Презентация к уроку "Решение систем линейных уравнений"
презентация к уроку

Слайд 1

Решение систем линейных уравнений Основные понятия систем линейных уравнений. Матричный метод решения систем линейных уравнений. Метод Крамера. Метод Гаусса. 21.02.23

Слайд 2

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра 1.4. Системы линейных уравнений: основные понятия и определения Определение.1.13. Системой линейных алгебраических уравнений , содержащих m уравнений и n неизвестных, называется система вида: где a ij , i =1,2,…, n , j =1,2,…, m , называют коэффициентами системы , числа b i – свободными членами , x n – неизвестные величины , подлежащие нахождению.

Слайд 3

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме : A  X = B , где

Слайд 4

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра Определение. 1.14. Решением системы называется n значений неизвестных x 1 = c 1 , x 2 = c 2 , …, x n = c n , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение можно записать в виде вектор-столбца

Слайд 5

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра Определение. 1.15. Расширенной матрицей системы называется матрица, дополненная столбцами свободных членов:

Слайд 6

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра Определение. 1.16. Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если она не имеет ни одного решения. Определение. 1.17. Совместная система называется определенной , если она имеет единственное решение и неопределенной , если она имеет более одного решения. Каждое решение неопределенной системы называется частным решением системы , совокупность всех частных решений – общее решение системы .

Слайд 7

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра Определение. 1.18. Две системы называются эквивалентными (равносильными) , если любое решение первой системы является решением второй и, наоборот, любое решение второй является решением первой системы. Эквивалентные преобразования получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы , при условии, что преобразования выполняются лишь над строками: уравнения можно менять местами; можно обе части любого уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от 0; можно к одному к одному из уравнений прибавить или вычесть из него другое уравнение; можно вычеркнуть уравнение, в котором все коэффициенты при неизвестных и свободный член раны нулю.

Слайд 8

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра Определение. 1.19. Система линейных уравнений называется линейной системой канонического вида , если в каждом ее уравнении найдется неизвестное, коэффициент при котором равен 1 и которое отсутствует во всех других уравнениях.

Слайд 9

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра 1.5. Решение систем линейных уравнений 1. Матричный метод решения систем линейных уравнений (метод обратной матрицы) Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных. Метод удобен для решения систем невысокого порядка, основан на применении свойств умножения матриц.

Слайд 10

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра Пусть дана система уравнений : Составим матрицы: Систему уравнений можно записать: A  X = B .

Слайд 11

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра Основная матрица А такой системы квадратная, определитель этой матрицы называется определителем системы . Если определитель отличен от нуля, то система называется невырожденной . Найдем решение данной системы, в случае  ≠0. Сделаем следующее преобразование: A -1  A  X = A -1  B , т.к. А -1  А = Е, то Е  Х = А -1  В Х = А -1  В

Слайд 12

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра Пример 19. Решить систему уравнений: Реш ение :

Слайд 13

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра

Слайд 14

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра

Слайд 15

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра

Слайд 16

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра 2. Метод Крамера. (Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик) Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных. Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0. det A  0

Слайд 17

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра Теорема.1.1 (правило Крамера) Пусть дана система из n уравнений с n неизвестными в случае если определитель системы не равен нулю, она имеет единственное решение и это решение находится по формулам: x i =  i /  , где  = det A , а  i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b i .

Слайд 18

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра В частном случае, при n =3, получаем: x 1 =  1 /det A; x 2 =  2 /det A; x 3 =  3 /det A;

Слайд 19

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра Пример 20 . Найти решение системы уравнений: Решение:

Слайд 20

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра

Слайд 21

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра Как видно, результат совпадает с результатом, полученным выше матричным методом.

Слайд 22

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра Замечание. Теорема дает достаточное условие совместимости системы, но это условие не является необходимым. Равенство определителя нулю не означает, что система несовместна. Замечание. Если система однородна, т.е. b i = 0, то при  0 система имеет единственное нулевое решение x 1 = x 2 = … = x n = 0. При  = 0 система имеет бесконечное множество решений. Пример 21. Найти решение системы уравнений:

Слайд 23

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра Домашнее задание: 1. Теория по конспекту 2. Найти решения систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом обратной матрицы:

Слайд 24

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра 3. Метод Гаусса. (Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик) В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

Слайд 25

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра Теорема.1.2. При элементарных преобразованиях система линейных уравнений переходит в равносильную. Теорема.1.3. Любую совместную систему линейных уравнений с помощью элементарных преобразований можно привести к каноническому виду. На использовании этих теорем основан метод Гаусса, суть которого состоит в том, что с помощью элементарных преобразований исходную линейную систему приводят либо к системе, содержащей противоречивое уравнение 0  х 1 +0  х 2 +…+0  х n =С, (где С≠0 ) и, следовательно, несовместной, либо к системе канонического вида .

Слайд 26

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра Рассмотрим систему линейных уравнений: 1 этап (прямой ход метода Гаусса) 1) Разделим обе части 1–го уравнения на a 11  0, затем: умножим на а 21 и вычтем из второго уравнения умножим на а 31 и вычтем из третьего уравнения и т.д., пока все элементы первого столбца не обратятся в ноль, получим:

Слайд 27

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра где d ij и d i – новые значения коэффициентов и правых частей, которые получаются после первого шага.

Слайд 28

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра 2) далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д., пока это возможно. Если в процессе приведения системы к ступенчатому виду появятся нулевые уравнения ( 0=0 ), то их отбрасывают, а если появится уравнение вида 0= d i , то это свидетельствует о несовместности системы. Получим:

Слайд 29

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра 2 этап (обратный ход метода Гаусса) В последнем уравнении выражаем первое неизвестное x k через остальные неизвестные ( x k +1 , … x n ). Затем подставляем x k в предпоследнее уравнение и выражаем x k -1 черех переменные ( x k +1 , … x n ) и т.д. до x 1 . ( x 1 , … x k ) – базисные неизвестные , а ( x k +1 , … x n ) – свободные неизвестные . Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим бесчисленное множество решений системы.

Слайд 30

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра Замечания: 1. Если ступенчатая система оказывается треугольной, т.е. k = n , то исходная система имеет единственное решение. 2. На практике удобней работать не системой, а с ее расширенной матрицей и удобней, чтобы коэффициент а 11 был равен 1, для чего уравнения меняют местами. Пример 22. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Слайд 31

Пример 23. Решить систему методом Гаусса. Решение:

Слайд 32

Пример 24. Решить систему методом Гаусса Решение:

Слайд 33

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра

Слайд 34

Пример 25. Решить систему методом Гаусса Решение:

Слайд 35

Раздел 1. Линейная и векторная алгебра Домашнее задание: 1. Теория по конспекту 2. Найти решения систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом обратной матрицы: 3. Найти решения систем линейных уравнений методом Гаусса