и подсчитаем число попаданий в каждый из них. Для нахождения относительных частот используем формулу: Wi = ni/n. В нашем примере n = 20.

б) Для построения гистограммы частот определим для каждого интервала его длину h и плотность частоты (ni/h).

h = 1 (определяется как разность xi интервала); n1/h=6/1=6; n2/h=10/1=10; n3/h=3/1=3; n4/h=1/1=1.

Аналогично строится гистограмма относительных частот.

Пусть выборка задана в виде таблицы частот.

Для нахождения числовых характеристик используются следующие формулы:

1. Среднее: .  Для интервальной таблицы в качестве варианты х берется середина интервала.
2. Мода (модальный интервал) – значение варианты х с большей частотой.
3. Медиана – значение варианты х, находящейся в середине ряда.

1. Если вариационный ряд содержит нечетное количество чисел, то нужно взять число, которое находится ровно посередине. Если же ряд содержит четное количество чисел, то нужно взять два средних числа и найти их полусумму.
2. При нахождении медианы по таблице частот нужно найти первое значение накопленной частоты, превосходящее 0,5, и выбрать соответствующее ему значение числового ряда. Если ряд имеет четное число слагаемых, тогда ровно посредине вариационного ряда будут находиться два значения: то, для которого накопленная частота равна 0,5, и следующее за ним. Для вычисления медианы нужно взять их полусумму.
3. Для вычисления медианы по интервальной таблице частот используют пропорциональное деление отрезка, на котором происходит «перевал» накопленной частоты через 0,5.

Если границы интервала обозначить за хнач и хкон, накопленные частоты на этих границах за Sнач и Sкон , то медиана d вычисляется по формуле:

4. Дисперсия:  или D = . Для интервальной таблицы в качестве варианты х берется середина интервала.

5. Среднее квадратическое отклонение: .

Точечной называется статистическая оценка, которая определяется одним числом Θ* = f(x1, x2, … xn), где x1, x2, … xn – результаты n наблюдений над признаком Х.

1. Несмещенной называется точечная оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки.
2. Смещенной называется точечная оценка, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Несмещенной оценкой генеральной средней является выборочная средняя:

Смещенной оценкой генеральной дисперсии является выборочная дисперсия:

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является исправленная выборочная дисперсия:

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

I вариант

Задание 1. Дан числовой ряд, представляющий итоговые оценки по математике студентов 1 курса:

3 4 5 4 4 3 5 4 4 3 5 4 5 3 3 4 4 4 5 3 3 5 5 4 5.

а) построить для него вариационный ряд; б) построить статистическое распределение для частот и относительных частот; в) дополнить статистическое распределение накопленными частотами;

г) построить полигон частот и относительных частот.

Задание 2. В отделе мужской обуви универмага в течение дня производился учет стоимости проданной обуви. Были получены следующие результаты (в рублях):

1200, 1110, 2300, 890, 320, 1200, 560, 1340, 1400, 1050, 1050, 4700, 3200, 2900, 2100, 2450, 890, 1110, 1200, 1200, 2300, 1050, 1400, 1200, 890, 320, 1320, 890, 1100, 1050

а) Представьте эти данные в виде интервальной таблицы абсолютных и относительных частот, разбив диапазон цен от 0 до 5000 рублей на интервалы длиной по 1000 рублей.

б) постройте гистограмму частот и относительных частот.

Задание 3. Для выборки 7; 3; 3; 6; 4; 5; 1; 2; 1; 3 определить среднее, моду и медиану.

Задание 4. Дано статистическое распределение выборки:

Определить среднее, моду, медиану, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Задание 5. В таблице приведены результаты измерения роста случайно отобранных 100 студентов:

Определите среднее, моду, медиану и дисперсию роста обследованных студентов.

Задание 6. Из генеральной совокупности извлечена выборка объемом n = 50. Найти несмещенную оценку генеральной средней.

Задание 7. По выборке объема n = 51 найдена смещенная оценка Dв = 5 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

II вариант

Задание 1. Дана случайная выборка из 25-ти учеников 8-го класса с данными об их росте: 166 165 163 166 168 165 168 170 165 165 165 165 164 168 165 164 161 166 166 167 164 163 168 167 167.

а) построить для него вариационный ряд; б) построить статистическое распределение для частот и относительных частот; в) дополнить статистическое распределение накопленными частотами;

г) построить полигон частот и относительных частот.

Задание 2. Перед вами выборка, полученная по результатам изучения обменного курса доллара в 20-ти обменных пунктах города: 26,45; 26,4; 26,41; 26,45; 26,66; 26,53; 26,55; 26,44; 26,8; 26,67; 26,77; 26,43; 26,7; 26,6; 26,68; 26,58; 26,55; 26,54; 26,57; 26,59

а) Разбейте весь интервал от 26,4 до 26,9 на пять интервалов, сгруппируйте данные и постройте по ним интервальную таблицу частот.

б) постройте гистограмму частот и относительных частот.

Задание 3.Для выборки 1; 2; 3; 4; 5; 5; 9; 6; 4 определить среднее, моду и медиану.

Задание 4. Дано статистическое распределение выборки:

Определить среднее, моду, медиану, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Задание 5. В таблице приведены данные о росте участников легкоатлетических соревнований:

Определите среднее, моду, медиану и дисперсию роста обследованных студентов.

Задание 6. Из генеральной совокупности извлечена выборка объемом n = 60. Найти несмещенную оценку генеральной средней.

Задание 7. По выборке объема n = 41 найдена смещенная оценка Dв = 3 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. В чем суть выборочного метода? Чем отличается выборочная совокупность от генеральной?
2. Перечислите характеристики выборки и назовите формулы, по которым они вычисляются

Список рекомендованной литературы

1. Спирина, М. С. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник для СПО / М. С. Спирина, П. А. Спирин. – 4-е изд., стер.- Москва : Академия, 2019. – 352 с.
2. Спирина, М. С. Теория вероятностей и математическая статистика. Сборник задач : учеб. пособие для СПО / М. С. Спирина, П. А. Спирин. – 4-е изд., стер. - Москва : Академия, 2020. – 192 с.
3. Васильев, А. А. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник и практикум для среднего профессионального образования / А. А. Васильев. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : Юрайт, 2019. — 232 с. — Текст : электронный // ЭБС Юрайт :[сайт]. — URL: https://biblio-online.ru/bcode/431426 (дата обращения: 28.06.2021).
4. Малугин, В. А. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник и практикум для среднего профессионального образования / В. А. Малугин. — Москва :  Юрайт, 2019. — 470 с. — Текст : электронный // ЭБС Юрайт : [сайт]. — URL: https://biblio-online.ru/bcode/441409 (дата обращения: 28.06.2021).
5. Малугин, В. А. Математическая статистика : учебное пособие для среднего профессионального образования / В. А. Малугин. — Москва :  Юрайт, 2019. — 218 с. — Текст : электронный // ЭБС Юрайт : [сайт]. — URL: https://biblio-online.ru/bcode/441414 (дата обращения: 23.06.2021).
6. Энатская, Н. Ю. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник и практикум для среднего профессионального образования / Н. Ю. Энатская, Е. Р. Хакимуллин. — Москва : Юрайт, 2019. — 399 с. — Текст : электронный // ЭБС Юрайт :[сайт]. — URL: https://biblio-online.ru/bcode/446435 (дата обращения: 23.06.2021).