МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ БЕЛГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ

ОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«БЕЛГОРОДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ»

МЕТОДИЧЕСКИЕ  УКАЗАНИЯ  ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

учебной дисциплины ЕН.01 Математика

Разработчик: Иващенко Юлия Сергеевна, преподаватель

Белгород

Методические указания по выполнению практических работ по   учебной дисциплине ЕН.01 Математика разработаны на основе ФГОС специальностей  среднего профессионального образования по подготовке специалистов среднего звена технического профиля

Содержание

1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Методические указания  по выполнению практических работ по  учебной дисциплине ЕН.01 Математика способствуют формированию  у студентов  системы знаний, практических умений, элементов профессиональных и общих компетенций.

Учебная дисциплина ЕН.01 Математика входит в естественнонаучный цикл обязательной части основной профессиональной образовательной программы.

Цели и задачи учебной дисциплины- требования к результатам освоения дисциплины:

2. ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

3. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 1

Тема: Основы линейной алгебры. Матрицы. Определители.

Цель: отработка умений и навыков выполнения действий с матрицами, вычисления определителей.

Обеспечение выполнения работы:

Учебное оборудование:

1. Методические указания по выполнению практических работ по дисциплине «Математика».

Информационные источники:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики: учебник для студ.  учреждений сред.проф. образования. – 6-е. изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2011. – 320 с.
2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике: учеб.пособие для студ.  учреждений сред. проф. Образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2013. – 160 с.

Критерии оценки:

Инструкция по выполнению работы:

1. Запишите в тетрадь для практических работ тему и цель занятия.
2. Внимательно ознакомьтесь с Основными теоретическими сведениями, включающими также примеры решения задач.
3. Выберите задания согласно своему варианту и приступайте к работе.
4. После выполнения работы ответьте письменно (в тетради) на контрольные вопросы, размещенные  после заданий.

Основные теоретические сведения и примеры решения заданий

Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться.

Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами А, В, С,…

Действия с матрицами:

1) Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).

Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

2) Умножение матрицы на число.

Пример:

Пример:

3) Транспонирование матрицы

Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

Пример:
Транспонировать матрицу D = (7   3   – 12   0   34).

Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:

 – транспонированная матрица.

4) Сумма (разность) матриц.

Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы:

Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов.

5) Умножение матриц.

Чтобы матрицу К  можно было умножить на матрицу L необходимо, чтобы число столбцов матрицы К  равнялось числу строк матрицы L.

Пример:

Внимание!  Понятия квадрата матрицы не существует!

Если для матрицы А необходимо вычислить , то это означает, что необходимо выполнить действие А*А.

Вычисление определителей

Определитель можно вычислить только для квадратной матрицы!

На практике чаще всего можно встретить определитель второго порядка, например:

Обозначения: Если дана матрица  , то ее определитель обозначают . Также очень часто определитель обозначают латинской буквой D  или греческой Δ.

Начнем с определителя «два» на «два»:

Сразу рассмотрим пример:

Самое главное, НЕ ЗАПУТАТЬСЯ В ЗНАКАХ.

Определитель матрицы «три на три» 

Пример:

Задания для самостоятельной работы

Задание 1. Найти значение матричного многочлена  2АВ + 5В2+3ВА, если:

Задание 2.  Вычислить определители:

1.  а)   б)        в)    

2.   а)       б)              в)    

3.   а)       б)     в)       

4.   а)       б)      в)       

5.   а)       б)      в)       

6.   а)             б)      в)       

7.   а)             б)              в)       

8.   а)              б)      в)    

9.   а)              б)              в)    

10.  а)             б)              в)    

Контрольные вопросы

1. Перечислите свойства определителей.
2. Дайте определение ранга матрицы.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 2

Тема: Построение обратной матрицы.

Цель: отработка умений и навыков нахождения обратной матрицы.

Обеспечение выполнения работы:

Учебное оборудование:

1. Методические указания по выполнению практических работ по дисциплине «Математика».

Информационные источники:

2. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики: учебник для студ.  учреждений сред.проф. образования. – 6-е. изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2011. – 320 с.
3. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике: учеб.пособие для студ.  учреждений сред. проф. Образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2013. – 160 с.

Критерии оценки:

Инструкция по выполнению работы:

1. Запишите в тетрадь для практических работ тему и цель занятия.
2. Внимательно ознакомьтесь с Основными теоретическими сведениями, включающими также примеры решения задач.
3. Выберите задания согласно своему варианту и приступайте к работе.
4. После выполнения работы ответьте письменно (в тетради) на контрольные вопросы, размещенные  после заданий.

Основные теоретические сведения и примеры решения заданий

Пусть A = (aij) – квадратная матрица с определителем, не равным нулю.

Тогда существует обратная матрица A–1, которая вычисляется по формуле

        .

Последняя формула означает, что в i-й строке и j-м столбце обратной матрицы располагается алгебраическое дополнение элемента, стоящего в j-й строке и в i-м столбце исходной матрицы, деленное на определитель исходной матрицы.

Напомним здесь, что Apq = (–1)p+qMpq, где Mpq называется минором и представляет собой определитель, получающийся из определителя detA вычеркиванием p-й строки и q-го столбца.

Пример. Дана матрица . Найти .

Решение

Задания для самостоятельной работы

Даны две матрицы A и B.  Найти:

№ 1. А – 1;

№ 2. В – 1;

№ 3. АА – 1;

№ 4. А – 1А.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте необходимое условие существования обратной матрицы.
2. Существует ли обратная матрица по отношению к матрице размера 4×5?

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 3

Тема: Методы решения систем линейных уравнений.

Цель: отработка умений и навыков выполнения действий с матрицами, вычисления определителей, решения систем линейных уравнений методом Крамера.

Обеспечение выполнения работы:

Учебное оборудование:

1. Методические указания по выполнению практических работ по дисциплине «Математика».

Информационные источники:

2. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики: учебник для студ.  учреждений сред.проф. образования. – 6-е. изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2011. – 320 с.
3. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике: учеб.пособие для студ.  учреждений сред. проф. Образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2013. – 160 с.

Критерии оценки:

Инструкция по выполнению работы:

1. Запишите в тетрадь для практических работ тему и цель занятия.
2. Внимательно ознакомьтесь с основными теоретическими сведениями, включающими также примеры решения задач.
3. Выберите задания согласно своему варианту и приступайте к работе.
4. После выполнения работы ответьте письменно (в тетради) на контрольные вопросы, размещенные  после заданий.

Основные теоретические сведения и примеры решения заданий

Решение системы по формулам Крамера

Для того чтобы выполнить данное задание Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три».

Пример. Решить систему по формулам Крамера. 

Решение: Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ: .

Для того чтобы убедиться в правильности выполнения задания, необходимо найденные значения подставить в исходную систему вместо неизвестных и убедиться в тождественности полученных равенств.

Задания для самостоятельной работы

Задание 1. Решите систему уравнений методом Крамера:

Контрольные вопросы

1. Чем отличается несовместная система уравнений от неопределенной?
2. Какие системы уравнений называются равносильными?

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 9

Тема: Комплексные числа.

Цель: отработка умений и навыков выполнения действий с комплексными числами.

Обеспечение выполнения работы:

Учебное оборудование:

1. Методические указания по выполнению практических работ по дисциплине «Математика».

Информационные источники:

2. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики: учебник для студ.  учреждений сред.проф. образования. – 6-е. изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2011. – 320 с.
3. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике: учеб.пособие для студ.  учреждений сред. проф. Образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2013. – 160 с.

Критерии оценки:

Инструкция по выполнению работы:

1. Запишите в тетрадь для практических работ тему и цель занятия.
2. Внимательно ознакомьтесь с Примерами решения задач.
3. Выберите задания согласно своему варианту и приступайте к работе.
4. После выполнения работы ответьте письменно (в тетради) на контрольные вопросы, размещенные  после заданий.

Примеры решения задач

Задание. Даны комплексные числа  z1=1+i  и   z2=.

Вычислить: а)  ;  б); в);  г) ; д) представить число z1 в тригонометрической форме; е) вычислить  .

Решение:

а) z1+z2 =(1+i)+()=(1+)+2i2,7+2i

б) z1-z2 =(1+i)-()=1-)+0i-0,7

в) z1*z2 =(1+i)*()=

г)

д) для того, чтобы представить число z1=1+i  в тригонометрической форме, необходимо найти модуль этого числа r и его аргумент  по формулам:

,  (, т.к. вектор комплексного числа z1 лежит в1 четверти).

Примечание. Если вектор комплексного числа лежит во 2 четверти, то ; если вектор комплексного числа лежит во 3 четверти, то ; если вектор комплексного числа лежит во 4 четверти, то ,

z1=1+i=

Так как тригонометрическая форма комплексного числа записывается формулой

, то для нашего числа получаем:.

е) используем формулы:

Т.к. в нашем случае n=2, то k=0;1;, то получим:

Задания для самостоятельного решения

Даны комплексные числа z1 и z2. Вычислить: а) ; б); в); г) ; д) представить число z1 в тригонометрической форме; е).

Контрольные вопросы

1. Какие комплексные числа называют равными; сопряженными?
2. Как изображаются комплексные числа геометрически?
3. Дайте определение модуля и аргумента комплексного числа.
4. Перечислите формы записи комплексного числа.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 10

Тема: Вычисление пределов.

Цель: отработка умений и навыков вычисления пределов, раскрытия неопределенностей, применения замечательных пределов.

Обеспечение выполнения работы:

Учебное оборудование:

1. Методические указания по выполнению практических работ по дисциплине «Математика».

Информационные источники:

2. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики: учебник для студ.  учреждений сред.проф. образования. – 6-е. изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2011. – 320 с.
3. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике: учеб.пособие для студ.  учреждений сред. проф. Образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2013. – 160 с.

Критерии оценки:

Инструкция по выполнению работы:

1. Запишите в тетрадь для практических работ тему и цель занятия.
2. Внимательно ознакомьтесь с Примерами вычисления пределов.
3. Выберите задания согласно своему варианту и приступайте к работе.
4. После выполнения работы ответьте письменно (в тетради) на контрольные вопросы, размещенные  после заданий.

Примеры вычисления пределов

Пример 1.Вычислите предел .

Решение:

Как решить вышерассмотренный пример? Нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

Пример 2.Вычислите предел .

Решение:

Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию   бесконечность и получаем ответ.

.

Пример 3.Вычислите предел .

Решение:

Сначала мы смотрим на числитель и находимх  в старшей степени:

Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и тоже находимх в старшей степени:

Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность  необходимо разделить числитель и знаменатель нах в старшей степени.

Разделим числитель и знаменатель на

Что принципиально важно в оформлении решения?

Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.

Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак (*), он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.

В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так:

Для пометок лучше использовать простой карандаш.

Пример 4.Найти предел .

Снова в числителе и знаменателе находим  в старшей степени:

Максимальная степень в числителе: 3.

Максимальная степень в знаменателе: 4.

Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.

Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности делим числитель и знаменатель нах4.

Полное оформление задания может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель нах4.

Пример 5.Найти предел
Максимальная степень «икса» в числителе: 2.
Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 (хможно записать какх1).

Для раскрытия неопределенности необходимо разделить числитель и знаменатель нах2. Чистовой вариант решения может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на х2.

Под записью  подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.

Пределы с неопределенностью вида  и метод их решения

Группа следующих пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.

Пример 6.Решить предел
Сначала попробуем подставить -1 в дробь:
 
В данном случае получена так называемая неопределенность .

Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Итак, решаем наш предел

Разложим числитель и знаменатель на множители. Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:

Сначала находим дискриминант:

И квадратный корень из него: .

В случае если дискриминант большой, например 361,  используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе.

! Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка.

Далее находим корни:

Таким образом:

Всё. Числитель на множители разложен.

Знаменатель. Знаменатель  уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.

Очевидно, что можно сократить на (х+1) :

Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:

Разложим числитель на множители.

Пример 7.Вычислить предел

Сначала «чистовой» вариант решения

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель:
Знаменатель:



,

Пример 8.Найти предел

Начинаем решать.

Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.

Получена неопределенность вида , которую нужно устранять.

Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности  используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов:

И смотрим на наш предел: .

Что можно сказать? у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать  (которое в и называется сопряженным выражением).

Умножаем числитель на сопряженное выражение:

Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.

Хорошо,  мы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на:

То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
В известной степени, это искусственный прием.

Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу :

Неопределенность  не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:

Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела.

Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители, собственно, это следовало сделать раньше.

Пример 9.Найти предел

Сначала попробуйте решить его самостоятельно.

Окончательное решение примера может выглядеть так:

Разложим числитель на множители:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение

Замечательные пределы

Пример 10.Найти предел

Если мы замечаем в пределе синус, то это нас сразу должно наталкивать на мысль о возможности применения первого замечательного предела.

Сначала пробуем подставить 0 в выражение под знак предела (делаем это мысленно или на черновике):

Итак, а нас есть неопределенность вида , ее обязательно указываем в оформлении решения. Выражение под знаком предела у нас похоже на первый замечательный предел, но это не совсем он, под синусом находится 7х, а в знаменателе 3х.

В подобных случаях первый замечательный предел нам нужно организовать самостоятельно, используя искусственный прием. Ход рассуждений может быть таким: «под синусом у нас 7х, значит, в знаменателе нам тоже нужно получить 7х».
А делается это очень просто:

То есть, знаменатель искусственно умножается в данном случае на 7 и делится на ту же семерку. Теперь запись у нас приняла знакомые очертания.
Когда задание оформляется от руки, то первый замечательный предел желательно пометить простым карандашом:

Что произошло? По сути, обведенное выражение у нас превратилось в единицу и исчезло в произведении:

Теперь только осталось избавиться от трехэтажности дроби:

Готово. Окончательный ответ:

Пример 11.Найти предел

Опять мы видим в пределе дробь и синус. Пробуем подставить в числитель и знаменатель ноль:

Действительно, у нас неопределенность  и, значит, нужно попытаться организовать первый замечательный предел. Степени мы представим в виде произведения (множителей):

Далее, по уже знакомой схеме организовываем первые замечательные пределы. Под синусами у нас , значит, в числителе тоже нужно получить :

Аналогично предыдущему примеру, обводим карандашом замечательные пределы (здесь их два), и указываем, что они стремятся к единице:

Собственно, ответ готов:

Пример 12.Найти предел

Подставляем ноль в выражение под знаком передела:

Получена неопределенность , которую нужно раскрывать. Если в пределе есть тангенс, то почти всегда его превращают в синус и косинус по известной тригонометрической формуле .

 В данном случае:

Косинус нуля равен единице, и от него легко избавиться (не забываем пометить, что он стремится к единице):

Таким образом, если в пределе косинус является МНОЖИТЕЛЕМ, то его, грубо говоря, нужно превратить в единицу, которая исчезает в произведении.

Дальше по накатанной схеме, организуем первый замечательный предел:

Здесь все вышло проще, без всяких домножений и делений. Первый замечательный предел тоже превращается в единицу и исчезает в произведении:

В итоге получена бесконечность, бывает и такое.

Пример 13.Найти предел

Пробуем подставить ноль в числитель и знаменатель:

Получена неопределенность  (косинус нуля, как мы помним, равен единице)

Используем тригонометрическую формулу . Возьмите на заметку! Пределы с применением этой формулы почему-то встречаются очень часто.

Постоянные множители вынесем за значок предела:

Организуем первый замечательный предел:

Здесь у нас только один замечательный предел, который превращается в единицу и исчезает в произведении:

Избавимся от трехэтажности:

Предел фактически решен, указываем, что оставшийся синус стремится к нулю:

Второй замечательный предел

В теории математического анализа доказано, что:

Данный факт носит название второго замечательного предела.

Справка:  – это иррациональное число.

В качестве параметра  может выступать не только переменная , но и сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности.

Пример 15.Найти предел

Когда выражение под знаком предела находится в степени – это первый признак того, что нужно попытаться применить второй замечательный предел.

Нетрудно заметить, что при основание степени , а показатель – , то есть имеется, неопределенность вида :

Данная неопределенность как раз и раскрывается с помощью второго замечательного предела. Но, как часто бывает, второй замечательный предел не лежит на блюдечке с голубой каемочкой, и его нужно искусственно организовать. Рассуждать можно следующим образом: в данном примере параметр , значит, в показателе нам тоже нужно организовать  . Для этого возводим основание в степень , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в степень :

Когда задание оформляется от руки, карандашом помечаем:

Практически всё готово, страшная степень превратилась в симпатичную букву :

При этом сам значок предела перемещаем в показатель.

Далее, отметки карандашом я не делаю, принцип оформления, думаю, понятен.

Пример 16. Найти предел

Внимание! Предел подобного типа встречается очень часто, пожалуйста, очень внимательно изучите данный пример.

Пробуем подставить бесконечно большое число в выражение, стоящее под знаком предела:

В результате получена неопределенность . Но второй замечательный предел применим к неопределенности вида . Что делать? Нужно преобразовать основание степени. Рассуждаем так: в знаменателе у нас , значит, в числителе тоже нужно организовать :

Теперь можно почленно разделить числитель на знаменатель:

Вроде бы основание стало напоминать , но у нас знак «минус» да и тройка какая-то вместо единицы. Поможет следующее ухищрение, делаем дробь трехэтажной:

Таким образом, основание приняло вид , и, более того, появилась нужная нам неопределенность . Организуем второй замечательный предел .

Легко заметить, что в данном примере . Снова исполняем наш искусственный прием: возводим основание степени в , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в обратную дробь :

Наконец-то долгожданное  устроено, с чистой совестью превращаем его в букву :

Но на этом мучения не закончены, в показателе у нас появилась неопределенность вида , раскрывать такую неопределенность мы научились.  Делим числитель и знаменатель на:

А сейчас мы рассмотрим модификацию второго замечательного предела. Напомню, что второй замечательный предел выглядит следующим образом: . Однако на практике время от времени можно встретить его «перевёртыш», который в общем виде записывается так:

Пример 17.Найти предел

Сначала (мысленно или на черновике) пробуем подставить ноль (бесконечно малое число) в выражение, стоящее под знаком предела:

В результате получена знакомая неопределенность . Очевидно, что в данном примере . С помощью знакомого искусственного приема организуем в показателе степени конструкцию :

Выражение  со спокойной душой превращаем в букву :

Еще не всё, в показателе у нас появилась неопределенность вида . Раскладываем тангенс на синус и косинус (ничего не напоминает?):

Косинус нуля стремится к единице (не забываем помечать карандашом), поэтому он просто пропадает в произведении:

Задания для самостоятельного решения

Задание 1.Вычислите пределы:

Задания по вариантам

2. Вычислите пределы, подставив вместо букв заданные в таблице параметры:

Контрольные вопросы

1. Дайте определение предела функции в точке.
2. Сформулируйте теоремы о пределах.
3. Что такое неопределенность?
4. Какие способы раскрытия неопределенностей вы знаете?

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 11

Тема: Дифференцирование простых и сложных функций

Цель: отработка умений и навыков дифференцирования простых и сложных функций.

Обеспечение выполнения работы:

Учебное оборудование:

1. Методические указания по выполнению практических работ по дисциплине «Математика».

Информационные источники:

2. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики: учебник для студ.  учреждений сред.проф. образования. – 6-е. изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2011. – 320 с.
3. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике: учеб.пособие для студ.  учреждений сред. проф. Образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2013. – 160 с.

Критерии оценки:

Инструкция по выполнению работы:

1. Запишите в тетрадь для практических работ тему и цель занятия.
2. Внимательно ознакомьтесь с основными теоретическими сведениями и примерами дифференцирования функций.
3. Выберите задания согласно своему варианту и приступайте к работе.
4. После выполнения работы ответьте письменно (в тетради) на контрольные вопросы, размещенные  после заданий.

Основные теоретические сведения

Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

Основные правила дифференцирования

Обозначим f(x) = u, g(x) = v – функции, дифференцируемые в точке х.

1) ;        2) ;                        3)  ;        

4) ;                                5)  

6)                         7)  .

Производные основных элементарных функций

1)С′  = 0;                                9)

2)(xm)′ = mxm-1;                            10)

3)                             11)

4)                         12)

5)                                 13)

6)                         14)  

7)                                15)

8)                          16)  

Производная сложной функции

        Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

        Тогда      

Если , т.е. - сложная функция, то .

        На основании определения производной и правил дифференцирования составлена таблица производных сложных функций.

Примеры дифференцирования функций

Пример 1. Найти производную функции: .

Ответ:

Пример 2. Найти производную функции .

Решение:

Используем формулу

Пример 3. Найти производную функции .

Решение:

Используем формулу

Пример 4. Найти производную функции .

Решение:

Поскольку , то по правилу производной сложной функции получаем

Пример 5. Найти производную функции .

Решение:

Используем формулу

Пример 6. Найти производную функции .

Решение:

Здесь мы имеем дело с композицией трех функций. Производная тангенса равна .

Тогда

Задание для практической работы № 1

Вариант 1.

1. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:

а) ; б) ; в) .

Вариант  2.

1. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:

а) ; б) ; в) .

Вариант 3.

1. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:

а) ; б) ; в) .

Вариант 4.

1. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:

а) ; б) ; в) .

Вариант 5.

1. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:

а) ; б) ; в) .

Вариант 6.

1. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:

а) ; б) ;  в) .

Вариант 7.

1. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:

а) ; б) ; в) .

Вариант 8.

1. Пользуясь формулами и правилами дифференцирования, найдите производные функций:

а) ; б) ; в) .

Задание для практической работы № 2

Вариант 1.

Вычислите производные сложных функций:

а) ;  б) ;    в) ;   г) ;   д) .

Вариант 2.

Вычислите производные сложных функций:

а) ;  б) ;   в) ;  г) ;  

д) .

Вариант 3.

Вычислите производные сложных функций:

а) ;   б) ;   в) ;   г) ;

д) .

Вариант 4.

Вычислите производные сложных функций:

а) ;   б) ;   в) ;   г) ;

д) .

Вариант 5.

Вычислите производные сложных функций:

а) ;   б) ;   в) ;    

г) ;   д) .

Вариант 6.

Вычислите производные сложных функций:

а) ;   б) ;   в) ;   г) ;   д) .

Вариант7.

Вычислите производные сложных функций:

а) ;   б) ;   в) ;   г) ;

д) ;

Вариант 8.

а) ;   б) ;   в) ;   г) ;   д) .

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 12

Тема: Приближенные вычисления с помощью дифференциала.

Цель: отработка умений и навыков выполнения приближенных вычислений с помощью дифференциала.

Обеспечение выполнения работы:

Учебное оборудование:

1. Методические указания по выполнению практических работ по дисциплине «Математика».

Информационные источники:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики: учебник для студ.  учреждений сред.проф. образования. – 6-е. изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2011. – 320 с.
2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике: учеб.пособие для студ.  учреждений сред. проф. Образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2013. – 160 с.

Критерии оценки:

Инструкция по выполнению работы:

1. Запишите в тетрадь для практических работ тему и цель занятия.
2. Внимательно ознакомьтесь с Основными теоретическими сведениями, включающими также примеры решения задач.
3. Выберите задания согласно своему варианту и приступайте к работе.
4. После выполнения работы ответьте письменно (в тетради) на контрольные вопросы, размещенные  после заданий.

Основные теоретические сведения

Постановка задачи. Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции  в точке х.

План решения. Если приращение  аргумента х мало по абсолютной величине, то

. (1)

1. Выбираем точку  х0, ближайшую к х  и такую, чтобы легко вычислялись значения  и .

2. Вычисляем ,  и .

3. По формуле (1) вычисляем .

Пример 1.  Вычислить приближенно с помощью дифференциала.

.

В нашем случае:

, , .

Вычисляем:

;

, .

Имеем:

Пример 2. Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции  в точке х=1,97.

 Решение:

Ближайшая к 1,97 точка, где легко вычислить значение функции и ее производной это 2.

Вычисляем:

 Далее по формуле  получаем:

Пример 3. Дана степенная функция  у = хn.  Зафиксируем точку  х0  и применим полученную выше формулу:

Например,
2,00017 = (2 + 0.0001)7 27 + 7 26 0,0001 = 128 + 0,0448 = 128,0448 = =128,04

Ту же формулу можно применить и для приближенного вычисления корней, учитывая, что  

Получим 

Например,


Полезно запомнить формулы

при  х0 =1:                   

Задания для самостоятельной работы

Задание 1. Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции y в заданной точке x.

Задание 2. Вычислить приближенное значение , заменяя приращение функции дифференциалом.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение дифференциала функции.
2. В чем заключается геометрический смысл дифференциала?

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 13

Тема: исследование функции средствами дифференциального исчисления и построение графиков. Определение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Цель: отработка умений и навыков исследования функции средствами дифференциального исчисления и определения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Обеспечение выполнения работы:

Учебное оборудование:

1. Методические указания по выполнению практических работ по дисциплине «Математика».

Информационные источники:

2. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики: учебник для студ.  учреждений сред.проф. образования. – 6-е. изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2011. – 320 с.
3. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике: учеб.пособие для студ.  учреждений сред. проф. Образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2013. – 160 с.

Критерии оценки:

Инструкция по выполнению работы:

1. Запишите в тетрадь для практических работ тему и цель занятия.
2. Внимательно ознакомьтесь с примерами выполнения заданий.
3. Выберите задание согласно своему варианту и приступайте к работе.
4. После выполнения работы ответьте письменно (в тетради) на контрольные вопросы, размещенные  после заданий.

Пример выполнения задания 1

Пример выполнения задания 2

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функций  на заданном отрезке.

 , .

Решение:

1. Находим производную заданной функции:

2. Решаем уравнение :

Данное уравнение корней не имеет, так как числитель не может быть равен нулю.

3. Находим значение функции на границах интервала:

Следовательно, , .

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функций  на заданном отрезке.

, .

Решение:

1. Находим производную заданной функции:

2. Решаем уравнение :

                                                         X=0 или

x= ;

x=2

3. Так как найденное значение принадлежит заданному отрезку, то находим значения функции на границах отрезка и в найденной точке:

Следовательно, , .

Пример выполнения задания 3

Из квадратного листа жести со стороной   надо изготовить открытую сверху коробку, вырезав по углам квадратики и загнув образовавшиеся кромки. Какой должна быть сторона основания коробки, чтобы ее объем был максимальным?

Решение:

Обозначим через х длину стороны основания коробки. Тогда длины сторон вырезанных квадратиков равны  , а объем коробки равен . По смыслу задачи число ч удовлетворяет неравенству , т.е. принадлежит интервалу (0;a). Таким образом, задача сводится к нахождению наибольшего значения функции  на интервале (0; а).

x=0 или

Так как   и , то ни одно из этих значений не может быть наибольшим.

Так как , то, следовательно, максимальный объем имеет та коробка, сторона основания которой равна .

Задание 1. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию y=f(x) и построить ее график.

1. y = x3 - 9x2 + 24x - 16
2. y = x3 -11x2 + 39x - 45
3. y = x3 + 6x2 + 9x + 4
4. y = x3 + x2 - 5x + 3
5. y = x3 + 10x2 +32x + 32
6. y = x3 + 9x2 + 24x + 20
7. y = x3 - 14x2 + 60x - 72
8. y = x3 - 12x2 + 45x - 54
9. y = x3 - 18x2 + 105x -196
10. y = x3 - 10x2 + 28x - 24

Задание 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функций  на заданном отрезке.

Задание 3

1. Кусок проволоки длиной 48 см сгибают так, чтобы образовался прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, что его площадь была наибольшей?
2. Площадь прямоугольника 64 кв. см. Какую длину должны иметь его стороны, чтобы периметр был наименьшим?
3. Открытый бак, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, должен вмещать 13,5 литров жидкости. При каких размерах бака на его изготовление потребуется наименьшее количество металла?
4. Из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным сечением наибольшей площади. Найдите размеры сечения балки, если радиус сечения бревна равен 20 см.
5. Буровая вышка расположена в поле в 9 км от ближайшей точки шоссе. С буровой направить курьера в пункт, расположенный по шоссе в 15 км от упомянутой точки (считаем шоссе прямолинейным). Скорость курьера на велосипеде по полю 8 км/ч, а по шоссе 10 км/ч. К какой точке шоссе ему надо ехать, чтобы в кратчайшее время достичь пункта?
6. Разность двух чисел равна 8. Каковы должны быть эти числа, чтобы произведение куба первого числа на второе было наименьшим?
7. Для стоянки машин выделили площадку прямоугольной формы, примыкающую одной стороной к стене здания. Площадку обнесли с трех сторон металлической сеткой длиной 200 метров, и площадь ее при этом оказалась наибольшей. Каковы размеры площадки?

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте необходимое условие существования экстремума функции.
2. Какие точки называются критическими?
3. Сформулируйте признак возрастания (убывания) функции.
4. Сформулируйте признак максимума (минимума) функции.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 14

Тема: Решение неопределенных интегралов различными методами.

Цель: отработка умений и навыков вычисления неопределенных интегралов различными методами.

Обеспечение выполнения работы:

Учебное оборудование:

1. Методические указания по выполнению практических работ по дисциплине «Математика».

Информационные источники:

2. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики: учебник для студ.  учреждений сред.проф. образования. – 6-е. изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2011. – 320 с.
3. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике: учеб.пособие для студ.  учреждений сред. проф. Образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2013. – 160 с.

Критерии оценки:

Инструкция по выполнению работы:

1. Запишите в тетрадь для практических работ тему и цель занятия.
2. Внимательно ознакомьтесь с основными теоретическими сведениями и примерами решения задач.
3. Выберите задания согласно своему варианту и приступайте к работе.
4. После выполнения работы ответьте письменно (в тетради) на контрольные вопросы, размещенные  после заданий.

Основные теоретические положения

Неопределенные интегралы

Совокупность всех первообразных  функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом , т.е. .

В этом равенстве f(x) называется подынтегральной функцией, а f(x)dx – подынтегральным выражением.

Свойства неопределенных интегралов

1. ;                    4. ;

2. ;                    5. .

3. ;

Таблица простейших интегралов

Примеры решения интегралов различными методами

Метод непосредственного интегрирования

Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании таблицы интегралов. Возможны случаи:

1) данный интеграл находится непосредственно по соответствующему табличному интегралу;

2) данный интеграл после применения свойств 3 и 4 приводится к одному или нескольким табличным интегралам;

3) данный интеграл после элементарных тождественных преобразований над подынтегральной функцией (по членное деление, приведение к виду степенной функции, использование известных тождеств) и применения свойств 3 и 4 приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Пример 1. Найти .

Последовательно применим к данному интегралу свойства 3 и 4, а затем воспользуемся таблицей основных интегралов:

.

Пример 2. Найти

.

Интегрирование методом подстановки

Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда, а иногда это связано с большими трудностями. Одним из наиболее эффективных приемов является метод подстановки или замены переменной интегрирования. Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно.

Пример 1. Найти .

Решение:

.

Пример 2. Найти

Пример 3. Найти

Метод интегрирования по частям

Если u(x) и v(x) – дифференцируемые функции, то справедлива формула

.

Данную формулу интегрирования применяют обычно в тех случаях, когда функция u(x) упрощается при дифференцировании, а первообразная для функции v(x) легко находится.

Пример. Вычислить неопределенные интегралы, используя метод интегрирования по частям:

а)                               б) .

Решение. а) При вычислении первого интеграла воспользуемся формулой интегрирования по частям:

.

б) При вычислении второго интеграла также воспользуемся формулой интегрирования по частям. В результате получим

.

Задания для самостоятельной работы

Задание. Вычислите интегралы, используя указанные методы

Контрольные вопросы

1. Дайте определение неопределенного интеграла.
2. В чем заключается метод непосредственного интегрирования?
3. В чем заключается метод интегрирования подстановкой?
4. В чем заключается метод интегрирования по частям?

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 15

Тема: Применение определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур.

Цель: отработка умений и навыков применения определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур.

Обеспечение выполнения работы:

Учебное оборудование:

1. Методические указания по выполнению практических работ по дисциплине «Математика».

Информационные источники:

2. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики: учебник для студ.  учреждений сред.проф. образования. – 6-е. изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2011. – 320 с.
3. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике: учеб.пособие для студ.  учреждений сред. проф. Образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2013. – 160 с.

Критерии оценки:

Инструкция по выполнению работы:

1. Запишите в тетрадь для практических работ тему и цель занятия.
2. Внимательно ознакомьтесь с Примерами вычисления пределов.
3. Выберите задания согласно своему варианту и приступайте к работе.
4. После выполнения работы ответьте письменно (в тетради) на контрольные вопросы, размещенные  после заданий.

Примеры решения задач

Пример 1 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

  и

Решение:

Графиком  y=x+2 является прямая линия, а графиком линии

является парабола, ветви которой направлены вниз.

1. Чтобы построить график прямой необходимо задать две точки:

2. Построение параболы начинается с нахождения координат ее вершины:

;                

;              

Следовательно, координаты вершины параболы (2;16).

Далее найдем точку пересечения с осью Оу:

Далее найдем точки пересечения с осью Ох, решив уравнение:

D=64

3. В одной системе координат строим оба графика и отмечаем штриховкой площадь, которую надо найти:

4. Находим точки пересечения заданных линий. Для этого решаем систему уравнений:

Для нахождения абсцисс точек пересечения заданных линий решаем уравнение:

   или    

Решив квадратное уравнение, находим: x1 = -2, x2 = 5.

Итак, данные линии, представляющие собой параболу и прямую, пересекаются в точках  с абсциссами x1 = -2, x2 = 5.

5. Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой вычисляем по указанной выше формуле:

Пример 2. Вычислить площадь, ограниченную линиями y = x2 + 1 и  x + y = 3.

Решение:

Графиком y = 3 – x является прямая линия, а графиком линии  является парабола, ветви которой направлены вверх.

1. Чтобы построить график прямой необходимо задать две точки:

2. Построение параболы начинается с нахождения координат ее вершины:

;                

;              

Следовательно, координаты вершины параболы (0;1)

Далее найдем точку пересечения с осью Оу:

Точек пересечения с осью ОХ парабола не имеет, так как вершина расположена выше оси ОХ и ветви направлены вверх.

3. В одной системе координат строим оба графика и отмечаем штриховкой площадь, которую надо найти:

4. Находим точки пересечения заданных линий. Для этого решаем систему уравнений:

находим абсциссы точек пересечения x1 = -2 и x2 = 1.

5. Полагая y2 = 3 - x и y1 = x2 + 1, на основании формулы получаем

Задания для самостоятельного решения

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у = ах2 + bх + с  и прямой          у = kх + b. Сделать чертеж.

1. у = -х2 + 4х - 1;      у = -х - 1.
2. у = х2 - 6х + 7;       у = х + 1
3. у = -х2 + 6х -5;       у = х - 5
4. у = х2 - 6х + 7;       у = -х + 7
5. у =-х2 + 6х - 5;       у = -х + 1
6. у = х2 + 6х + 7;      у = х + 7
7. у = -х2 - 6х - 5;       у = х + 1
8. у = х2 + 6х + 7;      у = -х + 1
9. у = -х2 - 6х - 6;       у = -х - 6
10.  у = х2 - 4х + 1;       у = х + 1

Контрольные вопросы

1. В чем отличие определенного интеграла от неопределенного?
2. Перечислите свойства определенного интеграла.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА № 16

Тема: вычисление определенных интегралов с помощью приближенных формул.

Цель: отработка умений и навыков вычисления определенных интегралов с помощью приближенных формул.

Обеспечение выполнения работы:

Учебное оборудование:

1. Методические указания по выполнению практических работ по дисциплине «Математика».

Информационные источники:

2. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики: учебник для студ.  учреждений сред.проф. образования. – 6-е. изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2011. – 320 с.
3. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике: учеб.пособие для студ.  учреждений сред. проф. Образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2013. – 160 с.

Критерии оценки: