Тема. «Объёмы тел вращения». Методическое пособие по решению задач для студентов 2 курса СПО. Дистанционная форма обучения.
методическая разработка
В данной методической разработке приведены формулы и разобраны примеры решения традиционных задач на вычисление объёмов тел вращения. Эта разработка предназначена для студентов СПО, находящихся на дистанционной форме обучения. Также эта работа может быть полезна преподавателям математики учреждений системы СПО для организации подготовки студентов к контрольной работе по данной теме.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 512.52 КБ |
Предварительный просмотр:
Тема. «Объёмы тел вращения».
Методическое пособие по решению задач для студентов 2 курса СПО.
Дистанционная форма обучения.
1. Теоретический материал.
Вид круглого тела | Формула объёма |
1. Цилиндр
| V = R2H |
2. Конус
| V = R2H |
3. Усеченный конус
| V = h(R2 + Rr + r2) |
6. Шар
| V = R3 |
2. Решение задач.
Задача № 1
Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 36 см3.
Дано: Rц = Rк= R; H ц = H к= H; Vк = 36 см3 Найти: Vц
| Решение. Vц = R2H; Vк = R2H, следовательно объем цилиндра в 3 раза больше объема конуса. Vц = 3 Vк; Vц= Ответ. 108 см3 |
Задача № 2
Высота одного цилиндра вдвое больше высоты второго цилиндра, но его радиус в два раза меньше радиуса второго цилиндра. Найти отношение их объёмов
Дано: R1ц = R; Н 1ц = Н; R2ц = 2R; Н 2ц = Н; Найти: | Решение. V1ц = R2H; V1ц = = Ответ. = |
Задача № 3.
Найти объем 25м цилиндрической трубы (полого цилиндра), если внешний радиус равен 50см, диаметр стенок равен 10см.
| Дано: полый цилиндр; R = 50cм = 0,5м; d = 10см = 0,1м Н = 25м Найти: V Решение. V =Н(R2 - r2); r = R - d; r = 0,5 - 0,1 = 0,4(м) Ответ. 2,25м3 |
Задача № 4.
Объём конуса равен 36, а его высота равна 12. Найдите радиус основания конуса.
Дано: конус; Н=12; V = 36 Найти: R
| Решение. Vк = R2H; 36 =; 4R2=36; 4R2=36; R2 = 36:4 = 9; R = =3 Ответ. 3 |
Задача № 5
Объем конуса равен 24 см3. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной.
Найдите объем меньшего конуса.
Дано: конус Vб к = 24см3; SA = SO Найти: V м к | Решение: Так как SA = SO, то два конуса подобны. Коэффициент подобия к =2, следовательно ; ; 8 V м к = 24; V м к = 24:8=3 Или: Vб к = R2SO V м к = r2SA ; R = 2r; SO=2SA ; ; 8 V м к = 24; V м к = 24:8=3 Ответ. 3 |
Задача № 6
Диаметр основания конуса равен 16, а длина образующей — 17. Найдите объем конуса.
Дано: конус, D =16; L = 17 Найти: V
| Решение: Vк = R2H; SAO - прямоугольный, так как SO - высота конуса, по теореме Пифагора найдем Н. R = D=8(см) Н2 = L2 - R 2; Н2 = 172 = 82 =289-64=225; Н = =15; Vк = Ответ.320 |
Задача № 7
Радиусы оснований усечённого конуса равны 4 и 12, а образующая равна 10. Вычислить объем усечённого конуса.
Дано: усеченный конус; R=12; r=4; l = 10. Найти: Vус.к
| Решение: V = h(R2 + Rr + r2) Высоту усеченного конуса найдем из прямоугольного треугольника АВС (АВ провели параллельно h ) АВ2 = АС2 - ВС2; ВС=R-r=12-4=8 АВ2 = 102 - 82 =100-64=36; АВ=6; h=6 V = Ответ. 416 |
Задача № 8
Внутренний диаметр полого шара равен 8 см, а толщина стенок равна 2 см. Найдите объем материала, из которого сделан шар.
Дано: полый шар; СD = 8см; АС = 2см Найти: V Рассмотрим сечение полого шара диаметральной плоскостью. | Решение: V=V1 - V2; V1=R3; V2=r3; r=СD; R= r +ACr=СD =(см); R= 4 +2 = 6(см) Ответ. |
Задача № 9
Прямоугольная трапеция с основаниями 11см и 17 см и высотой 12 см вращается около прямой, проходящей через вершину острого угла перпендикулярно основаниям. Hайдите объем полученного тела вращения.
Дано: АВСD - трапеция; ВAD=900; ВС=11см; AD=17 см; АВ=12 см. Найти: Vтела вращения | Решение: При вращении трапеции ABCD получим цилиндр, радиус его основания R = AD =17 см, высотой Н = AB =12 см, из которого вырезан конус с радиусом основания r = CM = AD-BC r =17-11=6 см, высота h=AB=12 см. Vцил = R2H; Vцил=; Vкон =; Vкон = Vт.вр = 3468-144=3468= 3324(см3) Ответ. 3324 см3 |
Задача № 10.
Прямоугольный треугольник с катетами 20 см и 15 см вращается вокруг гипотенузы . Найти объём полученного тела вращения.
Дано:АВС - прямоугольный, С = 900; АС=15 см; ВС = 20 см. Найти: Vтела вращения | Решение: При вращении прямоугольного треугольника АВС вокруг гипотенузы получается тело вращения, состоящее из двух конусов с общим основанием. Радиус R этого основания есть перпендикуляр СО, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу. Vт.вр.= V1 кон. + V2 кон; V1 кон. = ; V2 кон. = Vт.вр.= По теореме Пифагора найдем гипотенузу АВ АВ2=АС2+ВС2; АВ2=152+202=225+400=625; АВ==25 см Чтобы найти R, из треугольника АВС определим sin A. sin A=; sin A= ; Из прямоугольного треугольника АОС sin A=; ; ОС=(см); R=12 см Vт.вр= Ответ. 1200см3 |
Задания для самостоятельного решения.
1. Даны две кружки цилиндрической формы. Первая кружка в полтора раза ниже второй, а вторая вдвое шире первой. Во сколько раз объём второй кружки больше объёма первой?
2. Однородный шар диаметром 3 см имеет массу 162 грамма. Чему равна масса шара, изготовленного из того же материала, с диаметром 2 см? Ответ дайте в граммах.
3. Осевое сечение конуса равносторонний треугольник, сторона которого равна 12 см. Найдите объём конуса.
4. Найти объем тела, полученного в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы, если катеты равны 3см и 4 см.
5. Прямоугольная трапеция с основанием 5 см и 8 см и высотой 4 см вращается около
большего основания. Найдите объем тела вращения.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Учебно-методическое пособие "Графическое решение задач линейного программирования"
Данное учебное пособие написано на основе занятий, проводимых автором в течение 5 лет в Санкт-Петербургском техническом колледже для студентов направления «Гостиничный сервис». В пособии рассматривают...
![](/sites/default/files/pictures/2017/01/19/picture-704254-1484844436.jpg)
Методическое пособие к решению задач по дисциплине "Техническая механика"
Методическое пособие к решению задач предназначено для студентов строительных специальностей всех форм обучения, как вспомогательное пособие при выполнении ими самостоятельных работ и для ...
![](/sites/default/files/pictures/2014/10/12/picture-478220-1413101389.jpg)
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по решению контрольных заданий для обучающихся по заочной форме обучения по предмету «Элементы математической логики» Специальность: 09.02.04 «Информационные системы»
Методические указания по решению контрольных заданий для обучающихся по заочной форме обучения по предмету «Элементы математической логики», специальность 09.02.04 «Информационные системы»...
![](/sites/default/files/pictures/2017/05/15/picture-924945-1494870071.jpg)
Методические указания и контрольные задания для студентов очной и заочной формы обучения по курсу: Основы электротехники, Электротехника и электронная техника для специльностей 35.02.08 Электрификация и автоматизация с/х и 35.02.07 Механизация с/х
АннотацияМетодические указания по дисциплине «Основы электротехники», «Электротехника и электронная техника» содержат четыре основных раздела курса. В каждом разделе даны краткая теория и примеры реше...
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИПО ПРОХОЖДЕНИЮ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ПРАКТИКИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ И ЗАОЧНОЙ ФОРМ ОБУЧЕНИЯ ПМ. 03. «Организация занятий по основным общеобразовательным программам дошкольного образования»
Рассмотрено и рекомендовано к изданию на заседании методического Совета колледжа (Протокол №10, от 17 июня 2015г.) Составитель: Л.А.Елизарова Методи...
![](/sites/default/files/pictures/2020/10/17/picture-1276299-1602934684.jpg)
Тема. «Объёмы многогранников». Методическое пособие по решению задач для студентов 2 курса СПО. Дистанционная форма обучения.
В данной методической разработке приведены формулы и разобраны примеры решения традиционных задач на вычисление объёмов многогранников. Методическая разработка предназначена для студентов ...
![](/sites/default/files/pictures/2015/02/15/picture-593939-1424003785.jpg)
Методические рекомендации "Итоговая аттестация по учебной дисциплине ПСИХОЛОГИЯ ОБЩЕНИЯ" (дистанционная форма обучения)
Данные Методические рекомендации могут быть полезны учащимся колледжа при подготовке к итоговой аттестации по учебной дисциплине ПСИХОЛОГИЯ ОБЩЕНИЯ....