Исследовательская работа "В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии"
проект

Слайд 1

Тема исследовательской работы: « В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии » Выполнила: учащаяся 1 курса группы №6 Александрова Екатерина Мариинско-Посадский технологический техникум Минобразования Чувашии

Слайд 2

Л.Н.Толстой 1828-1910 Талантливые люди талантливы во всём . Великий русский писатель и философ Лев Николаевич Толстой занимался педагогической деятельностью, работал по собственной методике и придерживался в преподавании определённых принципов. Великий русский писатель Лев Николаевич Толстой проявлял особый интерес к математике и ее преподаванию, много лет преподавал начала математики в основанной им же знаменитой Яснополянской школе, написал оригинальную “Арифметику” и “Руководства для учителя”. Своим гостям Л.Н. Толстой нередко предлагал многие интересные задачи, среди которых находится и следующая

Слайд 3

Задача. Косцы должны выкосить два луга. Начав с утра косить большой луг, они после полудня разделились: одна половина осталась на первом лугу и к вечеру его докосила, а другая перешла косить на второй луг площадью вдвое меньше первого. Сколько было косцов, если известно, что в течение следующего дня оставшуюся часть работы выполнил один косец?

Слайд 4

Цель работы: Исследование возможностей математики при решении задач. Для достижения цели были поставлены следующие задачи : Изучить различные методы и способы решения задач. Применить эти методы при решении данной задачи. Сравнить способы и выбрать самый рациональный способ.

Слайд 5

Методы решения текстовых задач ЛОГИЧЕСКИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ( рассуждения) ( используя только числа) графические составляя уравнения

Слайд 6

Решить задачу логическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, как правило, не выполняя вычислений, а только используя логические рассуждения. Примерами таких задач могут служить задачи «на переправы», классическим представителем которых является задаче о волке, козе и капусте, или задачи «на взвешивание». Решить задачу арифметическим методом – значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над данными в задаче числами. Одну и туже задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга логикой рассуждений в процессе решения задачи. Решение текстовой задачи алгебраическим методом состоит в последовательной реализации трёх этапов: - перевод текста задачи на алгебраический язык ; - решение полученной математической задачи; - ответ на вопрос задачи, перевод полученного результата на язык исходной ситуации

Слайд 7

1. Логические методы решения текстовых задач 1.1 Метод избытка 1 способ Суть метода избытка состоит в том, что допускается, что сделано больше, чем в условии задачи и решение задачи на много облегчается. Решение: Используем эту фигуру. По условию задачи мы получили, что содержание задачи соответствует следующему рисунку и за один день весь артель косцов скосит 4 квадратика. Допустим, что малый участок дополнили до большого участка и решили косцы малого участка скосить в том же составе, то мы получим 1/3 = 1/6 + 1/6 и скосили 1/3 части 2 косца, а за 1 день они скосили 4 таких участка, 4*2=8(косцов). Ответ: 8 косцов. 1/3 1/3 1/3 1/6 1/3 Вывод: «Использование чертежа при решении задач делает ее совершенно ясной» (высказывание Л.Н.Толстого)

Слайд 8

1.2 Метод перебора 2 способ Решение: По условию задачи сразу понятно, что число косцов чётное , так как после обеда делились пополам. Вывод: задачи, решаемые методом перебора, приводят зачастую к красивым и неожиданным результатам. Ответ: 8 косцов Число косцов Большой луг Малый луг Итого I половина II половина Всего (раб.дней) I день II день Всего (раб.дней) 2 2 1 2 1 1 1,5 1,5х2=2 не верно 4 4 2 3 2 1 2 2х2=3 не верно 6 6 3 4,5 3 1 2,5 2,5х2=4,5 не верно 8 8 4 6 4 1 3 3х2=6 8-решение

Слайд 9

1.3 Метод моделирования 3 способ Метод моделирования один из самых сложных методов. Решения и требует более обширного представления о сюжете задачи. Однако с помощью этого метода иногда можно решить задачи простыми арифметическими вычислениями. Моделируем ситуацию. Пусть первое поле будет 48 клеток. Второе поле- 24 клетки. Зелёным цветом показана работа артели до обеда, синим цветом показана работа половины артели после обеда, голубым- работа одного косаря Решение: Подсчитав, что один косарь за день косит 8 клеток. Артель за день скосила 64 клетки. Делаем вывод: в артели 8 человек. Ответ: в артели 8 человек.

Слайд 10

2. Арифметические методы решения текстовых задач 2.1 Арифметический метод 4 способ Решение. На первом лугу косцы проработали 1/2 дня – вся бригада и 1/2 дня – половина бригады, что составляет 3/4 рабочего дня. На втором лугу в первый день работала 1/2 бригады в течение дня, т.е. затрачено 1/4 рабочего дня целой бригады. Так как площадь второго луга в 2 раза меньше первого, то, для того чтобы выкосить его, вся бригада должна была бы работать 3/8 дня. Следовательно, на второй день на меньшем лугу останется 3/8 – 1/4 = 1/8 часть работы всей бригады за день. А так как эту работу выполнил один косец, значит вся бригада состояла из 8 косцов. Ответ. 8 косцов.

Слайд 11

5 способ Решение: Изобразим оба луга следующей фигурой, в которой левый прямоугольник представляет большой луг, правый, в два раза меньший первого, - меньший луг. Чтобы скосить весь большой луг, вся артель работала первую половину дня, а вторую половину дня работала половина артели. Иными словами, половине артели нужно было бы работать трижды по ½ дня, чтобы скосить большой луг (все косцы считаются одинаково сильными). Таким образом, половина артели в половину дня скосила 1/3 большего луга. Так как меньший луг, представляющий половину большего, составляет 1/3 + 1/6 большего луга (Принимая большой луг за 1 =1/3 + 1/3 + 1/3. Имеем для величины меньшего луга 1/2 = 1/3 +1/6) и во вторую половины дня половина артели на нем скосила одну треть большего луга, то остался нескошенным в конце дня участок, равный одной шестой части большего луга. По условию задачи этот остаток может скосить один косец за день. Вся артель за день скосила весь большой луг и часть меньшего, равную 1/3, или 2/6, частям большого луга; следовательно, артель за день скосила всего 1 + 2/6 = 6/6 + 2/6 = 8/6 частей большого луга. Так как один косец за день может скосить 1/6 часть большого луга, то для того, чтобы скосить за день 8/6 частей большого луга, артель должна состоять из 8 человек. Ответ: 8 косцов

Слайд 12

3. Алгебраические методы решения текстовых задач 3.1. Решение задач с помощью уравнений Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решать одну и туже задачу различными способами, чем решать три- четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт. У.У.Сойер 6 способ Решение: Пусть число косцов будет X . Оба луга были скошены при работе всей артели в течение дня и ещё одного косца в течение второго дня. Чтобы скосить малый луг, составляющий 1/3 обоих лугов, требуется ( X +1)/ 3 рабочих дня. С другой стороны, для того, чтобы скосить малый луг, половина артели работала половину дня ( то есть X /2 косцов 1/2 дня), иными словами, требовалась работа за X /4 рабочих дня и одного косца за целый день, так что всего косьба малого луга потребовала ( X /4 + 1) рабочих дня. Значит: ( X + 1) / 3 = X /4 + 1, X + 4 = 12, X = 8. Ответ: 8 косцов

Слайд 13

7 способ Установив, что косьба обоих лугов потребовала X + 1 рабочих дня, мы можем найти два выражения для числа дней работы на большом лугу и, приравняв эти выражения получить уравнение для определения X . Так как большой луг составляет 2/3 обоих лугов, то его можно было скосить в 2 ( X + 1) / 3 дня. Косила же его вся артель ½ дня, что дает X /2 рабочих дня и половина артели ½ дня, что дает ещё X /4 рабочих дня; всего для того, чтобы скосить большой луг, потребовалось X /2 + X /4 рабочих дня. Имеем уравнение: 2/3 ( X + 1) = X /2 + X /4, Откуда X = 8. Ответ: 8 косцов.

Слайд 14

8 способ Малый луг обозначен через 1, то большой луг в 2 раза больше, обозначим через 2. X – количество косцов. На малом лугу работали половина артели половина дня и 1 косец 1 день, всего 0,5* X *0.5+1*1 рабочих дней, то 1/(0,25 X + 1) производительность на малом лугу. На большом лугу работали вся артель половина дня и половина артели другую половину дня и всего получили 0,5* X + 0.5* X *0.5 = 0.75 X 2/0.75 – это производительность на большом лугу Так как косцы были одинаковой силы, их производительности равны. Получили: 1/0.25 X + 1 = 2/0.75 X , 0.75 X = (0.25 X + 1)*2, 0.25 X = 2, X = 8, Ответ: 8 косцов

Слайд 15

9 способ Чтобы скосить малый луг потребовалось косцу X /4 + 1 рабочих дня косцов, для большого луга это число было X /2 + X /4. Малый луг в два раза меньше большого таково же будет и отношение чисел рабочих дней. ( X /4 + 1): ( X /2 + X /4) = 1 : 2; 2 ( X /4 + 1) = X /2 + X /4, X /2 + 2 = X /2 + X /4, X /4 = 2, X = 8. Ответ: 8 косцов Решение одной задачи разными способами учит смотреть на ситуации в жизни разносторонне, обогащает память опорными фактами, создает необходимое условие для развития мыслительных способностей, помогает вскрыть и устранить недостатки в своей работе, что развивает критическое мышление, необходимое в жизни.

Слайд 16

3.2. Решение при помощи ведения новой переменной 10 способ Мне думается, что главнейшим в творческой деятельности является способность непрерывно искать пути решения проблемы. Академ. М.А.Лаврентьев Решение: Обозначим число косцов через X , а через Y величину участка, скашиваемого одним косцом за один день, то величина большого луга будет Y *( X /2 + X /4) или 3 X * Y /4. На малом лугу косили X /2 косца за 1/2 дня и один косец целый день. Величина малого луга будет ( X /4 + 1)* Y = ( XY + 4 Y )/4 Так как большой луг в два раза больше малого, то 3 XY /4: ( XY + 4 Y )/4 = 2 3 X /( X + 4) = 2 X = 8 Ответ : 8 косцов Вывод: Решение задач различными способами развивает сообразительность, уводит от шаблона, повышает интерес к математике .

Слайд 17

3.3. Решение с помощью системы уравнений 11 способ Решение: Пусть число косцов будет X . Для скашивания большого луга требуется Y рабочих дней, то Y /2 рабочих дней потребуется для скашивания малого луга. Большой луг косила вся артель половина дня, поэтому получилось X /2 рабочих дня. Получим уравнение Y = X /2 + X /4; Y = 3/4 X Малый луг косила половина артели половину рабочего дня и 1 рабочий 1 день. Получим систем: . 3/4 X = X /2 + 2, X /4 = 2, X =8 Ответ: 8 косцов Вывод: Задачи, допускающие различные решения, как правило, интересны и поучительны. Каждое из них демонстрирует возможности какого-либо одного метода, а сравнение решений позволяет выработать свою систему подходов к задачам, развивает интуицию.

Слайд 18

Заключение. Основой всей математики является арифметика. В житейской практике чаще всего приходится решать арифметические задачи. Они бывают трудные и не всегда подаются чисто арифметическому решению. Тогда на помощь приходит алгебра, то есть задачи решаем составлением уравнений или систем уравнений. Иногда чертеж, соответствующий условию задачи облегчает составление уравнений и решение задач. Алгебра – это арифметика для «лентяев», которым лень думать и решать задачу арифметики. Выполняя исследовательскую работу, проделала следующее: Рассмотрено 7 методов и 11 способов решения одной задачи; Все эти методы применила к данной задаче; Сравнила все методы, выбрала рациональный вариант: решение задач применением геометрических фигур. Мне показалось, что этим методом задача решается легко.

Слайд 19

Выводы: 1.Все задачи перерешать невозможно, но можно научиться методам решения задач. 2.Решение задач несколькими способами способствует : развитию логического мышления; повышению математической культуры; привитию навыков самостоятельной работы ; развитию творческих способностей и учит сравнивать и выбирать оптимальный вариант, Развивает критическое мышление . 3.В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии.

Слайд 20

Литература. И. Я. Депман. Рассказы о решении задач. Ленинград 1957 г. Г. Н. Васильева. Решение задач на составление уравнения. Пермь 2001 г. Н. Я. Виленкин, Р. С. Гутлер. Факультативный курс. Избранные вопросы математики. Москва «Просвещение» 1078 г. Ф. А. Баратенев. Нестандартные задачи по алгебре. Москва «Просвещение» 1976 г. http://www.tutoronline.ru/blog/zadachi-po-matematike-ot-lva-tolstogo.aspx znanija.com›task/325202 myshared.ru›slide/79397/ amovskaya-nov.narod.ru/doc/uchitelya/OSV/OSV-reshenie-zadach.ppt

Слайд 21

Спасибо за внимание!