Задачи с параметром
консультация по теме

Как научить решать задачи с параметрами?

В.А.Петрунина

В настоящей статье рассматриваются задачи с параметрами и методы их решения, задачи повышенного уровня сложности Единого государственного экзамена.

Ключевые слова: задачи с параметрами, аналитический и графический способы решения.

Тема  интересует учащихся, которые хотели бы больше знать при исследовании заданий с параметрами в курсе математики средней школы.  

Задачи с параметрами являются одними из самых трудных. Таким задачам необходимо уделять достаточно внимания для повышения математической культуры учащихся.  Подход к задачам  должен быть построен на простых общематематических понятиях, таким образом, чтобы быть понятным и доступным обычному ученику.

Но и школьник должен обладать определенными знаниями для решения задач с параметрами.

Рассмотрим , что нужно знать ученику для решения задач с параметрами.

1. Тождественные преобразования. Навыки тождественных преобразований важны не только в задачах с параметрами, но и всюду в математике. При решении задач с параметрами важно уметь бегло проводить тождественные преобразования алгебраических, логарифмических, тригонометрических выражений, уметь работать со степенями. Отдельно можно упомянуть умение выделять полный квадрат в многочлене второй степени, а также способность использования разложения квадратного трехчлена на множители для перехода от суммы к произведению.
2. Функции и графики. Наиболее востребованные средства. В первую очередь вместе со знанием определений свойств функций надо хорошо понимать их качественную сторону, представлять себе, какая информация доставляется тем или иным свойством. Например, четность или нечетность влияет на множества решений, периодичность выглядит как повторяемость базового фрагмента функции, строгая монотонность позволяет переходить от свойств значений функции к свойствам аргументов и обратно, и этот набор можно продолжать.
Кроме владения свойствами функций, надо уметь изображать их графики, хотя бы на качественном уровне, то есть уметь отражать на графике свойства функции. Для этого желательно понимать, как связаны простейшие свойства функции с поведением ее графика, как ведет себя функция на концах области определения, с какими более простыми функциями можно ее сравнить и т.д. График позволяет
переформулировать задачу в геометрических терминах, что нередко приводит к нахождению пути решения.

Полезно уметь изображать множества точек координатной плоскости, обладающих определенным свойством, например, удовлетворяющих уравнению, неравенству, системе и т.п.,

1.При решении уравнения или неравенства нередко приходится прибегать к рассмотрению систем или совокупностей, составленных из уравнений, неравенств и т. п., поэтому желательно иметь объединяющее все такие конструкции понятие. Кроме того, использование обобщенного объекта может позволить более эффективно организовать процесс решения как цепочку логически мотивированных действий. Поэтому в первую очередь обратимся к введению понятия,обобщающего понятия уравнения, неравенства, системы и  совокупности. Начнем с уточнения понятий уравнения (неравенства).
Математическое выражение, состоящее из двух функций, соединенных поставленным между ними знаком равенства (неравенства), и рассматриваемое с целью нахождения тех
значений аргументов данных функций, при которых это выражение становится верным числовым равенством (неравенством), называют уравнением (неравенством).
Аргументы входящих в уравнение (неравенство) функций называют неизвестными или переменными (величинами), относительно которых рассматривается уравнение (неравенство). Если неизвестная одна, то мы имеем уравнение (неравенство) с одной неизвестной, что чаще всего и бывает, если более одной, то говорят об уравнении (неравенстве) с несколькими (или многими) неизвестными или переменными. Значения неизвестных, при которых уравнение (неравенство) становится верным числовым равенством (неравенством), называют его корнями или решениями (для неравенства используют только термин решения). Множество тех значений неизвестных, для которых определены все входящие в уравнение или неравенство функции, называют его областью определения (или областью допустимых значений, имеется в виду неизвестной величины). Естественно, каждое решение уравнения или неравенства должно принадлежать его области определения.
Нетрудно заметить, что понятия, относящиеся к уравнениям и неравенствам, идентичны. По существу, важно лишь то обстоятельство, что как у уравнения, так и у неравенства есть множество решений, которое требуется найти.
Вопрос о нахождении множества решений можно рассматривать как переход от одного способа задания множества к другому. В связи с этим напомним кратко, как задаются множества. Если множество небольшое, то можно указать все его элементы, при этом множество обозначается путем записи всех его элементов в фигурных скобках. Однако бывают множества, включающие столь много элементов, что перечислить их все не представляется возможным. Тогда используют какие-то другие способы описания множества. Самый распространенный — это указание свойства, которым должны обладать все элементы данного множества (и только они). В частности, рассмотрение уравнения или неравенства есть
не что иное, как задание множества путем указания свойства, выраженного в виде равенства или неравенства, которому должны удовлетворять все элементы задаваемого множества. В этом плане решение уравнения или неравенства состоит в переходе к более простому способу его задания, а именно либо к пере Требования к значениям неизвестной, вытекающие из предположения о том, что эти значения являются решениями соотношения, будем называть ограничениями, сопровождающими данное соотношение.
Будем различать ограничения по крайней мере трех типов: связанные с областью определения, с множеством значений и общие ограничения, вызванные видом соотношения. Обсудим каждый из этих типов.
Прежде чем приступить к проверке того, входит ли данное значение неизвестной в множество, описываемое рассматриваемым соотношением, требуется найти значения каких-либо участвующих в соотношении
функций, и требования принадлежности значения неизвестной областям определения таких функций будем называть ограничениями, вызванными областью определения. Этот тип ограничений широко распространен — он задает так называемую область допустимых значений (ОДЗ), имеется в виду неизвестной, хотя это уточнение для чего-то — для ясности или, скорее, краткости и неясности — опускают.
Кроме области определения, у каждой функции есть множество значений, и его тоже нужно учитывать, но не на этапе возможности нахождения значений функций, а на этапе сравнения этих значений.
Ограничения на неизвестные, состоящие из требований принадлежности соответствующих величин множествам значений участвующих в соотношении функций, будем называть ограничениями, связанными с множеством значений.
Например, в уравнении f (x) = есть ограничение g(x) ≥ 0, вызванное областью определения функции «корень квадратный», и ограничение f(x) > 0, порожденное множеством значений этой функции (если x — корень, то величина f(x) должна находиться в множестве значений функции «корень квадратный», так как в этом случае f(x) сравнивается с неотрицательным корнем квадратным изнекоторого числа).
Наконец, будем отмечать ограничения общего типа, вызванные  видом рассматриваемого соотношения. Для разных соотношений ограничения этого типа проявляются по-разному. Например, если рассматривается уравнение, то обе его части либо одного знака, либо равны нулю одновременно. Аналогично для неравенства f (x) ≥ можно выставить общее ограничение на f(x) вида f(x) ≥ 0, так как, судя по неравенству, если x — решение, то правая часть неотрицательна, а левая должна быть не меньше правой, так что с необходимостью тоже неотрицательна.
Главный принцип, которым будем руководствоваться при совершении преобразований для перехода к равносильным соотношениям, таков: сохраняй ограничения, имевшиеся в исходном соотношении.
Нередко нам придется выполнять такие преобразования, которые нарушают ограничения в сторону их ослабления, т.е. наши преобразования будут снимать имевшиеся ограничения. К таким преобразованиям относятся, например, возведение в квадрат или потенцирование (избавление от логарифма). Тогда ограничения, исчезнувшие в результате преобразования, будем подсоединять в
систему с преобразованным соотношением. Иначе говоря, от данного соотношения будем переходить к системе, состоящей из преобразованного соотношения и исчезнувших ограничений.
Какое место может занять принцип сохранения ограничений в процессе решения соотношения? Он лежит в основе выяснения, какому соотношению, состоящему из более простых, равносильно данное соотношение. Применение принципа не гарантирует автоматически равносильности (это лишь необходимые условия), однако позволяет регулярным способом выяснить, чему данное соотношение может
быть равносильным. После этого следует доказывать равносильность и решать. Кстати, не так уж много различных видов уравнений и неравенств доводится использовать в рамках школьного курса математики, а доказать равносильность при преобразовании того или иного вида соотношений достаточно один раз, потом ее можно использовать.
Ограничения, вызванные областью определения или множеством значений, возникают при рассмотрении конкретных функций, поэтому напомним таблицу ограничений, связанных с конкретнымифункциями. Обратим внимание на то, что в таблице для обозначения аргумента и значений функции используются буквы u и v вместо традиционных x и y. Это сделано потому, что в реальных ситуациях на местах, где в таблице стоят u и v, будут находиться какие-то выражения, в которых будут участвовать неизвестные, обычно обозначаемые буквами x.

При анализе вида соотношения полезно обратить внимание на возможность замены переменной. К замене надо прибегать в тех случаях, когда переменная участвует в соотношении не сама по себе, а будучи вмонтированной в некоторое выражение. Если это так, то все выражение можно обозначить новой буквой, решить соотношение относительно новой переменной, а затем вернуться к старой.

Примеры решений.

Линейные уравнения.

Уравнение вида ax = b  где a,b ϵR. Называется линейным относительно переменной  x.

Возможны три случая:

1.а ≠ 0, где b- любое действительное число. Уравнение имеет единственное решение  x = .

2. а =0,  b =0. Уравнение принимает вид  0·х = 0, решением являются все хϵR.

3.a=0, b≠0. Уравнение 0·x = b решений не имеет.

Пример 1.Решить уравнение а2х – а = 4х +2.

Решение. а2х – а = 4х +2  преобразуем и получим линейное уравнение

(а2 – 4)х = а + 2 .

1.а = - 2 . Решением уравнения 0·х = 0 являются все хϵR.

2. а = 2. Уравнение  0·x = 4 решений не имеет.

3. а2 – 4≠0. Уравнение имеет единственное решение x =  =

Ответ: х = при а ≠ 2; хϵR при а = -2; нет решений при а =2.

Пример 2. При каком а уравнение  6(ах + 1)+ а = 3(а – х) +7  имеет бесконечно много решений?

Решение. 6(ах + 1)+ а = 3(а – х) +7  ↔ 6ах + 3х = 3а + 7 – 6 – а ↔ 3х(2а + 1) = 2а + 1.

Уравнение имеет бесконечно много решений при 2а + 1= 0 , а = - .

Пример 3.При каком значении а  уравнение имеет отрицательное решение?

Решение.

3(х – 2а) = 4(1+х) ↔ 3х -6а =4 +4х, х = 4 – 6а.

Отрицательное решение получим при х<0, a> -  

Ответ: а > -

Пример 4. При каких а каждый корень уравнения  3(х + а) = 6 – а   удовлетворяет условию х ϵ [2;4]?

Решение. 3(х + а) = 6 – а   ↔ 3х =6 – 4а↔ х =  .

Решим неравенство ≤ 4 , 3 ≤ 3 – 2а ≤ 6 . Получим а ϵ[ -  ;0].

Ответ: а ϵ[ -  ;0].

Уравнения, приводимые к линейным.

Пример5.Решить уравнение

 = 0

Данное уравнение равносильно системе ,  x=1 и х - а0

1 – а 0.

Итак, если а0,  то х = 1, если а=1, то корней нет.

Ответ: если а0,  то х = 1, если а=1, то корней нет

Пример 6. = 0

Данное уравнение равносильно системе  

Решение уравнения дает зависимость х = а. Подставим в неравенство, получим а ≠ 1

Ответ: Если а ≠ 1, то х =а, если а = 1,то корней нет.

Пример 7. Решим уравнение  = 0.

Решение. Уравнение равносильно системе   ,

Подставим каждое значение х в неравенство, т.е. х =0  при а ≠0, х =1 при а ≠1

Ответ: если а =0, то х = 1;

Если а = 1, то х =0.

Если а≠0, а ≠1 , то хϵ{0;1}

Пример 8. Решить уравнение  =  .

Решение. Допустимые значения: ах + 2 ≠ 0, 2х + а ≠ 0, т.е. ах ≠ -2, 2х ≠ -2.

Преобразуем уравнения при допустимых значениях а и х, получим

4х + 2а =  ах + 2.

х(а – 4) = 2(а – 1).

При а =4 уравнение решений не имеет.

Если а ≠ 4, то х = . Исключим значения а, при которых ах = - 2 , 2х = - а.

ах = -2 равносильно  = - 2 ↔ ↔ а = .

Решая уравнение 2х = - а, получаем такие же значения а: 2х = - а , = - а ,

, а = .

Ответ: при а = , ; иначе решений нет.

Пример 9.Решить уравнение                 = 0

Данное уравнение равносильно системе ,  x=1 и х - а0

1 – а 0.

Итак, если а0,  то х = 1, если а=1, то корней нет.

Пример 10.Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений

Выразим из первого уравнения у через х, получим у =(х +2 – ах). Подставим это значение во второе уравнение и преобразуем его 2ах +(а + 1)(а +2 – ах)=2а + 4 , (3а – а2)х = 6 – а –а2.

Если 3а – а2≠ 0, т.е. а≠0, а≠3, то это уравнение, а значит и исходная система будет иметь единственное решение х=.

Если а = 0, то уравнение будет иметь вид 0·х = 6 и не будет иметь решений.

Если а = 3, уравнение примет вид 0·х=0 и будет иметь бесконечно много решений.

Итак, условию задачи удовлетворяют все а≠0.

Ответ: уравнение имеет хотя бы одно решение при а≠0

Пример 11. Решим уравнение
(х –а) = 0
Произведение равно нулю в тех случаях, когда один из множителей равен нулю, а другой определен. В нашем случае выражение «множитель определен» относится только к радикалу, так как он связан с ограничением вида «подкоренное выражение неотрицательно». Поэтому рассматриваемое уравнение равносильно такой конструкции:

В уравнении системы зависимость неизвестной от параметра уже выписана, остается подставить ее в неравенство и заключить, что если a ≥1, то x = a. Уравнение x = 1 из совокупности добавляет еще один корень при любом значении a. В итоге получим ответ:

Если a < 1, то x = 1,

если a ≥1, то x = a или x = 1.

Пример 12. Решим уравнение
(х – 1)
Данное уравнение равносильно такой структуре:

Анализируя систему, получаем, что если a ≤1, то x = 1 — корень.
Уравнение из совокупности добавляет зависимость x = a при любых значениях a. Таким образом, если a ≤1, то x = 1 или x = a, если a > 1, то x = a

Пример 13.Решить уравнение  = а – х.

 = а – х ↔

Тогда 2х2 – 2ах + а2 – 1 = 0

Корни уравнения: х1,2=

Подставим каждый из корней в неравенство а – х

Получим а – х1  0 , а -   0   или а  

Далее  а – х2  0 или   - а , это равносильно совокупности ,откуда

- 1

Итак,   х = х1    при –1 a < 1 , х = х1,2 при - 1 , при остальных а корней нет.

Пример 14. Определить при каких значениях параметра уравнение имеет ровно три различных решения

 =x2 +ax + 3

Выделим квадрат суммы или разности относительно х2 +ах + 3:

9x2 + 6(x2 + ax + 3) – 9 = (x2 + ax + 3)2,

9x2 = (x2 + ax + 3)2 - 6(x2 + ax + 3) - 9,

9x2 = ((x2 + ax + 3) – 3)2, 9x2 =((x2 + ax + 3) – 3)2

9x2 - (x2 + ax)2 = 0,

Разложим на множители по формуле разности квадратов:

(3x )2-(x2 + ax)2 = 0,

(3x - x2 – ax)(3x + x2 + ax) =0

х2(3 – x – a)(3 + x +a)=0

 х=0 при любом а.

Чтобы уравнение имело три корня необходимо потребовать, чтобы корни были различны.

х= 3 – а, х = -3 – а , х = 0 должны отвечать неравенству  .

х= 3 – а и х = -3 – а не совпадают ни при каких значениях а,

х= 3 – а и х=0 совпадают при а=3, х = -3 – а и х = 0 при а=-3.

Решим систему неравенств:

а[-4;4]

Исходное уравнение будет иметь три различных корня при

а [-4;-3] (-3;3) (3;4]

Ответ: [-4;-3] (-3;3) (3;4]

Существование или отсутствие решений

Зачастую при ответе на вопросы о существовании или отсутствии решений надо решать соотношение и либо смотреть, при каких условиях на параметр возможно нахождение зависимости, дающей решение (для ответа на вопрос о существовании), либо анализировать, когда условия не дадут требуемых зависимостей. Для произвольных соотношений, видимо, трудно выработать какие-то общие пожелания, поэтому рассмотрим несколько примеров.

Пример 12. Найдем все значения параметра a, при которых система уравнений

   не имеет решений.

Решение. Здесь эффективнее выразить у через х, т.к. при у нет зависящего от а коэффициента и не нужно отвлекаться на рассмотрение разных случаев.

y =8a – 4 – 4ax

(1 – 5a)x + (a -2)(8a -4- 4ax) =9 – 18a.

(4a2 – 3a – 1)x = 8a2 – 2a – 1.

Для выражения x через a надо бы разделить левую и правую части на множитель перед x. Однако деление возможно не всегда, а лишь в том случае, если этот множитель отличен от нуля, и тогда получилось бы одно решение всей системы. Этот случай не к ответу на вопрос примера, и, если нам захотелось бы решить систему, а не только ответить на вопрос задачи, мы исследовали бы и эту ситуацию. Нам же предстоит разобраться с теми значениями a, при которых множитель при x нулевой. Это a = 1 и a = −0,25. Ясно, что уравнение (4a2 – 3a – 1)x = 8a2 – 2a – 1. (а значит, и вся система) не имеет решений в том случае, когда вместе с нулевой левой частью правая отлична от нуля. Подставив полученные значения a в правую часть, найдем, что она оказывается ненулевой при a = 1. Это значение и составит ответ.

Пример 13. Найти все действительные значения с, для которых все числа из области значений функции

                            f(x) =     принадлежит интервалу (- 1;2)  

Решение: Переформулируем данную задачу:

«Найти все значения с , при которых система неравенств   1  <   < 2 выполняется при всех хϵR»

Преобразуем это двойное неравенство в систему неравенств

     ,  

Неравенства будут выполняться для всех значений х , если дискриминант отрицателен (D<0)

,

 ,   , cϵ

Ответ:(

Пример 14.

Найдем все значения параметра a, при которых неравенство
| x − a | − x2 ≥1 (1) имеет решение.
Запишем неравенство в виде
| x − a | ≥1 + x2

  ↔

Так как множеством решений совокупности является объединение множеств решений составляющих ее соотношений, оно окажется непустым в тех случаях, когда непусто множество решений хотя бы одного из этих соотношений. В совокупности  такое произойдет при неотрицательности хотя бы одного из дискриминантов левых частей неравенств ( D≥0), то есть при a ≤−0,75 или a ≥0,75. Тем самым неравенство имеет решение при a ϵ(−∞; −0,75]  [0,75; +∞).

Проверим результат обоими известными нам геометрическими способами. Сначала воспользуемся плоскостью «переменная — значение». Графиком функции в правой части неравенства является
смещенная вверх на единицу парабола, графики семейства функций из левой части получаются горизонтальным смещением на a графика функции | x |. Нас интересуют такие расположения этих графиков,
при которых график функции | x − a | хотя бы в одной точке совпадает с графиком функции x2 + 1. Такое произойдет, если либо левая ветвь «уголка», либо его правая ветвь пересечет параболу (рис. 4.3). Для
левой ветви пересечение равносильно наличию корней у уравнения a − x = 1 + x2, то есть условию a ≥0,75, для правой — разрешимости уравнения x − a = 1 + x2, которая будет при a ≤-0,75

Обратимся к плоскости «переменная — параметр». Так как из соотношения (2) легко выразить a через x, воспользуемся плоскостью (x; a) и изобразим зависимость (2) с использованием совокупности (3) и графиков квадратичных функций (рис. 4.4). Ясно, что пересечение горизонтальных прямых с найденным множеством непусто
при a ≤−0,75 или a≥0,75.

Графическое решение часто бывает более эффективным, чем аналитическое.

В тех случаях, когда при решении уравнения системы появляются две зависимости, для наглядности и надежности при формировании ответа полезно использовать следующую наглядную интерпретацию
результатов.

Рассмотрим два простых примера, в которых ограничения связаны с радикалом.

Пример 15 . Решим уравнение = a - x

Рассматриваемое уравнение равносильно такой конструкции:

В результате преобразований получаем, что
2x2 – 2ax + a2 -1 = 0

 Корнями уравнения будут x1,2 =  , затем подставляем каждое из уравнений в неравенство и решаем относительно а:

a   0, a

,        равносильно1 а

Проверим правдоподобность результата, используя графические средства. Сначала воспользуемся следующей интерпретацией. Если f(x), g(x) — две функции, то корень уравнения f(x) = g(x) —это абсцисса точки пересечения графиков этих функций.

График функции у=представляет собой верхнюю часть единичной окружности с центром
в (0; 0)

График каждой из функций a – x — это прямая, параллельная прямой y = –x и сдвинутая на | a | вправо или влево в зависимости от знака a; при a > 0 прямая сдвигается вправо, при a < 0 — влево. Перемещая прямую слева направо, видим, что до некоторых пор (а именно до a = –1) она не пересекает окружности, затем появляется одна точка пересечения, и так будет до некоторого значения a (до a = 1). Начиная с a = 1 (включительно) и до a = 2 (исключительно) точек пересечения две, затем при a = 2 снова одна, а далее пересечения нет.

Воспользуемся другой геометрической интерпретацией корней уравнения, при которой используется изображение данной в уравнении зависимости вида f(x; a) = 0 на координатной плоскости (x; a) либо (a;x) (порядок следования букв в упорядоченной паре с элементами a и x определяет соответствующую данной букве ось: первой букве в паре соответствует горизонтальная ось абсцисс, второй — вертикальная ось ординат). При выборе плоскости (x; a) будем выражать a через x, в случае плоскости (a;x)—x через  a из зависимости f(x;a) = 0 и использовать графики соответствующих функций. При выборе вида координатной плоскости будем руководствоваться следующими соображениями: если из связывающего переменные   x и a равенства  f(x;a) = 0 проще выразить a через x, то используем плоскость (x; a), если x через a — то плоскость (a; x). Принцип использования изображения зависимости f(x; a) = 0 на одной из указанных координатных плоскостей для анализа структуры множеств корней будет ясен из рассмотрения примеров.
Обратившись к равенству , устанавливающему зависимость между переменными x и a, обнаруживаем, что a входит в равенство  в первой степени, а x — во второй, да к тому же находится под корнем, стало быть, выразить a через x легче, чем x через a, поэтому прибегнем к использованию именно такого выражения для анализа результатов.

Построим график функции

a (х)= x +
Функция a(x) определена на отрезке [–1; 1]. Изобразим на этом отрезке графики функций a = x и

 a = x +

 
Функция a(x) определена на отрезке [–1; 1]. Изобразим на этом отрезке графики функций

a = x и a =   и, мысленно складывая ординаты точек этих графиков при каждом x ϵ [–1; 1],
представим график нашей функции, двигаясь по оси абсцисс от точки x = –1 до точки x = 1.

Сначала (при x = –1) ордината равна –1, затем она поднимается
(до x = 0 складываются возрастающие функции), при x = 0 будет a = 1, затем еще сколько-то продлится подъем, но в заключение будет спуск до ординаты a = 1 (при x = 1). Выходит, что где-то между 0 и 1 функция имеет максимум. Нарисуем схематично ее график, не вдаваясь в подробности о точном расположении точки максимума на графике . Корни уравнения a = a(x) наблюдаются с помощью построенного графика следующим образом. Берем различные точки a на оси ординат и проводим горизонтальные прямые с ординатой a. Если какая-то из этих прямых не пересекает графика, то корней нет, если пересекает, то корни — это абсциссы точек пересечения. На рисунке  изображены несколько таких прямых и видно, что если a < –1 или a > a0, то корней нет, если

  –1  a < 1, то корень один, если 1 < a < a0,то корней два, а при a = a0 .

Пример 16. Рассмотрим задачу. связанную с исследованием квадратного трехчлена, при решении которой применяется графическая иллюстрация

Найти все значения а, при каждом из  которых функция имеет более двух точек экстремума f(x) = x2 – 4|x – a2| – 8x

Если  x a2, f(x) = x2 – 12 x + 4a2 , поэтому ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии х = 6.

Если х ≤ а2, то f(x) = x2 – 4x - 4a2, и в этом случае график функции f(x) представляет собой часть параболы с осью симметрии х = 2, ветви которой направлены вверх. Графики обоих квадратичных функций проходят через точку (a2; f(a2)), что видно по рисункам.

Функция у= f(x) имеет более двух точек экстремума в единственном случае:

2< a2 < 6, то есть аϵ(-, -)  (, )

Ответ: аϵ(-, -)  (, )

Литература:

1.Дятлов В.Н. Как научить решать задачи с параметрами: лекции 1-4 Педагогический университет «Первое сентября», М., 2014

2.Календарева Н.Е. задачи по алгебре и тригонометрии с решениями:учеб.пособие.- Новосибирск: Сиб.унив. изд-во.2003

3.Садовничий Ю.В. 2017. Математика. Профильный уровень. Задание 18. Задачи с параметром. / Ю.В.Садовничий. – М.: Издательство «Экзамен»,2017