Методическая разработка теоретического занятия по учебной дисциплине ЕН.01 «Математика» Дифференциальное исчисление
методическая разработка

Министерство здравоохранения Иркутской области

Областное государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

 «НИЖНЕУДИНСКОЕ МЕДИЦИНСКОЕ УЧИЛИЩЕ»

Методическая разработка

теоретического занятия

по учебной дисциплине  ЕН.01 «Математика»

 Дифференциальное исчисление

(для преподавателя)

Специальность 34.02.01 Сестринское дело

Нижнеудинск, 2019 г.

Методическая разработка  по дисциплине «Математика» предназначена для студентов специальности 34.02.01 Сестринское дело на базе основного общего образования (естественно – научный профиль), составлена в соответствии с ФГОС ОПОП СПО  по специальности 34.02.01 Сестринское дело на базе основного общего образования (естественно – научный профиль), рабочей программой по ЕН.01.»Математика»

Разработчики:  

Быкова Н.Г. – преподаватель математики, высшая квалификационная категория

Введение

Понятие производной – одно из основных понятий математического анализа. В настоящее время понятия производной находит большое применение в различных областях науки и техники. Изучение функции с помощью производной составляет предмет дифференциального исчисления. Быстрота протекания физических, химических, биологических и других процессов, например скорость охлаждения тела, скорость химической реакции и т.п., также выражается при помощи производной. 
 Дифференциальное исчисление это раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Дифференциальное исчисление в самостоятельную математическую дисциплину связано с именами И.Ньютона и Г. Лейбница (вторая половина 17 в.). Они сформулировали основные положения дифференциальное исчисление и чётко указали на взаимно обратный характер операций дифференцирования и интегрирования. С этого времени дифференциальное исчисление развивается в тесной связи с интегральным исчислением, вместе с которым оно составляет основную часть математического анализа (или анализа бесконечно малых). Создание дифференциального и интегрального исчислений открыло новую эпоху в развитии математики. Оно повлекло за собой появление ряда математических дисциплин: теории рядов, теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и вариационного исчисления. Методы математического анализа нашли применение во всех разделах математики. Неизмеримо расширилась область приложений математики к вопросам естествознания и техники. «Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы, а именно движение» (Энгельс Ф.)

Дифференциальное исчисление даёт аппарат для исследования функций, поведение которых в достаточно малой окрестности каждой точки близко к поведению линейной функции или многочлена.

В области медицины исчисление можно применить для нахождения оптимального угла ветвления кровеносных сосудов, максимизирующего поток. Зная закон затухания применительно к выводу какого-либо препарата из тела, исчисление используется для оценки уровня дозирования этих препаратов. Методической целью создания данной методической разработки является оказание помощи преподавателю в повышении эффективности проведения занятия.

ПРЕДМЕТ:   математика

ТЕМА ЗАНЯТИЯ: «Дифференциальное  исчисление»

ВРЕМЯ: 90 минут

ВИД ЗАНЯТИЯ: теоретическое занятие. (первичного предъявления новых знаний)

ЦЕЛИ ЗАНЯТИЯ:

Образовательная: -научить студентов исследовать функции и строить графики;  способствовать развитию умений самостоятельно планировать и организовывать работу;

- формировать умения корректировать собственную деятельность через применение информационных технологий

Формирование представлений о производной функции, навыков нахождения производных  элементарных и сложных функций с помощью формул производных, основных правил нахождения производных суммы, произведения, частного функций; Обоснование производных элементарных и сложных функций, обратных функций. Изучение производной при исследовании функций и построения графиков. Формирование представлений о функции нескольких переменных,  частных функциях. Научить находить производные функций, применять алгоритм исследования функции на монотонность.

Воспитательная: способствовать воспитанию поведения, трудолюбия, товарищества, взаимопомощи,  воспитывать адаптивность к современным условиям обучения

Развивающая: Развивать математические способности, логическое мышление, сообразительность, наглядно-образной памяти, математической речи обучащихся.

Планируемые образовательные результаты

умения

Уметь применять методы дифференциального и интегрального исчисления

знания

Основных понятий и методов дифференциального и интегрального исчисления

ПК

ПК 1.1. Обрабатывать статический информационный контент.

ПК 2.1. Осуществлять сбор и анализ информации для определения потребностей клиента..

ОК

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

         ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЗАНЯТИЯ:

НАГЛЯДНЫЕ ПОСОБИЯ: плакаты:

1. Таблица производных;
2. Основные правила дифференцирования
3. Алгоритм исследования функции на экстремум

РАЗДАТОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ: опорный конспект лекции

ТЕХНИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА ОБУЧЕНИЯ:

УЧЕБНЫЕ МЕСТА: аудитория медицинского училища

ЛИТЕРАТУРА:

1.Филимонова Е.В. Математика: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. / Е.В. Филимонова. – 2-е изд., доп. и перераб. – Ростов-на- Дону.: Феникс, 2008.

2. Михеев В.С., Стяжкина О.В., Шведова О.М. Математика: Учебное пособие для среднего профессионального образования. /  В.С.Михеев. – Ростов-на-Дону.: Феникс, 2009. 

3. Омельченко В.П., Демидова АА. Математика: компьютерные технологии в медицине. – Ростов-на-Дону,»Феникс»,  2010. – 588с

Дополнительные источники:

1. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних учебных заведений. /  Н.В. Богомолов. – 7-е изд. М.: Высшая школа, 2004.- 495 с.

2. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике./ Д.Т. Письменный . 1 часть. – 4-е изд., испр.- Д.Т. Письменный. - М.: Айрис-пресс, 2004.

Ход занятия:

Конспект лекции «Дифференциальное  исчисление».

План:

1. Производная функции.

1.1. Приращение аргумента и функции;

1.2. Определение производной;

1.3. Физический смысл производной;

1.4. Геометрический смысл производной;

1.5. Основные правила дифференцирования.

1.6. Применение производной к исследованию функций и построению графиков

2. Применение производной к исследованию функций и построению графиков

2.1. Условия монотонности функции

2.2. Исследование функции на экстремум

2.3. Необходимое условие экстремума

2.4. Достаточные условия экстремума

3. Функции нескольких переменных

3.1. Основные понятия.

3.2. Частные производные

1. Производная функции.

1.1. Приращение аргумента и функции.

Пусть функция f (х) определена на некотором интервале, х0 и х – два произвольных значения аргумента из этого интервала. Разность между двумя значениями аргумента называется приращением аргумента: х –х0 = Δх, откуда  х = х0 + Δх, т.е. значение аргумента х можно определить через х0 и его же приращение Δх.

Разность между двумя значениями функции называется приращением функции:                 Δу = Δ f = f (х0 + Δх) – f (х0)

Как видно из рисунка, приращение аргумента Δх изображается приращением абсциссы точки графика функции у = f (х), приращение функции Δ f – приращением ординаты этой точки.

1.2. Определение производной.

Предел отношения приращения функции Δ f  к приращению аргумента Δх, когда приращение аргумента Δх стремится к нулю, при условии, что этот предел существует, называется производной функции у = f (х) в точке х. Обозначается: .

Процесс нахождения производной называется дифференцированием, поэтому выражение “продифференцировать функцию” равносильно выражению “найти производную”.

1.3. Физический смысл производной.

Исходя из определения, можно сказать:

1. мгновенная скорость прямолинейного движения есть производная от пути S по времени t: υмгн =;
2. мгновенная скорость химической реакции есть производная от функции Х по аргументу t: υмгн =.

Физический смысл производной: производная функции у = f (х) по аргументу х есть мгновенная скорость изменения функции у = f (х), т.е  f ′(х)= υмгн =

1.4. Геометрический смысл производной.

Рассмотрим график функции и построим на этом графике произвольным образом точку М.. В данной точке М проведем касательную к графику функции   у = f (х). 

Производной функции y = f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции ∆f к приращению аргумента ∆x, стремящегося к "нулю".

Обозначается f ' (x0). Читается: "эф штрих в точке x0".

Итак, f '(x0) = 

Если функция у = f (х) имеет производную в точке x0 , то говорят, что она дифференцируема в точке x0.

Угловой коэффициент касательной  κ = tg φ;

 κ = y′ =

Итак, геометрический смысл производной состоит в том, что угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке равен значению ее производной в этой точке.

1.5. Основные правила дифференцирования.

Правила дифференцирования.

1. Если функция и дифференцируема в точке x0 и с = const. то их произведение также дифференцируемо в точке x0,  причем

(сu)' = си'.

Например: f(х) = 2х, (f(х))′ = (2х)′ = 2

2. Если функции u и v дифференцируемы в точке x0, то их сумма также дифференцируема в точке x0, причем производная суммы равна сумме производных, т.е.

(и ± ν)' = и' ±  ν'.

Например: f(х) = х + 8, (f(х))′ = (х + 8)′ = х′ + 8′ = 1+ 0 =1.

3. Если функции u и v дифференцируемы в точке x0, то их произведение также дифференцируемо в точке x0, причем производная произведения равна

(и ∙ ν)' = и' ∙ν  + и∙ν'.

Например: f(х) = (3х + 8) (5–2х), (f(х))′ = (3х + 8)′ (5–2х) + (3х + 8) (5–2х)′ = 3(5–2х) + (–2) (3х + 8)  = 15 – 6х – 6х –16= –12х–1.

4. Если функции и и ν дифференцируемы в точке х0 и ν'(x0) ≠ 0, то их частное также дифференцируемо в точке x0, причем

Например: f(х)=

5. Если f (g(х)) – сложная функция, то ее производная равна произведению производных внешней и внутренней функций, т.е.

[f(g(x))]'= f '(g)∙ g'(x).

Таблица производных элементарных и сложных функций:

Задание. Вычислить:

1. у = sin 3x        у′=3 sin 3x
2. у = cos 4 x        у′= – 4 cos 3 x∙ sin x
3. у = (1+5x)3         у′=3(1+5x)′(1+5x)3-1=3∙5∙(1+5x)2

2. Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Напомним, что методами дифференциального исчисления можно проводить  исследование функции на монотонность, на экстремумы, что помогает при построении графиков функций.

Прежде всего, остановимся на геометрическом смысле производной. Как известно, производная функции в точке х0 равна тангенсу угла наклона касательной к графику этой функции, проведенной в точке х, то есть

,

 – угол наклона касательной к графику  в точке .

Уточним определение касательной к графику функции. В геометрии касательная к окружности определяется как прямая, имеющая с окружностью лишь одну общую точку. В математическом анализе это определение обобщается. А именно:

Определение. Касательной к графику функции  в точке  называется предельное положение секущей М0М (если оно существует), когда точка  стремится к точке М0.

На рис. 1а, 1б приведены примеры графиков функций, у которых существует касательная в точке  графика.

На рис. 2 приведен пример графика функции, у которого не существует касательной в точке  (пояснить, почему).

Очень часто условия существования производной  и касательной к графику  в точке  считают эквивалентными. Но это не так.

1. Если функция  дифференцируема в точке х0, (то есть существует ), то

то есть, существует невертикальная  касательная к графику  в точке х0 (рис. 1а).

2. Если же касательная к графику  в точке М0 существует и является прямой х=х0, то в точке х0 не будет существовать  (рис. 1б).

Кроме того, как видно из рис. 1б, в точке х0 функция имеет минимум, но не существует .

2.1. Условия монотонности функции

1. Если функция  дифференцируема и возрастает на (a, b) (убывает на (a, b)), то  при х∈(a, b) ( при х∈(a, b)).

Верно и обратное:

2. Если функция  дифференцируема на (a, b) и  (), то функция  возрастает (убывает) на (a, b).
3. Если функция  непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и  для х∈(a; b) ( для х∈(a, b)), то функция  возрастает (убывает) на [a, b].

Утверждение (2) демонстрируется  рис 1а. Функция – дифференцируема на (–∞; +∞). Так как  при х∈(–∞; х0), то  убывает на (–∞; х0) и так как  при х∈( х0; +∞), то  возрастает на ( х0; +∞).

Утверждение (3) демонстрирует рис 1б, а именно: функция  – непрерывна, но не является дифференцируемой в точке х0 (в этой точке график имеет вертикальную касательную); на промежутке х∈(–∞; х0)  ⇒  – убывает на (–∞; х0).

Аналогично, на промежутке х∈( х0; +∞)  ⇒  – возрастает на ( х0; +∞).

Пример 1. Найти все значения параметра а, при которых функция  возрастает на всей числовой прямой.

Решение. Найдем . Имеем .

Если  для всех , то функция возрастает на всей числовой прямой, т.е.

.

Так как  при всех , то неравенство выполняется, если .

Ответ: при  функция  возрастает на всей числовой прямой.

Пример 2. По графику функции f, изображенной на рисунке 3, определить:

а) промежутки, где ;

б) промежутки, где ;

в) точки, где ;

г) точки, где  не существует.

Решение.

а) Если функция возрастает на некотором интервале, то на нем . Поэтому

 при .

б) Если функция убывает на некотором промежутке, то на нем . Поэтому

 при .

в) Производная функции связана с касательной . В тех точках, где , то есть  (касательная параллельна оси Ох).

Поэтому,  и .

г) Аналогично предыдущему, производная не существует в точках, где касательная перпендикулярна оси Ох, то есть, не существует .

2.2. Исследование функции на экстремум

Определение. Точка х=х0 называется точкой минимума функции , если существует некоторый интервал , в каждой точке х которого ,

(точка х0 на рис. 1а, 1б).

Определение. Точка х0 называется точкой максимума функции , если существует некоторый интервал , в каждой точке х которого

2.3. Необходимое условие экстремума

Если х0 – точка экстремума функции, то либо , либо не существует производной в этой точке (такие точки называют стационарными).

Замечание. Это условие является необходимым, но не достаточным условием экстремума. Может быть так, что в точке х0   (рис. 4а) или не существует  (рис. 4б), и в этой точке функция не имеет экстремума.

Поэтому рассмотрим

2.4. Достаточные условия экстремума

Пусть функция  дифференцируема на интервалах (а; х0) и (х0; b) и х0 – стационарная точка. Тогда:

1. Если при переходе через точку х0 производная  меняет знак с «–» на «+», то х0 – точка минимума функции.
2. Если при переходе через точку х0 производная меняет знак с «+» на «–», то х0 – точка максимума функции.

Результаты исследования обычно заносятся в таблицу.

2.4. Алгоритм исследования функции на экстремум

1. Найти .
2. Найти точки, в которых:  или  – не существует.
3. Все точки нанести на числовую прямую и найти знаки производной на каждом из полученных интервалов.
4. Занести результаты в таблицу, например:

Пример 3. Исследовать функцию на экстремум и построить схематично график: а) ; б) .

Решение.

а) .

1. Найдем .
2. Найдем точки, в которых  (функция дифференцируема для всех х).

.

В данном случае удобно воспользоваться исследованием знака  на числовой прямой.

Таким образом, в точке х=1 нет экстремума, но в этой точке , то

есть касательная параллельна оси Ох, . Чтобы построить график, найдем дополнительные точки.

Точки пересечения с осью Ох:  ⇔  ⇔ .

 или  – уравнение не имеет решений.

Строим график.

б) .

1. Найдем .
2.  ни в одной точке.

 не существует, если х=2. В этой точке функция существует.

.

Отметим, что в  точке х=2 касательная параллельна оси Оу.

Найдем дополнительные точки:

Точку пересечения графика с осью Оу:

.

3. Функции нескольких переменных.

3.1. Основные понятия.

Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D.

Обычно функция нескольких переменных задается явным аналитическим способом. Например: z=3x+5y2, =xy+z2 и т.д.

Встречается также и неявное задание таких функций, например: z-2x-sinxy=0.

 Упорядоченная пара чисел (x,y) может рассматриваться как точка на плоскости, т.е. Z есть функция точки (x,y).

Чтобы задать функцию z=f(x,y), надо не только указать правило нахождения z по заданным x и y, но и то множество (называемое областью задания функции) пар значений, которые могут принимать аргументы x и y.

Например, функция z=задана только при 1-y>0, т.е. внутри эллипса y2+4x2<1 с полуосями, а=0,5 и в=1 не включая точки, лежащие на эллипсе.

 Определение. Если каждой совокупности значений переменных x,y,z…t соответствует определенное значение переменной w, то w называется функцией независимых переменных x,y,z…t и записывается w=f(x,y,z…t).

Для функции трех переменных областью определения является упорядоченная тройка чисел (x,y,z), т.е. некоторая совокупность точек пространства. Область определения функции четырех и большего числа переменных не допускает простого геометрического истолкования.

Функции двух переменных допускают графическую иллюстрацию. Графиком функции z=f(x,y), заданной на некотором множестве D точек плоскости ХОУ, называется множество точек (x,y,z) пространства, у которых (x,y) принадлежит D, а z=f(x,y). В наиболее простых случаях такой график представляет собой некоторую поверхность.

Например, графиком функции z=4-x2-y2 является параболоид.

 Функции трех и большего числа переменных не имеют геометрического представления.

3.2. Частные производные.

Пусть z=f(x,y). Зафиксируем какую-либо точку (x,y), а затем, не меняя закрепленного значения аргумента y, придадим аргументу x приращение . Тогдаz получит приращение, которое называется частным приращением z по x и обозначается  и определяется формулой .

Аналогично, если x сохраняет постоянное значение, а y получает приращение , то z получает частное приращение z по y,.

Определение. Частной производной по x от функции z=f(x,y) называется предел отношения частного приращения по x к приращению при стремлении  к нулю, т.е.

Частная производная обозначается одним из символов.

Аналогично определяется частная производная по y:

                                 .

Таким образом, частные производные функции двух переменных вычисляются по тем же правилам, что и производные функции одного переменного.

Пример. Найти частные производные функции z=x2e x-2y.

Решение.

Частные производные функции любого числа переменных определяются аналогично.

Домашнее задание:

1. Найти производные функций:

1. у = 5х4 +51х7– 
2. у = (2х3+4х)(1–х2)
3. у = 
4. у = (tg3x)2 

2. Исследовать функцию и построить график: у = 2х3+4х