Методические указания и контрольные задания для студентов – заочников по специальности 23.02.07
учебно-методический материал

Министерство образования и науки Республики Дагестан

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение РД

«Колледж машиностроения и сервиса им.С. Орджоникидзе»

ЕН.01  Математика

Методические указания и контрольные задания

для студентов – заочников

по специальности 23.02.07

Каспийск, 2022г.

СОДЕРЖАНИЕ 

1. Введение                                                                            2

2. Программа ЕН.01 Математика                                        4                

3. Методические указания                                                   7  

4. Контрольные задания                                                      24

5. Рекомендуемая литература                                             33

ВВЕДЕНИЕ

Данное методическое пособие ставит своей целью оказание помощи студентам-заочникам в организации их работ по овладению системой знаний и умений в объеме действующей программы по математике.

Основной формой учебного процесса студента-заочника  является индивидуальная самостоятельная работа с учебной литературой.

Изучать дисциплину Математика необходимо в логической последовательности:

1. Усвоить учебные материалы согласно программе.

2. Составить ответы на вопросы для самоконтроля.

3. Выполнить контрольную работу.

4. Сдать промежуточную аттестацию в виде экзамена.

Все непонятные вопросы студент может выяснить на индивидуальной консультации у преподавателя.

Студенты-заочники, в соответствии с ФГОС СПО изучают курс математики в течение одного года обучения и выполняют одну контрольную работу, которая включает следующие темы:

Основы дифференциального исчисления

Основы интегрального исчисления

Основные понятия и методы линейной алгебры

Элементы теории комплексных чисел

Основы теории вероятностей,  дискретной математики  и математической статистики

При выполнении контрольной работы необходимо строго придерживаться указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не засчитываются и возвращаются студенту для переработки.

Правила выполнения контрольных работ

1. Контрольную работу следует выполнять в тетради в клетку чернилами синего или черного цвета, оставляя поля для замечаний преподавателя.
2. На титульном листе  тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр), название дисциплины.
3. Контрольная работа, содержащая не все задания, а также задания не своего варианта, не засчитываются.
4. Выполнение  задач надо располагать в порядке номеров, указанных в задании, сохраняя номер задачи.
5. Перед выполнением каждого задания надо выписывать полностью его условие.
6. Выполнение задания следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.
7. К экзамену  студент допускается при наличии зачтенной контрольной работы.
8. Контрольная работа выполняется самостоятельно.

Для проведения промежуточной аттестации по дисциплине ЕН.01 Математика составлены экзаменационные задания, которые охватывают разделы материала курса.

В результате освоения учебной дисциплины студент должен

Объем учебной дисциплины и виды учебной работы

Программа ЕН.01 Математика

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

I. Основные понятия и методы математического анализа.

1.1.Основы дифференциального исчисления

При вычислении производных следует учитывать основные правила дифференцирования:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

                                                            (1)

2. Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций:                            U'                                                            (2)

3. Производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

                                                                       (3)

Это правило справедливо для случая нескольких сомножителей.

4. Производная отношения двух функций равна дроби, в числителе которой разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а в знаменателе квадрат исходного знаменателя:

                                                                                        (4)

5. Если  сложная функция, т.е. ,  а  , то производная находится, как                                                                               (5)

Пример 1.1 Найти производную функции .

Обозначим , тогда получим .

Воспользуемся правилом 5 и таблицей производных (приложение 1).

Пример 1.2. Найти производную функции .

Рассматривая функцию как сложную и пользуясь правилом (4), получим

Пример 1.3. Найти производную функции .

Рассматривая функцию как сложную и учитывая правило (3), получим

1.2.Правило нахождения интервалов монотонности и экстремумов функции

1)Вычисляем производную  f  (x) данной функции  f (х), а затем находим точки, в которых  f  (х) равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими для функции f (х).

2)Критическими точками область определения функции  f (х) разбивается на интервалы, на каждом из которых производная  f(x) сохраняет свой знак. Эти интервалы будут интервалами монотонности.

3) Определяем знак  f (х) на каждом из найденных интервалов. Если на рассматриваемом  интервале  f (x): то на этом  интервале f(x) возрастает, если же , то на таком интервале  убывает.

4) Если f  '(х) меняет знак при переходе через критическую точку, то функция f(x) в этой точке имеет экстремум. А именно, если знак меняется с минуса на плюс, то в этой точке минимум; если с плюса на минус, то в этой точке максимум. Если же знак  f '(x) не меняется при переходе через рассматриваемую точку, то функция  f (х) не имеет экстремума в этой точке.  

Пример1.4.     Найдите точки экстремума функции                            

  у=х4-8х2+3;

1) у/= (х4-8х2+3)/=4х3-16х;

2) у/=0;  4х3-16х=0;       4х(х2-4)=0; 4х(х-2)(х+2)=0;

3)  х1=0; х2=-2; х3=2  - стационарные точки функции

4)  у/  

        -                +        -         +

     у             -2               0                 2               х

                                                                           Ответ: х1=0 max; х2=-2  min; х3=2 min.

1.3.Механический смысл производной

Производная функции у = f(х), в точке х0, выражает скорость изменения функции в этой точке. Если функция задана законом прямолинейного движения S = S(t), то скорость движения в момент времени t  - это  производная по перемещению  

Скорость изменения скорости этого движения, т.е. ускорение

Пример 1.5.

Тело массой 4 кг движется прямолинейно по закону Какова кинетическая энергия тела в конце 3 сек. после начала движения тела? Какова сила, действующая на тело?

Wк =  (m·v2)/2            x ' (t) = v (t) = 2t+1,        v (3) = 7,            a(t)= v' (t) = 2,    Wк = (4·72)/2=98

 F = ma,       a(t) = v' (t) = x' ' (t),    x ' (t) = v (t) = 2t+1,     a(t)= v' (t) = 2,     F = ma = 4·2 = 8 H.

1.4. Основы интегрального исчисления

При вычислении интегралов следует учитывать основные правила интегрирования:

1.5.Основные методы интегрирования

а) Непосредственное интегрирование

Этот метод основан на вышеприведенных правилах интегрирования.

Пример 2.1. Найти интеграл

Сделаем тригонометрические преобразования

б) Метод подстановки (замены переменной)

Этот метод основан на введении новой переменной и осуществляется двумя приемами:

или  ,     или  ,  

Пример 2.2. Найти .

Сделаем замену , тогда , , и получим

Пример2. 4. 

.

1.6.Понятие определенного интеграла

Определенным интегралом от непрерывной функции  на отрезке  называется приращение какой-нибудь ее первообразной на этом отрезке.

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

• В отличие от неопределенного интеграла определенный интеграл есть число. Геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что он численно равен площади фигуры, образованной подынтегральной функцией, и прямыми , , . Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

                        (1)

• Основные свойства определенного интеграла:

1. При перестановке пределов интегрирования изменяется знак интеграла:

2. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

3. Определенный интеграл от алгебраической суммы  функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

• Путь, пройденный точкой при неравномерном движении    по   прямой   с переменной скоростью  за промежуток времени от до,вычисляется по формуле:

• Примеры:

1.=

2.==

3.Скорость движения точки Найти  путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.

Согласно условию, Следовательно,

4.Скорость движения точки изменяется по закону                    

Найти  путь, пройденный точкой за 10с от начала движения.

Согласно условию, По формуле (1)                  находим

• Площадь фигуры, заключенной между двумя линиями  и , вычисляется по формуле: .

Пример 2.5. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой  и осью .

Найдем пределы интегрирования как точки пересечения параболы с осью . При , , , , .

Теперь найдем площадь как

 (кв. ед.)

Пример 2.6.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решая уравнение  х3 х2 +1, найдем абсциссы точек пересечения графиков функций  f1 и  f2:

                     х1 и х2 = 2.

Используя формулу (3), вычислим площадь фигуры:

.

2.2. Линейная алгебра.

2.2.1. Элементы линейной алгебры

Матрицей называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов. В этом случае матрица называется прямоугольной или размера m⋅n. Если число строк равно числу столбцов      m = n, то матрица называется квадратной, порядка m. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой. В частном случае матрица может состоять из одной строки или одного столбца. Элемент матрицы обозначается аij, здесь первый индекс i обозначает номер строки, второй индекс j обозначает номер столбца.

В общем случае матрица записывается в виде:

.

Если в матрице поменять местами строки и столбцы, то получится матрица, называемая транспонированной. Она записывается в виде:

.

Матрицу можно умножать на произвольное число, при этом каждый элемент умножается на это число:

.

Матрицы одного размера можно складывать (вычитать). При этом получается матрица, элементы которой равны суммам (разностям) соответствующих элементов слагаемых (вычитаемых) матриц:

.

Одну матрицу А можно умножать на другую матрицу В только в том случае, когда число столбцов первой матрицы А равно числу строк второй матрицы В. Произведение матриц обозначается как . Каждый элемент новой матрицы находится как сумма произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы  j-го столбца матрицы В:

При выполнении действий над матрицами следует учитывать следующие свойства:

1. Произведение матриц некоммутативно, то есть .

2. Произведение матриц ассоциативно, то есть .

3. Произведение матриц подчиняется дистрибутивному закону, то есть

.

4. Произведение матрицы на нулевую матрицу равно нулевой матрице.

Понятие обратной матрицы

При решении системы линейных уравнений используется понятие обратной матрицы. Обратная матрица обозначается символом .

Матрица  называется обратной для матрицы А, если произведение , где Е - единичная матрица, то есть матрица, у которой элементы по диагонали равны 1, а остальные нули.

Например:

.      

Обратная матрица находится по формуле                    ,

здесь Δ - определитель матрицы А, - матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов матрицы А, где строки и столбцы меняются местами:

.

Эта матрица называется транспонированной.

Заметим, если определитель матрицы Δ равен нулю Δ=0 , то обратная матрица не существует.

Понятие определителя

Совокупность  чисел, расположенных в виде таблицы, называется определителем -го порядка. Для определителя используются следующие обозначения:

.

Числа  называются элементами определителя. Первый индекс  обозначает номер строки, второй индекс  обозначает номер столбца. Порядок определителя равен числу строк. У определителя число строк всегда равно числу столбцов. Определитель является числом.

Определитель первого порядка содержит один элемент и равен ему

.

Определитель второго порядка вычисляется по следующему правилу

.

Определитель третьего порядка можно вычислить по следующей схеме:

Определители высших порядков вычисляются с помощью свойств определителей.

Свойства определителей

1. Определитель не изменится, если в нем строки и столбцы поменять местами.

2. Определитель изменит только знак, если в нем поменять местами какие-нибудь две строки или два столбца.

3. Общий множитель элементов строки или столбца можно выносить за символ определителя.

4. Если все элементы какой-нибудь строки или столбца равны нулю, то определитель равен нулю.

5. Определитель равен нулю, если элементы двух строк или столбцов пропорциональны.

6. Определитель равен нулю, если он имеет две одинаковых строки или два одинаковых столбца.

7. Если все элементы некоторой строки или столбца состоят из двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей, в одном из которых элементами соответствующей строки являются первые слагаемые, во втором - вторые. Например:

.

8. Если к элементам некоторого столбца или строки определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца или строки, умноженные на любой общий множитель , то величина определителя не изменится. Например:

.

Следующее свойство позволяет понижать порядок определителя. Оно формулируется с помощью понятия алгебраического дополнения.

Алгебраическим дополнением  элемента  называется произведение  на определитель, который получается вычеркиванием в данном определителе строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент .

9. Определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца или строки на их алгебраические дополнения (теорема Лапласа).

С помощью этого свойства вычисление определителя -го порядка приводится  к вычислению определителей  -го порядка. Эта процедура называется разложением определителя по элементам строки или столбца.

Пример 3.1. Упростить определитель и вычислить его:

.

Прежде, чем вычислять определитель, можно упростить его, пользуясь свойствами определителей. В данном примере можно выполнить следующие действия: умножим элементы 1-го столбца на 2 и вычтем из элементов 2-го столбца, затем умножим элементы 1-го столбца на 3 и вычтем из элементов 3-го столбца. Тогда получим

.

Теперь можно легко вычислить этот определитель, разложив его по элементам 1-ой строки:

Пример 3.2. Разложить определитель по элементам 2-ой строки.

.

Учитывая определение алгебраического дополнения, получим

Теперь вычисляем определитель:

Пример 3.3.Определить, имеет ли матрица A обратную, и если имеет, то вычислить ее:

Решение

1) Вычисляем определитель матрицы А, применяя теорему Лапласа к первой строке:

2) Выписываем транспонированную матрицу АТ:

3) Строим присоединенную матрицу . Ее элементы представляют собой алгебраические дополнения соответствующих элементов транспонированной матрицы АТ.

Выписываем присоединенную матрицу:

4) Находим обратную матрицу по формуле:

Проверка. Воспользуемся определением обратной матрицы :

Система линейных уравнений

Линейные уравнения - это уравнения, в которых переменные имеют только первую степень и нет произведения переменных.

Система  линейных уравнений с  неизвестными записывается в виде:

                        (1)

В частном случае число уравнений и число переменных совпадают.

Решением системы является совокупность  чисел, которые при подстановке их в уравнения (1) обращают их в тождество.

Если система (1) имеет хотя бы одно решение, она называется  совместной; если нет ни одного решения, то система несовместна.

Если совместная система имеет только одно решение, то она называется определенной. Если более одного решения, то неопределенной.

Если определитель системы не равен нулю , то система имеет единственное решение. Для решения системы - линейных уравнений с - неизвестными существует несколько методов.

Метод Крамера

При использовании этого метода решение системы находится по формулам:                         ...,                         (2)

здесь -определитель системы, - определитель, в котором  элементы -го столбца определителя системы заменяются соответствующими свободными членами уравнений системы.

При решении системы следует иметь в виду следующее:

1. Если , но хотя бы один из определителей , , ...,  не равен нулю, то система несовместна.

2. Если  и все определители , , ...,  равны нулю, то система или несовместна или имеет бесконечно много решений, если существует хотя бы одно решение.

Пример3.4. Решить систему уравнений

Найдем определитель системы:            .

Найдем вспомогательные определители

.

Аналогично находим        ,  .

Теперь по формулам Крамера (2) найдем переменные

,   ,   .

Метод Гаусса

Этот метод решения системы линейных уравнений заключается в последовательном  исключении переменных из уравнений для того, чтобы в одном из уравнений осталось одно неизвестное. Покажем, как применяется этот метод на примере.

Пример3.5. Решить систему уравнений

Для удобства преобразований, составим расширенную матрицу из коэффициентов и свободных членов:

.

Умножим 1-ую строку на (-4) и сложим со второй строкой; затем умножим 1-ую строку на (-6) и сложим с третьей, получим

.

Теперь умножим 2-ую строку на  и сложим с третьей; получим

.

Запишем полученные преобразованные уравнения:

Теперь из 3-его уравнения находим , из 2-го уравнения находим , из 1-го уравнения имеем . Итак, решение системы ,  , .

Как видно из данного примера, преобразования уравнений нужно делать так, чтобы элементы матрицы, расположенные ниже диагонали оказались равны нулю.

2.3.Теория комплексных чисел

2.3.1. Формы комплексного числа

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар 

(x,y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения.

 Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар (x , 0).

Комплексные числа, заданные парами (0 , y), называют чисто мнимыми числами.

 Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи.

      Алгебраическая форма - это  такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число  z, заданное парой вещественных чисел   (x , y), записывается в виде

где использован символ   i , называемый мнимой единицей.

      Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа   

z = x + i y   и обозначают   Re z.

      Число y называют мнимой частью комплексного числа   z = x + i y   и обозначают   Im z.

      Комплексные числа, у которых   Im z = 0 , являются вещественными числами.

      Комплексные числа, у которых     Re z = 0 , являются чисто мнимыми 

      Два комплексных числа    у которых вещественные части одинаковые, а мнимые части отличаются знаком, называются комплексно сопряжёнными числами.     

      Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат   Oxy   и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

      Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью, и будем представлять комплексное число   z = x + i y   радиус–вектором с координатами   (x , y).

      Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью, а ось ординат Oy - мнимой осью.

      Модулем комплексного числа z = x + i y   называют вещественное число, обозначаемое | z |  и определенное по формуле

      Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором    z.

Запись комплексного числа в форме  z = r (cos φ + i sin φ) , где   r  и φ - модуль и аргумент этого числа соответственно, называют тригонометрической формой записи комплексного числа.

Запись комплексного числа в форме z = r e iφ, где   r  и φ - модуль и аргумент этого числа, соответственно, называют показательной формой записи комплексного числа.

2.4. Теория вероятностей и математической статистики

2.4.1.Элементы теории вероятностей и математической статистики

Основные понятия и определения

Всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое при данном комплексе условий, будем называть испытанием.

Например, многократное подбрасывание монеты, процесс изготовления какой-либо детали представляют собой испытания.

Результат этого действия или наблюдения будем называть случайным событием. Например, появление цифры при подбрасывании монеты является случайным событием, поскольку оно могло произойти или не произойти.

Если нас интересует какое-либо определенное событие из всех возможных событий, то будем называть его искомым событием (или искомым исходом).

Виды случайных событий

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого. В противном случае события называются совместными.

События  и  называются попарно несовместными, если любые два из этих событий несовместны.

События образуют полную систему событий, если в результате данного испытания непременно произойдет хотя бы одно из них.

В теории вероятностей важную роль играет полная система попарно несовместных событий, т. е. такая система событий, что в результате данного испытания непременно произойдет одно и притом только одно событие данной системы.

События ...,  называются равновозможными, если условия испытания обеспечивают одинаковую возможность осуществления каждого из них.

Множество всех элементарных событий, связанных е некоторым опытом, называется пространством элементарных событий.

Операции над событиями

 Если события А и В таковы, что  и , то они называются равными (равносильными), при этом пишут .

Суммой или объединением двух событий  называется событие С, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий .

                                или    

Суммой или объединением нескольких событий , ...,  называется событие С, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий  

Произведением или пересечением двух событий называется событие С, состоящее в одновременном наступлении .

Если несовместные события, то , т. е. их пересечение пусто (невозможное событие).

Произведением или пересечением нескольких событий ,…,  называется событие С, состоящее в одновременном наступлении всех событий .

Элементы комбинаторики

Пусть дано множество, состоящее из n элементов. Размещением из n элементов по m  элементов называется упорядоченное подмножество, содержащее т различных элементов данного множества.

Перестановкой из n элементов называется размещение из n элементов по n элементов.

Число всех возможных перестановок из n элементов обозначают  . Из определения перестановок следует

Пусть дано множество, состоящее из n элементов. Сочетанием из n элементов по элементов называется любое подмножество, которое содержит т различных элементов данного множества.

Классическое определение вероятности

Классический способ определения вероятности базируется на понятии равновозможных элементарных событий.

Вероятностью события А называется отношение числа m элементарных событий, благоприятствующих событию А, к общему числу n равновозможных элементарных событий.

Условной вероятностью события В при условии А называется отношение         вероятности произведения событий А и В к вероятности события А при

Приложение

Таблица производных

Таблица интегралов

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Вариант№1

1. Найти вторую производную функции   и вычислить .

2. Найти интегралы:

а)   б) .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

4. Вычислить предел функции:  

;             б)

5. Найти матрицу  , если

, .

6. Даны комплексные числа  ,.  Найти:

7. Классическое определение вероятности события.

Вариант№2

1. Найти  производную функции   и вычислить .

2. Найти интегралы:

а)   б)

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

4. Вычислить предел функции:

                                      а) ;         б)

5. Найти матрицу  , если

, .

6. Даны комплексные числа , . Найти:

7. Элементы комбинаторики.

Вариант№3

1. Найти вторую производную функции   и вычислить .

2.  Найти интегралы:

а)   б

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

4. Вычислить предел функции:

  б)

5. Найти матрицу  , если

, .

6. Даны комплексные числа  , .  Найти:

7. Виды случайных событий.

Вариант№4

1. Найти вторую производную функции  и вычислить .

2. Найти интегралы:

а)   б

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми

4. Найти матрицу  , если

, .

5. Решить систему уравнений по формулам Крамера

6. Даны комплексные числа  , . Найти:

7. Классическое определение вероятности.

Вариант№5

1. Найти производную функции  и вычислить .

2. Найти интегралы:

а)  б)

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

      осью   и прямой

4. Найти матрицу  , если          , .

5. Решить систему уравнений по формулам Крамера

6. Даны комплексные числа , .  Найти:

7. Понятие события.

Вариант№6

1. Найти производную функции     и вычислить   .

2. Найти интегралы:

а)  б)

 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой  

      и осью и прямыми .

4. Найти матрицу  , если

, .

5. Решить систему уравнений по формулам Крамера

6. Даны комплексные числа , .  Найти:

7. Сумма и произведение событий.

Вариант№7

1. Найти производную функции     и вычислить .

2. Найти интегралы:

а)  б) .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой  

     · и осью

4. Найти матрицу  , если

, .

5. Решить систему уравнений по формулам Крамера

6. Даны комплексные числа ,  .  Найти:

7. Множество. Элементы множества.

Вариант№8

 1. Найти производную функции  и вычислить .

 2. Найти интегралы:

а)  б)

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой  

      осью и прямыми

4. Найти матрицу  , если

, .

5. Решить систему уравнений по формулам Крамера

6. Даны комплексные числа  , .  Найти:

7. Условная вероятность.

Вариант№9

1. Найти производную функции  и вычислить .

2. Найти интегралы:

а)  б)

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

     3

4. Найти матрицу, обратную матрице

5. Найти матрицу , если

, .

6. Даны комплексные числа , .  Найти:

7. Вероятность произведения независимых событий.

Вариант№10

1. Найти производную функции  и вычислить .

2. Найти интегралы:

      а)  б)

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

4. Найти матрицу, обратную матрице

5. Найти матрицу , если

, .

6. Даны комплексные числа , .  Найти:

7. Множество. Элементы множества.

1. Найти производную функции  и вычислить .

2. Найти интегралы:  а)   б)

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

2

4. Найти матрицу  , если

, .

5.Решить систему уравнений по формулам Крамера

6. Выполнить деление:  

7. Операции над множествами.

Вариант№12

1. Найти производную функции  и вычислить .

2. Найти интегралы:

а)   б)

 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

4.  Найти матрицу , если

, .

5. Решить систему уравнений по формулам Крамера

6. Выполнить деление:  

7. Перечислите операции над множествами.

Вариант№13

1. Найти производную функции    и вычислить

2. Найти интегралы:

а)   б)

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой

    3,   осью   и прямыми    

4. Найти матрицу , если

, .

5. Решить систему уравнений по формулам Крамера

6. Записать в тригонометрической форме комплексное число . 

7. Классическое определение вероятности события.

Вариант№14

1. Найти производную функции    и вычислить

2. Найти интегралы:

a)  б).

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой   осью и прямыми

4. Найти матрицу , если

, .

5. Найти матрицу, обратную матрице           А=

6. Записать число  в тригонометрической форме.

7. Элементы комбинаторики.

Вариант №15

1. Найти производную функции    и вычислить  

2. Найти интегралы:          

     a) б).

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой  2,   осью и прямыми  .

4. Найти матрицу , если

, .

5. Решить систему уравнений по формулам Крамера

6. Записать в тригонометрической форме комплексное число .

7. Виды случайных событий.

Вариант №16

1. Найти производную функции    и вычислить

2. Найти интегралы:

а)   б).

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  

                            .

4. Найти матрицу , если

, .

5. Решить систему уравнений по формулам Крамера

6. Записать число  в показательной форме.

7. Классическое определение вероятности.

Вариант №17

1.  Найти производную функции    и вычислить

2. Найти интегралы:

а)    б).

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой  , осью , прямыми

 (площадь ограничена верхней ветвью параболы).

4. Найти матрицу , если

, .

5. Решить систему уравнений по формулам Крамера

6. Записать число  в алгебраической и показательных формах.

7. Понятие события.

Вариант №18

1. Найти производную функции    и вычислить    

2. Найти интегралы:

a)    б).

3. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой  , осью  и прямыми   и  .

4. Найти матрицу , если

, .

5. Решить систему уравнений по формулам Крамера

6. Даны комплексные числа  и

                   . Найти . 

7. Виды случайных событий.

Вариант №19

1. Найти производную функции   и вычислить

2. Найти интегралы:

а)            б) .

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой    2,

осью и прямыми    

4. Найти матрицу , если         , .

5. Решить систему уравнений по формулам Крамера

6. Даны комплексные числа  и .

Найти . 

7. Операции над множествами.

Вариант №20

1. Найти производную функции            и   вычислить    

2. Найти интегралы:

а)    б)

3.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

  и  

4. Найти матрицу , если

, .

5. Решить систему уравнений по формулам Крамера

6. Даны комплексные числа  и

 . Найти . 

7. Операции над множествами.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Башмаков М.И., Математика. Учебное пособие. –М.: «Академия», 2014.

2.Башмаков М.И., Математика. Задачник. –М.: «Академия», 2014.

3.Башмаков М.И., Математика. Методическое пособие. –М.: «Академия», 2014.

4.Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика, -М.: «Академия», 2016.

5.Пехлецкий И.Д. «Математика», -М.: «Академия», 2016.

6. Башмаков М.И., Математика. Учебник. –М.: «Академия», 2016.

7. Григорьев С.Г., Задулина С.В., Математика, ОИЦ «Академия», 2016.

8. Богомолов Н.В. Самойленко П.И. «Математика», - М., 2016.

9. Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике», - М., 2016.