Тема. «Объёмы многогранников». Методическое пособие по решению задач для студентов 2 курса СПО. Дистанционная форма обучения.
методическая разработка

                    Вид многогранника

                   Формула объёма

                          1. Призма

V=Sосн H

     2. Прямоугольный  параллелепипед

V=abc

                                    3. Куб

V=a3

                                 4. Пирамида

V=Sосн H

                        5.Усеченная  пирамида

V=h

Дано:                                                                                                                                          

 АВСДА1В1С1Д1 - прямая четырехугольная призма

 АС = 60; ВД = 25; АА1 = 25

 Найти: V призмы 

Решение

V призмы = Sосн H;      Н=АА1

АВСД - ромб, следовательно     Sосн = ;

Sосн = ;  V призмы = 75025=18750

Ответ.  18750

Дано:

АВСА1В1С1 - прямая треугольная призма.

 АВС - прямоугольный; АС и ВС - катеты

АС = 15; ВС = 8;  АА1 = 9

Найти:   V призмы

V призмы = Sосн H;      Н=АА1

АВС - прямоугольный треугольник,

следовательно     Sосн = ;

Sосн = ;  V призмы = 609=540

Ответ.  540

Дано:

АВСА1В1С1 - наклонная треугольная призма.

АС = 12; ВС = 12;  АВ = 14;  СС1 = 6; С1СО=30.

Найти:   V призмы

V призмы = Sосн H;      

ОСС1 - прямоугольный треугольник, так как

С1О  плоскости  АВС;    С1СО = 30;

С1О = С1С sin 30= 6= 3

Н=ОС1 = 3

Sосн =  ; р=;

р =;

Sосн =

V призмы =

Ответ.  21

Дано: прямоугольный параллелепипед;

а=4; в=6; с=9. Vп.п = Vк

Найти : d

Решение:

Vп.п =авс; Vп.п = 469=216;

Vк = d3;   d3 = 216;  d =

Ответ. 6

Дано:

VSАВС = 34;   SМN - сечение SАВС

MN - средняя линия треугольника АВС

Найти: VSMNC

Решение:

Так как MN - средняя линия треугольника АВС, то

MN = АВ , поэтому АВС подобен MNC.

Коэффициент подобия к=2, следовательно

;     22;     4;  

Так как высоты пирамид  SАВС и  SMNC совпадают, то

VSMNC = VSАВС : 4= 34:4=8,5

Ответ. 8,5

Дано: SABCD - пирамида; ABCD - прямоугольник;

АВ=3; ВС = 4; VSABCD = 16

Найти: H

Решение:

 V=Sосн H;  VSABCD =  SАВСDH;

SАВСD = АВВС; SАВСD = 34=12;

16=; 4Н=16;  Н=4

Ответ. 4        

Дано: SABCD - правильная четырехугольная пирамида;

АВ=6см; SKO=60°

Найти: VSABCD

Решение:

VSABCD =Sосн H;

Sосн = AB2;  Sосн = (6)2 = 363=108(см2)

SKO - прямоугольный треугольник, так как

SO - высота пирамиды;

 SKO  - линейный угол двугранного угла при основании пирамиды SABCD, следовательно

  SKO = 60;   ОК=АВ;   ОК=6=3(см)

;    SO=OKtg60°=3=9(cм);

Н=SО = 9см;

VSABCD =108 9=324(см3)

Ответ. 324 см3

Дано: SABCD - пирамида; ABCD - прямоугольник;

АВ=6см; ВС = 8си; SA=SB=SC=SD=13cм.

Найти: VSABCD

Решение:

 VSABCD =Sосн H;  

SАВСD = АВВС; SАВСD = 68=48(см2)

АВС - прямоугольный, по теореме Пифагора

АС2 = АВ2 + ВС2 ;  АС2 = 62 + 82 =100; АС=10; AO=5см

SO АВСD, поэтому SАO прямоугольный, по теореме Пифагора

SO2 = АS2 - AO2 ;  SO2 = 132 - 52 =169-25=144; SO=12см

Н=SO

VSABCD =48 12=192(cм3)

Ответ. 192см3

Дано: SABC-правильная треугольная пирамида; АВ=2см;

VSABC = см3

Найти: Н

Решение:

VSABC =Sосн H;

АВС - правильный, поэтому SABC = ABACsin600;

SABC = 22sin600=2(см2);

=Н;  Н=(см)

Ответ. 3

Дано: ABCDA1B1C1D1-правильная усеченная четырехугольная пирамида;

АВ=5см; A1B1 = 3 см;  DD1 = 2см; D1F(ABCD);

 D1DF=600

Найти: V

Решение:

V=h

S1 =;         S2 =;     h = D1F

=АВ2;      = 52 = 25(см2)

=А1В12;  = 32 = 9(см2);

D1DF - прямоугольный, поэтому  D1F= D1Dsin600;

D1F = 2sin600=2(см);

V=(cм3)

Ответ. 49 см3