Лекция "Интерполяция. Численное дифференцирование и интегрирование."
учебно-методический материал

Тема 12.2. Интерполяция. Численное дифференцирование и интегрирование.

Основу математических моделей многих процессов и явлений в физике, химии, биологии и др. областях составляют уравнения различного вида. Для решения этих уравнений необходимо иметь возможность вычислить значения функций, входящих в описание математической модели рассматриваемого процесса при произвольном значении аргумента. Используемые в математических моделях функции могут быть заданы как аналитическим способом, так и табличным, при котором функция известна только при дискретных значениях аргумента.

Пусть функция y=f(x) задана множеством своих значений для дискретного набора точек (таблицей). Эта таблица может быть результатом расчетов, либо экспериментальными точками.

Значения аргумента xi называются узлами. (В общем случае эти узлы не являются равноотстоящими). Требуется найти приближенные значения функции f(x) в любой произвольной точке отрезка [x0;xn] при помощи функции F(x). Приближение (замена) функции f(x) заданной таблично другой функцией F(x), заданной аналитически, называется аппроксимацией.

Чем проще аппроксимирующая функция, тем меньше времени требуется для решения задачи аппроксимации. Чем больше узлов, тем меньше погрешность. Для каждой конкретной аппроксимирующей функции нужно стремиться выбрать такой способ аппроксимации, который обеспечивает минимальную погрешность при минимальном количестве узлов.

Существует два принципиально различных метода аппроксимации функций:

1) Интерполяция − аппроксимирующая функция F(x) точно совпадает с табличными значениями y0, y1,… yn функции f(x). 

2) Метод наименьших квадратов − аппроксимирующая функция F(x) может не совпадать ни с одним табличным значением y0, y1,… yn , максимально приближаясь к ним в среднем.

Итак, задача интерполяции – нахождение приближенных значений функции при аргументах, не совпадающих с узловыми. Если х находится внутри интервала [x0;xn], процесс нахождения приближенного значения называется интерполяцией. Если х находится вне интервала – экстраполяцией.

Пример:

В медицинской лаборатории рассматривается процесс размножения бактерий. Сняты следующие показания эксперимента:

В результате интерполирования подобрана функция f(x) = ex. Следовательно, мы можем вычислить f(7) = 1097. Здесь мы провели экстраполяцию.

Линейная интерполяция. Интерполяционный полином Лагранжа.

При линейной интерполяции табличные значения функции в смежных узловых точках соединяются отрезками прямых, и функции f(x) приближается ломаной с вершинами в данных точках. Уравнении каждого отрезка ломаной в общем случае разные. Это наиболее простой и достаточно распространенный способ интерполяции. Если значение х выходит за пределы интервала [x0;xn], то осуществляется линейная экстраполяции по отрезкам прямых, примыкающим к конечным точкам. При линейной интерполяции интерполирующая функция имеет изломы в узлах интерполяции и разрывы значений производных.

Погрешность интерполяции определяется расстояниями между узлами интерполяции. Обусловлена погрешность тем, что график имеет изломы в узлах.

Изломы интерполяции можно устранить, если в качестве интерполирующей использовать такую функцию, график которой представляет собой плавную кривую, например, полином, проходящий через заданные в таблице точки.

Существует много разновидностей полиномов, для которых выполнены данные условия. Мы рассмотрим полином Лагранжа (или многочлен Лагранжа). Интерполяция многочленом Лагранжа дает высокую точность, если значения функции в смежных узлах изменяются достаточно медленно.

Пусть дана таблица значений:

Требуется составить многочлен y=f(x) степени m ≤ n-1, который принимал бы заданные значения yi при соответствующих значениях xi, т.е. yi=f(xi) (где i=1, 2, 3, …, n). Иными словами, график этого многочлена должен проходить  через заданные n точек Mi(xi; yi).

Обозначим через φ(x) вспомогательный многочлен n-степени, в котором xi - заданные табличные значения аргумента: φ(x)=(x-x1)∙(x-x2)∙(x-x3)∙…∙(x-xn)

Тогда имеет место равенство:

или  - это и есть интерполяционный многочлен Лагранжа.

Пример: Составить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной таблицей.

Решение:

1. Составим вспомогательный многочлен φ(x)=(x-1)∙(x-2)∙(x-3)∙(x-4)
2. Вычислим φ’(x)=(x-2)∙(x-3)∙(x-4)+(x-1)∙(x-3)∙(x-4)+(x-1)∙(x-2)∙(x-4)+(x-1)∙(x-2)∙(x-3)
3. Найдем значение производной в точках хi:  φ’(1)=-6,   φ’(2)=2,   φ’(3)=-2,   φ’(4)=6
4. Подставим найденные значения в формулу многочлена Лагранжа:

5. Приведем дроби к общему знаменателю, раскроим скобки, приведем подобные и получим следующий ответ:

f(x)=x+1

Ответ: Интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид:  f(x)=x+1

Численное дифференцирование.

При решении практических задач часто нужно найти производные указанных порядков от функции y=f(х), заданной таблично. Возможно также, что в силу сложности аналитического выражения функции f(х) непосредственное дифференцирование ее затруднительно. В этих случаях обычно прибегают к приближенному дифференцированию.

Для вывода формул приближенного дифференцирования заменяют данную функцию f(х) на интересующем отрезке [а,b] интерполирующей функцией Р(х) (чаще всего полиномом), а затем полагают:

f’(х) = Р'(х)     при   b≤ х ≤ а

Аналогично поступают при нахождении производных высших порядков функции f(х). 

Следует отметить, что приближенное дифференцирование представляет собой операцию менее точную, чем интерполирование. Действительно, близость друг к другу ординат двух кривых y = f(x) и Y = P(x) на отрезке [а, b] еще не гарантирует близости на этом отрезке их производных f'(x) и Р'(х).

Численное интегрирование.

Если функция f(х) непрерывна на отрезке [а,b] и известна ее первообразная F(х), то определенный интеграл от этой функции в пределах от a до b может быть вычислен по формуле Ньютона–Лейбница

 ,      где F'(х)=f(х). 

Однако во многих случаях первообразная функция F(х) не может быть найдена с помощью элементарных средств или является слишком сложной; вследствие этого вычисление определенного интеграла по данной формуле может быть затруднительным или даже практически невыполнимым.

Кроме того, на практике подынтегральная функция f(х) часто задается таблично и тогда само понятие первообразной теряет смысл. Аналогичные вопросы возникают при вычислении кратных интегралов. Поэтому важное значение имеют приближенные и в первую очередь численные методы вычисления определенных интегралов.

Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении значения определенного интеграла на основании ряда значений подынтегральной функции.

Обычный прием нахождения определённого интеграла состоит в том, что данную функцию f(х) на рассматриваемом отрезке [а,b] заменяют простого вида интерполирующей или аппроксимирующей функцией ϕ(x)  (например, полиномом), а затем приближенно полагают:

Функция ϕ(x)  должна быть такова, чтобы интеграл  вычислялся непосредственно.

Мы будем рассматривать три приближенные формулы вычисления определенных интегралов. Сформулируем начальные условия:

Пусть f(x) - непрерывная и дифференцируемая достаточное число раз на отрезке [а,b] функция. Разделим отрезок [а,b]  на n равных частей и обозначим эти точки: x0, x1, x2, …, xn . Соответственно значение функции в этих точках: у0, у1, у2, …, уn.  Обозначим h=(b-a)/n – шаг.

1. Формулы прямоугольников:

или

где Rn – предельная абсолютная погрешность, которая оценивается следующим образом

2. Формула трапеций:

где Rn – предельная абсолютная погрешность, которая оценивается следующим образом

3. Формула Симпсона:

где Rn – предельная абсолютная погрешность, которая оценивается следующим образом

Пример: Вычислить по формуле прямоугольников , разбив интервал интегрирования на 10 частей. Оценить погрешность

Решение:

Подынтегральная функция равна: . При n=10 имеем h=(2-1)/10=0,1. Следовательно, точками деления будут: х0=1, и т.д. Значения удобно записать в таблицу:

Используя первую формулу прямоугольников, получим:

I = 0,1∙(1+1,049+1,095+1,140+1,183+1,225+1,265+1,304+1,342+1,378) = 0,1∙11,981 ≈ 1,20

Оценим погрешность:

Производная функции равна:

На отрезке [1;2] наибольшее значение производной равно: , следовательно .

Следовательно:

Ответ: I = 1,20 ± 0,025

Домашнее задание:

1. Вычислить предыдущий интеграл с помощью формулы трапеций.
2. Проверить точность вычисления интеграла  по формуле Ньютона-Лейбница.
3. Что такое интерполяция?