Вид круглого тела

Формула объёма

                                 1. Цилиндр

V = R2H

                                  2. Конус  

V = R2H

                        3. Усеченный конус  

V = h(R2 + Rr + r2)

                                  6. Шар

V = R3

Дано:                                                                                                                                          

 Rц = Rк= R;    H ц = H к= H;    

Vк = 36 см3

 Найти: Vц 

Решение.

Vц = R2H;   Vк = R2H,

следовательно объем цилиндра в 3 раза больше

объема конуса.

Vц = 3 Vк;      

Vц=

Ответ. 108 см3

Дано:

R1ц = R;  Н 1ц = Н;  R2ц = 2R;

 Н 2ц = Н;  

Найти:  

Решение.

V1ц = R2H;  

V1ц =

=

Ответ.  =

Дано: полый цилиндр;

R = 50cм = 0,5м; d = 10см = 0,1м

Н = 25м

Найти:   V

Решение.

V =Н(R2 - r2);      r = R - d;  r = 0,5 - 0,1 = 0,4(м)

Ответ.  2,25м3

Дано: конус;

Н=12;  V = 36

Найти: R

Решение.

Vк = R2H;    36 =;    4R2=36;

4R2=36;    R2 = 36:4 = 9;   R = =3

Ответ. 3

Дано: конус

Vб к = 24см3; SA = SO

Найти: V м к

Решение:

Так как SA = SO, то два конуса подобны.  

Коэффициент подобия к =2, следовательно

;     ;  8 V м к = 24; V м к = 24:8=3        

Или:

Vб к = R2SO    V м к = r2SA  ;  R = 2r;  SO=2SA

 ;  ;

8 V м к = 24; V м к = 24:8=3

Ответ. 3

Дано: конус, D =16;    L = 17

Найти: V

Решение:

 Vк = R2H;    

SAO - прямоугольный, так как SO - высота

 конуса, по теореме Пифагора найдем Н.

R = D=8(см)

Н2  = L2 - R 2; Н2 = 172 = 82 =289-64=225;

Н = =15;

Vк =

Ответ.320        

Дано: усеченный конус;

R=12;     r=4;    l = 10.

Найти: Vус.к

Решение:

 V = h(R2 + Rr + r2)

Высоту усеченного конуса найдем из прямоугольного треугольника АВС (АВ провели параллельно h )

АВ2 = АС2 - ВС2;  ВС=R-r=12-4=8

АВ2 = 102 - 82 =100-64=36;  АВ=6;  h=6

V =

Ответ. 416

Дано: полый шар;

СD = 8см; АС = 2см

Найти: V

Рассмотрим сечение полого шара диаметральной плоскостью.

Решение:

V=V1 - V2;  V1=R3;   V2=r3;   r=СD;   R= r +AC

r=СD =(см);   R= 4 +2 = 6(см)

Ответ.

Дано: АВСD - трапеция;  ВAD=900; ВС=11см; AD=17 см;

АВ=12 см.

Найти: Vтела вращения

Решение:

При вращении трапеции ABCD получим цилиндр, радиус его основания R = AD =17 см, высотой Н = AB =12 см,

из которого вырезан конус с радиусом основания

r = CM = AD-BC

r =17-11=6 см, высота h=AB=12 см.
Vт.вр.= Vцил. - Vкон

Vцил = R2H;   Vцил=;

Vкон =;    Vкон =        

Vт.вр = 3468-144=3468= 3324(см3)

Ответ. 3324 см3

Дано:АВС - прямоугольный,

С = 900;

АС=15 см; ВС = 20 см.

Найти: Vтела вращения

Решение:

При вращении прямоугольного треугольника АВС

вокруг гипотенузы получается тело вращения, состоящее из двух конусов с общим основанием.

Радиус R этого основания есть перпендикуляр СО, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу.

Vт.вр.= V1 кон. + V2 кон;

V1 кон. = ;   V2 кон. =

Vт.вр.=

По теореме Пифагора найдем гипотенузу АВ

АВ2=АС2+ВС2;   АВ2=152+202=225+400=625;

АВ==25 см

Чтобы найти R, из треугольника АВС определим

sin A.

sin A=;  sin A= ;

Из  прямоугольного треугольника АОС

sin A=;    ;   ОС=(см);  R=12 см

Vт.вр=

Ответ. 1200см3