Решение систем линейных уравнений.
план-конспект занятия

Практическое занятие №2.

1. Вспомните ранее изученный материал (устно).

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

Основной теоретический материал.

Метод Крамера . Применение для систем линейных уравнений.

        Задана система N линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с  неизвестными, коэффициентами при которых являются элементы матрицы , а свободными членами - числа

Первый индекс возле коэффициентов указывает в каком уравнении находится коэффициент, а второй - при котором из неизвестным он находится.

Если определитель матрицы не равен нулю

то система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение. Решением системы линейных алгебраических уравнений называется такая упорядоченная совокупность  чисел , которая при превращает каждое из уравнений системы в правильную равенство. Если правые части всех уравнений системы равны нулю, то систему уравнений называют однородной. В случае, когда некоторые из них отличны от нуля – неоднородной   Если система линейных алгебраических уравнений имеет хоть одно решение, то она называется совместной, в противном случае - несовместимой. Если решение системы единственное, то система линейных уравнений называется определенной. В случае, когда решение совместной системы не единственное, систему уравнений называют неопределенной. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными (или равносильными), если все решения одной системы является решениями второй, и наоборот. Эквивалентны (или равносильны) системы получаем с помощью эквивалентных преобразований.

Эквивалентные преобразования СЛАУ

1) перестановка местами уравнений;

2) умножение (или деление) уравнений на отличное от нуля число;

3) добавление к некоторого уравнения другого уравнения, умноженного на произвольное, отличное от нуля число.

                 Решение СЛАУ можно найти разными способами, например , по формулам Крамера (метод Крамера)

Теорема  Крамера.  Если определитель системы  линейных алгебраических уравнений с  неизвестными отличен от нуля то эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:    - определители, образованные с  заменой -го столбца, столбцом из свободных членов.

Если , а хотя бы один из  отличен от нуля, то СЛАУ решений не имеет. Если же , то СЛАУ имеет множество решений.

Задача 1.

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить систему методом Крамера

Решение.

Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных

Так как , то заданная система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители:

По формулам Крамера находим неизвестные

Итак единственное решение системы.

Задача 2.

Дана система четырех линейных алгебраических уравнений. Решить систему методом Крамера.

Решение.

Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных. Для этого разложим его по первой строке.

Найдем составляющие определителя:

Подставим найденные значения в определитель

Детерминант , следовательно система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители по формулам Крамера:

Разложим каждый из определителей по столбцу в котором есть больше нулей.

По формулам Крамера находим

Решение системы 

2. Выполните в тетради (письменно). Решите  систему  уравнений  по  формулам  Крамера.                                                                  

3. Вспомните ранее изученный материал (устно).

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Метод Гаусса, называемый также методом последовательного исключения неизвестных, состоит в том, что при помощи элементарных преобразований систему линейных уравнений приводят к такому виду, чтобы её матрица из коэффициентов оказалась трапециевидной или близкой к трапециевидной. Пример такой системы - на рисунке сверху. 

Решите систему линейных уравнений методом Гаусса.   Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований над ее строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду (прямой ход) и далее выполним обратный ход метода Гаусса (сделаем нули выше главной диагонали). Вначале поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент  равнялся 1 (это мы делаем для упрощения вычислений):

Далее делаем нули под главной диагональю в первом столбце. Для этого от второй строки отнимаем две первых, от третьей - три первых:  

Все элементы третьей строки делим на два      

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений поменяем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся 1:

  От третьей строки отнимаем вторую, умноженную на 3:   Умножив третью строку на 0,5 , получаем:

Проведем теперь обратный ход метода Гаусса (метод Гассу-Жордана), то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Надо обнулить элемент , для этого от второй строки отнимем третью:  

Далее обнуляем недиагональные элементы второго столбца, к первой строке прибавляем вторую:    

Полученной матрице соответствует система

                                     Ответ.       

4. Выполните в тетради (письменно). Решите систему линейных уравнений методом Гаусса.

Решите системы линейных уравнений методом Гаусса:

2)   

Критерии оценивания:

Работа оценивается на «3»,если:   самостоятельно полностью и верно решена одна из систем.

Работа оценивается на «4»,если:   самостоятельно полностью и верно решена одна системы, а вторая решена частично.

Работа оценивается на «5»,если:   самостоятельно полностью и верно решены две системы.