Методические указания для студентов заочной формы обучения по дисциплине "Элементы высшей математики"
учебно-методический материал

Департамент образования, науки и молодежной политики

Воронежской области

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Воронежской области

 «Борисоглебский техникум промышленных и информационных технологий»

«Элементы высшей математики»

Методические указания для студентов-заочников

по специальности 09.02.01 «Компьютерные системы и комплексы»

2017 г.

Методические указания по дисциплине «Элементы высшей математики» разработаны на основе рабочей программы дисциплины «Элементы высшей математики»  по специальности 09.02.01 «Компьютерные системы и комплексы»

Разработчик:

Иванникова Елена Анатольевна, преподаватель ГБПОУ ВО «БТПИТ»

Рассмотрена цикловой комиссией Компьютерных систем и комплексов

Протокол от «___» _____________ 201_г.  № ____

Председатель ц/к _______________   Г.В.Торгашин

                                                        (Ф.И.О.)

Методист                                                     Зам.директора по УР

______________Е.В. Бабикова                  _____________С.С. Прохорова

1. Введение

1. Область применения программы

        Программа дисциплины является частью программы подготовки специалистов среднего звена по специальности 09.02.01 «Компьютерные системы и комплексы»

1.2 Место дисциплины в структуре программы подготовки специалистов среднего звена

        Дисциплина входит в математический и общий естественнонаучный учебный цикл

1.3. Цели и задачи дисциплины – требования к результатам освоения дисциплины

        В результате освоения дисциплины студент должен уметь:

- выполнять операции над матрицами и решать системы линейных уравнений;

- применять методы дифференциального и интегрального исчисления;

- решать дифференциальные уравнения;

* - использовать основные численные методы решения математических задач;

* - выполнять действия над комплексными числами;

* - исследовать ряды на сходимость, разлагать функции в ряд;

В результате освоения дисциплины студент должен знать:

- основы математического анализа, линейной алгебры, и аналитической геометрии;

- основы дифференциального и интегрального исчисления;

* - основные численные методы решения математических задач

* - основные понятия и методы теории комплексных чисел

* - основные понятия теории числовых и функциональных рядов

1.4. Формируемые компетенции:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

ПК 1.2. Разрабатывать схемы цифровых устройств на основе интегральных схем разной степени интеграции.

ПК 1.4. Проводить измерения параметров проектируемых устройств и определять показатели надежности.

ПК 2.2. Производить тестирование, определение параметров и отладку микропроцессорных систем.

2. Примерная программа учебной дисциплины:

Раздел 1. Матрицы и определители 

Тема 1.1. Матрицы и действия над ними.

Содержание учебного материала: Определение матрицы. Виды матриц. Порядок квадратной матрицы. Главная и побочная диагональ матрицы. Единичная и нулевая матрица. Матрица-строка и матрица-столбец. Равенство матриц. Транспонированная матрица. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Свойства операции сложения и умножения матриц.

Тема 1.2. Определитель матрицы и его свойства. Вычисление определителей.

Содержание учебного материала: Определитель второго порядка. Определитель третьего порядка. Основные свойства определителей. Правило треугольников вычисления определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца. Способы  вычисления определителей.

Тема 1.3. Обратная матрица. Матричные уравнения.

Содержание учебного материала: Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы. Правило нахождения обратной матрицы. Свойства обратной матрицы. Простейшие матричные уравнения.

Раздел 2. Методы решения систем линейных уравнений.

Тема 2.1. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Содержание учебного материала: Системы линейных уравнений. Эквивалентные преобразования системы линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений с помощью метода Гаусса. Примеры.

Тема 2.2.  Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы и с помощью формул Крамера. 

Содержание учебного материала: Решение систем линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы. Исследование систем линейных уравнений с помощью определителей. Формулы Крамера для решения систем линейных уравнений. Примеры.

Раздел 3.  Основы алгебры векторов

Тема 3.1. Векторы и действия над ними.

Содержание учебного материала: Векторные и скалярные величины. Длина и направление вектора. Сумма векторов. Правило треугольника и правило параллелограмма сложения векторов. Свойства операции сложения векторов. Противоположные векторы. Вычитание векторов. Умножение вектора на число и его свойства. Действия над векторами, заданными своими координатами.  Коллинеарные векторы. Теорема о коллинеарности двух векторов. Теорема о разложении вектора на плоскости по двум неколлинерным векторам. Компланарные векторы. Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.

Тема 3.2. Скалярное, векторное   и смешанное произведение векторов

Содержание учебного материала: Проекция вектора на ось. Скалярное  произведение двух векторов и его свойства. Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами. Вычисление угла между  двумя векторами. Векторное произведение двух векторов и его свойства. Векторное произведение векторов, заданных своими координатами. Смешанное произведение трех векторов и его свойства. Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами.

Раздел 4. Элементы аналитической геометрии.

Тема 4.1. Уравнение прямой на плоскости.

Содержание учебного материала: Параметрические и каноническое уравнение прямой. Уравнение прямой, походящей через две точки. Уравнение прямой в отрезках. Уравнение прямой, проходящую через данную точку, перпендикулярно данному вектору. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Тема 4.2. Кривые второго порядка.

Содержание учебного материала: Общее и каноническое уравнение окружности. Центр и радиус окружности. Фокусы, полуоси, вершины и фокальное расстояние эллипса. Каноническое уравнение эллипса. Эксцентриситет эллипса. Фокусы, полуоси, вершины и фокальное расстояние гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы. Асимптоты и эксцентриситет гиперболы. Фокус, директриса и фокальный параметр параболы. Каноническое  уравнение параболы. Уравнение параболы в выбранной системе координат.

Раздел 5. Теория пределов.

Тема 5.1. Числовая последовательность и ее предел.

Содержание учебного материала: Числовые последовательности. Способы задания числовых последовательностей. Предел числовой последовательности. Сходящиеся и расходящиеся последовательности. Формула общего члена последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие величины и связь между ними. Теоремы о пределах последовательностей.

Тема 5.2. Предел функции. Основные свойства пределов

Содержание учебного материала: Понятие предела функции в точке. Основные свойства пределов. Вычисление пределов функций. Первый и второй замечательные пределы. Пределы некоторых элементарных функций.

Тема 5.3. Непрерывность функции.

Содержание учебного материала: Приращение аргумента и приращение функции. Непрерывность функции в точке. Непрерывность функции в промежутке. Свойства непрерывных функций. Примеры исследования функций на непрерывность.

Раздел 6.  Дифференциальное исчисление.

Тема 6.1. Понятие производной. Геометрический и кинематический смысл.

Содержание учебного материала: Понятие производной. Вычисление производной на основе определения. Геометрический смысл производной. Кинематический смысл производной.

Тема 6.2. Основные правила дифференциального исчисления. Производные некоторых элементарных функций.

Содержание учебного материала: Основные правила дифференциального исчисления. Производные некоторых элементарных функций. Таблица производных. Примеры решения.         

Тема 6.3. Производная сложной и обратной функции. Вторая производная и производные высших порядков.

Содержание учебного материала: Формулы дифференцирования для сложной функции. Вычисление производных сложных функций. Производные обратных функций. Производные обратных тригонометрических функций. Производные высших порядков, их вычисление. Механическое значение второй производной.

Тема 6.4. Понятие дифференциала функции и его геометрический смысл.

Содержание учебного материала: Дифференциал функции и его геометрический смысл. Правила и формулы дифференцирования. Дифференциалы различных порядков.

Тема 6.5. Исследование функций с помощью производной.

Содержание учебного материала: Возрастание и убывание функции, экстремум функции. Исследование функции на экстремум с помощью первой производной. Исследование функции на экстремум с помощью второй производной. Набольшее и наименьшее значения функции. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общий план  исследования функций и  построение  графиков.

Раздел 7.  Интегральное исчисление

Тема 7.1. Первообразная функции и неопределенный интеграл.

Содержание учебного материала: Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов и табличное интегрирование.         

Тема 7.2. Методы интегрирования.

Содержание учебного материала: Методы вычисления неопределенного интеграла: способ подстановки, интегрирование по частям. Примеры «неберущихся» интегралов. Интегрирование рациональных дробей.

Тема 7.3. Определенный интеграл и его свойства.

Содержание учебного материала: Криволинейная трапеция и ее площадь. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Методы вычисления определенного интеграла.

Тема 7.4. Приложения определенного интеграла.

Содержание учебного материала: Вычисление площадей плоских фигур. Длина дуги кривой. Задача о вычислении пути. Задача о силе давления жидкости. Работа переменной силы.

Тема 7.5. Несобственные интегралы

Содержание учебного материала: Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Понятие несобственных интегралов от неограниченных функций

Раздел 8. Числовые и функциональные ряды.

Тема 8.1. Числовые ряды. Исследование рядов на сходимость.

Содержание учебного материала: Определение числового ряда, сумма ряда, остаток ряда. Свойства рядов. Необходимый признак сходимости рядов. Признаки сравнения положительных рядов. Признак Даламбера.

Тема 8.2. Функциональные и степенные ряды.

Содержание учебного материала: Функциональные последовательности и ряды. Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости. Область сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов.

Тема 8.3. Разложение функций в ряд Тейлора.

Содержание учебного материала: Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций в ряд.

Раздел 9.  Функции нескольких  переменных.

Тема 9.1. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции 2-х независимых переменных

Содержание учебного материала: Понятие функциональной зависимости между несколькими переменными. Определение функции нескольких переменных. Геометрическое изображение функции двух переменных. Предел и непрерывность функции двух независимых переменных.

Тема 9.2. Понятие частной производной. Экстремумы функции 2-х независимых переменных.

Содержание учебного материала: Частные производные функции нескольких переменных. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных. Полное приращение и полный дифференциал. Максимум и минимум функции нескольких переменных.

Тема 9.3. Двойные интегралы и их приложения.

Содержание учебного материала: Двойной интеграл и его свойства. Вычисление двойного интеграла. Приложения двойного интеграла: площадь поверхности, масса неоднородной плоской фигуры, формулы для координат центра тяжести неоднородной плоской фигуры.

Раздел 10.  Дифференциальные уравнения

Тема 10.1. Основные понятия и определения теории дифференциальных уравнений. Уравнения с разделяющимися переменными.

Содержание учебного материала: Примеры дифференциальных уравнений. Основные понятия и определения теории дифференциальных уравнений. Уравнения с разделяющимися переменными: определения и примеры, правило нахождения общего решения.  Частное решение дифференциальных уравнений.

Тема 10.2. Дифференциальные уравнения I порядка.

Содержание учебного материала: Основные понятия и определения теории дифференциальных уравнений первого порядка. Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Однородные дифференциальные уравнения. Частное решение дифференциальных уравнений.

Тема 10.3. Дифференциальные уравнения II порядка.

Содержание учебного материала: Дифференциальные уравнения порядка выше первого. Линейные дифференциальные уравнения  второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.        

Раздел 11.  Основы теории комплексных чисел.

Тема 11.1. Определение комплексного числа. Операции над комплексными числами.

Содержание учебного материала: Необходимость расширения множества действительных чисел.  Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Модуль и аргументы комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа. Операции  над комплексными числами. Решение квадратных уравнений.

Раздел 12.  Численные методы.

Тема 12.1. Приближенные числа и действия над ними. Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

Содержание учебного материала: Абсолютная и относительная погрешности приближения. Округление чисел. Погрешность округления.  Погрешности вычислений с приближенными данными. Методы приближенного решения алгебраических и трансцендентных уравнений: метод дихотомии, метод хорд, метод касательных, метод итераций. Определение интервала изоляции действительного корня уравнения.

Тема 12.2. Интерполяция. Численное дифференцирование и интегрирование. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Содержание учебного материала: Интерполяция и экстраполяция. Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа. Постановка  задачи численного дифференцирования. Постановка задачи численного интегрирования.  Формулы численного интегрирования. Метод Эйлера решения дифференциальных уравнений.

3. Примерный перечень практических занятий:

4. Задания для контрольной работы

Вариант № 1.

1. Найти произведение матриц А  и В :

2. Вычислить определитель третьего порядка:

3. Решить систему уравнений методом Крамера:  

4. Даны векторы a = (4; -2; 0) и b = (1; 2; 3). Найдите векторное и скалярное произведение.

5. Составьте уравнение окружности с центром в точке (5;-7) и проходящей через точку (2;-3).

6. Вычислить пределы:       а)                       б)                                 

7. Найти производные следующих функций:

    а)   f(x) =                             б)  f(x) = (x3-1)(x2+x+1)                          в)  f(x) = ln3x

8.  Найти неопределенные интегралы:

а)                                         б)  методом подстановки:

9. Вычислить определенный интеграл:  

10. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:  

Вариант № 2.

1. Найти произведение матриц А  и В :

2. Вычислить определитель третьего порядка:

3. Решить систему уравнений методом Крамера:  

4. Даны векторы a = (3; 1; -2) и b = (1; 3; 2). Найдите векторное и скалярное произведение.

5. Дан эллипс . Найдите координаты его вершин и длины осей.

6. Вычислить пределы:       а)                  б)                                 

7. Найти производные следующих функций:

    а)   f(x) =                                 б)  f(x) = (3x2+1)(2x2+3)                  в)  f(x) = ln(2x2-3)

8. Найти неопределенные интегралы:

а)                                                  б)  методом подстановки:

9. Вычислить определенный интеграл:  

10. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:  

Вариант № 3.

1. Найти произведение матриц А  и В :

2. Вычислить определитель третьего порядка:

3. Решить систему уравнений методом Крамера:

4. Даны векторы a = (2; -3; 1) и b = (0; 4; -2). Найдите векторное и скалярное произведение.

5. Составьте уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее директрисой служит прямая   х = -2.

6. Вычислить пределы:     а)                    б)                               

7. Найти производные следующих функций:

    а)   f(x) =                             б)  f(x) = (2x + 1)(x2 +3x -1)                      в)  f(x) =

8. Найти неопределенные интегралы:

а)                                          б)  методом подстановки:

9. Вычислить определенный интеграл:  

10. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:  

Вариант № 4.

1. Найти произведение матриц А  и В :

2. Вычислить определитель третьего порядка:

3. Решить систему уравнений методом Крамера:  

4. Даны векторы a = (3; -1; 0) и b = (3; 4; 5). Найдите векторное и скалярное произведение.

5. Составить уравнение гиперболы, если ее вершины находятся в точках А1(-3;0) и А2(3;0) и фокусы – в точках F1(-5;0) и F2(5;0).

6. Вычислить пределы:

а)                 б)                                 

7. Найти производные следующих функций:

    а)   f(x) =                              б)  f(x) = (х3 + x2+ х +1)(x -1)               в)  f(x) = ln(2x2-3)

8. Найти неопределенные интегралы:

а)                                            б)  методом подстановки:

9. Вычислить определенный интеграл:  

10. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:  

Вариант № 5.

1. Найти произведение матриц А  и В :

2. Вычислить определитель третьего порядка:

3. Решить систему уравнений методом Крамера:

4. Даны векторы a = (4; 1; -2) и b = (2; -3; 0). Найдите векторное и скалярное произведение.

5. Дано уравнение гиперболы . Найдите координаты ее фокусов и расстояние между ними.

6. Вычислить пределы:

а)                  б)                                 

7. Найти производные следующих функций:

    а)   f(x) =                                    б)  f(x) =                                 в)  f(x) = ln(2x +1)

8. Найти неопределенные интегралы:

а)                           б)  методом подстановки:

9. Вычислить определенный интеграл:  

10. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными:    

5. Итоговый контроль знаний проводится в форме  экзамена.

Вопросы к экзамену:

1. Понятие и виды матриц. Транспонированная матрица.
2. Операции над матрицами и их свойства.
3. Определитель матрицы и его свойства.
4. Решение систем линейных уравнений с помощью формул Крамера.
5. Векторы. Операции над векторами и их свойства.
6. Уравнение прямой на плоскости: способы задания.
7. Кривые второго порядка.
8. Предел числовой последовательности. Теоремы о пределах числовых последовательностей.
9. Понятие производной, ее геометрический и кинематический смысл.
10. Теоремы дифференциального исчисления.
11. Исследование функций с помощью  производной.
12. Первообразная функция и неопределенный интеграл.
13. Методы вычисления неопределенных интегралов.
14. Определенный интеграл и его геометрический смысл. Формула Ньютона-Лейбница.
15. Определение числового и функционального ряда. Сумма ряда. Сходимость ряда.
16. Понятие функциональной зависимости  между несколькими переменными.
17. Частные производные функции нескольких переменных.
18. Дифференциальные уравнения первого порядка: основные понятия.
19. Комплексные числа.  Различные формы записи комплексных чисел.
20. Операции над комплексными числами, записанными в алгебраической и тригонометрической форме.

Критерии оценки:

-  оценка «отлично» выставляется обучающемуся, если  он глубоко и прочно усвоил материал курса, исчерпывающе, последовательно, четко и логически его излагает,  владеет разносторонними навыками и приемами выполнения практических задач;

-  оценка «хорошо» выставляется обучающемуся, если он твердо знает материал курса, грамотно и по существу его излагает, не допуская существенных неточностей в ответе на вопрос, владеет необходимыми навыками и приемами выполнения практических задач;

-  оценка «удовлетворительно» выставляется обучающемуся, если он имеет знание только основного материала, но не усвоил его деталей, допускает неточность, недостаточно правильные формулировки, нарушения логической последовательности в изложении программного материала, испытывает затруднения при выполнении практических задач;

-  оценка «неудовлетворительно»  выставляется обучающемуся, если он не знает значительной части изученного материала, допускает существенные ошибки, неуверенно отвечает на задаваемые вопросы, с большими затруднениями решает практические задачи или не справляется с ними самостоятельно. 

6. Перечень рекомендуемой литературы

Основные источники: 

1. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учебник для СПО. /В.П. Григорьев, Ю.А.Дубинский, Т.Н.Сабурова. – 11-е изд. перераб. и доп. – М.:Академия, 2016. – 400с.

Дополнительные источники: 

1. Шипачев В. С. Высшая математика : учебник [электронный ресурс]/ В.С. Шипачев. - М. : НИЦ ИНФРА-М, 2015. - 479 с. – Режим доступа http://znanium.com
2. Шипачев В. С. Задачник по высшей математике : учебное пособие [электронный ресурс] /  В. С. Шипачев. - 10-e изд., стер. -  М. : НИЦ ИНФРА-М,  2015. - 304 с. – Режим доступа http://znanium.com
3. Колдаев В. Д. Численные методы и программирование : учебное пособие [электронный ресурс] / В. Д. Колдаев, под ред. Л.Г. Гагариной. - М. : ИД ФОРУМ: НИЦ Инфра-М, 2013. - 336 с. – Режим доступа http://znanium.com
4. Бортаковский А. С. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Практикум : учебное пособие [электронный ресурс]/ А. С. Бортаковский, А.В. Пантелеев. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2015. - 352 с. – Режим доступа http://znanium.com
5. Шершнев В. Г. Математический анализ: сборник задач с решениями: учебное пособие [электронный ресурс] / В.Г. Шершнев. - М.: НИЦ ИНФРА-М, 2015. - 164 с. – Режим доступа http://znanium.com
6. Дадаян А. А. Математика: Учебник [электронный ресурс]/ А.А. Дадаян. - 3-e изд. - М.: Форум: НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 544 с. – Режим доступа http://znanium.com